Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tiếp

Moân hoïc

CÔ SÔÛ TÖÏ ÑOÄNG

Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hoàng

Bộ môn điều khiển tự động

Khoa Điện – Điện Tử

Đại học Bách Khoa TPHCM

Email: [email protected]

Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Giảng viên: HTHoàng, NVHảo, NĐHoàng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí

9 September 2011

1

Chöông 2

MOÂ HÌNH TOAÙN HOÏC

HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC

9 September 2011

2

Noäi dung chöông 2



Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn ho

ï

c

 Haøm truyeàn

 Pheùp bieán ñoåi Laplace

 Ñònh nghóa haøm truyeàn

 Haøm truyeàn cuûa moät soá phaàn töû

 Haøm truyeàn cuûa heä thoáng töï ñoäng

 Ñaïi soá sô ñoà khoái

 Sô ñoà doøng tín hieäu



Phöông trình traïng thaùi (PTTT)

 Khaùi nieäm veà PTTT

 Caùch thaønh laäp PTTT töø phöông trình vi phaân

 Quan heä giöõa PTTT vaø haøm truyeàn

 Moâ hình tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán

 Phöông trình traïng thaùi phi tuyeán

 Phöông trình traïng thaùi tuyeán tính hoùa

9 September 2011

3

Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn hoïc

9 September 2011

4

Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn hoïc

 Heä thoáng ñieàu khieån thöïc teá raát ña daïng vaø coù baûn chaát vaät lyù

khaùc nhau.

 Caàn coù cô sôû chung ñeå phaân tích, thieát keá caùc heä thoáng ñieàu

khieån coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau. Cô sôû ñoù chính laø toaùn hoïc.

 Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa moät heä thoáng tuyeán

tính baát bieán lieân tuïc

coù theå moâ taû baèng

phöông trình vi phaân

tuyeán tính heä soá haèng:

u(t)

y

(

t

)

Heä thoáng tuyeán tính

baát bieán lieân tuïc

dⁿy(t)

d^n
1y(t)

dy(t)

d ^mu(t)

d ^m

1u(t)

du(t)

a₀

 a₁

 a_n1

 a y(t) 

b₀

 b

 b_m1

 b_mu(t)

n

1

dtⁿ

dt^n1

dt

dt^m

dt^m1

dt

n: baäc cuûa heä thoáng, heä thoáng hôïp thöùc neáu nm.

a_i, b_i: thoâng soá cuûa heä thoáng

9 September 2011

5

Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân

Thí duï 2.1: Ñaëc tính ñoäng hoïc toác ñoä xe oâ toâ

dv(t)

M



Bv

(

t

)



f

(

t

)

dt

M: khoái löôïng xe, B heä soá ma saùt: thoâng soá cuûa heä thoáng

f(t): löïc keùo cuûa ñoäng cô: tín hieäu vaøo

v(t): toác ñoä xe: tín hieäu ra

9 September 2011

6

Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân

Thí duï 2.2: Ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng giaûm chaán cuûa xe

d²y(t) dy(t)

M

 B

 Ky(t)  f (t)

dt²

dt

M: khoái löôïng taùc ñoäng leân baùnh xe,

B heä soá ma saùt, K ñoä cöùng loø xo

f

(

t

):

löïc do soác: tín hieäu vaøo

y(t): dòch chuyeån cuûa thaân xe: tín hieäu ra

9 September 2011

7

Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân

Thí duï 2.3: Ñaëc tính ñoäng hoïc thang maùy

d²y(t) dy(t)

M_T

 B

 M_Tg  K (t)  M_Ñg

dt²

dt

M_T: khoái löôïng buoàng thang, M_Ñ: khoái löôïng ñoái troïng

B heä soá ma saùt, K heä soá tæ leä

(t): moment keùo cuûa ñoäng cô: tín hieäu vaøo

y(t): vò trí buoàng thang: tín hieäu ra

9 September 2011

8

Haïn cheá cuûa moâ hình toaùn döôùi daïng phöông trình vi phaân

 Phöông trình vi phaân baäc n (n>2) raát khoù giaûi

dⁿy(t)

d^n1y(t)

dy(t)

d ^mu(t)

d ^m1u(t)

du(t)

b

 a_ny(t) 

 b

 b_m1

 b_mu(t)

a₀

 a₁

 a_n1

0

1

dt^m

dt^m1

dt

dtⁿ

dt^n1

dt

Phaân tích heä thoáng döïa vaøo moâ hình toaùn laø phöông trình vi

phaân gaëp raát nhieàu khoù khaên (moät thí duï ñôn giaûn laø bieát tín

hieäu vaøo, caàn tính ñaùp öùng cuûa heä thoáng, neáu giaûi phöông trình

vi phaân thì khoâng ñôn giaûn chuùt naøo!!!.)

Thieát keá heä thoáng döïa vaøo phöông trình vi phaân haàu nhö khoâng

theå thöïc hieän ñöôïc trong tröôøng hôïp toång quaùt.

 Caàn caùc daïng moâ taû toaùn hoïc khaùc giuùp phaân tích vaø thieát keá heä

thoáng töï ñoäng deå daøng hôn.

 Haøm truyeàn

 Phöông trình traïng thaùi

9 September 2011

9

Haøm truyeàn

9 September 2011

10

Pheùp bieán ñoåi Laplace

 Ñònh nghóa:

Cho f(t) laø haøm xaùc ñònh vôùi moïi t  0, bieán ñoåi Laplace cuûa f(t)

laø:



L



f (t)

 F(s)  f (t).e^stdt



0

Trong ñoù:

 s : bieán phöùc (bieán Laplace)

 L : toaùn töû bieán ñoåi Laplace.

 F(s) : bieán ñoåi Laplace cuûa haøm f(t).

Bieán ñoåi Laplace toàn taïi khi tích phaân ôû bieåu thöùc ñònh nghóa

treân hoäi tuï.

9 September 2011

11

Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)

Tính chaát:

Cho f(t) vaø g(t) laø hai haøm theo thôøi gian coù bieán ñoåi Laplace laø

L



f

(

t

)



F

(

s

)

g

(

t

)



G

(

s

)



L





 Tính tuyeán tính

 Ñònh lyù chaäm treå

L



a. f (t)  b.g(t)  a.F(s)  b.G(s)





f (t  T)



 e^Ts.F(s)

df (t)

 

 sF(s)  f (0^)

 AÛnh cuûa ñaïo haøm

 AÛnh cuûa tích phaân



Ñònh lyù giaù trò cuoái

 

dt

 

^t



F(s)

L f ( )d 





_₀

s



lim f (t)



lim sF(s)

t

s0

9 September 2011

12

Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)

Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn:

 Haøm naác ñôn vò (step): tín hieäu vaøo heä thoáng ñieàu khieån oån

ñònh hoùa

u(t)

1

1 neáu t  0

0 neáu t  0







1

L



u

(

t

)





u(t) 

s

t

0

 Haøm dirac: thöôøng duøng ñeå moâ taû nhieãu

(t)

0 neáu t  0





 neáu t  0



 (t) 

1



 (t) 1





0

^{ (t)dt 1}



9 September 2011

13

Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)

Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn (tt):

 Haøm doác ñôn vò (Ramp): tín hieäu vaøo heä thoáng ñieàu khieån theo

doõi

r(t)

1

s²

t neáu t  0





0 neáu t  0



1

L



t

.u

(

t

)





r

(

t

)



tu

(

t

)



t

0 1

 Haøm muõ

f(t)

at

1







e neáu t  0

at

f (t)  e^at.u(t) 





L e .u(t) 

1

s  a

0 neáu t  0

t

0

9 September 2011

14

Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)

Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn (tt):

 Haøm sin:

sint neáu t  0







f(t)

f (t)  (sint).u(t) 

0

neáu t  0

t

0



L



(sint)u(t) 



s² ²

 Baûng bieán ñoåi Laplace: SV caàn hoïc thuoäc bieán ñoåi Laplace cuûa

caùc haøm cô baûn. Caùc haøm khaùc coù theå tra BAÛNG BIEÁN ÑOÅI

LAPLACE ôû phuï luïc saùch Lyù thuyeát Ñieàu khieån töï ñoäng.

9 September 2011

15

Ñònh nghóa haøm truyeàn

 Xeùt heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vi phaân:

u(t)

y(t)

Heä thoáng tuyeán tính

baát bieán lieân tuïc

dⁿy(t) d ^n1y(t)



a

₁

dy(t)

a

₀







a

_n1



a

_n

y

(

t

)



dtⁿ

dt^n1

dt

d^mu(t) d^m1u(t)

du(t)

b₀

 b

 b_m

1

 b_mu(t)

1

dt^m

dt^m1

dt

 Bieán ñoåi Laplace 2 veá phöông trình treân, ñeå yù tính chaát aûnh cuûa

ñaïo haøm, giaû thieát ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc:

a₀sⁿY(s)  a₁s^n1Y(s)  a_n1sY(s)  a_nY(s) 

b₀s^mU(s)  b s^m1U(s)  b_m1sU(s)  b_mU(s)

1

9 September 2011

16

Ñònh nghóa haøm truyeàn (tt)

 Haøm truyeàn cuûa heä thoáng:

Y(s) b₀s^m b s^m1



 b_m1s  b_m

 a_n1s  a_n

1

G

(

s

)



U(s) a₀sⁿ a₁s^n1

 Ñònh nghóa: Haøm truyeàn cuûa heä thoáng laø tæ soá giöõa bieán ñoåi

Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo khi

ñieàu kieän ñaàu baèng 0.

 Chuù yù: Maëc duø haøm truyeàn ñöôïc ñònh nghóa laø tæ soá giöõa bieán

ñoåi Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo

nhöng haøm truyeàn khoâng phuï thuoäc vaøo tín hieäu ra vaø tín hieäu

vaøo maø chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng.

Do ñoù coù theå duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû heä thoáng.

9 September 2011

17

Haøm truyeàn cuûa caùc phaàn töû

Caùch tìm haøm truyeàn

 Böôùc 1: Thaønh laäp phöông trình vi phaân moâ taû quan heä vaøo – ra

cuûa phaàn töû baèng caùch:

 AÙp duïng caùc ñònh luaät Kirchoff, quan heä doøng–aùp treân ñieän

trôû, tuï ñieän, cuoän caûm,… ñoái vôùi caùc phaàn töû ñieän.

 AÙp duïng caùc ñònh luaät Newton, quan heä giöõa löïc ma saùt vaø

vaän toác, quan heä giöõa löïc vaø bieán daïng cuûa loø xo,… ñoái vôùi

caùc phaàn töû cô khí.



AÙp duïng caùc ñònh luaät truyeàn nhieät, ñònh luaät baûo toaøn naêng

löôïng,… ñoái vôùi caùc phaàn töû nhieät.

 …

 Böôùc 2: Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vi phaân vöøa

thaønh laäp ôû böôùc 1, ta ñöôïc haøm truyeàn caàn tìm.

 Chuù yù: ñoái vôùi caùc maïch ñieän coù theå tìm haøm truyeàn theo

phöông phaùp toång trôû phöùc.

9 September 2011

18

Haøm truyeàn cuûa caùc boä ñieàu khieån (khaâu hieäu chænh)

Caùc khaâu hieäu chænh thuï ñoäng

R

1

 Maïch tích phaân baäc 1:

C

G(s) 

RCs 1

C

RCs

 Maïch vi phaân baäc 1:

R

G(s) 

RCs 1

9 September 2011

19

Haøm truyeàn cuûa caùc boä ñieàu khieån (khaâu hieäu chænh)

Caùc khaâu hieäu chænh thuï ñoäng (tt)

C

 Maïch sôùm pha:



Ts



1

Ts 1

R₁

G(s)  K_C

R₂

R  R₂

R₂R₁C

1

K_C

 

1

T 

R  R₂

R₂

R  R₂

1

R₂

Ts 1

Ts 1

 Maïch treå pha:

R₁

C

G

(

s

)



K

_C

R₂







1

T  (R  R₂)C

K_C1

R  R₂

1

9 September 2011

20

Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tiếp - Huỳnh Thái Hoàng