Hệ mật khóa công khai dựa trên tính khó của việc giải đồng thời 2 bài toán phân tích số và logarit rời rạc/khai căn
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
Hệ mật khóa công khai dựa trên tính khó của việc giải đồng thời
2 bài toán phân tích số và logarit rời rạc/khai căn
A Public – Key Cryptosystem Based on Difficulty of Simultaneous Solving
Two Factorization and Discrete Logarithm/Root Problems
Lưu Hồng Dũng
Nguyễn Vĩnh Thái
Khoa CNTT
Học Viện KTQS
Viện CNTT
Viện KH và CN QS
Hà Nội, Việt Nam
Hà Nội, Việt Nam
e-mail: luuhongdung@gmail.com
e-mail: nguyenvinhthai@gmail.com
Abstract— Bài báo đề xuất một hệ mật khóa công khai
xây dựng dựa trên tính khó của việc giải đồng thời 2
bài toán phân tích một số nguyên lớn ra các thừa số
nguyên tố với bài toán logarit rời rạc trên Zp hoặc
bài toán khai căn trên Zn. Vì thế, các thuật toán mật
mã và chữ ký của hệ mật mới đề xuất có thể đáp
ứng được các yêu cầu về độ an toàn cao của các ứng
dụng trong thực tế.
khai căn trên Zn). Hệ mật được đề xuất ở đây bao
gồm thuật toán mật mã khóa công khai, thuật toán
chữ ký số, thuật toán mã hóa – xác thực và 1 giao
thức trao đổi khóa cho các hệ mật khóa đối xứng,
các thuật toán của hệ mật này được thiết kế để các
thực thể cuối (người sử dụng) trong cùng một hệ
thống có thể sử dụng chung một bộ tham số (tham
số miền) do nhà cung cấp dịch vụ chứng thực số tạo
ra.
Keywords: Digital Signature Algorithm, Public – Key
Cryptography Algorithm, Key Exchange Protocol, Public
II. XÂY DỰNG HỆ MẬT KHÓA CÔNG KHAI
DỰA TRÊN 2 BÀI TOÁN KHÓ
– Key CryptoSystem, Discrete Logarithm Problem,
Integer Factoring Problem.
A. Một số bài toán khó ứng dụng trong mật mã
1) Bài toán phân tích số
I.
ĐẶT VẤN ĐỀ
Nâng cao độ an toàn cho các thuật toán mật mã
khóa công khai và chữ ký số dựa trên tính khó của
việc giải đồng thời 2 bài toán khó là một hướng tiếp
cận đang nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu [1–8]. Trong [9–22] nhóm tác giả đã đề
xuất một số thuật toán mật mã khóa công khai và
chữ ký số xây dựng trên bài toán phân tích số, khai
căn và logarit rời rạc. Trong bài báo này, cũng với
mục đích nâng cao độ an toàn cho thuật toán trước
một số dạng tấn công trong thực tế, nhóm tác giả
tiếp tục đề xuất một hệ mật khóa công khai được
phát triển từ các kết quả trước đó [9–19] dựa trên
tính khó của việc giải đồng thời 2 bài toán phân tích
một số nguyên lớn ra các thừa số nguyên tố (bài
toán phân tích số) với bài toán logarit rời rạc trên Zp
, với p là 1 số nguyên tố (bài toán logarit rời rạc trên
Zp) hoặc bài toán khai căn trên vành Zn, ở đây:
Bài toán phân tích số được phát biểu như sau:
Cho số
, hãy tìm biểu diễn:
n∈ N
n = p1e1 .p2e2 ...piei ...pkek
pi
, với:
và là các số
ei ≥1
nguyên tố.
Một trường hợp riêng của bài toán phân tích số
được ứng dụng để xây dựng hệ mật RSA [23] mà ở
đó n là tích của hai số nguyên tố p và q. Khi đó, bài
toán phân tích số hay còn gọi là bài toán phân tích
số hay còn gọi là bài toán IFP(n) được phát biểu như
sau:
Bài toán IFP(n): Với mỗi số nguyên dương n,
hãy tìm số nguyên tố p hoặc q thỏa mãn phương
trình sau:
p × q = n
Giải thuật cho bài toán IFP(n) có thể được viết
như một thuật toán tính hàm IFP(.) với biến đầu vào
, với p và q là 2 số nguyên tố (bài toán
n = p × q
1
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
gx mod p = y
là n, còn giá trị hàm là p hoặc q của phương trình
sau: hoặc:
(
p = IFP n
)
q = IFP n
( )
Giải thuật cho bài toán DLP(p,g) có thể được viết
như một thuật toán tính hàm DLP(p,g)(.) với biến đầu
vào là y, còn giá trị hàm là x của phương trình sau:
Trong hệ mật RSA, bài toán phân tích số được
sử dụng trong việc hình thành cặp khóa công khai/bí
mật cho mỗi thực thể ký. Với việc giữ bí mật các
tham số (p, q) thì việc tính được khóa bí mật (d) từ
khóa công khai (e) và modulo n là một bài toán khó
nếu p, q được chọn đủ lớn và mạnh. Hiện tại bài
toán trên vẫn được coi là bài toán khó do chưa có
giải thuật thời gian đa thức hay đa thức xác suất cho
nó và hệ mật RSA là một minh chứng thực tế cho
tính khó giải của bài toán này. Trong thực tế, các
tham số p, q có thể chọn theo FIPS 186 – 4 [24] của
Hoa Kỳ cho hệ mật RSA.
x = DLPp,g (y)
)
(
Bài toán DLP(p,g) là cơ sở để xây dựng nên hệ
mật ElGamal [25]. Hiện tại chưa có giải thuật hiệu
quả (thời gian đa thức hay đa thức xác suất) cho
DLP(p,g) và độ an toàn của thuật toán DSA trong
chuẩn chữ ký số DSS của Hoa Kỳ [23] là một minh
chứng thực tế cho tính khó giải của bài toán này.
B. Xây dựng hệ mật khóa công khai dựa trên tính
khó của việc giải 2 bài toán phân tích số và
logarit rời rạc/khai căn
2) Bài toán khai căn trên Zn
Cho cặp số nguyên dương (n,e) với n là tích 2
số nguyên tố p và q sao cho bài toán phân tích số là
khó giải trên Zn, còn e là một giá trị thỏa mãn:
1) Thuật toán hình thành tham số và khóa
Các tham số hệ thống hay tham số miền được
nhà cung cấp dịch vụ chứng thực số hình thành
bằng thuật toán như sau:
và:
,
ở
đây:
gcd(e,ϕ(n)) =1
1< e < ϕ(n)
. Khi đó, bài toán khai căn trên
ϕ
(n) = ( p −1).(q −1)
Zn hay còn gọi là RSAP(n,e) được phát biểu như sau:
Thuật toán 1.1: Hình thành tham số hệ thống.
Bài toán RSAP(n,e): Với mỗi số nguyên dương
y ∈ Zn∗ , hãy tìm x thỏa mãn phương trình sau:
Input: lp, lq – độ dài (tính theo bit) của các
số nguyên tố p, q.
Output: p, q, g.
xe mod n = y
[1]. Chọn 1 cặp số p, q nguyên tố với:
len(p) = lp, len(q)= lq sao cho: q|(p – 1).
Giải thuật cho bài toán RSAP(n,e) có thể được
viết như một thuật toán tính hàm RSAP(n,e)(.) với
biến đầu vào là y, còn giá trị hàm là x của phương
trình sau:
*
[2]. Chọn g là phần tử sinh của nhóm Zp
theo:
x = RSAP
(y)
(n,e)
p−1
q
, với:
mod p
.
∈(1, p)
g =
Chú thích:
α
α
Bài toán RSAP(n,e) cũng là một cơ sở quan trọng
để xây dựng nên hệ mật RSA. Ở hệ mật RSA nếu
giải được RSAP(n,e), kẻ thám mã có thể tìm được bản
rõ (M) từ bản mã (C) và các tham số công khai (n,e),
hoặc dễ dàng tạo được chữ ký giả mạo (S) cho một
bản tin bất kỳ (M) mà không cần biết khóa bí mật (d)
của đối tượng ký (bị mạo danh). Tuy nhiên, hiện tại
vẫn chưa có giải thuật thời gian đa thức cho bài toán
này và do đó việc tấn công hệ mật RSA bằng việc
giải RSAP(n,e) là vẫn chưa khả thi.
+ len(.): hàm tính độ dài (theo bit) của một
số.
Mỗi thực thể cuối/người sử dụng trong hệ thống
hình thành khóa của mình bằng thuật toán như sau:
Thuật toán 1.2: Hình thành khóa.
Input: p, q , g, lp1 và lq1 - độ dài (tính theo
bit) của số các nguyên tố p1 và q1.
3) Bài toán logarit rời rạc trên Zp
Cho cặp số nguyên dương (p,g) với p là số
*
Output: x1, x2, φ(n), y.
nguyên tố, còn g là một phần tử của nhóm Zp . Khi
đó, bài toán logarit rời rạc trên Zp hay còn gọi là bài
toán DLP(p,g) được phát biểu như sau:
[1]. Chọn 1 cặp số p1, q1 là các số nguyên tố
với: len(p1) = lp1, len(q1)= lq1
Bài toán DLP(p,g): Với mỗi số nguyên dương
y ∈ Z∗p , hãy tìm x thỏa mãn phương trình sau:
[2]. Tính: n = p1. q1 , nếu: n ≤ p thì thực hiện
lại từ bước [1].
2
H
ộ
i thả
o l
ần th
ứ
III: M
ột s
ố
vấ
n
đề chọn lọ
c về
an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
[3]. Tính: φ(n) = (p1 – 1).( q1 – 1)
[1]. Người nh
ậ
n s
ử
d
ụ
ng khóa bí m
ậ
t th
ứ
hai
để tính
R
theo:
[4]. Chọn khóa bí mật thứ nhất x1 trong khoảng
(1, q).
x2 B
(2.4)
t th
n tin nhận
R =
(
R
)
mod nB
[5]. Tính khóa công khai theo:
[2]. Người nh
ậ
n s
ử
d
ụ
ng khóa bí m
ậ
ứ
nh
được:
m = C ×
[3]. Chuy n giá tr
ấ
t c
ủ
a mình để gi
ả
i mã b
ả
y = g− x mod p
1
(1.1)
x1B
Kiểm
gcd(y, (n)) ≠1
[6]. Tính khóa bí mật thứ hai theo:
x2 = y−1 mod
(n)
tra
nếu:
hoặc:
y ≥
ϕ
(n)
(2.5)
R
modnB
thì thực hiện lại từ bước [4].
ể
ị
m thành b
ả
n tin M.
ϕ
b) Tính
đ
úng đắn c
ủ
a thu
ật toán
(1.2)
ϕ
Đ
i
ề
u c
ầ
n ch
ứ
ng minh ở đây là: Cho p, q, p1, q1
là các s
ố
nguyên t
ố
th
ỏ
a mãn:
,
q | (p −1)
0,1 ∗
, với:
→ Zh
[7]. Chọn hash function H:
g =α ( p−1) / q mod p
n = p1 × q1
,
n > p
,
,
,
,
,
1<
α
< p
1B
,
,
|
q
|≤|
h
|< p
1< x1B < q yB = g− x mod p x2B
=
(
yB
)
−1 mod
yB
k mod p
ϕ(nB )
.
,
,
C = M ×
1 < k < q
0 ≤ M ≤ p −1
yB
(
)
2) Thuật toán mật mã khóa công khai
g k mod p
mod nB
.
R =
Thuật toán mật mã được đề xuất ở đây bao gồm
thuật toán mã hóa (Thuật toán 2.1) và giải mã
(Thuật toán 2.2), với các tham số hệ thống được
hình thành theo Thuật toán 1.1 và khóa hình thành
theo Thuật toán 1.2. Giả thiết người gửi/mã hóa là
A, người nhận/giải mã là B và B có cặp khóa bí
x1B
x2 B
)
N
ế
u:
,
mod nB
,
M = C ×
R
mod p
R =
(
R
thì:
.
M = M
Ch ng minh:
Th t v y, t (2.3) và (2.4) ta có
ứ
ậ
ậ
ừ
:
mật/công khai tương ứng là
, trong đó:
(x1B , x2B , yB )
x1B
R
mod p =
được chọn ngẫu nhiên trong khoảng
, còn
x1B
1,q
x1B
x2B
yB
=
(
(
(
R
)
mod nB
)
mod nB
)
mod p
được tính theo (1.1) và (1.2) như sau:
(x2B , yB )
(2.6)
x
1B
x2B
yB
=
(
(
gk mod p
)
mod nB
)
mod n
mod p
−x1B
B
yB =
g
mod p, x2B = yB ϕ(nB )
−1 mod
(2.1)
x1B
yB .x2 B
=
=
(
(
(
gk mod p
)
mod nB
)
mod p
a) Thuật toán mã hóa và giải mã
x1B
gk mod p
)
mod p
Thuật toán 2.1: Thuật toán mã hóa.
Input: p, q , g, nB , yB, M.
Output: C,R.
= gk.x mod p
1B
Nên từ (2.1), (2.2), (2.5) và (2.6) ta có điều cần
chứng minh:
x1B
M = C ×
R
mod p
[1]. Biểu diễn bản tin cần mã hóa M thành
một giá trị m tương ứng trong khoảng
[0, p – 1], chọn ngẫu nhiên một giá trị k
trong khoảng (1,q) rồi tính thành phần
thứ nhất của bản mã:
k
= M ×
(
g−x mod p
)
×
(
gk.x mod p
mod p
)
1B
1B
= M × g−k.x × g x mod p = M
1B
1B
c) Mức độ an toàn của thuật toán
+ Tấn công khóa bí mật
C = m ×
yB
k mod p
n th 2 c
(2.2)
[2]. Tính thành ph
ầ
ứ
ủ
a b
mod n B
ản mã (C,R) cho B.
ả
n mã:
(2.3)
yB
k
Ở thuật toán mới đề xuất, khóa bí mật là cặp
(x1,x2), tính an toàn của lược đồ sẽ bị phá vỡ khi cặp
khóa này có thể tính được bởi một hay các đối
tượng không mong muốn. Từ Thuật toán 1.2 cho
thấy, để tìm được x2 cần phải tính được tham số
φ(n), nghĩa là phải giải được IFP(n), còn để tính
được x1 cần phải giải được DLP(p,g). Như vậy, để
tìm được cặp khóa bí mật này kẻ tấn công cần phải
R =
i b
(
g
)
mod p
[3]. G
ử
Thuật toán 2.2: Thuật toán giải mã.
Input: p, q , g, x1B , x2B, nB , yB, (C,R).
Output: M .
3
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
giải được bài toán IFP(n) và DLP. Nói cách khác, độ
an toàn về khóa của thuật toán được đảm bảo bằng
độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán IFP(n) và
a) Thuật toán ký và kiểm tra chữ ký
Thuật toán 3.1: Sinh chữ ký.
Input: p, q, g, φ(n), x1, x2, M – bản tin cần
DLP(p,g)
.
ký.
+ Tấn công thám mã bản tin
Output: (E,S) – chữ ký.
[1]. Chọn ngẫu nhiên giá trị k trong khoảng
(1, q)
Để giải mã bản tin có thể thực hiện tấn công
vào thuật toán mã hóa hoặc giải mã như sau:
R = gk mod p
[2]. Tính giá trị:
(3.2)
[3]. Tính thành phần thứ nhất của chữ ký
theo: (3.3)
[4]. Tính thành phần thứ 2 của chữ ký theo:
(3.4)
- Tấn công thuật toán mã hóa
Từ (2.2) có thể giải mã bản tin nếu tính được k
như sau:
E = H(M || R)modq
m = C.
yB
−k mod p
S = x2 ×((k + x1 × E
Chú thích:
modq modφ(n)
) )
Để tính được k từ (2.3) đầu tiên cần phải giải
được bài toán khai căn RSAP(n,e) để tìm:
+ Toán tử “||” là phép nối 2 xâu bit.
hoặc giải bài toán phân tích số để
(R)
)
X = RSAP
(nB ,yB
x2B
tìm
rồi tìm X:
. Sau đó phải
mod nB
Thuật toán 3.2: Kiểm tra chữ ký.
X =
(
R
)
x2B
Input: p, q, g, y, n, M – bản tin cần thẩm tra.
Output: (E,S) = true/false.
[1]. Tính giá trị:
giải tiếp bài toán logarit rời rạc DLP(p,g) để tìm:
.
k = DLPp,g (X )
)
(
R =
gS
y modn ×
(
y
)
mod p
E
Như vậy, để giải mã bản tin bằng cách tấn công
trực tiếp vào thuật toán mã hóa, kẻ tấn công cần
phải giải được đồng thời hai bài toán RSAP(n,e) và
DLP(p,g) đã chỉ ra ở trên. Như vậy, độ an toàn của
thuật toán trước dạng tấn công này được quyết định
bằng độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán: bài
toán khai căn trên Zn và bài toán logarit rời rạc trên
Zp, hoặc: bài toán phân tích số và bài toán logarit rời
rạc trên Zp.
(3.5)
[2]. Tính giá trị:
E = H(M || R)modq
[3]. Nếu: thì: (E,S) = true, ngược lại:
(3.6)
E = E
(E,S) = false
Chú thích:
+ (E,S) = true: chữ ký hợp lệ, bản tin M được
xác thực về nguồn gốc và tính toàn vẹn.
+ (E,S) = false: chữ ký hoặc/và bản tin bị giả
mạo.
- Tấn công thuật toán giải mã
b) Tính đúng đắn của thuật toán
Để giải mã bản tin bằng cách tấn công vào thuật
toán giải mã, kẻ tấn công cần phải tính được các
khóa bí mật của người nhận B, nghĩa là phải giải
được đồng thời hai bài toán IFP(n) và DLP(p,g). Như
vậy, độ an toàn của thuật toán trước dạng tấn công
này được quyết định bằng độ khó của việc giải đồng
thời 2 bài toán phân tích số và bài toán logarit rời
rạc trên Zp.
Điều cần chứng minh ở đây là: Cho p, q, p1, q1
n = p × q
là các số nguyên tố thỏa mãn:
,
,
,
,
q | (p −1)
1
1
g =α ( p−1) / q mod p
n > p
,
,
,
1< x1 < q
,
1 < k < q
1<
α
< p
y = g− x mod p
x2 =
(
y
)
−1 mod
a Zh với:
ϕ(n)
1
,
,
H :
{
0,1 ∗
}
,
.
R = gk mod p
| q |≤| h |<| p |
,
mod q modφ(n)
E = H(M || S)modq S = x2 × ((k + x1 × E) )
3) Thuật toán chữ ký số
E
)
Nếu:
,
R =
.
gS
y modn ×
(
y
mod p E = H(M || R)modq
Thuật toán chữ ký số được đề xuất ở đây bao
gồm thuật toán ký (Thuật toán 3.1) và kiểm tra
(Thuật toán 3.2), với các tham số hệ thống được
hình thành theo Thuật toán 1.1 và khóa hình thành
theo Thuật toán 1.2. Giả thiết người ký ở đây có
cặp khóa khóa bí mật/công khai tương ứng là
thì:
E = E
Chứng minh:
Thật vậy, từ (3.1), (3.2), (3.4) và (3.5) ta có:
R =
.(k+x1.E
2
g S
y mod n ×
(
y
y
mod p
E
)
(3.7)
E
=
=
(
(
g x
) mod n
. y mod n
)
×
(
g−x mod p
)
mod p
1
, trong đó: được chọn ngẫu nhiên trong
(x1, x2 , y)
x1
g(
)
× g−x .E mod p
k+x1.E ).x2
1
khoảng
,
còn
được tính theo (1.1) và
(1,q
)
(x2 , y)
= gk+x E × g−x E mod p = gk mod p = R
1
1
(1.2) như sau:
Từ (3.3), (3.6) và (3.7) suy ra điều cần chứng
minh:
−x1
y =
(
g
)
mod p
(3.1)
x2 =
(
y
)
−1 mod
ϕ
(n)
E = H (M || R)mod q = H (M || R)mod q = E
4
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
c) Mức độ an toàn của thuật toán
+ Tấn công khóa bí mật
Ở thuật toán chữ ký mới đề xuất, khóa bí mật
của một đối tượng ký ngoài cặp (x1,x2) tương tự như
ở thuật toán mật mã (mục 2), còn bao gồm tham số
φ(n). Như vậy, độ an toàn về khóa của thuật toán
được đảm bảo bằng độ khó của việc giải đồng thời 2
[3]. Tính thành phần thứ 2 của bản mã:
E = H(M || R)modq
(4.4)
(4.5)
[4]. Tính thành phần thứ 3 của bản mã:
S = x2A × modq modφ(nA )
k + x1A × E
[5]. Gửi bản mã (C,E,S) cho B.
bài toán IFP(n) và DLP(p,g)
+ Tấn công giả mạo chữ ký
.
Thuật toán 4.2: Thuật toán giải mã.
Từ điều kiện của Thuật toán 3.2, một cặp (E,S)
bất kỳ sẽ được coi là chữ ký hợp lệ của đối tượng sở
hữu các tham số công khai (n,y) lên bản tin M nếu
thỏa mãn:
Input: p,q,g,x1B,x2B,nA,yA,nB,yB,(C,E,S).
Output: M, (E,S) = true/false.
[1]. Người nhận sử dụng khóa bí mật thứ hai
y modn×
y
mod p
x2B
)
E
(3.8)
E = H
M ||
gS
để tính
C
theo:
(4.6)
C =
(
C
modnB
Từ (3.8) dễ thấy rằng, nếu H(.) được chọn là
hàm băm có tính kháng va chạm cao (SHA
256/512,...) thì việc tạo ngẫu nhiên được cặp (E,S)
thỏa mãn điều kiện của thuật toán kiểm tra là không
khả thi trong các ứng dụng thực tế.
[2]. Tính giá tr
ị:
yA
E
gS
modnA ×
(
yA
)
mod p
(4.7)
R =
[3]. Người nh
nh t c a mình để gi
được:
ậ
n s
ử
d
ụ
ng khóa bí m
ật thứ
4) Thuật toán mã hóa – xác thực
ấ
ủ
ả
i mã b n tin nh
ả
ậ
n
x1B
(4.8)
m = C ×
R
modnB
thành b n tin
E = H(M || R)modq
thì: và kh
Thuật toán mã hóa – xác thực được đề xuất ở
đây thực hiện đồng thời chức năng bảo mật thông
tin và xác thực nguồn gốc cũng như tính toàn vẹn
của bản tin được mã hóa, thuật toán được đề xuất
bao gồm thuật toán mã hóa (Thuật toán 4.1) và giải
mã (Thuật toán 4.2), với các tham số hệ thống
cũng được hình thành theo Thuật toán 1.1 và khóa
hình thành theo Thuật toán 1.2. Giả thiết người
gửi/mã hóa là A, người nhận/giải mã là B có cặp
[4]. Chuy
tính giá tr
[5]. N u:
người g
ể
n giá tr
ị
m
ả
M và
ị:
(4.9)
ế
ằ
ng định
E = E
M = M
ử
i là A.
b) Tính
đ
úng đắn c
ủ
a thu
ật toán
Đ
i
ề
u cầ
n ch
ứ
ng minh ở đây là: Cho p, q, p1, q1
khóa bí mật/công khai tương ứng là
và
(x1A , x2A , yA )
là các s
ố
nguyên t
ố
th
ỏa mãn:
,
q | (p −1)
, trong đó:
được chọn ngẫu
(x1A , x1B )
(x1B , x2B , yB )
p
−1)/ q
g =α (
mod p
n = p1 × q1
,
n > p,
,
,
,
,
,
1<
α < p
nhiên trong khoảng
,
còn
và
(x2A , yA ) (x2B , yB )
(1,q
)
yA = g−x mod p yB = g− mod p
x1B
1A
,
,
1< x1A , x1B < q
x2 A yA ϕ(nA )
−1 mod
được tính theo (1.1) và (1.2) như sau:
−1 mod
R = gk modp
H : a Zh
0,1 ∗
ϕ(nB )
,
x2B
=
(
yB
)
=
(
)
−x1A
yA
yB
=
=
(
(
g
g
)
mod p, x2A
mod p, x2B
=
=
(
(
yA
yB
)
−1 mod
−1 mod
ϕ
ϕ
(nA )
(nB )
(4.1)
,
,
1 < k < q
C = M ×
| q |≤| h |<| p |
0 ≤ M ≤ p −1
yB
−x1B
)
)
k
,
{
}
v
ớ
i:
,
yB
mod p
mod nB
a) Thuật toán mã hóa và giải mã
,
E = H(M || R) modq
Thuật toán 4.1: Thuật toán mã hóa.
Input: p,q, g,x1A,x2A,nB,yB,M.
Output: C,E,S.
.
N
ế
u:
,
S = x2
×
((k + x1A × E
)
modq
)
gS
modφ(nA )
yA
A
E
x2B
,
C =
(C
)
mod nB
R =
modnA ×
(
yA
)
mod p
x1B
,
thì:
.
E = E
M = C ×
R
mod p E = H (M || R)mod q
Ch
ứ
ng minh:
[1]. Biểu diễn bản tin cần mã hóa M thành một
giá trị m tương ứng trong khoảng [0,p–1],
chọn ngẫu nhiên một giá trị k trong khoảng
(1,q) rồi tính thành phần thứ nhất của bản
mã:
T
ừ
(4.2) và (4..6) ta có:
x2 B
C =
(C
)
mod nB
x2B
yB
(4.10)
k
=
=
(
(
M ×
(
yB
)
mod p
)
mod nB
yB
)
mod nB
yB
k
.
x2 B
k
(4.2)
x1B
(
M ×
(
g− mod p
)
mod p
)
mod nB
C =
m×
(
yB
)
mod p
mod nB
R = gk mod p
[2]. Tính giá trị:
(4.3)
= M × g−
mod p
x1B .k
5
H
ộ
i thả
o l
ần th
ứ
III: M
ột s
ố
vấ
n
đề chọn lọ
c về
an toàn an ninh thông tin –
Đà N
ẵng, 07/12/2018
T
ừ
R =
(4.1), (4.5) và (4.7) ta l
ạ
i có:
Thuật toán 5.1: Thu
ật toán trao đổi khóa.
yA
E
g S
mod nA ×
(
yA
yA
)
mod p
Input: p,q, g,x1A,x2A, x1B,x2B,nA,yA, nB,yB.
(4.11)
E
) mod n
)
×
(
g −x mod p
)
mod p
. k+x1A .E
(
g x
2 A
1A
=
=
(
(
Output: KAB, KBA
ước 1:
+ A th c hi
1 – Ch
mãn:
.
g(
mod n
× g−x mod p
)
k+x1A .E
)
.x2 A .yA
1A .E
B
= g k+x × g −x mod p = g k mod p
1A .E
1A .E
ự
ệ
n:
ọ
n ng
ẫ
u nhiên một giá trị kA thỏa
1< kA < q
Từ (4.8), (4.10) và (4.11) suy ra:
x1B
, tính giá tr
yB
ị
RA theo công
M = C ×
R
mod p
x1B
)
RA =
i RA cho B.
n:
n ng
1< kB < q
gk mod p
(4.12)
= M × g−x
×
(
gk mod p
1B .k
mod p
1B .k
A
th
2 – G
+ B th c hi
1 – Ch
mãn:
ứ
c:
(5.2)
mod nB
= M × g−x .k × g x mod p = M
ử
1B
ự
ệ
ọ
T
u c
ừ
(4.3), (4.4), (4.9), (4.11) và (4.12) suy ra
ẫ
u nhiên m
ộ
t giá tr
ị
kB th
ỏ
a
đ
đ
i
ề
ầ
n ch ng minh:
ứ
, tính giá tr
yA
ị
RB theo công
E = H(M || R)modq = H(M || R)modq = E
RB
=
gk mod p
mod nA
B
th
2 – G
ước 2:
+ A th c hi
1 – Tính thành ph
ứ
c:
(5.3)
c) M
ứ
c
độ an toàn c
t toán mã hóa – xác th
t là s t h p gi a thu
t toán ch ký
o m t n i dung c
i tính toàn v
t cách đồng th i. Có m
n công gi ở đây c
t k th 3 (C) mu n m o danh A
n tin M. Tuy nhiên, phân tích t ng
i các thu
độ an toàn
ủ
a thu
ậ
t toán
đượ
t toán m
c 3, nh
a b n tin và xác
n c a b n tin
ử
i RB cho A.
B
Thu
ậ
ự
c
c
đề xu
ấ
t
ở
ở
ự
ện:
ây th
c 2 v
p tính n
c ngu
ự
c ch
ấ
ự
k
ế
ợ
ữ
ộ
ớ
ữ
ậ
ậ
t mã
ầ
n SA theo công th
ức:
m
ụ
ớ
i thu
ậ
ở
m
ụ
ằm cung
x1A
(5.4)
(5.5)
(5.6)
SA = yB
( )
mod p
c
ấ
ă
ng b
ả
ậ
ủ
ả
th
ự
ồ
n g
c hi
u ý là d
u theo ngh
i cho B b
ng t n công c
toán c 2 và 3 trên
a thu
đồng th
IFP(n) và RSAP(n,e)
ố
c cùng v
n m
ng t
a m
ẹ
ủ
ả
2 – Tính khóa bí mật chia sẻ với B theo:
kA
x2 A
được th
n l
ự
ệ
ộ
ờ
ột điểm
ần được
KAB
=
(
RB
)
modnA
mod p
c
ầ
ư
ạ
ấ
ả
m
ạ
o
3 – Tính thành phần EA theo công thức:
hi
để
d
ể
ĩ
ộ
ẻ
ứ
ố
ạ
EA = H(KAB || SA )
g
ử
ả
ừ
4 – G
+ B th
1 – Tính thành ph
ử
i EA cho B.
ạ
ấ
m
ậ
ụ
th
ể
t
ương t
ự
nh
ư
vớ
ật
ự
c hi n:
ệ
ở
ụ
đ
ây, đều cho th
ấ
y
ầ
n SB theo công th
ức:
c
ủ
t toán đượ
c
đảm b
ả
o b
ở
i
độ khó c
ủa vi
ệ
ặ
c
c
x1B
(5.7)
SB = yA
( )
mod p
gi
ả
i
ời 2 bài toán IFP(n) và DLP(p,g) ho
2 – Tính khóa bí mật chia sẻ với A theo:
.
kB
x2B
(5.8)
(5.9)
KBA
=
(
RA
)
modnB
mod p
5) Giao th c trao đổi khóa
ứ
3 – Tính thành ph
EB = H(KBA || SB )
i EB cho A.
ần EB theo công thức:
Gi thi t r ng 2 đối tượng tham gia truyền
ả
ế
ằ
thông ở đây là A và B s ng m t thu t toán m
mã khóa đối x ng (DES, AES,...) để mã hóa d li
n trao đổi v i nhau, khi ó giao th
đề xu ở đây (Thuật toán 5.1 được s
thi t l p m t khóa bí m t chung/chia s
B. Các tham s th ng c
Thuật toán 1.1 và khóa hình thành theo Thuật
ử
d
ụ
ộ
ậ
ậ
t
u
4 – G
ử
ứ
ữ
ệ
B
ước 3:
c
ầ
ớ
đ
ức trao đổi khóa
+ A th
Ki m tra n
ượng tham gia trao đổi khóa là B và B
được khóa bí m t chia s i A, sau
dùng khóa này để trao đổi thông tin m
1 thu t toán m t mã khóa đối x ng. Ngược l
u: thì kh ng định đối tượng tham gia
ự
c hi
ệ
n:
ấ
t
ậ
)
ử
d
ụng để
ể
ế
u:
thì kh
ẳ
ng định đố
ã thi t l
ó A có th
t v i B b ng
i, tra
i
EA = EB
ế
ộ
ậ
ẻ
gi
ữ
a A và
t
đ
ế
ậ
p
ể
ố
h
ệ
ố
ũng được hình thành theo
ậ
ẻ
vớ
đ
ậ
ớ
ằ
toán 1.2. Gi
t/công khai
, trong
ả
thi
ế
t A và B có các c
ặ
p khóa bí
ậ
ậ
ứ
ạ
m
ậ
t
ương
ứ
ng là
và
(x1A , x2 A , yA )
n
ế
ẳ
EA ≠ EB
trao đổi khóa là gi
B th c hi n:
Ki m tra n u:
đ
ó:
được chọn ngẫu
(x1A , x1B )
còn
(x1B , x2B , yB )
ả
mạ
o và h
ủ
y khóa
đ
ã
được t
ạ
o ra.
nhiên trong kho
ả
ng
,
và
(x2 A , yA ) (x2B , yB )
(
1,q
)
+
ự
ệ
ế
được tính theo (1.1) và (1.2) nh
ư
sau:
ể
thì B kh
ẳ
ng định đố
ã thi t l
i B. Ngược l i, n
ng định đối tượng tham gia trao đổ
o.
i
EA = EB
−x1A
yA
yB
=
=
(
(
g
g
)
mod p, x2 A
mod p, x2B
=
=
(
(
yA
yB
)
−1 mod
−1 mod
ϕ
(nA )
(5.1)
t
ượng tham gia trao đổi khóa là A và A
được khóa bí m t chia s
thì kh
đ
ế ập
−x1B
)
)
ϕ
(nB )
ậ
ẻ
v
ớ
ạ
ếu:
ẳ
i
EA ≠ EB
khóa là gi
a) Thu
ậ
t toán trao đổi khóa
t l p khóa chung gi
ả
mạ
Vi c thi
ệ
ế
ậ
ữ
a A và B được th
sau:
ực
hi
ệ
n theo các bước c Thuật toán 5.1 như
ủa
6
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
b) Tính
u c
đ
úng đắn c
ủ
a giao th
ứ
c
-
Tính an toàn khóa
security): vi c bi t m t ho
a A và B c ng không cho phép m
3 nào ó có th tính được các khóa khác c
t l p b i A và B.
Tính bí m t v phía trướ
c tính các khóa bí m t chia sẻ đ
trướ ó b i A và B là không th th
các khóa bí m t c a A và B ( x1A, x2 A, x1B , x2B ) b
đ
ã bi
ế
t
(
ố
known – key
khóa chia s
đối tượng
ng
ệ
ế
ộ
ặ
c m t s
ộ
ẻ
Đ
i
ề
ầ
n ch
ứ
ng minh ở đây là: Cho p, q, p1, q1
gi
th
ữ
ứ
ũ
ột
n = p1 × q1
,
là các s
n > p,
ố
nguyên t
ố
th
ỏ
a mãn:
,
,
q | ( p −1)
đ
ể
ũ
∈Z*p
g = α ( p−1) / q mod p
được thi
ế
ậ
ở
ậ
,
v
ớ
i:
H :
{
0,1 ∗
}
a Zh
α
-
ề
c
(
forward secrecy):
được thi t l
c hi được, dù
yA = g x mod p
1A
| q |≤| h |<| p |
,
,
,
,
,
1< x1A , x1B < q
,
vi
ệ
ậ
ã
ế ập
yB = g x mod p
x2B yB
−1 mod
RA =
u:
x2A
= (yA ) ϕ(nA )
−1 mod
1B
c
đ
ở
ể
ự
ện
,
ậ
ủ
ị
1< kA,kB < q
yA
=
(
)
ϕ(nB )
yB
gk mod p
RB
=
gk mod p
mod nA
lộ.
A
B
,
modnB
xA
.
,
,
Các tính ch
đảm b o b i m
các d ng t n công:
+ T n công khóa bí m
ấ
t an toàn nói trên th c ch
ự
ấ
t
đượ
c
c
xB
N
ế
,
mod p
SB
SA =
modnA
modnB
yB
kA
( )
= yA mod p
ả
ở
ứ
c
độ an toàn c a thuật toán trướ
ủ
x2 A
,
(
(
RB
)
mod p
mod p
EA = H(KAB || SA )
KAB
KBA
=
ạ
ấ
kB
x2B
ấ
ậ
t chia s
(5.5) cho th
Để tính x2 A
(5.2)
ẻ:
,
thì:
EB = H(KBA || SB )
=
RA
)
và
.
EA = EB
KAB = KBA
Ch ng minh
Th t v y, t
Để tính được khóa KAB, t
công c n ph i tính đượ
n ph i gi được IFP(n) , còn để tính kA
trước tiên c n ph i gi được bài toán phân tich s
IFP(n) i tính: ải giải
ừ
ấy kẻ tấn
ứ
:
ầ
ả
c x2 A và kA .
ậ
ậ
ừ
(5.3) và (5.3) ta có:
c
ầ
ả
ả
i
từ
kA
x2 A
KAB
=
(
RB
)
mod nA
mod p
kA
ầ
ả
X =
ả
i
ố
(5.10)
yB .x2B
gk mod p
)
mod nA
)
mod p
B
x2 A
=
=
(
(
(
r
ồ
ho
ặ
c ph
RSAP(n,e) để tìm:
i gi i ti p bài toán
RB
modnA
kA
gk mod p
)
mod p = gk mod p
A.kB
B
đượ
X = RSAP n
c
bài toán khai
. Sau
c
ăn
đ
ó ph
ả
ả
ế
M
ặ
t khác, t
ừ
(5.2) và (5.8) ta lại có:
(RB )
yA )
(
,
A
kB
x2B
KBA
=
(
RA
)
modnB
mod p
kB
logarit r
Vi c tính KBA
ương t nh
toán trước d
đảm b o b ng tính khó c
toán: IFP(n) và DLP(p,g)
+ T n công gi
t k gi
khóa bí m t chia s
khóa bí m t v i A thì c
EB. Tuy nhiên, t (5.6) và (5.9) cho th
n công t i thi u ph
ó, độ an toàn c a thu
n công gi o c ng sẽ đượ
ng tính khó c a vi đồng th
IFP(n) và DLP(p,g)
ờ
i r
ạ
c DLP(p,g) để tìm kA
ng ph được th
y. Nh y, độ an toàn c
ng t n công khóa bí m
:
.
RA )
kA = DLPp,g
(
)
(
(5.11)
yB .x2 A
gk mod p
)
modnB
)
mod p
A
=
=
(
(
(
ệ
c
ũ
ả
ư
i
v
ự
c hi
ệ
n các bướ
a thu
t chia sẻ đượ
c
kB
gk mod p
)
mod p = gk mod p
u c n ch
A .kB
t
ự
ư
ạ
v
ậ
ậ
ủ
ậ
t
A
ấ
ậ
c
T
ừ
(5.10) và (5.11) suy ra
đ
i
ề
ầ
ứ
ng minh
(5.12)
ả
ằ
ủa vi
ệ
c gi
ả
i
đồng thời 2 bài
th
ứ
nh
ất:
KAB = KBA
.
T
ừ
(5.1) và (5.4) ta có:
ấ
ả
m
ạo
:
xA
)
SA
=
(
yB
mod p
M
ộ
ẻ
ậ
ả
m
ẻ
ớ
ừ
ạ
o C mu
i B ho
n ph
ố
ặ
n m
c m
i tính được EA ho
y th c hi
i tính đượ
ạ
o danh A để
tạo
xA
A.xB
gx mod p
)
mod p = g x mod p
ừ (5.1) và (5.7) ta lại có:
xB
B
=
(
v
ớ
ạo danh B để chia
T
s
ẻ
ậ
ầ
ả
ặc
ện
c
ấ
ự
SB
=
(
yA
)
mod p
xB
(5.13)
(5.14)
được vi
KAB ho
trước d
ệ
c
đ
ó thì k
ẻ
t
ấ
ố
ể
ả
=
(
gx mod p
)
mod p = gx mod p
A.xB
A
ặ
c KBA. Do
đ
ủ
ậ
t toán
T
T
ừ
ừ
(5.12) và (5.13) suy ra:
SA = SB
(5.6), (5.9) và (5.14) suy ra
hai:
c) Độ an toàn c
Giao th đượ
c trao đổi khóa an toàn:
c th c th entity authentication):
c này vi c ki m tra u ki cho
phép các đối tượng tham gia trao đổi khóa hoàn toàn
có th xác th được danh tính c a nhau.
Xác th explicit key
authentication): C c ki m tra
ki kh ng định B
i mình và B c ng có
u tương t nh th i A.
ạ
ng t
ấ
ả
m
ạ
ũ
c
đảm bảo
điều cần chứng
b
ằ
ủ
ệ
c gi
ả
i
ời 2 bài toán:
minh th
ứ
.
EA = H(KAB || SA ) = H(KBA || SB ) = EB
ủ
a giao th
ức
III. KẾT LUẬN
ứ
c
c
đề xu t bảo đảm các tính chất
ấ
c
ủ
a mộ
t giao th
Xác th
ứ
Bài báo đề xu
khai bao g m các thu
giao th c trao đổi khóa an toàn cho các h
đối x ng. Qua phân tích ánh giá cho th
toán c a h t m đề xu t có độ an toàn đượ
o b ng m độ khó c a vi c gi đồng th i 2 bài
toán: bài toán phân tích m t s nguyên l n ra các
th a s nguyên t và bài toán logarit r i r c trên Zp,
ho c: bài toán phân tích m t s nguyên l
th a s nguyên t và bài toán khai c
ấ
t xây d
ựng một hệ mật khóa công
-
ự
ự
ể
(
ở
ồ
ậ
t toán mã hóa, ch
ữ
ệ
ký s
mật khóa
ố và
giao th
ứ
ệ
ể
đ
i
ề
ện
EA = EB
ứ
ứ
đ
ấ
y các thu
ật
ể
-
ự
c
ủ
ệ
ủ
ệ
mậ
ớ
i
ấ
c
đảm
ực
khóa hi
n
(
b
ả
ằ
ứ
c
ủ
ệ
ải
ờ
ũng ch ng vi
ỉ
b
ằ
ệ
ể
điều
ộ
ố
ớ
ệ
n
, A hoàn toàn có th
ể
ẳ
đã
ừ
ố
ố
ờ ạ
EA = EB
được khóa bí m
kh ng định đượ
ặ
ộ
ố
ớ
n ra các
t
ạ
o
ể
ậ
t chia s
ẻ
v
ớ
ũ
ế vớ
ừ
ố
ố
ă
n trên vành Zn.
th
ẳ
c
đ
i
ề
ự
ư
7
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
[13] Lưu Hồng Dũng, Hoàng Thị Mai, Nguyễn Hữu Mộng,
” Một dạng lược đồ chữ ký xây dựng trên bài toán phân tích
số”, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ VIII về Nghiên cứu
cơ bản và ứng dụng Công Nghệ thông tin (FAIR 2015); Hà
Nội 09-10/07/2015. ISBN: 978-604-913-397-8.
Hoàn toàn có th
ki u t n công nào vào h
không ph
trên, do
các ng d
ể
kh
ẳ
ng định r
t thành công được mà
đồng th i 2 bài toán khó nêu
đề xu t có th phù h p với
ằng không có bất kỳ
ể
ấ
ệ mậ
ả
i gi
ả
i
đượ
c
t m
ầ
ờ
đó h
ệ
mậ
ớ
i
ấ
ể
ợ
[14] Luu Hong Dung, Le Dinh Son, Ho Nhat Quang and
ứ
ụ
ng yêu c
u cao về độ an toàn trong th
ự
c
Nguyen
Duc
Thuy,” DEVELOPING
DIGITAL
tế.
SIGNATURE SCHEMES BASED ON DISCRETE
LOGARITHM PROBLEM”, The 8th National Conference
on Fundamental and Applied IT Research (FAIR 2015). Ha
Noi 09-10/07/2015 ISBN: 978-604-913-397-8.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Q. X. WU, Y. X. Yang and Z. M. HU, "New signature
schemes based on discrete logarithms and factoring",
Journal of Beijing University of Posts and
Telecommunications, vol. 24, pp. 61-65, January 2001.
[15] Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Đức Thụy, Nguyễn Lương Bình
và Tống Minh Đức, “Phát triển thuật toán mật mã khóa
công khai dựa trên bài toán logarit rời rạc”, Hội nghị khoa
học Quốc gia lần thứ IX về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng
Công nghệ thông tin (FAIR 2016). ISBN: 978-604-913-
397-8. 2016.
[2] Z. Y. Shen and X. Y. Yu, "Digital signature scheme based
on discrete logarithms and factoring", Information
Technology, vol. 28,pp. 21-22, June 2004.
[3] Shimin Wei, “Digital Signature Scheme Based on Two
Hard Problems”, IJCSNS International Journal of Computer
Science and Network Security, VOL.7 No.12, December
2007.
[16] Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Đức Thụy, Lê Đình Sơn và
Nguyễn Thị Thanh Thủy, “ Một phương pháp xây dựng
lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán logarit rời rạc”, Hội
nghị khoa học Quốc gia lần thứ IX về Nghiên cứu cơ bản
và ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR 2016). ISBN: 978-
604-913-397-8. 2016.
[4] Eddie Shahrie Ismail, Tahat N.M.F., Rokiah. R. Ahmad, “A
New Digital Signature Scheme Based on Factoring and
Discrete Logarithms”, Journal of Mathematics and
[17] Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Đức Thụy, Nguyễn Văn Phúc và
Đỗ Anh Tuấn, “Một phương pháp xây dựng thuật toán chữ
ký số”, Hội thảo lần thứ I: Một số vấn đề chọn lọc về an
toàn, an ninh thông tin (SoIS 2016), 11/2016.
Statistics,
04/2008;
12(3).
DOI:
10.3844/jmssp.2008.222.225 Source:DOAJ.
[5] Qin Yanlin , Wu Xiaoping,“ New Digital Signature Scheme
Based on both ECDLP and IFP”, Computer Science and
Information Technology, 2009. ICCSIT 2009. 2nd IEEE
International Conference on, 8-11 Aug. 2009, E-ISBN :
978-1-4244-4520-2, pp 348 - 351.
[18] Nguyen Duc Thuy and Luu Hong Dung, “A New
Construction Method of Digital Signature Algorithms”,
IJCSNS International Journal of Computer Science and
Network Security. Vol. 16 No. 12 pp. 53-57, December
2016. ISSN: 1738 - 7906.
[6] Swati Verma1, Birendra Kumar Sharma, “A New Digital
Signature Scheme Based on Two Hard Problems”,
International Journal of Pure and Applied Sciences and
Technology, ISSN 2229 – 6107, Int. J. Pure Appl. Sci.
Technol., 5(2) (2011), pp. 55-59.
[19] Nguyen Duc Thuy, Nguyen Tien Giang, Le Dinh Son and
Luu Hong Dung, “ A Design Method of Digital Signature
Scheme Based on Discrete Logarithm Problem”, IJCSNS
International Journal of Computer Science and Network
Security. Vol. 17 No. 2 pp. 214-218, February 2017. ISSN:
1738 - 7906.
[7] Sushila Vishnoi , Vishal Shrivastava, ”A new Digital
Signature Algorithm based on Factorization and Discrete
Logarithm problem”, International Journal of Computer
Trends and Technology, volume 3, Issue 4, 2012.
[20] Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Vĩnh Thái và Nguyễn Đức Thụy,
“ Phát triển hệ mật khóa công khai từ hệ mã Pohlig -
Hellman “, Hội thảo lần thứ II: Một số vấn đề chọn lọc về
an toàn, an ninh thông tin (SoIS 2017), Tp. HCM
03/12/2017.
[8] A.N. Berezin, N.A. Moldovyan, V.A. Shcherbacov,
"Cryptoschemes Based on Difficulty of Simultaneous
Solving Two Different Difficult Problems", Computer
Science Journal of Moldova, vol.21, no.2(62), 2013.
[21] Phạm Văn Hiệp, Nguyễn Hữu Mộng và Lưu Hồng
Dũng,” MỘT THUẬT TOÁN CHỮ KÝ XÂY DỰNG
DỰA TRÊN TÍNH KHÓ CỦA VIỆC GIẢI ĐỒNG THỜI
HAI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ VÀ LOGARIT RỜI
RẠC “, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI
HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 7(128).2018. ISSN 1859-1531.
[9] Lưu Hồng Dũng, Trần Trung Dũng, Tống Minh
Đức, “Nghiên cứu xây dựng hệ tích hợp mật mã khóa công
khai - chữ ký số”, Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật (Học viện
KTQS), số 149 (08-2012). ISSN: 1859 - 0209., 01/08/2012.
[10] Lưu Hồng Dũng, “Phát triển thuật toán mật mã khóa công
khai dựa trên hệ mật El Gamal”, Chuyên san Các công trình
nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT và TT, Bộ TT và
TT, tập V-1, số 8(28) (12-2012). ISSN: 1859 - 3526., pp. 8,
01/12/2012.
[22] Nguyễn Lương Bình, Lưu Hồng Dũng, Tống Minh
Đức, “Một phương pháp phát triển hệ mật khóa công khai”,
Hội nghị Quốc gia lần thứ XI về Nghiên cứu cơ bản và ứng
dụng CNTT (FAIR 2018). ISBN: 978-604-913-397-8. Hà
Nội 8/2018.
[23] R. L. Rivest, A. Shamir, and L. M. Adleman, “A Method
for Obtaining Digital Signatures and Public Key
Cryptosystems”, Commun. of the ACM, Vol. 21, No. 2,
1978, pp. 120-126.
[11] Lưu Hồng Dũng, Ngô Đăng Tiến, Trần Trung Dũng, Vũ
Tất Thắng, “Phát triển một số thuật toán mật mã khóa công
khai”, Hội thảo quốc gia lần thứ XV: Một số vấn đề chọn
lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông. Hà Nội 3-
4/12/2012. ISBN: 978 - 604 - 67 - 0645 - 8., pp. 6,
04/12/2012.
[24] National Institute of Standards and Technology, NIST FIPS
PUB 186-4. Digital Signature Standard, U.S. Department of
Commerce, 2013.
[12] Lưu Hồng Dũng, Hồ Ngọc Duy, Nguyễn Tiền Giang and
Nguyễn Thị Thu Thủy, “ Phát triển một dạng lược đồ chữ
ký số mới”, Hội thảo quốc gia lần thứ XVI: Một số vấn đề
chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Đà
Nẵng - 11/2013. ISBN: 978 - 604 - 67 - 0645 - 8.
[25] T. ElGamal, “A public key cryptosystem and a signature
scheme based on discrete logarithms”, IEEE Transactions
on Information Theory. 1985, Vol. IT-31, No. 4. pp.469–
472.
8
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
9
Hội thảo lần thứ III: Một số vấn đề chọn lọc về an toàn an ninh thông tin – Đà Nẵng, 07/12/2018
10
10 trang
26260
Free
Bạn đang xem tài liệu "Hệ mật khóa công khai dựa trên tính khó của việc giải đồng thời 2 bài toán phân tích số và logarit rời rạc/khai căn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- he_mat_khoa_cong_khai_dua_tren_tinh_kho_cua_viec_giai_dong_t.pdf
