Giáo trình Tin học lý thuyết - Chương VII: Máy Turing
Chương VII : Má y Turing
Chương VII
MÁY TURING
Nội dung chính : Trong chương này, ta sẽ xét thêm một loại máy trừu tượng khác -
máy Turing (TM - Turing Machines). Chúng có khả năng đoán nhận được lớp ngôn
ngữ lớn hơn lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh. Đây còn là một mô hình của sự tính toán, mô
hình của các thủ tục hiệu quả, là nền tảng cho quá trình xử lý của máy tính hiện đại,
được giới thiệu bởi Alan Turing vào năm 1936. Nhờ đó, các khái niệm về "sự tính
được", "sự giải được" được xác định một cách rõ ràng trên cơ sở sự xuất hiện của một
số hàm không tính được, các bài toán không giải được.
Mục tiêu cần đạt: Cuối chương, sinh viên cần phải nắm vững:
¾ Khái niệm TM, định nghĩa và các thành phần.
¾ Các kỹ thuật thiết kế TM.
¾ Một số biến dạng TM từ mô hình chuẩn.
¾ Xây dựng TM dùng nhận dạng ngôn ngữ hoặc tính toán các hàm số nguyên
đơn giản được biểu diễn trong hệ nhất phân.
¾ Các tính chất của lớp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM.
Kiến thức cơ bản: Để tiếp thu tốt nội dung của chương này, sinh viên cần hiểu rõ
cách thiết kế các hàm chuyển trạng thái trên mô hình máy tính toán; ý tưởng thiết kế
một số thuật toán đơn giản trên tập hợp số, …
Tài liệu tham khảo :
[1] John E. Hopcroft, Jeffrey D.Ullman – Introduction to Automata Theory,
Languages and Computation – Addison – Wesley Publishing Company, Inc –
1979 (Chapter 7 : Turing Machines )
[2] Peter Linz – An Introduction to Formal Languages and Automata – D.C.
Heath and Company – 1990.
[4] Turing Machinesimplemented in JavaScript:
[5] By Jon Barwise and John Etchemendy -Turing Machines:
109
Chương VII : Má y Turing
I. MÔ HÌNH MÁY TURING (TM)
Một mô hình hình thức cho một thủ tục hiệu quả sẽ có những đặc tính cụ thể. Đầu
tiên, mỗi thủ tục sẽ được mô tả một cách hữu hạn. Tiếp đó, thủ tục sẽ được phân
thành một số bước độc lập, mà mỗi bước thực thi một vấn đề. Nguyên tắc này cũng
được hình thức trong mô hình máy Turing.
Máy Turing có một băng nhớ, dùng để ghi mọi loại dữ liệu (dữ liệu nhập, dữ liệu
dùng cho việc điều khiển tương tự như một chương trình máy tính và các kết quả
trung gian khi làm việc). Với một bộ điều khiển chứa một số hữu hạn trạng thái, TM
cũng như các ôtômát khác, làm việc theo lối "ngắt quãng" theo từng bước chuyển.
1.1. Mô tả TM
Máy Turing có rất nhiều dạng đồng khả năng, nghĩa là có nhiều mô hình và định
nghĩa khác nhau cho máy Turing nhưng tất cả chúng đều tương đương nhau. Song,
nói chung mô hình cơ bản của một máy Turing gồm :
- Một bộ điều khiển hữu hạn.
- Một băng được chia thành các ô.
- Một đầu đọc-viết, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để đọc hay
viết ký hiệu.
Mỗi ô có thể giữ được một ký hiệu trong số hữu hạn các ký hiệu băng (các ký hiệu
được phép viết trên băng). Khởi đầu xem như n ô bên trái của băng (n ≥ 0) giữ chuỗi
nhập (input), chuỗi nhập là một chuỗi các ký tự được chọn từ một tập hợp con của tập
hợp các ký hiệu băng, tập hợp con này gọi là tập các ký hiệu nhập. Phần còn lại của
băng coi như có vô hạn khoảng trống, ký hiệu B (Blank), B là một ký hiệu đặc biệt
của băng nhưng không phải là ký hiệu nhập.
Input, Bộ nhớ, Output
a a ... a ... a B B B ...
1 2
i
n
Bộ điều khiển
Hình 7.1 - Mô tả một TM
110
Chương VII : Má y Turing
Mỗi bước chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào ký hiệu do đầu đọc đọc được trên
băng và trạng thái của bộ điều khiển, máy sẽ thực hiện các bước sau :
1) Chuyển trạng thái
2) In một ký hiệu trên băng tại ô đang duyệt (nghĩa là thay ký hiệu đọc được
trên băng bằng ký hiệu nào đó)
3) Dịch chuyển đầu đọc-viết (sang trái (L), sang phải (R) hoặc đứng yên(∅))
Câu hỏi :
So sánh cơ chế máy Turing với hai dạng ôtômát đã khảo sát trong các chương
trước (ôtômát hữu hạn FA và ôtômát đẩy xuống PDA) ? Nêu những điểm khác
biệt quan trọng trong nguyên tắc nhận dạng ngôn ngữ ?
1.2. Định nghĩa
Một cách hình thức, ta định nghĩa một máy Turing (TM) như sau :
Định nghĩa: TM là một hệ thống M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F), trong đó:
. Q : tập hữu hạn các trạng thái.
. ∑: bộ ký hiệu nhập.
. Γ : tập hữu hạn các ký tự được phép viết trên băng.
. B : ký hiệu thuộc Γ dùng chỉ khoảng trống trên băng (Blank).
. δ : hàm chuyển ánh xạ : Q × Γ → Q × Γ × {L, R, ∅}
(δ có thể không xác định với một vài đối số)
. q0 ∈ Q là trạng thái bắt đầu
. F ⊆ Q là tập các trạng thái kết thúc
Hình thái TM (Instantaneous description - ID)
Một hình thái của máy Turing M được cho bởi α1 q α2, trong đó q là trạng thái hiện
hành của M; α1α2 ∈ Γ* là nội dung của băng tính từ đầu băng cho tới ký hiệu khác
Blank bên phải nhất của băng. Giả sử Q và Γ rời nhau: đầu đọc đang đọc ký hiệu bên
trái nhất của α2 hoặc nếu α2 = ε thì đầu đọc đọc Blank.
Hàm chuyển
Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như sau :
Đặt X1X2 ... Xi-1 q Xi ... Xn là một ID.
+ Giả sử δ(q, Xi) = (p, Y, L), trong đó:
- Nếu i - 1 = n thì Xi là B.
- Nếu i =1 thì không có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc không được phép vượt qua
cận trái của băng.
- Nếu i > 1 ta viết :
111
Chương VII : Má y Turing
X1X2 ... Xi-1 q Xi ... Xn ⊢M X1X2 ... Xi-2 p Xi-1Y Xi+1 ... Xn
+ Tương tự δ(q, Xi) = (p, Y, R) thì ta viết :
X1X2 ... Xi-1 q Xi ... Xn ⊢M X1X2 ... Xi-1 Yp Xi+1 ... Xn
+ Tương tự δ(q, Xi) = (p, Y, ∅) thì ta viết :
X1X2 ... Xi-1 q Xi ... Xn ⊢M X1X2 ... Xi-1 pY Xi+1 ... Xn
Chú ý rằng nếu i - 1 = n thì chuỗi Xi ... Xn là rỗng và vế phải dài hơn vế trái, nghĩa là
TM M mở rộng chuỗi ký hiệu trên băng.
Nếu hai ID được quan hệ nhau bởi ⊢M thì ta nói ID thứ hai là kết quả của ID thứ nhất
bằng một lần chuyển, một bước áp dụng hàm chuyển (hoặc nói cái thứ hai thu được
từ cái thứ nhất bằng một lần chuyển). Nếu một ID thu được từ ID khác bằng một số
*
lần chuyển (có thể bằng 0) thì ta ký hiệu quan hệ là ⊢M . Ta cũng có thể bỏ đi ký hiệu
M trong cách viết các quan hệ trên nếu không có nhầm lẫn.
Ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM
Ký hiệu L(M): tập hợp các chuỗi trong Γ* là nguyên nhân đưa TM M đi vào trạng thái
kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bên trái các ký hiệu trên băng của M với
trạng thái bắt đầu q0. Một cách hình thức, ta định nghĩa tập hợp ngôn ngữ được chấp
nhận bởi TM M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) là tập
*
L(M) = { w | w ∈ Γ* và q0 w ⊢M α1 p α2 với p ∈ F còn α1α2 ∈ Γ*}
Cho TM nhận diện một ngôn ngữ L là cho lần lượt các từ của L vào TM xem TM có
chấp nhận từ đó không. TM sẽ dừng và đi vào một trong những trạng thái kết thúc ∈
F (không có phép chuyển kế tiếp) khi từ được chấp nhận, nhưng nếu TM không chấp
nhận một từ nào đó thì TM có thể ngừng ở một trạng thái ∉ F hoặc cũng có thể nó
chạy mãi mà không dừng lại.
Thí dụ 7.1 : Thiết kế TM chấp nhận ngôn ngữ L = { 0n1n | n ≥ 1}
Khởi đầu TM chứa 0n1n bên trái nhất trên băng sau đó là vô hạn khoảng trống
Blank. TM lặp lại quá trình sau:
- M thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất, TM thay 1
này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X phải nhất nó chuyển sang
phải một ô (tới 0 trái nhất) rồi tiếp tục lặp một chu trình mới.
- Nếu trong khi dịch chuyển sang phải để tìm 1 mà TM gặp Blank thì TM dừng
và không chấp nhận input. Tương tự, khi TM đã thay hết 0 bằng X và kiểm tra còn 1
trên băng thì TM cũng dừng và không chấp nhận input.
- TM chấp nhận input nếu như cũng không còn ký hiệu 1 nào nữa trên băng.
Đặt TM M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) với các thành phần :
Q = {q0, q1, q2, q3, q4}; ∑= {0, 1}; Γ = {0, 1, X, Y, B} và F = {q4}.
112
Chương VII : Má y Turing
Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc một nhóm các câu
lệnh trong chương trình. Trạng thái q0 là trạng thái khởi đầu và nó làm cho ký hiệu 0
bên trái nhất thay bằng X. Trạng thái q1 được dùng để tiến sang phải bỏ qua các số 0
và Y để tìm 1 bên trái nhất. Nếu M tìm thấy 1 nó thay 1 bằng Y rồi đi vào trạng thái
q2. Trạng thái q2 đưa M tiến sang trái cho tới X đầu tiên và đi vào trạng thái q0, dịch
chuyển sang phải để tới 0 bên trái nhất và tiếp tục một chu trình mới. Khi M tiến sang
phải trong trạng thái q1, nếu B hoặc X được tìm thấy trước 1 thì input bị loại bỏ
(không chấp nhận) vì có chứa nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input không có dạng 0*1* .
Trạng thái q0 còn có vai trò khác. Nếu trạng thái q2 tìm thấy X bên phải nhất và
ngay sau đó là Y thì các số 0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái bắt đầu một chu trình
mới q0 không tìm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành X mà chỉ gặp Y thì TM đi vào
trạng thái q3 duyệt qua các Y để kiểm tra có hay không có ký hiệu 1 còn lại. Nếu theo
ngay sau các Y là B, nghĩa là trên băng nhập không còn ký hiệu 1 nào nữa thì TM sẽ
đi vào q4 (trạng thái kết thúc) để chấp nhận input. Ngược lại input bị loại bỏ.
Hàm chuyển δ được cho trong bảng sau :
Ký hiệu
δ
Trạng thái
0
1
-
X
-
-
Y
B
-
-
-
q0
q1
q2
q3
q4
(q1, X, R)
(q1, 0, R) (q2, Y, L)
(q2, 0, L)
(q3, Y, R)
(q1, Y, R)
-
-
-
(q0, X, R) (q2, Y, L)
-
-
-
-
(q3, Y, R)
-
(q4, B, ∅)
-
Các phép chuyển hình thái của TM M trên input 0011 :
q00011 ⊢ Xq1011 ⊢ X0q111 ⊢ X q20Y1 ⊢ q2X0Y1 ⊢ X q00Y1 ⊢ XXq1Y1 ⊢ XXY
q11 ⊢ XX q2YY ⊢ X q2XYY ⊢ XX q0YY ⊢ XXYq3Y ⊢ XXYYq3 ⊢ XXYYq4
Nhận xét: Như vậy, ta có thể dễ dàng thấy, TM khác với một ôtômát hữu hạn ở chỗ
đầu đọc-viết có thể dịch chuyển tự do trên băng, không những đọc mà còn có khả
năng viết trên băng và vùng làm việc còn có thể mở rộng theo yêu cầu phát sinh. TM
khác với ôtômát đẩy xuống ở chỗ nó không dùng thêm Stack như một bộ giữ nhớ mà
viết các ký hiệu cần ghi nhớ ngay trên băng.
II. NGÔN NGỮ VÀ "HÀM TÍNH ĐƯỢC"
Ngôn ngữ được chấp nhận bởi một máy Turing được gọi là ngôn ngữ đệ qui liệt kê -
recursively enumerable (r.e). Đó là một lớp ngôn ngữ rất rộng, nó thực sự chứa ngôn
ngữ phi ngữ cảnh CFL và một số ngôn ngữ mà không thể xác định các thành phần
một cách máy móc. Nếu L(M) là một ngôn ngữ như vậy thì bất kỳ một máy Turing
nào nhận diện L(M) cũng sẽ không dừng trên một số input không thuộc L(M). Nhưng
113
Chương VII : Má y Turing
nếu một chuỗi w ∈ L(M) thì chắc chắn TM dừng, tuy nhiên TM sẽ chạy bao lâu trên
input thì chúng ta không thể biết được và ta cũng không biết chắc chắn liệu TM có
dừng lại hay không. Một cách thuận lợi và có ý nghĩa hơn là xét một lớp con của lớp
ngôn ngữ đệ qui liệt kê, trong đó mọi ngôn ngữ đều được chấp nhận bởi ít nhất một
máy Turing dừng trên mọi input. Lớp ngôn ngữ này gọi là lớp ngôn ngữ đệ qui -
recursive sets.
Máy Turing như là một máy tính hàm số nguyên
Máy Turing cũng có thể được xem như là một máy tính của các hàm số nguyên (đi từ
tập số nguyên đến tập số nguyên). Mỗi số nguyên ta viết dưới dạng số trong hệ nhất
phân (unary), tức là với một số i ≠ 0 ta viết thành chuỗi 0i (gồm i chữ số 0). Nếu hàm
f có k đối số i1, i2, ..., ik thì ta viết lần lượt các số nguyên này trên băng của TM ngăn
cách nhau bởi 1, nghĩa là input có dạng 0i110i21 ... 10ik. Nếu TM dừng (chấp nhận
hoặc không chấp nhận input) với băng 0m thì ta nói f (i1, i2, ..., ik ) = m.
Chú ý rằng ta cũng có thể tính được hàm chỉ có một đối số. Nếu f xác định với mọi bộ
đối số i1, i2, ..., ik thì ta gọi f là hàm đệ qui toàn bộ. Một hàm f tính được bởi máy
Turing ta gọi là hàm đệ qui bộ phận. Hàm đệ qui bộ phận tương tự như ngôn ngữ đệ
qui liệt kê bởi vì nó tính được bởi máy Turing nhưng có thể không dừng với một số
đối số nào đó. Hàm đệ qui toàn bộ tương tự như ngôn ngữ đệ qui vì TM sẽ dừng trên
mọi input.
Thí dụ 7.2 : Thiết kế máy Turing tính toán phép trừ riêng
Ta định nghĩa phép trừ riêng (proper subtraction) như sau :
m - n
0
nếu m ≥ n
nếu m < n
f(m, n) = m\ n
. Input : 0m10n
. Output : 0 m\ n
M lặp lại việc thay thế lần lượt từng số 0 ở đầu băng bằng B rồi tiến sang phải,
ra sau 1 tìm 0 và thay 0 này bằng 1. M lại chuyển sang trái cho đến khi gặp B đầu tiên
thì dừng lại, trở về trạng thái bắt đầu và tiếp tục vòng lặp như trên. M dừng nếu :
i) Khi sang phải tìm 0 bên phải, M gặp B. Lúc này M đã thay n số 0 bên phải
chuỗi input 0m10n thành 1 và n + 1 số 0 bên trái thành B, trường hợp này xảy ra khi
trong chuỗi input có m > n. Do vậy M phải thay lại tất cả n + 1 số 1 sau thành B, và
sau đó dịch trái thay trả lại một B về thành 0, cuối cùng trên băng còn lại kết quả phép
trừ là m - n số 0.
ii) Khi bắt đầu một vòng lặp mới, M không tìm thấy 0 để đổi thành B, lúc này m
số 0 đầu đã bị đổi thành B, trường hợp này xảy ra khi n ≤ m. Khi đó, M thay tất cả
các số 1 và 0 trên băng thành B để cho kết quả phép trừ là 0 (biểu diễn gồm toàn ký
hiệu B trong hệ nhất phân).
Ta xây dựng TM như sau: M ({q0, q1, ..., q6}, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q0, B, {q6})
M sẽ bắt đầu bằng 0m10n trên băng và kết thúc với 0m\ n trên băng. Các phép
chuyển trạng thái được định nghĩa như sau :
1)
δ(q0, 0) = (q1, B, R)
114
Chương VII : Má y Turing
M thay 0 đầu băng bởi B.
2)
δ(q1, 0) = (q1, 0, R)
δ(q1, 1) = (q2, 1, R)
M di chuyển sang phải qua 0 tìm 1.
3)
δ(q2, 1) = (q2, 1, R)
δ(q2, 0) = (q3, 1, L)
M di chuyển sang phải vượt qua 1 đến khi gặp 0, đổi 0 thành 1.
4)
δ(q3, 0) = (q3, 0, L)
δ(q3, 1) = (q3, 1, L)
δ(q3, B) = (q0, B, R)
M dịch trái tới khi gặp B, trở về trạng thái q0 và bắt đầu một vòng lặp mới.
5)
δ(q2, B) = (q4, B, L)
δ(q4, 1) = (q4, B, L)
δ(q4, 0) = (q4, 0, L)
δ(q4, B) = (q6, 0, ∅)
Nếu ở trạng thái q2 sang phải tìm 0 để thay thành 1 nhưng chỉ gặp B thì ta xét
trường hợp kết thúc i) ở trên: TM đi vào trạng thái q4 và chuyển sang trái đổi tất cả 1
thành B cho tới khi gặp một B bên trái đầu tiên. B này sẽ được thay lại thành 0 rồi M
đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng.
6)
δ(q0, 1) = (q5, B, R)
δ(q5, 0) = (q5, B, R)
δ(q5, 1) = (q5, B, R)
δ(q5, B) = (q6, B, ∅)
Nếu ở trạng thái bắt đầu vòng lặp mới q0 gặp 1 thay vì gặp 0, thì khối các số 0
bên trái đã xét hết, đây là trường hợp kết thúc ii) nêu trên: TM sẽ đi vào trạng thái q5,
xoá phần còn lại của băng rồi đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng.
Chẳng hạn TM tính toán phép trừ 2\1 (tức input 0010 ) như sau :
q00010 ⊢ B q1010 ⊢ B0q110 ⊢ B01q20 ⊢ B0q311 ⊢ Bq3011 ⊢ q3B011 ⊢ Bq0011 ⊢
BBq111 ⊢ BB1q21 ⊢ BB11q2 ⊢ BB1q41 ⊢ BBq41 ⊢ Bq4 ⊢ Bq 0
6
Nếu cho TM tính toán 1\2 (tức input 0100) :
q00100 ⊢ Bq1100 ⊢ B1q200 ⊢ Bq3110 ⊢ q3B110 ⊢ Bq0110 ⊢ BBq510 ⊢ BBBq50 ⊢
BBBBq5 ⊢ BBBBq
6
III. CÁC KỸ THUẬT XÂY DỰNG MÁY TURING
Việc xây dựng máy Turing bằng cách viết (liệt kê) tất cả các hàm chuyển của nó trên
băng nhập có thể là một công việc đơn điệu. Để mô tả đầy đủ cách xây dựng máy
Turing, ta cần một vài công cụ "cấp cao" hơn. Phần này sẽ trình bày một số công cụ
tổng quát :
115
Chương VII : Má y Turing
3.1. Lưu trữ trong bộ điều khiển (Storage in the finite control)
Bộ điều khiển có thể dùng để lưu trữ một lượng hữu hạn thông tin. Để làm như thế, ta
viết mỗi trạng thái như là một cặp các phần tử: một thành phần để điều khiển, thành
phần kia lưu giữ 1 ký hiệu. Chú ý rằng, đây chỉ là một cách mở rộng trên khái niệm
chứ không thay đổi định nghĩa máy Turing.
Thí dụ 7.3 : Xét máy Turing M nhận vào ký hiệu đầu tiên trên chuỗi nhập (viết trên
bộ chữ cái {0, 1}), lưu trữ vào bộ điều khiển và kiểm tra rằng ký hiệu này không có
xuất hiện ở vị trí nào khác trên chuỗi nữa hay không ?.
Ta xây dựng TM M (Q, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, [q0, B], B, F}), trong đó tập trạng
thái Q bao gồm các trạng thái dạng một cặp thành phần {q0, q1} × {0, 1, B}, tức là Q
gồm chứa các trạng thái [q0, 0], [q0, 1], [q0, B], [q1, 0], [q1, 1] và [q1, B]. Trong mỗi
cặp này thành phần thứ nhất ghi trạng thái điều khiển, thành phần thứ hai ghi nhớ ký
hiệu. Ta định nghĩa hàm chuyển δ như sau:
1)
δ([q0, B], 0) = ([q1, 0], 0, R)
δ([q0, B], 1) = ([q1, 1], 1, R)
Bắt đầu từ trạng thái [q0, B], TM đọc và lưu trữ ký hiệu đầu tiên trên băng vào
thành phần thứ hai trong bộ điều khiển.
2)
δ([q1, 0], 1) = ([q1, 0], 1, R)
δ([q1, 1], 0) = ([q1, 1], 0, R)
Nếu các ký hiệu được đọc tiếp theo không giống với ký hiệu đang lưu trữ thì
tiếp tục di chuyển sang phải.
3)
δ([q1, 0], B) = ([q1, B], 0, ∅)
δ([q1, 1], B) = ([q1, B], 0, ∅)
M đi vào trạng thái kết thúc [q1, B] khi gặp Blank.
M sẽ đi vào trạng thái kết thúc nếu nó tiến đến gặp ký hiệu B mà không có ký
hiệu nào giống với ký hiệu đầu tiên đang được lưu trữ trong bộ điều khiển. Vậy nếu
M tiến đến B ở trạng thái [q1, 0] hoặc [q1, 1] thì input được chấp nhận. Ngược lại, ở
trạng thái [q1, 0] và gặp 0 hoặc ở trạng thái [q1, 1] và gặp 1 thì M dừng và không chấp
nhận chuỗi input vì không có hàm chuyển trạng thái để xác định các bước chuyển
này.
Một cách tổng quát, ta có thể xem bộ điều khiển gồm k thành phần trong đó một
thành phần giữ trạng thái điều khiển và các thành phần kia (k-1 thành phần) dùng lưu
giữ thông tin.
3.2. Nhiều rãnh trên băng (Multiple tracks)
116
Chương VII : Má y Turing
Một cách mở rộng khác, ta cũng có thể xem băng của TM được chia thành k thành
phần, với k > 1 và hữu hạn. Một ký hiệu trên băng được xét là một bộ gồm k ký hiệu,
mỗi ký hiệu nằm trên một rãnh.
Thí dụ 7.4 : Thiết kế TM nhận vào một số nguyên n (viết ở dạng nhị phân) và kiểm
tra xem đó có phải là số nguyên tố hay không ?
Ta dùng băng 3 rãnh như hình 7.2 với nguyên tắc sau :
Số n ở dạng nhị phân được đưa vào trên rãnh 1 và được bao bởi cặp dấu ⊄ và
$. Như vậy các ký hiệu được phép ghi trên băng là [⊄, B, B], [0, B, B], [1, B, B] và
[$, B, B]. Các ký hiệu này tương ứng với ⊄, 0, 1, $ khi xem chúng là ký hiệu nhập.
Ký hiệu Blank là [B, B, B].
Viết số 2 dạng nhị phân trên rãnh 2 (tức 10)
Chép rãnh 1 vào rãnh 3 sau đó lấy rãnh 3 trừ rãnh 2 nhiều lần nhất có thể được
(thực hiện việc chia số cần kiểm tra cho số trên rãnh 2, lấy phần dư)
Xét số còn lại (số dư) :
- Nếu số còn lại là 0 thì input không là số nguyên tố (vì nó chia hết cho số trên
rãnh 2)
- Nếu số còn lại khác 0 thì tăng số trên rãnh 2 thêm một đơn vị: nếu số trên
rãnh 2 bằng số trên rãnh 1 (số n) thì input n là số nguyên tố vì n đã không chia hết cho
bất kỳ số nào từ 2 đến n -1. Nếu số trên rãnh 2 nhỏ hơn số trên rãnh 1 thì ta lặp lại quá
trình trên với số mới trên rãnh 2.
⊄
B
B
1
B
1
0
B
0
1
B
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
$
B
B
B
B
B
B
B
B
Bộ điều khiển
Hình 7.2 - TM với băng 3 rãnh
Hình 7.2 trên mô tả một TM với k = 3, kiểm tra số n = 47 viết trên rãnh 1 dưới
dạng nhị phân, TM đang thực hiện phép chia 47 cho 5. Nó đã trừ 2 lần số 5 vào số 47,
vậy ở rãnh 3 hiện đang có số 37.
3.3. Đánh dấu ký hiệu (Checking off symbols)
Kỹ thuật đánh dấu thường dùng để nhận diện các ngôn ngữ được định nghĩa bằng
cách lặp lại chuỗi chẳng hạn như {ww | w ∈ ∑*}; {wcy | w, y ∈ ∑*, w ≠ y} hoặc
{wwR | w ∈ ∑*} hoặc các ngôn ngữ có độ dài các chuỗi con cần được so sánh, như
{aibi | i ≥ 1} hoặc {aibjck | i = j hoặc j = k}.
117
Chương VII : Má y Turing
Ta dùng một rãnh mở rộng trên băng để giữ ký hiệu đánh dấu √. Ký hiệu √ xuất hiện
khi ký hiệu trên rãnh ngay bên dưới nó đã hoặc đang được xét bởi TM.
Thí dụ 7.5 : Xét máy Turing M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) nhận diện ngôn ngữ L có dạng
{wcw | w ∈ (a+b)+} với các thành phần như sau :
Q = {[q, d] | q = q1, ..., q9 và d = a, b hoặc B} = {q1, ..., q9} × {a, b, B} (thành
phần thứ hai của các trạng thái dùng để lưu trữ ký hiệu nhập)
∑ = {[B, d] | d = a, b, c} (ký hiệu nhập [B, d] được xác định bởi d)
Γ = {[X, d] | X = B hoặc √ ; d = a, b, c hoặc B}.
q0 = [q1, B]
B = [B, B] được định nghĩa là B, ký hiệu Blank.
F = {[q9, B]}.
Với d = a hoặc b; e = a hoặc b, ta định nghĩa hàm chuyển δ như sau:
1)
M đánh dấu ký hiệu được duyệt trên băng, lưu trữ vào bộ điều khiển và dịch
chuyển sang phải.
2) δ([q2, d], [B, e]) = ([q2, d], [B, e], R)
M tiếp tục dịch phải trên các ký hiệu chưa đánh dấu và tìm c.
3) δ([q2, d], [B, c]) = ([q3, d], [B, c], R)
Khi tìm thấy c, M đi vào trạng thái mà thành phần đầu tiên là q3.
4) δ([q3, d], [√, e]) = ([q3, d], [√, e], R)
M dịch phải qua các ký hiệu đã đánh dấu.
5) δ([q3, d], [B, d]) = ([q4, B], [√, d], L)
δ([q1, B], [B, d]) = ([q2, d], [√, d], R)
M gặp ký hiệu chưa đánh dấu. Nếu ký hiệu chưa đánh dấu giống với ký hiệu
đang lưu trong bộ điều khiển thì M đánh dấu rồi dịch trái. Nếu ký hiệu không giống
ký hiệu lưu trong bộ điều khiển thì M không dịch chuyển nữa và không chấp nhận
input. M cũng dừng nếu ở trạng thái q3 và gặp ký hiệu [B, B] trước khi gặp ký hiệu
chưa đánh dấu.
6)
M dịch trái trên các ký hiệu đã đánh dấu.
7) δ([q4, B], [B, c]) = ([q5, B], [B, c], L)
M gặp ký hiệu c.
δ([q4, B], [√, d]) = ([q4, B], [√, d], L)
8)
δ([q5, B], [B, d]) = ([q6, B], [B, d], L)
Nếu ký hiệu ngay bên trái c chưa được đánh dấu thì M tiến sang trái để tìm ký
hiệu bên phải nhất đã được đánh dấu.
9)
δ([q6, B], [B, d]) = ([q6, B], [B, d], L)
M tiếp tục dịch chuyển sang trái.
10) δ([ q6, B], [√, d]) = ([q1, B], [√, d], R)
M gặp ký hiệu đã đánh dấu, nó dịch phải để lấy ký hiệu chưa đánh dấu bên
cạnh và tiếp tục vòng lặp so sánh. Khi đó, thành phần thứ 1 lại trở thành q1.
11) δ([q5, B], [√, d]) = ([q7, B], [√, d], R)
M ở trạng thái [q5, B] ngay sau khi vượt sang trái c. Nếu ký hiệu xuất hiện
ngay trước c đã được đánh dấu thì tất cả các ký hiệu trước c đều đã được đánh dấu. M
118
Chương VII : Má y Turing
phải kiểm tra xem bên phải c còn có ký hiệu nào chưa được đánh dấu hay không. Nếu
không còn ký hiệu nào thì M chấp nhận input.
12) δ([q7, B], [B, c]) = ([q8, B], [B, c], R)
M dịch sang phải c.
13) δ([q8, B], [√, d]) = ([q8, B], [√, d], R)
M tiếp tục dịch sang phải trên các ký hiệu đã được đánh dấu.
14) δ([q8, B], [B, B]) = ([q9, B], [√, B], ∅)
M tìm gặp Blank, nó dừng và chấp nhận chuỗi. Nếu M gặp ký hiệu chưa được
đánh dấu khi thành phần thứ 1 là q8 thì nó dừng và không chấp nhận.
3.4. Dịch qua (Shifting over)
Máy Turing có thể tạo ra một không gian trống trên băng bằng cách dời các ký hiệu
không trống trên băng đi sang phải hữu hạn ô. Để làm điều đó đầu đọc phải thực hiện
dịch phải, lặp lại việc lưu ký hiệu đọc được vào bộ điều khiển và thay thế chúng bằng
ký hiệu đọc được ở ô bên trái. Nếu có đủ ô trống, TM cũng có thể chuyển dịch một
khối ký hiệu sang trái một cách tương tự.
Thí dụ 7.6 : Xây dựng TM M(Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) dịch toàn bộ các ký hiệu không
trống trên băng sang phải 2 ô.
Ta giả sử không có Blank giữa các ký hiệu không trống, vì vậy khi đầu đọc
gặp Blank thì nó đã dịch xong các ký hiệu khác trống trên băng. Tập các trạng thái Q
chứa các phần tử dạng [q, A1, A2] với q = q1 hoặc q2 và A1, A2 ∈ Γ. Gọi X là một ký
hiệu đặc biệt được chấp nhận trên băng của M, nó không được sử dụng với mục đích
nào khác ngoài quá trình dịch chuyển trên băng. M bắt đầu với trạng thái [q1, B, B] và
hàm chuyển thực hiện như sau:
Với Ai ∈ Γ - {B, X}
1)
δ([q1, B, B], A1) = ([q1, B, A1], X, R)
M lưu ký hiệu đọc đầu tiên vào thành phần thứ 3 trong bộ điều khiển, ghi X
vào ô đang đọc rồi dịch sang phải.
2)
δ([q1, B, A1], A2) = ([q1, A1, A2], X, R)
M chuyển ký hiệu ở thành phần thứ 3 sang thành phần thứ 2, lưu trữ ký hiệu
đọc được vào thành phần thứ 3, viết X vào ô đang đọc rồi dịch sang phải.
3)
δ([q1, A1, A2], A3) = ([q1, A2, A3], A1, R)
Bắt đầu từ bước chuyển này, M lần lượt đọc vào một ký hiệu, ghi nó vào thành
phần thứ 3, chuyển ký hiệu được ghi trước đó ở thành phần thứ 3 sang thành phần thứ
2, chép lại ký hiệu ở thành phần thứ 2 vào ô đang đọc rồi dịch sang phải.
4)
5)
δ([q1, Ai - 2, Ai – 1], Ai) = ([q1, Ai - 1, Ai], Ai - 2, R)
δ([q1, An - 1, An], B) = ([q2, An, B], An - 1, R)
Cho đến khi M gặp B, nó dốc nốt 2 ký hiệu cuối đang giữ trong bộ nhớ để bắt
đầu đi vào trạng thái kết thúc.
6)
δ([q2, An, B], B) = ([q2, B, B], An, L)
119
Chương VII : Má y Turing
Cuối cùng, tất cả các ký hiệu không trống trên băng đã được chuyển dịch sang
phải 2 ô. Lúc đó nó sẽ được chuyển sang một trạng thái nào đó (có thể quay về trái,
trở về đầu băng) để thực hiện một chức năng khác.
3.5. Chương trình con (Subroutines)
Cũng giống như một chương trình máy tính hiện đại, máy Turing có thể đóng vai trò
tương tự như bất kỳ một kiểu chương trình con nào trong ngôn ngữ lập trình bao gồm
thủ tục đệ qui hoặc có tham số. Ý tưởng chung là ta viết một phần chương trình của
TM như là một chương trình con. Nó sẽ được thiết kế có chứa một trạng thái khởi đầu
và một trạng thái trở về, trạng thái trở về là trạng thái không có phép chuyển kế tiếp
và nó sẽ đóng vai trò là trạng thái khởi đầu của một TM khác hoặc là một trạng thái
nào đó trong một TM khác. Nghĩa là từ trạng thái trở về của TM này ta tiếp tục các
phép chuyển của một TM khác, sự kiện này có ý nghĩa như là gọi một chương trình
con khác hoặc tiếp tục thực hiện chương trình cấp trên. Lưu ý, các trạng thái của
chương trình con phải phân biệt với chương trình cấp trên của nó.
Thí dụ 7.7 : Thiết kế TM thực hiện phép nhân 2 số nguyên m, n.
. Input : 0m10n
. Output : 0m × n
M bắt đầu với 0m10n trên băng và kết thúc với 0m × n trên băng được bao quanh
bởi các Blank.
Ý tưởng chung là đặt thêm số 1 sau 0m10n rồi chép khối n số 0 sang phải m lần
mỗi lần xoá một con 0 bên trái của 0m. Ta được kết quả cuối cùng là 10n10m × n . Bây
giờ ta chỉ việc xoá 10n1 ta sẽ được kết quả 0m × n
.
Phần chính của giải thuật trên là thủ tục COPY để chép n số 0 sang phải. Thủ
tục này được xác định bằng các hàm chuyển sau:
0
1
2
B
q1 (q2, 2, R) (q4, 1, L)
q2 (q2, 0, R) (q2, 1, R)
(q3, 0, L)
q3 (q3, 0, L) (q3, 1, L) (q1, 2, R)
q4
(q5, 1, R) (q4, 0, L)
Ở trạng thái q1 nhìn thấy 0, M đổi 0 thành 2 và đi vào trạng thái q2. Ở trạng
thái q2, M dịch phải tới Blank viết 0 rồi dịch trái trong trạng thái q3. Khi ở trạng thái
q3 mà gặp 2, M đi vào trạng thái q1 để tiếp tục lặp lại quá trình trên cho tới khi gặp 1.
Trạng thái q4 được dùng để biến đổi 2 thành 0 và thủ tục dừng tại q5.
Để làm đầy đủ chương trình ta phải thêm các trạng thái để biến đổi hình thái
khởi đầu q00m10n thành B0m-11q10n1. Tức là ta cần ba qui tắc:
δ(q0, 0) = (q6, B, R)
δ(q6, 0) = (q6, 0, R)
δ(q6, 1) = (q1, 1, R)
120
Chương VII : Má y Turing
Sau đó, ta lại thêm các phép chuyển và trạng thái cần thiết để biến đổi từ hình
thái Bi0m-i1q50n10n × i thành Bi+10m-i-11q10n10n × i là trạng thái bắt đầu lại việc COPY,
đồng thời kiểm tra i = m hay không (khi tất cả các 0 của 0m đã bị xoá). Nếu i = m thì
10n1 bị xoá và quá trình tính toán sẽ dừng ở trạng thái q12. Các hàm chuyển bổ sung
như sau :
0
1
2
B
q5
q7
(q7, 0, L)
(q8, 1, L)
q8
q9
(q9, 0, L)
(q9, 0, L)
(q10, B, R)
(q0, B, R)
q10
(q11, B, R)
q11 (q11, B, R)
(q12, B,∅)
IV. CÁC BIẾN DẠNG CỦA MÁY TURING
Sau đây, ta sẽ xét thêm một số dạng khác của máy Turing, chúng có vẻ phức tạp và
tinh vi hơn, song thực tế chúng cũng đều tương đương với mô hình TM cơ bản đã
định nghĩa ở trên.
4.1. Máy Turing với băng vô hạn 2 chiều
Máy Turing với băng vô hạn hai chiều cũng tương tự như mô hình gốc (TM vô hạn
một chiều băng), chỉ khác là băng của nó không có cận trái như mô hình gốc, nghĩa là
ta xem như TM có vô hạn Blank ở cả hai đầu băng. Vì thế hàm δ được mở rộng thêm
bằng cách xét thêm các trường hợp đặc biệt tại cận trái như sau :
Nếu δ(q, X) = (p, Y, L) thì qXα ⊢ pBYα
Nếu δ(q, X) = (p, B, R) thì qXα ⊢ pα
ĐỊNH LÝ 7.1 : Nếu L được nhận diện bởi TM với băng vô hạn hai chiều thì L
cũng được nhận diện bằng TM vô hạn một chiều băng
Chứng minh
Gọi M2 là TM với băng vô hạn hai chiều M2 (Q2, Σ2, Γ2, δ2, q2, B, F2) nhận
diện L. Ta xây dựng M1 là TM vô hạn một chiều băng nhận diện L. Băng của M1 có 2
rãnh:
- Rãnh trên biểu diễn cho băng của M2 phía phải đầu đọc lúc khởi đầu.
- Rãnh dưới biểu diễn cho băng phía trái đầu đọc lúc khởi đầu theo thứ tự
ngược lại.
... A-5 A-4 A-3 A-2 A-1 A0 A1 A2 A3 A4 A5 ...
121
Chương VII : Má y Turing
(a) - Băng của M2
A0 A1 A2 A3 A4 A5 ...
A-1 A-2 A-3 A-4 A-5 ...
⊄
(b) - Băng của M1
Hình 7.3 - Băng nhập của TM M2 và M1
M1 thực hiện các phép chuyển tương tự như M2 nhưng khi M2 thực hiện các
phép chuyển phía phải đầu đọc thì M1 làm việc với rãnh trên, khi M2 thực hiện các
phép chuyển bên trái đầu đọc thì M1 làm việc ở rãnh dưới
Một cách hình thức M1 (Q1, Σ1, Γ1, δ1, q1, B, F1), trong đó :
Q1 là tập hợp các đối tượng dạng [q, U] hoặc [q, D], trong đó q là trạng thái
trong Q2, còn U, D dùng chỉ rằng M1 đang làm việc với rãnh trên (Up) hay rãnh dưới
(Down). Các ký hiệu băng của M1 (các ký hiệu thuộc Γ1) có dạng [X, Y] trong đó X,
Y thuộc Γ2, hơn nữa Y có thể là ⊄ là ký hiệu không có trong Γ2 dùng để đánh dấu ô
trái nhất trên băng của M1 .
Σ1 là tập hợp các đối tượng dạng [a, B] trong đó a ∈ Γ2.
F1 = {[q, U], [q, D]⎟ q ∈ F2}.
Hàm chuyển δ1 có dạng như sau:
1)
δ1(q1, [a, B]) = ([q, U], [X, ⊄], R)
nếu δ2(q2, a) = (q, X, R)
Nếu M2 chuyển sang phải trong lần chuyển đầu tiên thì M in ⊄ trên rãnh dưới,
ghi nhớ U vào thành phần thứ hai của trạng thái và dịch phải. Thành phần thứ nhất
của trạng thái lưu trạng thái của M2. M1 in X (ký hiệu mà M2 in ra) ở rãnh trên.
2)
∀a ∈ Σ2 U {B} :
δ1(q1, [a, B]) = ([q, D], [X, ⊄], R) nếu δ2(q2, a) = (q, X, L)
Nếu M2 chuyển sang trái trong lần chuyển đầu tiên thì M1 in ⊄ trên rãnh dưới,
ghi nhớ D vào thành phần thứ hai của trạng thái và dịch phải. Thành phần thứ nhất
của trạng thái lưu trạng thái của M2. M1 in X (ký hiệu mà M2 in ra) ở rãnh trên.
3)
∀ [X, Y] ∈Γ1, với Y ≠ ⊄ và A = L hoặc R :
δ1([q, U], [X, Y]) = ([p, U], [Z, Y], A) nếu δ2(q, X) = (p, Z, A)
M1 ở rãnh trên thực hiện tương tự như M2.
4)
δ1([q, D], [X, Y]) = ([p, D], [X, Z], A) nếu δ2(q, Y) = (p,Z, A )
(Trong đó nếu A = L thì A = R và nếu A = R thì A = L)
Ở rãnh dưới, M1 làm tương tự M2 nhưng dịch chuyển đầu đọc theo hướng
ngược lại.
5)
δ1([q, U], [X, ⊄]) = δ1([q, D], [X, ⊄]) = ([p, C], [Y,⊄], R]
nếu δ2(q, X) = (p, Y, A)
(Trong đó C = U nếu A = R, C = D nếu A = L)
M1 làm tương tự M2 ở ô khởi đầu, công việc tiếp theo của M1 thực hiện ở rãnh
trên hay dưới phụ thuộc vào hướng chuyển đầu đọc của M2.
122
Chương VII : Má y Turing
4.2. Máy Turing với nhiều băng vô hạn hai chiều
Xét máy Turing có một bộ điều khiển có k đầu đọc và k băng vô hạn hai chiều. Mỗi
phép chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào trạng thái của bộ điều khiển và ký tự đọc
được tại mỗi đầu đọc, nó có thể thực hiện các bước sau :
1) Chuyển trạng thái.
2) In ký hiệu mới tại mỗi đầu đọc để thay thế ký hiệu vừa đọc.
3) Đầu đọc có thể giữ nguyên vị trí hoặc dịch trái hoặc dịch phải 1 ô một cách
độc lập nhau.
Khởi đầu input xuất hiện trên băng thứ nhất, các băng khác chỉ toàn Blank.
Một máy Turing như vậy gọi là máy Turing với nhiều băng vô hạn hai chiều.
ĐỊNH LÝ 7.2 : Nếu L được nhận dạng bởi máy Turing nhiều băng vô hạn hai
chiều thì nó cũng được nhận dạng bởi máy Turing một băng vô hạn hai chiều.
Chứng minh
Giả sử L được nhận diện bởi máy Turing k băng vô hạn hai chiều M1, ta xây
dựng máy Turing M2 một băng với 2k rãnh, 2 rãnh sẽ mô phỏng một băng của M1
bằng cách: một rãnh giữ ký hiệu trên băng của M1 một rãnh kia giữ ký hiệu đánh dấu
vị trí đầu đọc.
Mỗi phép chuyển của M1 được mô phỏng bằng M2 như sau:
M2 xuất phát tại vị trí trái nhất chứa ký hiệu đánh dấu đầu đọc, M2 quét sang
phải, khi qua mỗi ô có đánh dấu vị trí đầu đọc nó ghi nhớ ký hiệu tại vị trí này và đếm
số vị trí đầu đọc đã gặp. Khi M2 đi sang phải và đã đếm đủ k đầu đọc thì nó đã có đủ
thông tin để xác định phép chuyển tương tự như M1, M2 lại quét từ phải sang trái, khi
đi ngang qua mỗi ô có đánh dấu đầu đọc nó in ký hiệu thay thế ký hiệu tại đầu đọc
(như M1) chuyển vị trí đánh dấu đầu đọc (như M1 chuyển đầu đọc của nó). Cuối cùng
M2 đổi trạng thái trong bộ điều khiển của nó thành trạng thái mà M1 chuyển tới.
Bộ điều khiển
... A1 A2 ...
.. . Am ..
.
... B1 B2 .. . Bi .. . Bm ...
... C1 C2 .. . .. . Cm ...
Đầu đọc 1
X
Băng 1 A1 A2 . . .
Đầu đọc 2
. . . Am
X
Băng 2 B1 B2 . . . Bi . . . Bm
Đầu đọc 3 X
123
Chương VII : Má y Turing
Băng 3 C1 C2 . . .
. . . Cm
Hình 7.4 - Máy Turing 1 băng mô phỏng máy Turing 3 băng
Thí dụ 7..8 : Ngôn ngữ {ww ⎜w ∈ (0+1)*} có thể được chấp nhận bởi một máy
Turing có 2 băng bằng cách như sau: Đầu tiên, nó chép lại chuỗi nhập ở băng thứ nhất
lên băng thứ hai. Sau đó, trên băng thứ nhất đầu đọc chuyển dần từ cận trái sang cận
phải của chuỗi, trong khi trên băng thứ hai đầu đọc lại chuyển ngược lại từ cận phải
sang cận trái của chuỗi đó. Chuỗi được chấp nhận nếu suốt quá trình đó, các ký hiệu
đọc được trên 2 băng luôn luôn đồng nhất.
Như ta đã biết, để đoán nhận ngôn ngữ này bằng TM một băng thì đầu đọc
phải dịch chuyển tới lui rất nhiều lần để so sánh hai nửa của chuỗi nhập từ cả hai đầu
băng. Như vậy, số bước dịch chuyển của nó xấp xỉ bằng bình phương độ dài chuỗi
nhập, trong khi TM với 2 băng nhập chỉ cần thực hiện số bước chuyển tỷ lệ với độ dài
của chuỗi nhập.
4.3. Máy Turing không đơn định
Máy Turing không đơn định có mô hình tương tự như mô hình gốc nhưng điểm khác
biệt ở chỗ là trong mỗi lần chuyển, máy Turing có thể lựa chọn một trong một số hữu
hạn các trạng thái kế tiếp, lựa chọn hướng chuyển đầu đọc, và lựa chọn ký hiệu in ra
trên băng để thay thế ký hiệu vừa đọc được. Máy Turing trong mô hình gốc còn gọi
là máy Turing đơn định.
ĐỊNH LÝ 7.3 : Nếu L được chấp nhận bởi máy Turing không đơn định M1 thì L
cũng được chấp nhận bởi một máy Turing đơn định M2 nào đó.
Chứng minh
Với một trạng thái và một ký hiệu băng bất kỳ của M1, có một số hữu hạn các
phép chuyển đến trạng thái kế tiếp, ta có thể đấnh số các trạng thái này là 1, 2, ... Gọi
r là số lớn nhất của số các cách lựa chọn với một cặp trạng thái và ký kiệu bất kỳ. Ta
có, mọi dãy các phép chuyển trạng thái đều được chỉ ra bằng một dãy chứa các số từ
1 đến r. Ngược lại một dãy hữu hạn bất kỳ gồm các số từ 1 đến r có thể biểu diễn cho
một dãy các phép chuyển nào đó cũng có thể không. M2 được thiết kế có ba băng:
Băng 1 chứa input
Băng 2 sinh ra dãy chứa các số từ 1 đến r một cách tự động theo tính chất dãy
ngắn sinh ra trước, nếu các dãy cùng độ dài thì nó sinh ra theo thứ tự liệt kê số
(numerical order).
Băng 3 dùng chép input trên băng 1 vào để xử lý: với mỗi số sinh ra trên băng
2, M2 chép input trên băng 1 vào băng 3 và thực hiện các phép chuyển theo dãy số
trên băng 2.
Nếu có một chuỗi nào đó trên băng 2 làm cho M2 đi vào trạng thái kết thúc thì
M2 dừng và chấp nhận input. Nếu không có chuỗi nào như vậy thì M2 không chấp
nhận input. Tất nhiên M2 chấp nhận input khi và chỉ khi M1 chấp nhận input.
124
Chương VII : Má y Turing
4.4. Máy Turing nhiều chiều
Máy Turing nhiều chiều gồm một bộ điều khiển hữu hạn, nhưng băng của nó là một
mảng k chiều vô hạn về cả 2k phía. Với một số k nào đó, phụ thuộc vào trạng thái và
một ký hiệu được đọc, máy thay đổi trạng thái, in một ký hiệu mới tại ô đang đọc và
dịch chuyển đầu đọc theo một trong 2k phía.
ĐỊNH LÝ 7.4: Nếu L được chấp nhận bởi máy Turing k chiều M1 thì L cũng
được chấp nhận bởi một máy Turing một chiều M2 nào đó.
(Phần chứng minh, xem như bài tập)
4.5. Máy Turing nhiều đầu đọc
Máy Turing nhiều đầu đọc có k đầu đọc được đánh số từ 1 đến k với k là một số hữu
hạn nào đó, nhưng chỉ có một băng input. Một phép chuyển của máy Turing phụ
thuộc vào trạng thái và các ký tự được đọc bởi mỗi đầu băng. Mỗi đầu dịch chuyển
một cách độc lập sang trái, sang phải hoặc đứng yên.
ĐỊNH LÝ 7.5 : Nếu L được chấp nhận bởi máy Turing k đầu đọc M1 thì L cũng
được chấp nhận bởi một máy Turing một đầu đọc M2 nào đó.
(Phần chứng minh, xem như bài tập)
V. GIẢ THUYẾT CHURCH
Giả thuyết rằng khái niệm trực giác “Hàm tính được” (computable function) có thể
được định nghĩa bằng lớp các hàm đệ quy bộ phận là giả thuyết Church hay còn được
gọi là luận đề Church - Turing. Trong khi chúng ta không thể hy vọng để chứng minh
giả thuyết Church cũng như những định nghĩa không hình thức về “sự tính được”,
chúng ta có thể cho những dẫn chứng về những khả triển của chúng. Trong một thời
gian dài, khái niệm trực giác về “sự tính được” đặt không giới hạn trên số bước hoặc
tổng số các lưu trữ, có vẻ như các hàm đệ quy bộ phận thì có thể tính được một cách
trực giác mặc dù cũng có một số hàm không thể tính được trừ khi ta đặt giới hạn cho
việc tính toán sau đó hoặc ít nhất thiết lập được liệu có hay không có phép tính cuối
cùng.
Điều còn không rõ là liệu lớp các hàm đệ quy bộ phận có thể bao hàm tất cả mọi
“hàm tính được”. Những nhà logic học đã đưa ra nhiều công thức khác, chẳng hạn
như phép tính-λ, hệ thống Post và các hàm đệ quy tổng quát. Tất cả chúng được định
nghĩa cùng một lớp hàm, cụ thể là hàm đệ quy bộ phận. Hơn nữa, các mô hình máy
125
Chương VII : Má y Turing
tính trừu tượng, chẳng hạn như mô hình RAM (Random Access Machine) cũng được
xem xét như một hàm đệ quy bộ phận.
Mô hình RAM bao gồm một số vô hạn các từ nhớ, đánh số 0, 1, ..., mỗi một từ nhớ
có thể lưu giữ một số nguyên bất kỳ và một số hữu hạn các thanh ghi số học cũng có
khả năng giữ các số nguyên bất kỳ. Các số nguyên có thể được giải mã thành các
dạng thông thường của các chỉ thị máy tính. Chúng ta sẽ không định nghĩa mô hình
RAM một cách hình thức hơn, nhưng sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta chọn một tập các
chỉ thị phù hợp, RAM sẽ mô phỏng mọi máy tính hiện có. Chứng minh rằng mô hình
máy Turing cũng có khả năng tương đương như mô hình RAM được chỉ ra dưới đây
hay có thể nói một máy Turing cũng có tác dụng như một kiểu RAM.
Mô phỏng mô hình RAM bởi máy Turing
ĐỊNH LÝ 7.6: Một máy Turing có thể mô phỏng một RAM, với điều kiện là mỗi
chỉ thị RAM cũng có thể được mô phỏng bởi một TM.
Chứng minh
Ta sử dụng một TM M nhiều băng để thực hiện quá trình mô phỏng. Một băng
của M giữ các từ của RAM được cho bởi các giá trị như dưới đây. Băng có dạng sau :
# 0*v0 # 1*v1 # 10*v2 # …# i*vi # …
trong đó vi là nội dung băng viết dưới dạng nhị phân của từ thứ i. Tại mỗi thời
điểm, sẽ có một số hữu hạn các từ của RAM có thể được dùng và M chỉ cần lưu giữ
lại các giá trị cho đến khi có một số lượng từ lớn nhất được sử dụng sau đó.
RAM có một số hữu hạn các thanh ghi số học. M dùng một băng để giữ nội
dung của mỗi thanh ghi này, một băng để giữ số đếm vị trí (location counter), nơi
chứa số thứ tự các từ mà chỉ thị kế tiếp sẽ gọi đến. Và một băng nữa dùng như là
thanh ghi địa chỉ bộ nhớ (memory address register) trong đó lưu giữ số của từ nhớ.
Giả sử rằng 10 bit đầu tiên của một chỉ thị biểu thị một toán tử chuẩn của máy
tính, chẳng hạn như LOAD, STORE, ADD, … và những bit sau đó xác định địa chỉ
của một toán hạng. Trong khi chúng ta sẽ xem xét một cách chi tiết việc cài đặt tất cả
các chỉ thị máy tính chuẩn, một ví dụ minh họa sẽ cho thấy điều này rõ ràng hơn. Giả
sử băng số đếm vị trí của M giữ số i trong hệ nhị phân. M duyệt băng này đầu tiên từ
bên trái và tìm thấy # i*. Nếu một khoảng trống được đếm trước khi tìm thấy # i*, có
nghĩa là không có chỉ thị nào trong từ i, vì thế RAM và M ngừng lại. Nếu # i* được
tìm thấy, chuỗi bit theo sau ký hiệu * cho đến ký hiệu # sau đó sẽ được xem xét. Giả
sử 10 bit đầu tiên là mã lệnh của “ADD to register 2” và phần chuỗi bit còn lại là một
số j trong hệ nhị phân. M thêm 1 vào i trên băng số đếm vị trí và sao chép j vào băng
địa chỉ bộ nhớ. Sau đó, M lại tìm kiếm # j* trên băng đầu tiên, một lần nữa lại bắt đầu
từ bên trái (chú ý rằng # 0* đánh dấu vị trí cận trái). Nếu # j* không tìm thấy, ta giả
sử từ j giữ 0 và đi tiếp đến chỉ thị kế tiếp của RAM. Nếu # j* vj# được tìm thấy, vj sẽ
đựoc thêm vào nội dung của thanh ghi 2, nơi chứa chính nó trên băng. Tiếp tục lặp lại
vòng lặp này với chỉ thị kế tiếp.
126
Chương VII : Má y Turing
Lưu ý rằng trong giải thuật này, mặc dù mô phỏng RAM dùng một máy Turing
nhiều băng, nhưng theo Định lý 7.2, nếu ta dùng TM với một băng vô hạn hai chiều
cũng sẽ thành công song sẽ phức tạp hơn.
Vi. MÁY TURING NHƯ LÀ MỘT BỘ LIỆT KÊ
Ta đã xét máy Turing như là một máy dùng nhận dạng ngôn ngữ và tính toán các
hàm. Một quan điểm rất có ích nữa là xem máy Turing như là bộ liệt kê, tức là nó có
khả năng sinh ra ngôn ngữ.
Xét máy Turing có nhiều băng, một trong các băng đó được xem là băng output, trên
băng này một ký hiệu được viết lên sẽ không bị thay đổi và đầu đọc của băng này
không bao giờ dịch trái.
Giả sử trên băng output, M sẽ viết chuỗi các ký tự thuộc bộ chữ cái Σ, các chuỗi được
viết ngăn cách nhau bởi dấu #. Ta định nghĩa G(M) là ngôn ngữ sinh bởi máy Turing
M, là tập hợp tất cả các từ w ∈ Σ* được viết giữa hai dấu # trên băng output. Chú ý
rằng trừ khi M không dừng, G(M) luôn luôn hữu hạn. Ta cũng không yêu cầu các từ
được sinh ra theo một thứ tự nào đó, và cũng không yêu cầu mỗi từ chỉ sinh ra đúng
một lần.
6.1. Tính chất đệ qui liệt kê của tập sinh
BỔ ĐỀ 7.1: Nếu L là G(M1) với TM M1 nào đó thì L là tập đệ qui liệt kê
Chứng minh
Ta xây dựng M2 có nhiều hơn M1 một băng, M2 sẽ thực hiện tương tự M1, M2
dùng tất cả các thành phần của M1 chỉ trừ băng input của M1, nhưng khi M1 in # trên
băng output của M1 thì M2 lấy input của M2 so sánh với từ vừa được sinh trên băng
output của M1. Nếu giống thì M2 chấp nhận, ngược lại M2 tiếp tục làm tương tự M1.
Rõ ràng M2 chấp nhận input w nếu và chỉ nếu M1 sinh ra w, vậy G(M1) là tập đệ qui
liệt kê.
Chứng minh điều ngược lại của bổ đề trên là khó khăn hơn. Giả sử M1 là bộ
nhận dạng của một tập hợp đệ qui liệt kê L ⊆ Σ* nào đó. Nếu ta cố gắng thiết kế một
bộ sinh ra L có thể sinh mọi từ thuộc Σ* theo thứ tự nào đó là w1, w2, ... , ta cho chạy
M1 trên w1, nếu M1 chấp nhận thì sinh ra w1. Rồi chạy M1 với w2, ..., cứ lần lượt như
thế với mọi từ. Phương pháp này chỉ đúng nếu M1 dừng trên mọi input. Tuy nhiên, do
có các tập đệ qui liệt kê nhưng không đệ qui vì vậy M1 có thể không dừng với một
input wi nào đó và tất nhiên ta sẽ không bao giờ xét được các từ sau đó wi+1, wi+2, ...
ngay cả khi M1 chấp nhận chúng.
127
Chương VII : Má y Turing
Từ phân tích trên, ta thấy vấn đề đặt ra là phải thiết kế bộ sinh sao cho nó có
thể tránh được trường hợp trên. Để làm như vậy trước hết ta đánh số thứ tự các từ
thuộc Σ* rồi ta sinh ra từng cặp số nguyên dương (i, j). Việc sinh ra cặp (i, j) có ý
nghĩa như là M1 sinh ra từ thứ i bằng j bước. Cụ thể, ta đánh số các từ trong Σ* theo
"thứ tự chuẩn" (canonical order) như sau: liệt kê các từ theo độ dài, với các từ có
cùng độ dài được liệt kê theo thứ tự số, tức là nếu Σ = {a0, a1, ..., ak-1} thì mỗi từ w ∈
Σ* coi như là một số trong hệ k-phân. Ta có thể thiết kế TM sinh ra các từ theo thứ tự
chuẩn là không khó khăn gì.
Thí dụ 7.9 : Nếu Σ = {0,1} thì các từ liệt kê theo thứ tự chuẩn là: ε, 0, 1, 00, 01, 10,
11, 000, 001, ... Xét cách sinh ra cặp sinh (i, j) sau một lượng thời gian hữu hạn. Nếu
sinh theo thứ tự (1, 1), (1, 2), ... thì sẽ không bao giờ sinh được cặp (i, j) với i > 1.
Thay vào đó ta cho sinh ra cặp (i, j) theo thứ tự i + j, vì số lượng cặp (i, j) thỏa i + j
bằng hằng số là hữu hạn nên cặp (i, j) bất kỳ sẽ được sinh ra sau một lượng thời gian
hữu hạn, cụ thể ta có thể chứng minh: cặp (i, j) sẽ được sinh ở lần sinh thứ :
(i + j - 1)(i + j - 2) / 2+ i.
Máy Turing sinh ra các cặp sinh (i, j) viết trong hệ nhị phân là dễ dàng được
thiết kế và ta gọi máy Turing này là bộ sinh cặp.
ĐỊNH LÝ 7.7 : Một ngôn ngữ là tập đệ qui liệt kê nếu và chỉ nếu nó là G(M2) với
TM M2 nào đó.
Chứng minh
Với bổ đề 1 ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu L = L(M1) thì L được sinh ra bởi TM
M2. M2 tương tự như bộ sinh cặp. Khi (i, j) được sinh ra, M2 sản xuất từ thứ i theo thứ
tự chuẩn và làm tương tự M1 trên từ wi với j bước. Nếu M1 chấp nhận từ thứ i với j
bước thì M2 sinh ra wi. Chắc chắn rằng M2 không sinh ra từ không thuộc L, đặt w là
từ thứ i trong thứ tự chuẩn trên bộ chữ cái L và M1 chấp nhận w bằng j bước. Vì chỉ
cần một lượng thời gian hữu hạn để M2 sinh ra bất kỳ từ nào và làm tương tự như M1
nên M2 chắc chắn sinh ra (i, j). Lúc này w sẽ được sinh ra bởi M2. Vậy L = G(M2)
HỆ QUẢ : Nếu L là tập đệ qui liệt kê thì có một bộ sinh sinh ra mỗi từ trong L
đúng một lần.
6.2. Tính chất đệ qui của tập sinh
BỔ ĐỀ 7.2: Nếu L là tập đệ qui thì có một bộ sinh in ra các từ của L theo thứ tự
chuẩn và không in ra các từ khác.
Chứng minh
Đặt L = L(M1) ∈ Σ* trong đó M1 dừng với mọi input. Ta xây dựng M2 sinh ra
L như sau M2 sinh ra các từ thuộc Σ* mỗi lần một từ theo thứ tự chuẩn. Sau khi sinh
128
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
23240
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Tin học lý thuyết - Chương VII: Máy Turing", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_tin_hoc_ly_thuyet_chuong_vii_may_turing.pdf
