Ứng dụng excel để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

ỨNG DỤNG EXCEL

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Sự cạnh tranh khốc liệt trong hoạt động sản xuất kinh doanh luôn đòi hỏi

các nhà quản lý doanh nghiệp phải thường xuyên lựa chọn phương án để đưa ra

các quyết định nhanh chóng, chính xác và kịp thời với những ràng buộc và hạn

chế về các điều kiện liên quan tới tiềm năng của doanh nghiệp, điều kiện thị

trường, hoàn cảnh tự nhiên và xã hội. Việc lựa chọn phương án nào là tối ưu

theo mục tiêu định trước là hết sức quan trọng. Nếu tất cả các yếu tố (biến số)

liên quan đến khả năng, mục đích và quyết định lựa chọn đều có mối quan hệ

tuyến tính thì chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng mô hình quy hoạch tuyến tính

(QHTT) để mô tả, phân tích và tìm lời giải cho vấn đề lựa chọn tối ưu trong

quản lý kinh tế. Trong môn học Toán kinh tế việc giải bài toán QHTT thực hiện

bằng thuật toán đơn hình . Trong phần mềm Excel sử dụng một công cụ cài

thêm là Solver có thể giải bài toán tối ưu nhanh chóng.

2.1 NHẮC LẠI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

2.1.1 Bài toán QHTT dạng tổng quát

Bài toán QHTT dạng tổng quát là bài toán tối ưu hoá hay bài toán tìm cực

trị (cực tiểu hoặc cực đại) của một hàm tuyến tính với điều kiện các biến số phải

thoả mãn một hệ phương trình và (hoặc) bất phương trình tuyến tính. Mô hình

toán học của bài toán QHTT tổng quát có thể viết như sau:

n

f (x ,..., x ) = c x → max(min)

Hàm mục tiêu:

(2.1)

∑

1

2

j

j=1

với các ràng buộc (điều kiện):

n

a x = b ,

(

i ∈ I₁

)

∑

ij

j

i

(2.2)

j=1

1

a x ≥ b ,

(

i ∈ I₂

)

∑

ij

j

i

(2.3)

j=1

n

a x ≤ b ,

(

i ∈ I₃

∑

ij

j

i

(2.4)

(2.5)

j=1

x_j≥ 0

x_j≤ 0

hoặc

trong đó:

I₁, I₂, I₃là tập các chỉ số (I₁, I₂, I₃không giao nhau), ký hiệu

I = I₁∪ I₂∪ I₃

a_ij, b_i, c_jvới

biến số

i ∈ I, j = 1÷ n

là các hằng số (có thể là tham số), n là số

j =1÷ n

x_jvới

là các biến số (ẩn số) của bài toán, (2.5) được gọi là các

ràng buộc về dấu

* Một số khái niệm và định nghĩa

(1) Một nhóm ràng buộc có hệ véc tơ tương ứng độc lập tuyến tính được

gọi là các ràng buộc độc lập tuyến tính. Các ràng buộc dấu luôn là độc lập tuyến

tính.

(2) Phương án: Một véc tơ x = (x₁,x₂,…,x_n) thoả mãn hệ ràng buộc của

bài toán gọi là một phương án của bài toán.

Để phân biệt tính chất của các ràng buộc (cả ràng buộc dấu) đối với một

phương án cụ thể, ta có các khái niệm ràng buộc: chặt và lỏng.

+ nếu đối với phương án x mà ràng buộc i thoả mãn với dấu đẳng thức

(2.2) hoặc x_i= 0 (nếu là ràng buộc dấu) thì ta nói phương án x thoả mãn chặt

ràng buộc i hay ràng buộc i là chặt đối với phương án x.

+ nếu đối với phương án x mà ràng buộc i thoả mãn với dấu bất đẳng thức

(2.3), (2.4) hoặc x_i> 0, x_i< 0 (tuỳ thuộc ràng buộc loại gì) thì ta nói phương án

x thoả mãn lỏng ràng buộc i hay ràng buộc i là lỏng đối với phương án x.

2

Ràng buộc i có dạng phương trình thì nó sẽ là chặt với mọi phương án của

bài toán, nếu có dạng bất phương trình thì nó có thể là chặt đối với phương án

này và là lỏng đối với phương án kia.

(3) Phương án tối ưu (phưong án tốt nhất): Một phương án mà tại đó trị

số hàm mục tiêu đạt cực tiểu (hoặc cực đại, tuỳ trường hợp cụ thể của f(x)) gọi

là phương án tố ưu.

(4) Phưong án tốt hơn: Xét bài toán có f(x)→ min (max) và hai phương

án x¹, x²của nó. Phương án x¹gọi là tốt hơn phương án x²nếu

f

(

x¹

)

≤

(

≥

)

f

(

x²

)

.

Nếu có các dấu bất đẳng thức thực sự thì gọi là tốt hơn thực sự.

Một bài toán có tồn tại phương án tối ưu gọi là bài toán giải được và

ngược lại nếu không có phương án tối ưu gọi là bài toán không giải được. Bài

toán không giải được là do một trong hai nguyên nhân sau:

+ Bài toán không có phương án

+ Bài toán có phương án, nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới nếu

f(x)→ min hoặc không bị chặn trên nếu f(x) → max trên tập phương án.

(5) Phương án cực biên (PACB): Một phương án thoả mãn chặt n ràng

buộc độc lập tuyến tính được gọi là phương án cực biên.

Một bài toán có số ràng buộc (kể cả ràng buộc dấu nếu có) ít hơn n thì

chắc chắn sẽ không có phương án cực biên dù nó có phương án.

Phương án cực biên thoả mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực

biên không suy biến, thoả mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên

suy biến. Nếu tất cả các phương án cực biên của bài toán đều không suy biến thì

gọi là bài toán không suy biến, ngược lại là bài toán suy biến.

Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả lý thuyết cũng như thuật toán

giải QHTT, người ta thường sử dụng hai dạng đặc biệt của bài toán QHTT là bài

toán dạng chính tắc và bài toán dạng chuẩn.

2.1.2 Bài toán QHTT dạng chính tắc

3

Bài toán QHTT dạng chính tắc có dạng như sau:

n

f (x ,..., x ) = c x → max(min)

Hàm mục tiêu:

(2.1)

∑

2

j

j=1

n

a x = b ,i =1÷ m

∑

ij

j

i

với các ràng buộc:

(2.6)

j=1

x_j≥ 0, j =1÷ n

(2.7)

Như vậy, bài toán QHTT dạng chính tắc gồm có 2 nhóm: nhóm các ràng

buộc dạng phương trình (2.6), nhóm ràng buộc dạng bất phương trình chỉ bao

gồm các ràng buộc về dấu (2.7).

2.1.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

Bài toán QHTT dạng chuẩn có dạng như sau:

n

f (x ,..., x ) = c x → max(min)

Hàm mục tiêu:

(2.1)

∑

2

j

j=1

n

a x ≥ b ,i =1÷m

với các ràng buộc:

(2.8)

∑

ij

j

i

j=1

x_j≥ 0, j =1÷ n

(2.7)

Bài toán QHTT dạng chuẩn chỉ gồm 1 nhóm các ràng buộc dạng bất

phương trình bao gồm các ràng buộc về dấu là (2.8) và (2.7).

2.2 CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG EXCEL

Để giải quyết các bài toán QHTT phần mềm Excel cung cấp cho chúng ta

một công cụ khá hữu ích là Solver. Các bài toán QHTT dạng chính tắc và dạng

chuẩn chỉ là các trường hợp riêng bài toán QHTT dạng tổng quát. Vì thế ở đây ta

sẽ xem xét cách giải quyết bài toán QHTT dạng tổng quát rồi từ đó áp dụng

tương tự cho hai dạng còn lại.

2.2.1 Cài thêm công cụ Add-ins Solver

Vào thực đơn Tools\ Solver. Nếu chưa thấy chức năng Solver trên thực

đơn Tools thì ta cần bổ sung chức năng này vào Excel. Các bước tiến hành:

(1) Vào menu Tools\ Add-Ins, xuất hiện cửa sổ:

4

Hình 2.1 Hộp thoại Add-ins chứa các chức năng mở rộng của Excel

(2) Chọn Solver Add-Ins và chọn OK.

2.2.2 Xây dựng bài toán trong Excel

Việc xây dựng bài toán trong Excel cũng tương tự như việc xây dựng bài

toán khi chúng ta tiến hành giải thủ công thông thường. Sau khi phân tích đầu

bài chúng ta cần viết được hàm mục tiêu và các ràng buộc của bài toán rồi tiến

hành tổ chức dữ liệu vào bảng tính. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.1: Cho bài toán QHTT sau:

Hàm mục tiêu: f(x) = 2x₁+8x₂-5x₃+15x_{4 →}max

với ràng buộc:

3x₁-x₂+x₃+10x₄=5

x₁+2x₂+x₃+5x_{4 ≥}9

2x₁+10x₂+2x₃-5x_{4 ≤}26

x _j≥ 0, j = 1÷ 4

Tổ chức dữ liệu trên bảng tính:

¾ Biến quyết định: được nhập tại các ô B7:E7. Cho các giá trị khởi động

là 0.

¾ Hàm mục tiêu f(x): có giá trị căn cứ vào giá trị khởi động của các biến.

Công thức tại ô F8.

5

¾ Các ràng buộc: nhập các hệ số của các quan hệ ràng buộc tại các ô

B10:E12. Tính vế trái của các ràng buộc theo công thức tại các ô F10:F12.

Nhập các giá trị vế phải của các ràng buộc tại các ô G10:G12.

Theo bảng sau:

Hình 2.2 Tổ chức bài toán trên bảng tính

Sau khi nạp xong dữ liệu vào bảng tính ta tiến hành giải bài toán.

2.2.3 Tiến hành giải bài toán

(1)Chọn ô F8 và chọn Tools\ Solver. Bảng hộp thoại Solver Parameters

xuất hiện và gồm các thông số sau:

Hình 2.3 Hộp thoại khai báo các thông số cho Solver

Trong đó:

6

Set Tanget Cell: Nhập ô chứa địa chỉ tuyệt đối của hàm mục tiêu.

Equal To: Xác định giới hạn cho hàm mục tiêu hoặc giá trị cần đạt đến

của hàm mục tiêu: Max, Min hay Value of tuỳ thuộc vào yêu cầu của bài.

By Changing Cells: Nhập địa chỉ tuyệt đối của các ô ghi các giá trị ban

đầu của biến.

Subject to the Constraints: Nhập các ràng buộc của bài toán.

Cách làm của Solver là thay đổi giá trị của các biến tại By Changing

Cells cho đến lúc giá trị của hàm mục tiêu tại Set Tanget Cell đạt một giá trị quy

định tại Equal To và đồng thời thoả mãn tập các ràng buộc tại Subject to the

Constraints.

Với ví dụ 2.1 ta tiến hành khai báo các thông số cho Solver như sau:

¾ Địa chỉ của hàm mục tiêu F8 được đưa vào Set Target Cell

¾ Chọn Max tại Equal To để Solver tìm lời giải cực đại cho hàm mục

tiêu.

¾ Nhập địa chỉ của các biến quyết định B7:E7 tại By Changing Cells.

Hình 2.4 Khai báo hàm mục tiêu và các biến

¾ Thêm các ràng buộc vào Subject to the Contraints: Nhấp nút Add,

bảng Add Constraint xuất hiện và gồm các thông số sau:

7

Hình 2.5 Hộp thoại thêm các ràng buộc

Cell Reference: Ô hoặc vùng ô chứa công thức của các ràng buộc.

Ô dấu: Cho phép ta lựa chọn dấu của các ràng buộc tương ứng.

Constraint: Ô chứa giá trị vế phải của các ràng buộc tương ứng (ta cũng

có thể nhập trực tiếp giá trị vế phải của ràng buộc tương ứng).

Với ví dụ 2.1 các ràng buộc được nhập như sau:

x_j≥ 0, j = 1÷ 4

+ Các ràng buộc về dấu: do

) nên ta chọn vùng địa chỉ chứa biến B7:E7 vào Cell Reference, chọn dấu

và nhập 0 vào Constraint:

(các ràng buộc đều có dạng

≥

Hình 2.6 Thêm các ràng buộc

Chú ý: Nếu bài yêu cầu ràng buộc (x_j) là nguyên thì trong ô dấu ta chọn

int, nếu là kiểu nhị phân ta chọn bin.

+ Tiếp tục chọn Add để nhập tiếp các ràng buộc phương trình và bất

phương trình:

Cell Reference

Constraint

G10

F10

F11

F12

=

>=

<=

G11

G12

Chọn OK để kết thúc việc khai báo các ràng buộc. Tuy nhiên, muốn hiệu

chỉnh ràng buộc ta chọn ràng buộc và chọn Change, xoá ràng buộc ta chọn ràng

buộc từ danh sách Subject to the Contraints và nhấp Delete.

8

Hình 2.7 Khai báo các thông số của bài toán

¾ Sau khi hoàn tất ta chọn Solve để chạy Solver, hộp thoại kết quả xuất

hiện và cho ta hai sự lựa chọn sau:

Hình 2.8 Chọn kiểu báo cáo

Keep Solver Solution: Giữ kết quả và in ra bảng tính.

Restore Original Values: Huỷ kết quả vừa tìm được và trả các biến về

tình trạng ban đầu.

Save Scenario: Lưu kết quả vừa tìm được thành một tình huống để có thể

xem lại sau này.

Ngoài ra có 3 loại báo cáo là Answer, Sensitivity và Limits.

Ở ví dụ 2.1 ta chọn Keep Solver Solution, OK. Bảng kết quả nhận được

như sau:

Như vậy phương án cực biên tìm được là X=(0,3,0,0.8) và giá trị cực đại

của hàm mục tiêu f(x) là 36.

2.2.4 Giải thích thuật ngữ

Tuy nhiên để tiện cho việc phân tích kết quả thì trong bảng Solver

Results ta chọn thêm mục Answer Reports khi đó bảng kết quả nhận được của

ví dụ 2.1 như sau:

Ta cần phải nắm vững một số thuật ngữ sau:

Original Value: Giá trị ban đầu.

Final Value: Giá trị cuối cùng.

Formula: Công thức tính.

Status: Trạng thái.

Binding: Ràng buộc chặt.

10

Not Binding: Ràng buộc không chặt (ràng buộc lỏng).

2.3 CÁC LỰA CHỌN KHI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

2.3.1 Các lựa chọn

Để thiết lập các thuộc tính cho Solver thì trong bảng Solver Parameters

ta nhấp chuột vào Options hộp thoại Solver Options cho ta các lựa chọn sau:

Hình 2.9 Thiết lập các thuộc tính cho Solver

Max Time: Thời gian tối đa để giải bài toán là 32.767 giây (mặc định là

100 giây cho các bài toán đơn giản).

Iterations: Số lần lặp tối đa để giải các bài toán là 32.767 lần(mặc định là

100 lần).

Precision: Độ chính xác của bài toán (từ 0 đến 1, mặc định là 0.000001,

giá trị càng gần với 0 thì độ chính xác càng cao). Giá trị này điều chỉnh độ sai số

cho tập ràng buộc.

Tolerance: Chỉ áp dụng đối với các bài toán có ràng buộc nguyên. Nhập

vào sai số có thể chấp nhận được. Sai số càng lớn thì tốc độ giải càng nhanh

(mặc định là 5%)

Convergence: Chỉ áp dụng đối với các bài toán không tuyến tính. Khi tỉ

số của giá trị tính toán ban đầu của ô đích đến giá trị tính toán hiện hành ít hơn

giá trị đồng quy Solver ngừng việc tìm kiếm dù có tìm thấy lời giải hay không.

11

Giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Giá trị càng gần 0 thì độ chính xác càng

cao và cần nhiều thời gian hơn (mặc định là 0.0001).

Assume Linear Model: Khi tất cả quan hệ trong mô hình là tuyến tính thì

chọn mục này để tăng tốc độ giải bài toán.

Assume Non-Negative: Chọn tuỳ chọn này nếu muốn giả định tất cả các

biến của bài toán đều không âm.

Use Automatic Scaling: Chọn tuỳ chọn này khi ô đích và ô thay đổi có sự

khác nhau lớn. Solver sẽ tự động điều chỉnh các biến để tìm ra lời giải. Chẳng

hạn như bài toán tối đa % lợi nhuận trên hàng triệu đồng vốn đầu tư.

Show Iteration Results: Chọn tuỳ chọn này nếu muốn Solver tạm dừng

lại và hiển thị kết quả sau mỗi lần lặp.

Ba tính năng nâng cao điều khiển cho Solver:

Estimates: Chọn phương pháp cho Solver ước lượng các biến

- Tangent: Sử dụng cách xấp xỉ tuyến tính bậc nhất.

- Quandratic: Sử dụng cách xấp xỉ bậc bốn.

Derivatives: Chọn cách để ước lượng hàm mục tiêu và các ràng buộc

- Forward: Dùng khi giá trị của các ràng buộc biến đổi chậm (được

dùng phổ biến).

- Central: Dùng khi giá trị của các ràng buộc biến đổi nhanh và khi

Solver báo không thể cải tiến kết quả thu được.

Search: Quy định giải thuật tìm kiếm kết quả cho bài toán

- Newton: là phương pháp mặc định, sử dụng nhiều bộ nhớ và có số lần

lặp ít.

- Conjugate: cần ít bộ nhớ hơn phương pháp Newton nhưng số lần lặp

thì nhiều hơn. Được sử dụng khi giải các bài toán phức tạp và bộ nhớ máy tính

có giới hạn.

Save Model: Chọn nơi lưu mô hình bài toán. Sử dụng khi muốn lưu nhiều

mô hình trên một worksheet. Mô hình đầu tiên đã được lưu tự động.

Load Model: Xác định vùng địa chỉ của mô hình bài toán cần nạp vào.

12

2.3.2 Hạn chế khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong Excel

Hạn chế của bài trình cài thêm Solver là chỉ giải được các bài toán có tối da

là 16 biến số. Mặt khác số lần lặp tối đa để giải bài toán là 32767, thời gian tối đa

để giải bài toán là 32767…nên bên cạnh đó nó còn tồn tại một số mặt hạn chế

nhất định về quy mô của bài toán và khó khăn trong việc tìm miền tối ưu.

Đối với những bài toán tối ưu có quy mô lớn ta có thể sử dụng phần mềm

Lindo đây là một phần mềm tin học rất mạnh trong lĩnh vực này.

2.4 MỞ RỘNG BÀI TOÁN

Việc ứng dụng mô hình QHTT trong quản lý kinh tế và quản trị doanh

nghiệp là rất phổ biến. Chúng ta thường bắt gặp mô hình này trong các bài toán

như: bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu cho doanh nghiệp, bài toán phân bổ

vốn đầu tư, bài toán dự trữ…Tuy nhiên trong phần này xin trình bày ra đây 2

loại bài toán QHTT thông dụng nhất là: bài toán nguyên vật liệu và bài toán vận

tải.

2.4.1 Bài toán nguyên vật liệu

¾ Bài toán tổng quát

Một nhà máy có khả năng sản xuất n loại sản phẩm. Để sản xuất các sản

phẩm này cần phải sử dụng m loại nguyên vật liệu. Biết rằng:

a_ijlà lượng nguyên vật liệu loại i cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản

phẩm loại j

b_ilà dự trữ nguyên vật liệu loại i

c_jlà lợi nhuận từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j

j = 1,n

và

i = 1,m

với

Bài toán được mô tả theo bảng sau:

S₁

a₁₁

a₂₁

…

S₂

a₁₂

a₂₂

…

S_j

a_1j

a_2j

…

S_n

a_1n

a_2n

…

Dự trữ

b₁

NVL1

NVL2

…

b₂

…

13

NVL_i

…

a_i1

…

a_m1

c₁

a_i2

…

a_m2

c₂

…

a_in

…

a_mn

c_n

a_ij

…

a_mj

c_j

b_i

…

b_m

NVL_m

Lợi nhuận đơn vị

Hãy tìm phương án sản xuất để tối đa hoá lợi nhuận.

Bài giải:

x ≥ 0

Gọi x_jlà lượng sản phẩm loại j mà nhà máy sẽ sản xuất nên

.

j

Do đó phương án sản xuất của nhà máy là vectơ x=(x₁, x₂,…,x_j,..,x_n).

Khi đó:

n

a x

Tổng chi phí nguyên vật liệu loại i để sản xuất x là

sẽ không vượt

∑

ij

j

j=1

n

a x ≤ b

quá dự trữ b :

∑

ij

j

i

j=1

n

c x

Tổng lợi nhuận thu được khi sản xuất x là

∑

j

j=1

Vậy mô hình toán học của bài toán nguyên vật liệu có thể phát biểu theo

mô hình bài toán QHTT như sau:

n

c x → max

Hàm mục tiêu: f(x)=

∑

j

j=1

n

a x ≤ b ,i =1,m

Các ràng buộc:

∑

ij

j

i

j=1

x _j≥ 0, j =1,n

Việc giải bài toán nguyên vật liệu trong Excel cũng bao gồm 2 bước:

B1: Xây dựng bài toán (lập bài toán và tổ chức dữ liệu trên bảng tính).

B2: Tiến hành giải bài toán bằng cách chạy Solver theo trình tự như trên.

Ta xét một ví dụ cụ thể sau:

¾ Ví dụ 2.2

14

j = 1,5

Một nhà máy dự định tiến hành sản xuất 5 loại sản phẩm S_j(

). Cả 5

i = 1,4

loại sản phẩm này đều sử dụng 4 loại nguyên vật liệu chính NVL_i(

). Có

mức tiêu hao nguyên vật liệu, lợi nhuận đơn vị thu được và giới hạn dự trữ như

sau:

S₁

2

S₂

5

S₃

6

S₄

8

S₅

4

Dự trữ

1200

800

NVL₁

NVL₂

NVL₃

NVL₄

3

1

5

6

1

7

5

4

5

2

2000

1865

8

5

7

9

1

Lợi nhuận đơn vị 300

250

500

150

320

Hãy xây dựng phương án sản xuất để nhà máy đạt được tổng lợi nhuận

lớn nhất.

Bài giải:

B1: Xây dựng bài toán

Gọi x_jvới j=1,5 là sản lượng sản phẩm loại j sẽ sản xuất. (x_j>=0)

Nên phương án sản xuất của nhà máy là vectơ x = (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅).

Hàm mục tiêu: f(x) = 300x₁+ 250x₂+ 500x₃+ 150x₄+ 320x₅Æ max

Các ràng buộc:

2x₁+ 5x₂+ 6x₃+ 8x₄+ 4x₅<= 1200

3x₁+ x₂+ 5x₃+ 6x₄+ x₅<= 800

7x₁+ 5x₂+ 4x₃+ 5x₄+ 2x₅<= 2000

8x₁+ 5x₂+ 7x₃+ 9x₄+ x₅<= 1865

Bài toán được tổ chức trên bảng tính như sau:

15

Hình 2.10 Lập bài toán trên bảng tính

B2: Giải bài toán:

- Chọn ô G8 rồi thực hiện lệnh Tools\ Solver, điền đầy đủ thông tin vào

hộp thoại Solver Parameters như sau:

Hình 2.11 Khai báo các thông số của bài toán

- Nhấn Solver để thực hiện việc chạy Solvers. Trong bảng hộp thoại kết

quả Solver Results tích chọn mục Keep Solver Solution và chọn thêm báo cáo

Answer Report ta nhận được kết quả:

16

Phương án tối ưu (phương án cực biên) là x = (200, 0, 0, 0, 200) với

f(x) max = 124 000. Hay phương án sản xuât tối ưu của nhà máy là sản xuất 200

đơn vị sản phẩm 1 và 200 đơn vị sản phẩm 5 khi đó lợi nhuận tối ưu đạt được là

124 000 đơn vị tiền tệ. Không có nguyên liệu nào bị lãng phí.

2.4.2 Bài toán vận tải

¾ Bài toán tổng quát:

Có m kho hàng cùng chứa một loại hàng hoá, lượng hàng có ở kho i là a_i

(

i = 1,m

)

.

Có n địa điểm tiêu thụ loại hàng nói trên, với nhu cầu tiêu thụ ở điểm j là

(

j = 1,n

)

b_j

.

17

Biết c_ijlà cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ kho i đến điểm tiêu

Bài toán được mô tả theo bảng sau:

thụ j.

D₁

c₁₁

D₂

c₁₂

…

D_j

c_1j

…

D_n

c_1n

Dự trữ

a₁

K₁

K₂

…

K_i

…

c₂₁

…

c_i1

…

c_m1

b₁

c₂₂

…

c_i2

…

c_2j

…

c_ij

…

c_2n

…

c_in

…

c_mn

b_n

a₂

…

a_i

…

K_m

…

c_m2

b₂

…

c_mj

b_j

…

a_m

Nhu cầu tiêu thụ

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng từ các kho đến các điểm tiêu thụ sao

cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất.

Bài giải:

Gọi x_ijlà lượng hàng vận chuyển từ kho i đến điểm tiêu thụ j nên

x ≥ 0,i = m, j =1,n

. Ta có:

ij

m

n

c x

Tổng chi phí vận chuyển:

∑∑

ij ij

i=1 j=1

n

x

Lượng hàng vận chuyển khỏi kho i:

∑

ij

j=1

m

x

Lượng hàng vận chuyển đến điểm tiêu thụ j:

∑

ij

i=1

Như vậy mô hình toán học của bài toán vận tải có thể viết dưới dạng bài

toán QHTT như sau:

m

n

c x → min

Hàm mục tiêu: f(x) =

∑∑

ij ij

i=1 j=1

n

x ≤

Các ràng buộc:

a_i

∑

ij

j=1

18

m

x

= b

∑

ij

j

i=1

x_ij≥ 0,i =1,m, j =1,n

Ta thấy ngay được điều kiện cần và đủ để bài toán vận tải có phương án

tối ưu là tổng tất cả các lượng hàng tiêu thụ bằng tổng tất cả các lượng hàng ở

m

n

a =

b

j

các kho, nghĩa là:

∑ ∑

i

i=1

j=1

Cũng giống như bài toán nguyên vật liệu để tiến hành giải bài toán trong

Excel ta cần phải trải qua 2 bước là: xây dựng bài toán và tiến hành chạy

Solver. Xét ví dụ cụ thể sau:

¾ Ví dụ 2.3

Sử dụng công cụ Solver như đã trình bày ở trên hãy lập phương án vận

chuyển xăng tối ưu từ 4 kho đến 5 trạm xăng bán lẻ của một công ty kinh doanh

xăng dầu khu vực V.

Bài giải:

B1: Xây dựng bài toán

Gọi x_ijlà lượng hàng vận chuyển từ kho i đến điểm tiêu thụ j nên

x ≥ 0,i =1,4, j =1,5

.

ij

Hàm mục tiêu: f(x) = 30x₁₁+ 27x₁₂+ 26x₁₃+ 9x₁₄+ 23x₁₅+ 13x₂₁+ 4x₂₂

+ 22x₂₃+ 3x₂₄+ x₂₅+ 3x₃₁+ x₃₂+ 5x₃₃+ 4x₃₄+ 24x₃₅+ 16x₄₁+ 30x₄₂+ 17x₄₃+

10x₄₄+ 16x₄₅Æ min

Các ràng buộc:

x₁₁+ x₁₂+ x₁₃+ x₁₄+ x₁₅<= 4

x₂₁+ x₂₂+ x₂₃+ x₂₄+ x₂₅<= 6

x₃₁+ x₃₂+ x₃₃+ x₃₄+ x₃₅<= 10

x₄₁+ x₄₂+ x₄₃+ x₄₄+ x₄₅<= 10

x₁₁+ x₂₁+ x₃₁+ x₄₁<= 7

x₁₂+ x₂₂+ x₃₂+ x₄₂<= 7

19

x₁₃+ x₂₃+ x₃₃+ x₄₃<= 7

x₁₄+ x₂₄+ x₃₄+ x₄₄<= 7

x₁₅+ x₂₅+ x₃₅+ x₄₅<= 2

Tổ chức dữ liệu trên bảng tính như sau:

Hình 2.12 Tổ chức bài toán trên bảng tính

Bước 2: Tiến hành giải bài toán

Chọn ô B16 rồi dùng lệnh Tools\Solver

Hình 2.13 Khai báo các thông số của bài toán

20