Bài giảng Cấu trúc dữ liệu nâng cao - Bài 2: Một số phương pháp sắp xếp

Bài 2: Một số phương pháp sắp xếp

I. Thuật toán sắp xếp nhanh - Quick Sort

Ý tưởng:

Có dãy số: a1, a2, ..., an

Giải thuật QuickSort làm việc như sau:

Chọn x là một phần tử làm biên: thường chọn là phần tử ở

giữa dãy số.

Phân hoạc dãy thành 3 dãy con

1. ak <= x , với k = 1..i

2. ak = x , với k = i..j

3. ak > =x , với k = j..N

Ak<=

Ak=x

Ak>=x

x

Nếu số phần tử trong dãy con 1, 3 lớn hơn 1 thì ta tiếp tục

phân hoạch dãy 1, 3 theo phương pháp trên. Ngược lại thì: dừng.

Giải thuật phân hoạch dãy am, am+1, ., an thành 2 dãy con:

Bước 1 : Chọn tùy ý một phần tử a[k] trong dãy là giá trị biên,

m<= k <=n:

x = a[k]; i = m; j = n;

Bước 2 : Phát hiện và hiệu chỉnh cặp phần tử a[i], a[j] nằm sai vị

trí:

Bước 2a : Trong khi (a[i]<x) i++;

Bước 2b : Trong khi (a[j]>x) j--;

Bước 2c : Nếu i<= j

1

// a[i]>= x; a[j]<=x mà a[j] đứng sau a[i]

Hoán vị (a[i],a[j]);

i++;

j--;

Bước 3 :

Nếu i <= j:

Ngược lại: Dừng

Lặp lại Bước 2.//chưa xét hết mảng

Có thể phát biểu giải thuật sắp xếp QuickSort một cách đệ qui

như sau :

Bước 1 : Phân hoạch dãy a_m… a_nthành các dãy con :

- Dãy con 1 : am.. aj <= x

- Dãy con 2 : aj+1.. ai-1 = x

- Dãy con 1 : ai.. a_n>= x

Bước 2 :

Nếu ( m < j )

Phân hoạch dãy a_m.. a_j

Nếu ( i < n ) // dãy con 3 có nhiều hơn 1 phần tử

Phân hoạch dãy a_i.. a_r

// dãy con 1 có nhiều hơn 1 phần tử

Ví dụ:

Cho dãy số a:

12 2 8

5

1

6

4

15

Phân hoạch đoạn l =1, r = 8: x = A[4] =5

2

P

hân hoạch

đoạn l =1, r = 3: x = A[2] = 2

Ph

ân hoạch

đoạn l = 5, r = 8: x = A[6] = 6

Ph

3

ân hoạch

đoạn l = 7, r = 8: x = A[7] = 6

Dừng.

Cài đặt

Ðánh giá giải thuật

Hiệu qủa thực hiện của giải thuật QuickSort phụ thuộc vào

việc chọn giá trị mốc.

Trường hợp tốt nhất xảy ra nếu mỗi lần phân hoạch đều chọn

được phần tử median (phần tử lớn hơn (hay bằng) nửa số phần tử,

và nhỏ hơn (hay bằng) nửa số phần tử còn lại) làm mốc, khi đó dãy

được phân chia thành 2 phần bằng nhau và cần log₂(n) bước phân

hoạch thì sắp xếp xong.

Nhưng nếu mỗi bước phân hoạch phần tử được chọn có giá

trị cực đại (hay cực tiểu) là mốc, dãy sẽ bị phân chia thành 2 phần

không đều: một phần chỉ có 1 phần tử, phần còn lại gồm (n-1)

phần tử, do vậy cần thực hiện n bước phân hoạch mới sắp xếp

xong. Ta có bảng tổng kết

Trường hợp Ðộ phức tạp

Tốt nhất

Xấu nhất

n*log(n)

n²

4

II. Radix sort

Ý tưởng:

Khác với các thuật toán trước, Radix sort là một thuật toán

tiếp cận theo một hướng hoàn toàn khác. Nếu như trong các thuật

toán khác, cơ sở để sắp xếp luôn là việc so sánh giá trị của 2 phần

tử thì Radix sort lại dựa trên nguyên tắc phân loại thư của bưu

điện.

Ta biết rằng, để đưa một khối lượng thư lớn đến tay người

nhận ở nhiều địa phương khác nhau, bưu điện thường tổ chức một

hệ thống phân loại thư phân cấp:

Trước tiên, các thư đến cùng một tỉnh, thành phố sẽ được sắp

chung vào một lô để gửi đến tỉnh thành tương ứng.

Bưu điện các tỉnh thành này lại thực hiện công việc tương tự.

Các thư đến cùng một quận, huyện sẽ được xếp vào chung một lô

và gửi đến quận, huyện tương ứng. Cứ như vậy, các bức thư sẽ

được trao đến tay người nhận một cách có hệ thông mà công việc

sằp xếp thư không quá nặng nhọc.

Mô phỏng lại qui trình trên, để sắp xếp dãy a1, a2, ..., an, giải

thuật Radix Sort thực hiện như sau:

Trước tiên, ta có thể giả sử mỗi phần tử ai trong dãy: a1, a2,

..., an là một số nguyên có tối đa m chữ số.

Ta phân loại các phần tử lần lượt theo các chữ số hàng đơn

vị, hàng chục, hàng trăm, . tương tự việc phân loại thư theo tỉnh

thành, quận huyện, phường xã, ..

Các bước thực hiện thuật toán như sau:

Bước 1 : // k cho biết chữ số dùng để phân loại hiện hành

k = 0;

// k = 0: hàng đơn vị; k = 1:hàng chục;

Bước 2 : //Tạo các lô chứa các loại phần tử khác nhau

Khởi tạo 10 lô B0, B1, ., B9 rỗng;

5

Bước 3 :

For i = 1 .. n do

Ðặt ai vào lô Bt với t = chữ số thứ k của ai;

Bước 4 :

Nối B0, B1, ., B9 lại (theo đúng trình tự) thành a.

Bước 5 :

k = k+1;

Nếu k < m thì trở lại bước 2.

Ngược lại: Dừng

Ví dụ

Cho dãy số a:

701 1725 999 9170 3252 4518 7009 1424 428 1239 8425 7013

Phân lô theo hàng đơn vị:

12 0701

11 1725

10 0999

9

8

7

6

5

4

3

2

1

9170

3252

4518

7009

1424

0428

1239

8425

0999

4518 7009

0428 1239

1725

7013 9170 0701 3252 7013 1424 8425

CS A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

Các lô B dùng để phân loại

Phân lô theo hàng chục:

12 0999

11 7009

10 1239

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4518

0428

1725

8425

1424

7013

3252

0428

1725

0701 7009 4518 8425

9170 0701 7013 1424 1239

3252

5

9170

7

0999

9

CS A 0

1

2

3

4

6

8

Phân lô theo hàng trăm:

12 0999

11 9170

10 3252

9 1239

8 0428

7 1725

6 8425

5 1424

7

4 4518

3 7013

0428

2 7009 7013

3252

8425

1725

0701

7

1 0701 7009 9170 1239

CS A

1424 4518

0999

9

0

1

2

3

4

5

6

8

Phân lô theo hàng ngàn:

12 0999

11 1725

10 0701

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4518

0428

8425

1424

3252

1239

9170 0999 1725

7013 0701 1424

7009 0428 1239

7013

3252 4518

7009 8425 9170

CS A 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Lấy các phần tử từ các lô B0, B1, ., B9 nối lại thành a:

12 9170

11 8425

10 7013

9

8

7009

4518

8

7

6

5

4

3

2

1

3252

1725

1424

1239

0999

0701

0428

CS A 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ðánh giá giải thuật

Với một dãy n số, mỗi số có tối đa m chữ số, thuật toán thực

hiện m lần các thao tác phân lô và ghép lô. Trong thao tác phân lô,

mỗi phần tử chỉ được xét đúng một lần, khi ghép cũng vậy. Như

vậy, chi phí cho việc thực hiện thuật toán hiển nhiên là O(2mn) =

O(n).

NHẬN XÉT

Thuật toán không có trường hợp xấu nhất và tốt nhất. Mọi dãy số

đều được sắp với chi phí như nhau nếu chúng có cùng số phần tử

và các khóa có cùng chiều dài.

Thuật toán cài đặt thuận tiện với các mảng có khóa sắp xếp là

chuỗi (ký tự hay số) hơn là khóa số như trong ví dụ do tránh được

chi phí lấy các chữ số của từng số.

Tuy nhiên, số lượng lô nhiều (10 khi dùng số thập phân, 26 khi

dùng chuỗi ký tự tiếng anh, ...) nhưng tổng kích thước của tất cả

các lô chỉ bằng dãy ban đầu nên ta không thể dùng mảng để biểu

diễn B (B0->B9). Như vậy, phải dùng cấu trúc dữ liệu động để

biểu diễn B => Radix sort rất thích hợp cho sắp xếp trên danh sách

liên kết.

Khi sắp các dãy không nhiều phần tử, thuật toán Radix sort

sẽ mất ưu thế so với các thuật toán khác.

9

III. Sắp xếp cây - Heap sort

1.Ý tưởng:

Nhận xét: Khi tìm phần tử nhỏ nhất ở bước i, phương pháp

sắp xếp chọn trực tiếp không tận dụng được các thông tin đã có

được do các phép so sánh ở bước i-1.

Vì lý do trên người ta tìm cách xây dựng một thuật toán sắp

xếp có thể khắc phục nhược điểm này.

Mấu chôt để giải quyết vấn đề vừa nêu là phải tìm ra được

một cấu trúc dữ liệu cho phép tích lũy các thông tin về sự so sánh

giá trị các phần tử trong qua trình sắp xếp.

Giả sử dữ liệu cần sắp xếp là dãy số : 5 2 6 4 8 1 được bố trí

theo quan hệ so sánh và tạo thành sơ đồ dạng cây như sau :

Trong đó một phần tử ở mức i chính là phần tử lớn trong cặp

phần tử ở mức i+1, do đó phần tử ở mức 0 (nút gốc của cây) luôn

là phần tử lớn nhất của dãy.

Nếu loại bỏ phần tử gốc ra khỏi cây (nghĩa là đưa phần tử lớn

nhất về đúng vị trí), thì việc cập nhật cây chỉ xảy ra trên những

nhánh liên quan đến phần tử mới loại bỏ, còn các nhánh khác được

bảo toàn, nghĩa là bước kế tiếp có thể sử dụng lại các kết quả so

sánh ở bước hiện tại.

Trong ví dụ trên ta có :

10

Loại bỏ 8 ra khỏi cây và thế vào các chỗ trống giá trị -∞ để

tiện việc cập nhật lại cây :

Tiến hành nhiều lần việc loại bỏ phần tử gốc của cây cho đến

khi tất cả các phần tử của cây đều là -∞, khi đó xếp các phần tử

theo thứ tự loại bỏ trên cây sẽ có dãy đã sắp xếp. Trên đây là ý

tưởng của giải thuật sắp xếp cây.

2. Cấu trúc dữ liệu Heap

Tuy nhiên, để cài đặt thuật toán này một cách hiệu quả, cần

phải tổ chức một cấu trúc lưu trữ dữ liệu có khả năng thể hiện được

quan hệ của các phần tử trong cây với n ô nhớ thay vì 2n-1 như

trong ví dụ.

Khái niệm heap và phương pháp sắp xếp Heapsort do

J.Williams đề xuất đã giải quyết được các khó khăn trên.

11

Ðịnh nghĩa Heap:

Giả sử xét trường hợp sắp xếp tăng dần, khi đó Heap được

định nghĩa là một dãy các phần tử a_p, a₂,... , a_qthoả các quan hệ

sau với mọi i thuộc [p, q]:

1/. a_i>= a_2i

a_i>= a_2i+1

2/.

{(ai , a2i), (ai ,a2i+1) là các cặp phần tử liên đới }

Heap có các tính chất sau :

Tính chất 1 : Nếu ap , a2 ,... , aq là một heap thì khi cắt bỏ

một số phần tử ở hai đầu của heap, dãy con còn lại vẫn là một

heap.

Tính chất 2 : Nếu ap , a2 ,... , aq là một heap thì phần tử a1

(đầu heap) luôn là phần tử lớn nhất trong heap.

Tính chất 3 : Mọi dãy ap , a2 ,... , aq, dãy con aj, aj+1,…, ar

tạo thành một heap với j=(q div 2 +1).

Giải thuật Heapsort :

Giải thuật Heapsort trải qua 2 giai đoạn :

Giai đoạn 1 :Hiệu chỉnh dãy số ban đầu thành heap;

Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap:

Bước 1: Ðưa phần tử lớn nhất về vị trí đúng ở cuối dãy:

r = n; Hoánvị (a1 , ar );

Bước 2: Loại bỏ phần tử lớn nhất ra khỏi heap: r = r-1;

Hiệu chỉnh phần còn lại của dãy từ a1 , a2 ... ar thành một

heap.

Bước 3: Nếu r>1 (heap còn phần tử ): Lặp lại Bước 2

Ngược lại : Dừng

Dựa trên tính chất 3, ta có thể thực hiện giai đoạn 1 bằng

cách bắt đầu từ heap mặc nhiên an/2+1 , an/2+2 ... an, sau đó thêm

12

dần các phần tử an/2, an/2-1, ., a1 ta sẽ nhân được heap theo mong

muốn.

Ví dụ

Cho dãy số a:

12 2

8

5

1

6

4

15

Giai đoạn 1: hiệu chỉnh dãy ban đầu thành heap

Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap :

13

thực hiện tương tự cho r=5,4,3,2 ta được:

Cài đặt

14

Ðánh giá giải thuật

Trong giai đoạn sắp xếp ta cần thực hiện n-1 bước mỗi bước

cần nhiều nhất là log₂^(n-1), log₂^(n-2), … 1 phép đổi chỗi.

Như vậy độ phức tạp thuật toán Heap sort O(nlog2n)

15