Xây dựng thuật toán chữ ký số dựa trên một dạng bài toán khó mới
Công nghệ thông tin
XÂY DỰNG THUẬT TOÁN CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN MỘT DẠNG
BÀI TOÁN KHÓ MỚI
Nguyễn Đức Thụy1, Lưu Hồng Dũng2
Tóm tắt:
Bài báo đề xuất một phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký số dựa trên tính khó
của bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên Zp. Đây là một dạng bài toán khó mới,
lần đầu được đề xuất và ứng dụng để xây dựng các thuật toán chữ ký số. Từ phương
pháp được đề xuất có thể xây dựng một lớp thuật toán chữ ký số có độ an toàn cao cho
các ứng dụng trong thực tế.
Từ khóa: Digital signature, Digital signature algorithm, Digital Signature Schema, Discrete logarithm
problem.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong [1,2] đề xuất một phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký số dựa trên
tính khó của việc giải bài toán logarit rời rạc trên Zp. Ưu điểm của phương pháp
mới đề xuất là từ đó có thể triển khai một lớp thuật toán chữ ký số cho các ứng
dụng khác nhau. Tuy nhiên, độ an toàn của các thuật toán chữ ký được xây dựng
theo phương pháp này chỉ được đảm bảo bởi độ khó của việc giải bài toán logarit
rời rạc - DLP (Discrete Logarithm Problem) trên Zp. Do đó, nếu có một giải thuật
thời gian đa thức cho bài toán này (DLP) thì tính an toàn của các thuật toán sẽ bị
phá vỡ hoàn toàn. Nâng cao độ an toàn cho các thuật toán chữ ký số dựa trên tính
khó của việc giải đồng thời 2 bài toán khó là một hướng tiếp cận đang nhận được
nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, trong [3 – 10] các tác giả đã đề xuất
một số thuật toán chữ ký xây dựng trên đồng thời hai bài toán phân tích số và
logarit rời rạc. Trong bài báo này, cũng với mục đích nâng cao độ an toàn cho các
thuật toán chữ ký số, nhóm tác giả tiếp tục phát triển phương pháp đề xuất trong
[1,2] trên cơ sở tính khó của việc giải một bài toán khó mới, ở đây được gọi là bài
toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên Zp. Đây là một dạng bài toán khó lần đầu
được đề xuất và ứng dụng cho việc xây dựng thuật toán chữ ký số và có nhiều triển
vọng tạo ra các thuật toán có độ an toàn cao cho các ứng dụng thực tế.
2. XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN LOGARIT
RỜI RẠC KẾT HỢP KHAI CĂN TRÊN Zp
2.1. Một số bài toán khó ứng dụng trong mật mã và bài toán logarit rời rạc
kết hợp khai căn trên Zp
2.1.1. Bài toán logarit rời rạc trên Zp
Bài toán logarit rời rạc trên Zp là cơ sở xây dựng hệ mật khóa công khai
ElGamal [11]. Bài toán có thể được phát biểu như sau: Cho p là số nguyên tố, g là
*
*
phần tử sinh của nhóm Zp . Với mỗi số nguyên dương y ∈ Zp , hãy tìm x thỏa mãn
phương trình:
g x mod p = y
174
N.Đ. Thụy, L. H.Dũng “Xây dựng thuật toán chữ ký số … bài toán khó mới”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
Giải thuật cho bài toán DLP có thể được viết như một thuật toán tính hàm
DLP(.) với biến đầu vào là y còn giá trị hàm là nghiệm x của phương trình:
x = DLP(y)
Ở hệ mật ElGamal, bài toán logarit rời rạc được sử dụng với vai trò hàm một
chiều trong việc hình thành khóa của các thực thể trong cùng hệ thống với bộ tham
số {p, g} dùng chung.
2.1.2. Bài toán khai căn trên Zp
Bài toán khai căn (FRP) trên Zp có thể được phát biểu như sau: Cho p là số
*
nguyên tố, với mỗi số nguyên dương y ∈ Zp , hãy tìm x thỏa mãn phương trình:
k
(x) mod p = y
Trong [12], tác giả N.A. Moldovyan đã chứng minh bài toán khai căn trên là
khó nếu thỏa mãn:
p = N.kS +1
Ở đây: N là một số nguyên chẵn, k là một số nguyên tố và S ≥ 2. Ngoài ra, p và
k còn phải có kích thước thỏa mãn: |p| ≥ 1024 bit và: |k| ≥ 160 bit.
2.1.3. Bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên trường Zp
Bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên trường Zp (Bài toán DLRP) được đề
xuất ở đây có thể phát biểu như sau:
Bài toán DLRP: Với mỗi số nguyên dương
* , hãy tìm các số x1 và x2
y ∈ Zp
thỏa mãn phương trình sau:
x2
( )
x1 mod p = y
Trường hợp x1 là hằng số thì DLRP trở thành DLP, còn nếu x2 là 1 số nguyên
S
tố (hằng số) và thỏa mãn điều kiện theo [12]:
, với: N là một số
p = N × (x2 ) +1
nguyên chẵn và S ≥ 2, thì DLRP sẽ trở thành FRP. Dễ thấy rằng, việc giải được
DLRP là khó hơn cả DLP và FRP. Ngay cả khi có các giải thuật thời gian đa thức
cho DLP và FRP thì cũng không có nghĩa là sẽ giải được DLRP.
2.2. Xây dựng lược đồ chữ ký dựa trên tính khó của bài toán DLRP
2.2.1. Thuật toán sinh khóa
Ở phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký mới đề xuất, DLRP được sử dụng
để hình thành cặp khóa bí mật và công khai của đối tượng ký. Trong đó, p là tham
số hệ thống (tham số miền) do nhà cung cấp dịch vụ tạo ra, ở đây p là số nguyên tố
cần phải được chọn sao cho việc giải bài toán DLP là khó. Cặp (x1, x2) là khóa bí
mật và y là khóa công khai tương ứng của mỗi đối tượng ký trong hệ thống. Để tạo
khóa x1 mỗi thực thể ký cần tạo trước số nguyên tố q thỏa mãn: q|(p – 1) và một số
* . Khóa x1 được tạo theo:
α
∈ Zp
p−1
q
x1 =
α
mod p
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 – 2018
175
Công nghệ thông tin
Khóa x2 là một giá trị được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (1, q). Sau đó, các
khóa công khai được tạo ra từ (x1, x2) theo:
x2
y1 = x1 mod p
( )
,
y2 = x2 mod p
( )x1
(1)
Chú ý rằng tham số q cũng sẽ được sử dụng với vai trò của một khóa bí mật
tương tự như x1 và x2 trong thuật toán ký.
Thuật toán sinh khóa có thể được mô tả lại như trên Bảng 1 sau đây:
Bảng 1. Thuật toán sinh khóa
Input: p – số nguyên tố, lq – độ dài (tính theo bit) của số nguyên tố q.
Output: q, x1, x2, y1, y2.
[1]. generate q: len(q) = lq, q|(p-1)
[2]. select α: 1<
α
< p
p−1)/ q
x1 ← α (
mod p
[3].
[4]. if (x1 = 1) then goto [2]
[5]. select x2:
1< x2 < q
x2
(x1 ) mod p
[6]. y1 ← ,
x1
y2 ← x2 mod p
( )
[7]. return {q, x1, x2, y1, y2 }
Chú thích:
- len(.) là hàm tính độ dài (theo bit) của một số nguyên.
- q, x1, x2: Khóa bí mật.
- y1, y2: Khóa công khai của đối tượng ký (U).
2.2.2. Thuật toán ký
Giả sử (r,s) là chữ ký lên bản tin M, u là 1 giá trị trong khoảng (1,q) và r được
tính từ u theo công thức:
r = x1
( )
u mod p
(2)
Và s được tính từ v theo công thức:
s = x1
v mod p
(3)
(
)
Ở đây: v cũng là 1 giá trị trong khoảng (1,q).
Cũng giả thiết rằng phương trình kiểm tra của lược đồ có dạng:
y2
r.s mod p
)
(
s
)
≡
(
r
×
(
y1
)
E mod p
E = H(M )
r×smod p =
(
x1
)
k mod p
Với:
và:
(4)
Trong đó: H(.) là hàm băm và k là một giá trị được chọn ngẫu nhiên trong
khoảng (1,q).
Đặt:
(x1 )
k mod p = Z
(5)
176
N.Đ. Thụy, L. H.Dũng “Xây dựng thuật toán chữ ký số … bài toán khó mới”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
Khi đó có thể đưa phương trình kiểm tra về dạng:
y2
Z
(6)
(7)
(
s
)
≡
(
r
)
×(y1 )
E mod p
Từ (1), (2), (3) và (6) ta có:
v.y2
u.Z
x .E mod p
2
(
x1
Từ (7) suy ra:
v× y2 ≡
)
≡
(
x1
)
×
(
x1
)
u × Z + x2 × E mod q
( )
hay:
−1
(8)
(9)
v =
(
y2
)
×
(u × Z + x2 × E)mod q
Mặt khác, từ (2), (3) và (4) ta có:
(v + u)mod q = k
Từ (8) và (9) ta có:
u× Z + x2 × E
×
y2
+ x2 × E ×
−1 +1 −1
−1 + u
modq = k
Hay:
−
)
−1
)
(10)
(11)
u×
Z ×
(
y2
1 +1
(
y2
modq = k
Từ (10), suy ra:
−1
u =
Z ×
(
y2
)
×
k − x2 × E ×
(
y2
) mod q
Từ (11), có thể tính thành phần thứ nhất của chữ ký theo (2):
r = x1
u mod p
và thành ph n th được tính theo (3):
(
)
ầ
ứ 2
s = x1
v mod p
với v được tính theo (8):
−1
)
v =
(
y2
×
(u × Z + x2 × E
)mod q
T
ừ đây thu
ật toán ký được mô t
ả
trên B
ảng 2 như sau:
Bảng 2. Thuật toán ký
Input: p, q, x1, x2, y2,M .
Output: (r,s).
[1].
E ← H(M)
[2]. select k:
1< k < p −1
k mod p
[3].
Z ←
u ←
v ←
(
x1
)
Z ×
(
−1
y2
)
−1 +1 −1
u × Z + x2 × E
)
×
k − x2 × E ×
(
y2
) mod q
−1
[4].
[5].
[6].
[7].
(
y2
)
×
(
mod q
r ← x1 mod p
s ← x1 mod p
( )u
v
[8]. return (r,s)
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 – 2018
177
Công nghệ thông tin
Chú thích:
- M: bản tin cần ký, với:
M ∈{0,1}∞
.
- (r,s): chữ ký của U lên M.
2.2.3. Thuật toán kiểm tra
Thuật toán kiểm tra của lược đồ được mô tả trong Bảng 3 như sau:
Bảng 3. Thuật toán kiểm tra
Input: p, y1, y2, M, (r,s).
Output: true
/
.
false
[1].
E = H(M )
[2]. Z ← r × s mod p
(12)
(13)
Z
[3]. w ←
(r
)
×
(
y1
)
E mod p
1
y2
[4]. w2 ← (
s
)
mod p
if (
) then {return true }
w = w2
1
else {return
}
false
Chú thích:
- M, (r,s): bản tin, chữ ký cần thẩm tra.
- Nếu kết quả trả về là true thì tính toàn vẹn và nguồn gốc của M được khẳng
định. Ngược lại, nếu kết quả là false thì M bị phủ nhận về nguồn gốc và tính toàn
vẹn.
2.2.4. Tính đúng đắn của lược đồ mới đề xuất
Điều cần chứng minh ở đây là: Cho p, q là 2 số nguyên tố với q|(p-1),
p−1
)
x1 = α ( / q mod p
H :
{ }
0,1 ∗
a Zn
q < n < p
1< α < p
,
,
,
,
1 < k, x2 < q
,
,
,
,
x1
)
x2
k
,
y2 =
(
x2
mod p
,
,
y1 =
(
x1
)
mod p
Z =
u × Z + x2 × E
w1 = r × y1 mod p
( )Z ( )E
(
x1
)
mod p
E = H M
−1 +1 −1
×
k − x2 × E ×
s =
(
y2
v =
−1
)
−1
,
) mod q
(
y2
×
(
)
mod q
u =
r =
w2
Z ×
(
y2
)
,
(x1 ) mod p
y2
(
x1
)
v mod p . N
ếu:
,
u
Z = r ×smod p
=
(
s
)
mod
p
thì:
.
w = w2
1
Tính
đ
úng đắn c
ủ
a thu
ật toán m
ớ
i
đề xu
ất
được ch
ứng minh nh
ư
sau:
Thật v
ậy ta có:
y2
v. y2
)
(u.Z + x2 .E ).(y2 )
−1. y2
)
w2 =
(
s
)
mod p =
−1
)
(
x1
mod p =
(
x1
mod p
(14)
−1
(
Z.
(
y2
−1 +1
)
.
(
k −x2 .E.
(
y2
)
)
.Z + x2
=
(
x1
)
.E mod p
M
ặt khác t
ừ
(12) ta l
ại có:
178
N.Đ. Thụy, L. H.Dũng “Xây dựng thuật toán chữ ký số … bài toán khó mới”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
u
)
Z = r × s mod p =
(
x1
×
x1 x1
v mod p = u+v mod p
( ) ( )
−1
)
−1
)
−1
−1
−1
(
Z.
(
(
(
y2
y2
y2
)
)
)
−1 +1
−1 +1
−1 +1
.
.
.
(
k −x2 .E.
(
y2
y2
y2
)
)
+
(
y2
)
.
(
Z.
(
y2
)
−1 +1
.
(
k −x2 .E.
(
y2
)
)
.Z +x .E
2
=
=
(
(
x1
x1
)
mod p
−1
)
−1
−1
−1
−1
(15)
(Z.
(k −x2 .E.
(
)
)+
(Z.
(
y2
)
−1 +1
)
(
.k −x2 .E.
(
y2
)
)
.(y2 ) (y2 )
−1.Z +x2 .E.
)
mod p
−1
)
−1
−1
(
Z.
(
k −x2 .E.
(
)
)
.
(
Z.
(
y2
)
−1 +1
+x2 .E.(y2 )
)
=
=
(
(
x1
x1
)
mod p
−1
k −x2 .E.
)
(
y2
)
−1 +x2 .E.
(
y2
)
mod p = x1
( )
k mod p = Z
Thay (15) vào (13) ta lại có:
Z
u.Z
)
x2
w1 =
(
r
)
×
(
y1
−1
)
)
E mod p =
(
x1
×( )
.E mod p
x1
(16)
−1
)
(
Z.
(
y2
y2
)
−1+1
.
.
(
k−x2
.
(
y2
).Z
x2
=
=
(
(
x1
x1
)
)
×
(
x1
)
.E mod p =
−1
−1
)
(
Z.
(
)
−1+1
)
(k−x2 .E.
(
y2
).Z +x2
.E mod p
Từ (14) và (16) suy ra điều cần chứng minh:
w = w2
1
2.2.5. Mức độ an toàn của thuật toán được đề xuất
Mức độ an toàn của lược đồ mới đề xuất có thể đánh giá qua khả năng như:
+ Chống tấn công làm lộ khóa bí mật
Ở thuật toán mới đề xuất, cặp tham số x1, x2 cùng được sử dụng làm khóa bí
mật để hình thành chữ ký. Vì thế, thuật toán chỉ bị phá vỡ nếu cả 2 tham số này
cùng bị lộ, nói cách khác là kẻ tấn công phải giải được bài toán logarit rời rạc kết
hợp khai căn trên Zp. Do đó, mức độ an toàn của thuật toán mới đề xuất xét theo
khả năng chống tấn công làm lộ khóa mật được đánh giá bằng mức độ khó của việc
giải được DLRP. Cần chú ý, DLRP là một dạng bài toán khó mới, mà ngay cả khi
có các giải thuật thời gian đa thức cho FRP và DLP cũng không có nghĩa là sẽ giải
được bài toán này. Ngoài ra, tham số q cũng được sử dụng với vai trò khóa bí mật
trong thuật toán ký. Như vậy, để phá vỡ tính an toàn của thuật toán, kẻ tấn công
còn phải giải được bài toán tìm bậc của x1. Tuy nhiên, việc tìm bậc của x1 là không
thể thực hiện được, vì x1 ở đây là 1 tham số bí mật.
+ Chống giả mạo chữ ký
Từ thuật toán kiểm tra (Bảng 2) của thuật toán mới đề xuất cho thấy, một cặp
(r,s) giả mạo sẽ được công nhận là chữ ký hợp lệ với một bản tin M nếu thỏa mãn
điều kiện:
y2
(r.s)mod p
)
×
( )
E mod p
y1
(17)
(18)
(19)
(
s
)
≡
(
r
Từ (17), nếu chọn trước r rồi tính s thì khi đó điều kiện (17) sẽ có dạng:
y2
s.r
)
(
s
)
≡ a( mod p mod p
Còn nếu chọn trước s rồi tính r thì khi đó điều kiện (17) sẽ trở thành:
(
r.s
)
b =
(
r
)
mod p mod p
Với a, b là hằng số, dễ thấy rằng việc giải (18) và (19) là khó tương đương với
bài toán DLRP.
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 – 2018
179
Công nghệ thông tin
4. KẾT LUẬN
Bài báo đề xuất một lược đồ chữ ký số mới dựa trên bài toán logarit rời rạc kết
hợp khai căn trên Zp. Mức độ an toàn của các thuật toán xây dựng theo phương
pháp này sẽ được đảm bảo bằng mức độ khó của việc giải bài toán trên. Ở đây, bài
toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên trường Zp là một dạng bài toán khó mới,
lần đầu được đề xuất và ứng dụng trong việc xây dựng thuật toán chữ ký số. Từ
phương pháp mới đề xuất có thể xây dựng một lớp thuật toán chữ ký số có độ an
toàn cao cho các ứng dụng trong thực tế.
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Đức Thụy, Nguyễn Văn Phúc và Đỗ Anh Tuấn, “Một
phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký số”, Hội thảo lần thứ I: Một số vấn đề
chọn lọc về an toàn, an ninh thông tin (SoIS 2016), 11/2016.
[2] Nguyen Duc Thuy and Luu Hong Dung, “A New Construction Method of
Digital Signature Algorithms”, IJCSNS International Journal of Computer
Science and Network Security. Vol. 16 No. 12 pp. 53-57, December 2016.
ISSN: 1738 - 7906.
[3] Q. X. WU, Y. X. Yang and Z. M. HU, "New signature schemes based on
discrete logarithms and factoring", Journal of Beijing University of Posts and
Telecommunications, vol. 24, pp. 61-65, January 2001.
[4] Z. Y. Shen and X. Y. Yu, "Digital signature scheme based on discrete
logarithms and factoring", Information Technology, vol. 28,pp. 21-22, June
2004.
[5] Shimin Wei, “Digital Signature Scheme Based on Two Hard Problems”,
IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security,
VOL.7 No.12, December 2007.
[6] Eddie Shahrie Ismail, Tahat N.M.F., Rokiah. R. Ahmad, “A New Digital
Signature Scheme Based on Factoring and Discrete Logarithms”, Journal of
Mathematics and Statistics, 04/2008; 12(3). DOI: 10.3844/jmssp.2008.222.225
Source:DOAJ.
[7] Qin Yanlin , Wu Xiaoping,“ New Digital Signature Scheme Based on both
ECDLP and IFP”, Computer Science and Information Technology, 2009.
ICCSIT 2009. 2nd IEEE International Conference on, 8-11 Aug. 2009, E-ISBN :
978-1-4244-4520-2, pp 348 - 351.
[8] Swati Verma1, Birendra Kumar Sharma, “A New Digital Signature Scheme
Based on Two Hard Problems”, International Journal of Pure and Applied
Sciences and Technology, ISSN 2229 – 6107, Int. J. Pure Appl. Sci. Technol.,
5(2) (2011), pp. 55-59.
[9] Sushila Vishnoi , Vishal Shrivastava, ”A new Digital Signature Algorithm
based on Factorization and Discrete Logarithm problem”, International Journal
of Computer Trends and Technology, volume 3, Issue 4, 2012.
180
N.Đ. Thụy, L. H.Dũng “Xây dựng thuật toán chữ ký số … bài toán khó mới”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
[10] A.N. Berezin, N.A. Moldovyan, V.A. Shcherbacov, "Cryptoschemes Based on
Difficulty of Simultaneous Solving Two Different Difficult Problems",
Computer Science Journal of Moldova, vol.21, no.2(62), 2013.
[11] T. ElGamal, “A public key cryptosystem and a signature scheme based on
discrete logarithms”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-31, No.
4. pp.469–472.
[12] N.A. Moldovyan, "Digital Signature Scheme Based on a New Hard Problem",
Computer Science Journal of Moldova, vol.16, no.2(47), 2008.
ABSTRACT
A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM BASED ON NEW HARD
PROBLEM
This paper proposes a signature schema based on the difficulty of the new hard
problem. The new signature scheme proposed has higher safety level compared to
the schemas which have been published previously about the ability of keeping
secret the source of the signed messages.
Keywords: Digital signature, Digital signature algorithm, Digital Signature Schema, Discrete logarithm
problem.
Nhận bài ngày 12 tháng 06 năm 2018
Hoàn thiện ngày 15 tháng 10 năm 2018
Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018
Địa chỉ: 1 Khoa CNTT, Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh.
2 Khoa CNTT, Học viện KTQS.
*
Email: luuhongdung@gmail.com.
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 – 2018
181
8 trang
10/05/2022
3740
Bạn đang xem tài liệu "Xây dựng thuật toán chữ ký số dựa trên một dạng bài toán khó mới", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- xay_dung_thuat_toan_chu_ky_so_dua_tren_mot_dang_bai_toan_kho.pdf
