Bài tập Đại số tuyến tính

Bài tập chương 1

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

2 1 −1

0 1 −4

−2 1 0

−3 2 2

Bài 1.1. Cho A =

, B =

.

a) Tính 3A ± 2B.

b) Tìm ma trận C sao cho 2A + 3B − 4C = 0.

Bài 1.2. Tính các tích sau:



 



1 2

3

1 −1 1

0 1

0

2



 



a)

b)

2 1 −1

−1

.

−1 1

2

1 1 −2





 



ꢀ

ꢁ

1 −1

1

3

1

2

1 1

0 1 −2

1

 



−1

1 −1

−1

.

2

0 −3

4 −3

Bài 1.3. Tính A^>A và AA^>với

ꢀ

ꢁ

1 2 3

3 2 1

a) A =

b) A =

;





1 2

2 0

3 1





.

Bài 1.4. Tính AB − BA trong các trường hợp sau:

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1

2

2 −3

−4

a) A =

,

B =

;

4 −1

1









1 0 0

2 1 0

3 2 1

1 3 5

0 1 3

0 0 1









b) A =

, B =

.

Bài 1.5. Tìm hai ma trận A, B khác ma trận 0 sao cho AB là ma trận không.

Bài 1.6. Cho A = diag(2, 3, 1, 4) và B = diag(1, −1, 3, 2). Tính

a) A + B.

b) 2A − 3B.

c) AB.

d) A³.

1

Bài 1.7. Cho A = diag(a₁, a₂, ..., a_n). Chứng minh rằng, với mọi k ∈ N ta có

A^k= diag(a₁^k, a₂^k, ..., a_n^k).

Bài 1.8. Tính A^k, k ∈ N trong các trường hợp sau:

ꢀ

ꢁ

2 −1

3 −2

a) A =

b) A =

c) A =

.

ꢁ

0 −1

1

0

ꢁ

1 0

1 1

.







1 1 1



d) A =

e) A =

f) A =

g) A =

.







1 1 0

0 1 1

0 0 1



.







0 1 1

0 0 1

0 0 0



.









1

5

1

2

3

6

.

−2 −1 −3

ꢀ

ꢁ

cos θ − sin θ

Bài 1.9. Cho A =

. Bằng quy nạp toán học, chứng minh rằng

sin θ

cos θ

ꢀ

ꢁ

cos nθ − sin nθ

Aⁿ=

, ∀n ∈ N.

sin nθ

cos nθ

Bài 1.10. Cho A, B ∈ M_n(R) sao cho AB = BA. Chứng minh rằng:

a) (A + B)²= A²+ 2AB + B².

b) A²− B²= (A + B)(A − B).

Bài 1.11. Tìm một ma trận A sao cho A = 0 nhưng A²= 0.

Bài 1.12. Hãy xác định f(A) trong các trường hợp sau:

ꢀ

ꢁ

2 −1

3 −2

a) A =

; f(x) = 2x³+ 3x²− 7x + 5.

2

ꢀ

ꢁ

1 3

2 4

b) A =

c) A =

; f(x) = 3x³− 2x²− x + 2.





0 1 1

2





1 0 1 ; f(x) = 4x − 3x + 4.

1 1 0

Bài 1.13. Cho A, B ∈ M_n(R).

a) Giả sử A⁹= A²⁰= I_n. Chứng minh rằng A = I_n.

b) Giả sử A²B³= A³B⁷= A⁸B⁴= I_n. Chứng minh rằng A = B = I_n.

c) Giả sử ABA = BAB = A⁴B⁷= I_n. Chứng minh rằng A = B = I_n.

Bài 1.14. Một ma trận A ∈ M_n(R) được gọi là lũy đẳng nếu A²= A.





2 −2 −4





a) Kiểm tra E = −1

3

4

là ma trận lũy đẳng.

1 −2 −3

b) Chứng minh rằng, nếu A, B ∈ M_n(R) sao cho AB = A và BA = B thì A và

B là các ma trận lũy đẳng.

c) Chứng minh rằng, nếu A, B ∈ M_n(R) sao cho A và B cùng lũy đẳng thì A+B

lũy đẳng khi và chỉ khi AB = BA = 0.

Bài 1.15. Xác định hạng của các ma trận sau bằng cách đưa ma trận về dạng bậc

thang:









1 1 3

2 1 4

1 2 5

a) A =

b) A =

c) A =

d) A =

.







1 2 3

2 4 6

4

8



.

3 6 9 12







1 2 3 6

2 3 1 6

3 1 2 6



.







1 2 −3 0

2 4 −2 2

3 6 −4 3



.





1

2

1

3 −2 −1









5 −2

1

13

10

e) A =

.

1

6

8

−2 −6

3

Bài 1.16. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m ∈ R:





1 1 −3





a) A =

b) A =

2 1

m

.

1 m

3









m 1

1

1 m 1

1

1 m





1 1

1 m

3 3

3 1









c) A =

d) A =

.

1 2 −1 2

2 3

2 4





m 0

0

1

0









1 m 0

.

0

1 m 0

1 m

0

Bài 1.17. Tìm dạng chính tắc theo dòng của các ma trận sau:





1 1 3

0 1 4

0 0 0





a) A =

b) A =

.









1 2 3 4

0 2 4 6

0 0 0 5

.





1

2

1

3 −2 −1









5 −2

1

13

10

c) A =

d) A =

.

1

6

8

−2 −6





1 2 3

1 −1









1 2 1 −5

1 3 2

1 −1

2 1 6 −7

3

.

4

Bài 1.18. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có):

ꢀ

ꢁ

3 5

2 3

a) A =

.

4

ꢀ

ꢁ

1 2

2 4

b) A =

c) A =

.

ꢁ

sin θ − cos θ

cos θ sin θ

,

θ ∈ R.

Bài 1.19. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có):





1

0 2

2 −1 3

1 8





a) A =

b) A =

c) A =

d) A =

e) A =

.

4









1 −2 2

2 −3 6

.

1

1 7







4

3



−1

0 −1

.

−4 −4 −3







13 −8 −12

12 −7 −12

6 −4 −5



.





1

3 −4

5 −1





.

3 13 −6

Bài 1.20. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có):





0

0 1 1

0 1 0









a) A =

b) A =

c) A =

.

0 −1 1 0

1

1 0 1





0

0 1 2

1 1 4









.

1 −1 0 0

0

0 1 3





1









1 −1 −1

1 −1

1 −1 −1

.

1 −1

1

5

Bài 1.21. Cho A = diag(a₁, a₂, ..., a_n). Chứng minh rằng A khả nghịch khi và chỉ

khi a₁a₂...a_n= 0. Trong trường hợp A khả nghịch, hãy tìm A⁻¹.

Bài 1.22. Cho A, B ∈ M_n(R). Chứng minh rằng, nếu AB khả nghịch thì A và B

cùng khả nghịch.

Bài 1.23. Cho A, B ∈ M_n(R). Chứng minh rằng, nếu AB = A + B thì A và B

giao hoán nhau, nghĩa là AB = BA.

Bài 1.24. Giải các phương trình ma trận

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 2

3 5

−1 3

a)

X =

2 1

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

2

3

1 −2

b) X

=

−1 −1

2

0

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 2

2 3

1 −1

−1

1 −2

c)

X

=

.

2

1











1 2

0

−3

2 −1

5 −2

2 −2







Bài 1.25. Cho A =

3 7 −1

và B =

1

.

1 4 −1

a) Chứng minh A khả nghịch và tìm A⁻¹.

b) Tính B²và tìm ma trận X thỏa mãn AXA = −2I₃.





ꢀ

ꢁ

5 −6

2 −2

9

3

4 −1

2





Bài 1.26. Cho A =

và B =

.

1

0 −3

−3

3 −5

a) Chứng minh A khả nghịch và tìm A⁻¹.

b) Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện XA = B.





ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1

0

2 −1

5 −3

1 −1 2

−2 0 1





Bài 1.27. Cho A =

, B =

−2 −1 −2

và C =

.

3

2

3

a) Chứng minh A và B khả nghịch và tìm nghịch đảo của chúng.

b) Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện AXB = C.

















2 −1 −1

−2 −1

1 −1

3 −1 −2

−4 −1

1 −3

Bài 1.28. Cho A =

2

và B =

5

.

1

2

6

a) Chứng minh A khả nghịch và tìm A⁻¹.

b) Tìm ma trận X thỏa A²XA = ABA.

Bài 1.29. Giải các hệ phương trình sau:



5x − 3y + 2z = 1;



a)

b)

2y − 5z = 2;

4z = 8.







2x + 4y − z = 11;

5y + z =

2;





3z = −9.

2x − 3y + 5z − 2t = 9;

5y − z + 3t = 1;

7z − t = 3;





c)





2t = 8.

Bài 1.30. Giải các hệ phương trình sau:

ꢂ

x₁+ 4x₂− 3x₃+ 2x₄= 5;

a)

x₃− 4x₄= 2.



2x₁− 3x₂+ 6x₃+ 2x₄− 5x₅= 3;



b)

c)

x₂− 4x₃

+

x₄

= 1;



x₄− 3x₅= 2.





3x₁+ 2x₂− 5x₃− 6x₄+ 2x₅= 4;

x₃+ 8x₄− 3x₅= 6;



x₄− 5x₅= 5.

Bài 1.31. Giải các hệ phương trình sau:



2x₁

+

x₂− 2x₃= 10;





a)

b)

c)

3x₁+ 2x₂+ 2x₃

5x₁+ 4x₂+ 3x₃

=

1;

4.





x₁− 2x₂

2x₁

3x₁− 2x₂+ 2x₃= 14.

+

x₃

=

7;

−

x₂+ 4x₃= 17;







x₁+ 2x₂

2x₁+ 5x₂

3x₁+ 8x₂− 13x₃= 7.

−

3x₃= 1;

8x₃= 4;



7





2x₁

3x₁

−

5x₂+ 3x₃+ 2x₄

7x₂+ 2x₃+ 4x₄

=

4;

9;

d)

e)



5x₁− 10x₂− 5x₃+ 7x₄= 22.





x₁

2x₁

+

2x₂− 3x₃+ 4x₄= 2;

5x₂− 2x₃x₄= 1;

+



5x₁+ 12x₂− 7x₃+ 6x₄= 7.

Bài 1.32. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:



x₁+ 2x₂+ x₃= 0;



a)

b)

2x₁+ 5x₂− x₃= 0;



3x₁− 2x₂− x₃= 0.





x₁

+

x₂− 2x₃+ 3x₄= 0;

2x₁+ 3x₂+ 3x₃

5x₁+ 7x₂+ 4x₃

−

x₄= 0;

x₄= 0.





+

x₁− 2x₂

−

x₃

+

x₄= 0;





2x₁− 3x₂

+

x₃+ 5x₄= 0;

c)

x₁

+

x₂+ 8x₃− 5x₄= 0;





3x₁− 5x₂

+ 9x₄= 0.

Bài 1.33. Cho hệ phương trình



x₁

+

x₂

−

x₃= 1;



2x₁+ 3x₂+ kx₃= 3;

x₁+ kx₂+ 3x₃= 2.



Xác định giá trị k ∈ R sao cho:

a) hệ có nghiệm duy nhất;

b) hệ vô nghiệm;

c) hệ có vô số nghiệm.

Bài 1.34. Cho hệ phương trình



kx₁

x₁+ kx₂

x₁

+

x₂

+

x₃= 1;





+

x₂+ kx₃= 1.

Xác định giá trị k ∈ R sao cho:

a) hệ có nghiệm duy nhất;

b) hệ vô nghiệm;

c) hệ có vô số nghiệm.

8

Bài tập chương 2

Bài 2.1. Tính các định thức cấp 3 sau:

ꢃ

2

0

1

3 −2 −4

ꢃ

a)

c)

5 −2 ;

b)

d)

2

0

5 −1 ;

ꢃ

1 −3

4

6

1

ꢃ

−2 −1

4

7

1

6 5

2 1 ;

ꢃ

6 −3 −2 ;

ꢃ

4

1

2

3 −2 1

ꢃ

1

2

3

2 0

1

ꢃ

e) 4 −2

3 ;

g) 4 2 −3 .

ꢃ

0

5 −1

5 3

1

Bài 2.2. Tính các định thức cấp 4 sau:

ꢃ

2 1 1 x

1 2 1 y

1 1 2 z

1 1 1 t

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

ꢃ

a)

c)

e)

g)

;

b)

d)

f)

;

ꢃ

1 1

1 2

1

3

1

4

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

ꢃ

;

1 3 6 10

1 4 10 20

ꢃ

1 1 0 0

1 1 1 0

0 1 1 1

0 0 1 1

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 1

ꢃ

;

ꢃ

0 1 1 1

1 0 a b

1 a 0 c

1 b c 0

1 1

1 2

1

3

1

4

ꢃ

;

h)

.

1 4 9 16

1 8 27 64

ꢃ

Bài 2.3. Chứng tỏ rằng các giá trị định thức sau bằng 0:

ꢃ

a + b c 1

a) b + c a 1 ;

ab a²+ b²(a + b)²

ꢃ

b) bc b²+ c²(b + c)²

;

ꢃ

ca c²+ a²(c + a)²

ꢃ

c + a b 1

ꢃ

x p ax + bp

sin α cos α sin(α + θ)

ꢃ

c) y q ay + bq ; d) sin β cos β sin(β + θ) ;

ꢃ

z r az + br

sin γ cos γ sin(γ + θ)

9

ꢃ

1 + 2a 2 a x

1 + 2b 3 b x

1 + 2c 4 c x

1 + 2d 6 d x

a

b

c

b

c

a

c

a

b

1

ꢃ

e)

; f)

.

ꢃ

c + b b + a a + c 2





a b c

d e f





Bài 2.4. Cho ma trận A =

có detA = 3. Tính các định thức sau:

g h

i













4a 4b 4c

2a b −c





a)

c)

d

g

e

h

f

i

;

b) 2d e −f

;

2g h −i











d e f

a b c

c b 3a

i h 3g

f





;

d)

;

g h

i

e 3d















a + 2b b c

d + 2e e f

a

b

c



;

d) d + 5a e + 5b f + 5c

;

g + 2h h

i

−g

−h

−i











4a 8b 4c

−a b − 3a c + 2a





d 2e

g 2h

f

i

;

d) −d e − 3d f + 2d

−g h − 3f i + 2g

.

Bài 2.5. Cho A ∈ M_n(R) và A có nhiều hơn n²− n hệ số bằng 0. Chứng minh

rằng detA = 0.

Bài 2.6. Cho A ∈ M_n(R) và α ∈ R. Chứng tỏ rằng

det(αA) = αⁿdetA.

Bài 2.7. Cho A ∈ M_n(R), n lẻ. Chứng tỏ rằng, nếu A là ma trận phản xứng (nghĩa

là A^>= −A) thì detA = 0.

Bài 2.8. Tìm ma trận phụ hợp của các ma trận sau:









2 3 4

5 6 7

8 9 1

2

3 −4









a)

c)

;

b)

d)

0 −4

1 −1

2

5

;

















3 2 1

4 5 2

2 1 4

2

6

5

3

7

4

5 −2 −3











1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

3 −4

2 −3

5

1











e)

;

f)

.

3 −5 −1

10

Bài 2.9. * Cho Z là tập hợp các số nguyên và A ∈ M_n(Z). Chứng tỏ rằng detA ∈ Z,

đồng thời nếu A khả nghịch thì

A⁻¹∈ M_n(Z) ⇔ |detA| = 1.

Bài 2.10. Hãy tính các định thức sau và cho biết khi nào ma trận tương ứng khả

nghịch?

ꢃ

1

a

a²

1

a

x + 2 2x + 3 3x + 4

b) 2x + 3 3x + 4 4x + 5

ꢃ

a)

c)

a²

1

;

ꢃ

a

3x + 5 5x + 8 10x + 17

ꢃ

−1

x

a − b + c a − b b + 2c + 2a

ꢃ

x −1

x ; d) b − c + a b − c c + 2a + 2b ;

ꢃ

x

x −1

c − a + b c − a a + 2b + 2c

ꢃ

a 1 1 1

b 0 1 1

c 1 0 1

d 1 1 0

0 a b c

a 0 c b

b c 0 a

c b a 0

ꢃ

e)

g)

;

f)

;

ꢃ

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

a x x b

x a b x

x b a x

b x x a

ꢃ

;

h)

.

ꢃ

Bài 2.11. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng cách áp dụng công

thức định thức:









2 3 4

5 6 7

8 9 1

1 2 3

2 3 4

1 5 7









a)

c)

;

b)

d)

;

















2

3 −4

3 2 1

4 5 2

2 1 4

0 −4

1 −1

2

5

;









1

















1 −1 −1

1

1 −1 −1

1 −1 1 −1

1 −1 −1

e)

; f)

.

1 −1

0

1 −1

1

Bài 2.12. Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm

ma trận nghịch đảo tương ứng của nó:



















1 a bc

1 b ca

1 c ab

a

b

1

3

−3

2







a)

;

b)

1 ab 1

1

;

c)

−7 m + 5

.

b

a

−m 2m

1

11

Bài 2.13. Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng quy tắc Cramer.



x₁

+

x₂− 2x₃

2x₁+ 3x₂− 7x₃= 16;

5x₁+ 2x₂x₃= 16.

=

6;





a)

b)

c)

d)

+





7x₁

5x₁

+

−

2x₂+ 3x₃= 15;

3x₂+ 2x₃= 15;



10x₁− 11x₂+ 5x₃= 36.





x₁+ x₂+ 2x₃= 1;

2x₁− x₂+ 2x₃= 4;

4x₁+ x₂+ 4x₃= 2.







3x₁+ 2x₂

2x₁+ 3x₂

2x₁

+

x₃

=

5;

1;





+

x₂+ 3x₃= 11.

x₁

+

x₂x₃x₄= 2;

+





x₁+ 2x₂+ 3x₃+ 4x₄= 2;

2x₁+ 3x₂+ 5x₃+ 9x₄= 2;

x₁

e)

f)





+

x₂+ 2x₃+ 7x₄= 2.



2x₁

x₁

+

x₂+ 5x₃x₄5;

+

=





x₂− 3x₃− 4x₄= −1;

3x₁+ 6x₂− 2x₃

+

x₄

=

8;

2.





2x₁+ 2x₂+ 2x₃− 3x₄



x₁

+

x₂

x₁+ 2x₂+ 3x₃+ 4x₄= 3;

4x₁x₂+ 2x₃+ 3x₄= 7;

3x₁+ 2x₂+ 3x₃+ 4x₄= 2.

+

x₃

+

x₄= 5;





g)

h)

+







2x₁

−

x₂+ 3x₃+ 2x₄= 4;





3x₁+ 3x₂+ 3x₃+ 2x₄= 6;

3x₁

−

x₂

−

x₃− 2x₄= 6;

x₄= 6.





x₂+ 3x₃

−

Bài 2.14. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R:



mx₁

+

x₂

+

x₃

=

1;

m;





a)

x₁+ mx₂

x₁

+

x₂+ mx₃= m².

12





ax₁

+

x₂+ x₃= 4;

b)

c)

d)

e)

f)

x₁+ bx₂+ x₃= 3;

x₁+ 2x₂+ x₃= 4.







x₁+ (m − 1)x₂

−

3x₃

4x₂+ (4m − 2)x₃= −1;

9x₃0.

=

1;

2x₁

−



3x₁+ (m + 1)x₂

−

=





(2m + 1)x₁−

mx₂+ (m + 1)x₃= m − 1;

(m − 2)x₁+ (m − 1)x₂+ (m − 2)x₃= m;

(2m − 1)x₁+ (m − 1)x₂+ (2m − 1)x₃= m,







(m + 2)x₁+

2x₂+

x₃= m;

3x₃= 2m;

(m − 5)x₁+ (m − 2)x₂−



(m + 5)x₁+

2x₂+ (m + 3)x₃= 3m,





mx₁+ 2x₂+ 2x₃= 2;

2x₁+ mx₂+ 2x₃= m;

2x₁+ 2x₂+ mx₃= m,







(3m + 5)x₁+ (m + 2)x₂+ (m + 1)x₃= m;

(4m + 5)x₁+ (m + 2)x₂+ (2m + 1)x₃= m;

(3m + 5)x₁+ (2m + 1)x₂+

g)

h)

k)



2x₃= m,





(m + 1)x₁+

x₂+

2x₃= m;

x₃= −m;

3x₂+ (m − 1)x₃= 2m,

(m − 2)x₁+ (m − 3)x₂+



(m + 2)x₁+





(2m + 1)x₁+ (m − 2)x₂+ (m + 2)x₃= m − 1;

(2m − 1)x₁+ (2m − 5)x₂+ mx₃= m − 1;

(3m + 4)x₁+ (m − 2)x₂+ (2m + 5)x₃= m − 1.



Bài 2.15. Cho hệ phương trình phụ thuộc vào các tham số a, b ∈ R:



x₁+ 2x₂+ ax₃= 3;



3x₁

2x₁

−

x₂− ax₃= 2;



+

x₂+ 3x₃= b.

a) Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất;

b) Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tương ứng.

Bài tập chương 3

Bài 3.3. Thưc hiện các phép tính:

13

a) (3, −4, 5, −6) + (1, 1, −2, 4).

b) −3(4, −5, −6) + 2(1, 3, 2).

Bài 3.4. Cho u = (3, −2, 1, 4) và v = (7, 1, −3, 6). Tính:

a) u + v.

b) 4u.

c) 2u − 3v.

Bài 3.5. Trong các câu sau, xét xem vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u₁, u₂, u₃hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có)?

a) u = (1, 3, 2), u₁= (1, 1, 1), u₂= (1, 0, 1), u₃= (0, 1, 1).

b) u = (1, 4, −3), u₁= (2, 1, 1), u₂= (1, −1, 1), u₃= (1, 1, −2).

c) u = (4, 1, 2), u₁= (1, 2, 3), u₂= (2, 1, 2), u₃= (1, −1, −1).

d) u = (1, 3, 5), u₁= (1, 2, 3), u₂= (3, 2, 1), u₃= (2, 1, 0).

Bài 3.6. Trong các câu sau, xét xem vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u₁, u₂, u₃hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có)?

a) u = (10, 6, 5, 3), u₁= (1, 1, −1, 0), u₂= (3, 1, 2, 1), u₃= (2, 1, 3, 1).

b) u = (1, 1, 1, 0), u₁= (1, 1, 0, 1), u₂= (1, 0, 1, 1), u₃= (0, 1, 1, 1).

c) u = (1, 3, 7, 2), u₁= (1, 2, 1, −2), u₂= (3, 5, 1, −6), u₃= (1, 1, −3, −4).

Bài 3.7. Trong các câu sau, hãy tìm mối liên hệ giữa a, b, c, d để vectơ u = (a, b, c, d)

là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u₁, u₂, u₃.

a) u₁= (1, 2, 1, 1), u₂= (1, 1, 2, 1), u₃= (1, 1, 1, 2).

b) u₁= (1, 1, 1, 0), u₂= (1, 1, 0, 1), u₃= (1, 0, 1, 1).

c) u₁= (1, −2, 0, 3), u₂= (2, 3, 0, −1), u₃= (2, −1, 2, 1).

Bài 3.8. Xét xem các vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

a) u₁= (1, 1, 0), u₂= (1, 1, 1), u₃= (0, 1, −1);

b) u₁= (−1, 1, 1), u₂= (1, 2, 1), u₃= (1, 5, 3);

c) u₁= (1, 1, 1, 1), u₂= (1, 2, 1, −1), u₃= (0, 1, −2, 2).

d) u₁= (1, 2, 3, −4), u₂= (3, 5, 1, 1), u₃= (1, 1, −5, 9).

e) u₁= (1, 3, 1, −1), u₂= (2, 5, 1, 1) u₃= (1, 1, −3, 13),

u₄= (1, 3, 2, −5).

Bài 3.9. Xét xem các đa thức sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

14

a) f₁= 1 + 2t − 5t², f₂= −4 − t + 6t², f₃= 6 + 3t − 4t²;

b) f₁= 1 − 2t, f₂= 1 − t + t², f₃= 1 − 7t + 10t²;

c) f₁= 1 − 2t + 3t², f₂= 1 + t + 4t², f₃= 2 + 5t + 9t²;

d) f₁= 1 + 2t − 3t²− 2t³, f₂= 2 + 5t − 8t²− t³, f₃= 1 + 4t − 7t²+ 5t³.

Bài 3.10. Xét xem các ma trận sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến

tính?

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 0

1 1

0 1

1 1

a) A₁=

b) A₁=

c) A₁=

d) A₁=

, A₂=

, A₃=

;

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 −2

2

3

5 4

7 1

, A₂=

, A₃=

;

1

3

3 −1

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 0

2 0

2 −1

4 1

8 3

, A₂=

, A₃=

;

3

2

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 4 2

3 2 1

4 6 1

8 5 2

8 2 −5

, A₂=

, A₃=

;

7 4

1

Bài 3.11. Cho V là một không gian vectơ và u, v, w ∈ V . Chứng minh rằng,

{u, v, w} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {u + v, v + w, w + u} độc lập tuyến tính.

Bài 3.12. Trong các tập hợp W sau đây thì tập hợp nào là không gian con của

3

không gian R ?

a) W = {(x₁, x₂, x₃)|x₁≥ 0}.

b) W = {(x₁, x₂, x₃)|x₁+ 2x₂= 3x₃}.

c) W = {(x₁, x₂, x₃)|x₁+ 3x₂= 1}.

d) W = {(x₁, x₂, x₃)|x₁= x₂= x₃}.

e) W = {(x₁, x₂, x₃)|x²₁= x₂x₃}.

f) W = {(x₁, x₂, x₃)|x₁x₂= 0}.

Bài 3.13. Tập hợp nào sao đây là không gian con của không gian M_n(R) các ma

trận vuông cấp n?

a) Tập các ma trận đường chéo cấp n.

b) Tập các ma trận A ∈ M_n(R) sao cho detA = 0.

c) Tập các ma trận A ∈ M_n(R) sao cho detA = 1.

15

d) Tập các ma trận A ∈ M_n(R) sao cho A khả nghịch.

e) Tập các ma trận A ∈ M_n(R) sao cho A^>= A.

Bài 3.14. Tập hợp nào sao đây là không gian con của không gian P[t]?

a) Tập các đa thức f(t) ∈ P[t] sao cho f(−t) = f(t).

b) Tập các đa thức f(t) ∈ P[t] sao cho f(−t) = −f(t).

c) Tập các đa thức f(t) ∈ P[t] sao cho f(0) = f(1) + f(2).

d) Tập các đa thức f(t) ∈ P[t] sao cho (f(t))²= f(t).

Bài 3.15. Cho W₁, W₂là hai không gian con của không gian vectơ V . Chứng minh

rằng W₁∪ W₂là không gian con của V khi và chỉ khi W₁⊆ W₂hoặc W₂⊆ W₁.

Bài 3.16. Chứng minh rằng:

2

a) S = {(1, −1), (−2, 3)} là một tập sinh của R .

2

b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, −1)} là một tập sinh của R .

3

c) S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} là một tập sinh của R .

Bài 3.17. Chứng minh rằng tập hợp các đa thức f₁= 1 + 2t − 7t², f₂= 3 + t + t²,

f₃= 7 + 2t + 4t²là một tập sinh của không gian P₂[t].

Bài 3.18. Cho S₁, S₂là các tập hợp con của không gian vectơ V . Chứng minh

rằng, nếu mọi phần tử thuộc S₁đều là tổ hợp tuyến tính của S₂và ngược lại thì

hS₁i = hS₂i.

Bài 3.19. Cho A ∈ M_m×n(R) và B ∈ M_m×1(R) Chứng minh rằng tập hợp tất cả

các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B là không gian con của

n

R khi và chỉ khi B = 0.

3

Bài 3.20. Kiểm tra tập hợp nào sau đây là cơ sở của R ?

a) B = {u₁= (2, 1, 1), u₂= (1, 2, 1), u₃= (1, 1, 2)}.

b) B = {u₁= (1, 1, 0), u₂= (1, 0, 1), u₃= (0, 1, 1)}.

c) B = {u₁= (1, 1, 0), u₂= (1, 1, 1), u₃= (0, 1, −1)}.

d) B = {u₁= (−1, 1, 1), u₂= (1, 2, 1), u₃= (1, 5, 3)}.

Bài 3.21. Chứng minh rằng tập hợp {1, t − 1, (t − 1)², . . ., (t − 1)ⁿ} là cơ sở của

P_n[t].

Bài 3.22. Kiểm tra tập hợp {1 + t, t + t², t²+ t³, . . . , tⁿ⁻¹+ tⁿ} có là cơ sở của

P_n[t] hay không?

Bài 3.23. Cho W là không gian sinh bởi các vectơ u₁= (1, 0, 1, 0), u₂= (1, −1, 0, 1),

u₃= (1, 2, 1, −1). Kiểm tra tập hợp S = {u₁, u₂, u₃} có là cơ sở của W hay không?

Hãy xác định dim W.

16

Bài 3.24. Cho S = {u₁= (1, 1, 2), u₂= (1, 2, 5), u₃= (5, 3, 4)} và W = hSi.

a) Chứng minh S = {u₁, u₂, u₃} không là cơ sở của W.

b) Tìm một cơ sở B của W sao cho B ⊆ S và xác định dim W.

3

Bài 3.25. Cho S = {u₁= (1, 1, 2), u₂= (1, 2, 5)} ⊆ R .

a) Chứng minh S độc lập tuyến tính.

3

b) Cho u = (a, b, c) ∈ R . Hãy tìm điều kiện của a, b, c sao cho S ∪ {u} là cơ

3

sở của R .

Bài 3.26. Tìm cơ sở cho không gian sinh bởi các vectơ sau:

a) u₁= (1, 2, 3), u₂= (2, 3, 4), u₃= (3, 4, 5).

b) u₁= (1, 1, 0), u₂= (1, 0, 1), u₃= (0, 1, 1).

c) u₁= (1, 2, 3, 1), u₂= (1, 2, 1, −2), u₃= (1, 3, 2, 1),

u₄= (2, 1, 3, −7).

d) u₁= (1, 1, −1, 2), u₂= (1, −1, −2, 1), u₃= (1, 3, 2, 1);

u₄= (2, 1, 2, −1).

Bài 3.27. Tìm cơ sở cho không gian sinh bởi các đa thức sau:

a) f₁= 1 + 2t − 5t², f₂= −4 − t + 6t², f₃= 6 + 3t − 4t²;

b) f₁= 1 − 2t, f₂= 1 − t + t², f₃= 1 − 7t + 10t²;

c) f₁= 1 − 2t + 3t², f₂= 1 + t + 4t², f₃= 2 + 5t + 9t²;

d) f₁= 1 + 2t − 3t²− 2t³, f₂= 2 + 5t − 8t²− t³,

f₃= 1 + 4t − 7t²+ 5t³.

Bài 3.28. Tìm cơ sở cho không gian sinh bởi các ma trận sau:

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 0

1 1

0 1

1 1

a) A₁=

b) A₁=

c) A₁=

d) A₁=

, A₂=

, A₃=

;

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 −2

2

3

5 4

7 1

, A₂=

, A₃=

;

1

3

3 −1

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 0

2 0

2 −1

4 1

8 3

, A₂=

, A₃=

;

3

2

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 4 2

3 2 1

4 6 1

8 5 2

8 2 −5

, A₂=

, A₃=

;

7 4

1

17

Bài 3.29. Cho S = {(1, 1, 2, 4), (2, −1, −5, 2), (1, −1, 4, 0), (2, 1, 1, 6)}.

a) Chứng tỏ rằng S phụ thuộc tuyến tính.

b) Tìm một cơ sở cho không gian W = hSi.

Bài 3.30. Tìm cơ sở và chiều cho không gian nghiệm của các hệ phương trình

tuyến tính sau:



x₁

+

x₂+ 2x₃

−

x₄= 0;



a)

b)

x₁+ 2x₂+ 3x₃

x₁+ 3x₂+ 4x₃+ 3x₄= 0.

+





x₁

+

x₂

+

x₃

+

x₄= 0;





x₁+ 2x₂+ 3x₃

x₁+ 3x₂+ 3x₃+ 2x₄= 0;

2x₁





+

x₂+ 3x₃

+

x₄= 0.





2x₁− 4x₂+ 5x₃+ 3x₄= 0;

x₃x₄= 0;

c)

x₁− 2x₂

−



x₁− 2x₂+ 6x₃+ 4x₄= 0.





x₁+ x₂− x₃− x₄+ x₅+ x₆= 0;

x₁− x₂− x₃+ x₄+ x₅+ x₆= 0;

x₁+ x₂+ x₃− x₄− x₅+ x₆= 0.

d)



3

Bài 3.31. Trong không gian R , tìm tọa độ của vectơ u = (3, 1, 4) theo cơ sở

B = {u₁= (1, 1, 1), u₂= (0, 1, 1), u₃= (0, 0, 1)}.

Bài 3.32. Trong không gian P₂[t], cho các đa thức

f₁(t) = 1 + t − t², f₂(t) = t + t², f₃(t) = 3 + 4t − t².

a) Chứng minh tập hợp B = {f₁, f₂, f₃} là cơ sở của P₂[t].

b) Cho f(t) = 3 + t − 2t². Hãy tìm tọa độ của f theo cơ sở B.

Bài 3.33. Trong không gian M₂(R), cho các ma trận

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢁ

1 1

0 −1

1 −1

1 0

0 0

A₁=

, A₂=

, A₃=

, A₄=

.

1

0

a) Chứng minh tập hợp B={A₁, A₂, A₃, A₄} là cơ sở của M₂(R).

ꢀ

ꢁ

2 1

1 3

b) Cho A =

. Hãy tìm tọa độ của A theo cơ sở B.

18

3

Bài 3.34. Trong không gian R , cho các vectơ

u₁= (2, 1, −1), u₂= (2, −1, 2), u₃= (1, 1, −1).

3

a) Chứng minh tập hợp B = {u₁, u₂, u₃} là cơ sở của R .

b) Tìm [u] , biết rằng u = (1, 3, −2).

B







2

3



c) Tìm v ∈ R , biết rằng [v] = −3 .

B

4

3

Bài 3.35. Trong không gian R , cho các vectơ u₁= (1, 0, −1), u₂= (1, 2, −2),

u₃= (0, −3, 2) và đặt B = {u₁, u₂, u₃}.

3

a) Chứng minh B là cơ sở của R .

b) Tìm tọa độ của các vectơ ε₁= (1, 0, 0), ε₂= (0, 1, 0) và ε₃= (0, 0, 1) theo cơ

sở B.

3

Bài 3.36. Trong không gian R , cho các vectơ u₁= (1, 2, 2), u₂= (1, −1, 1),

u₃= (−1, 2, −1), u₁⁰= (1, 1, 2), u₂⁰= (1, −2, 1) u⁰₃= (2, 1, 4).

a) Chứng minh các tập hợp B = {u₁, u₂, u₃} và B⁰= {u₁⁰, u₂⁰, u₃⁰} là các cơ sở của

3

R .

b) Tìm [u] biết rằng u = (1, 2, 3).

B







2

3 .

−1

3



c) Tìm v ∈ R biết rằng [v] =

B





1





0

d) Tìm [w] biết rằng [w] = −3 .

B

2

e) Xác định ma trận chuyển cơ sở (B → B⁰) và (B⁰→ B).

Bài 3.37. Trong không gian P₂[t], cho các đa thức f₁(t) = 1+t+t², f₂(t) = 2+2t+t²,

f₃(t) = 2 + 3t + t², g₁(t) = 1 + 2t, g₂(t) = t, g₃(t) = 1 + t².

a) Chứng minh B = {f₁, f₂, f₃} và B⁰= {g₁, g₂, g₃} là các cơ sở của P₂[t].

b) Xác định ma trận chuyển cơ sở (B → B⁰) và (B⁰→ B).

Bài 3.38. Cho W là không gian sinh bởi các vectơ u₁= (1, 0, 1, 1), u₂= (1, 1, 0, 1),

u₃= (1, 1, 1, 0).

19

a) Chứng minh tập hợp B = {u₁, u₂, u₃} là cơ sở của W.

4

b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R . Tìm mối liên hệ giữa a, b, c, d để u ∈ W. Với điều

kiện đó, hãy xác định [u] theo a, b, c, d.

B

c) Đặt B⁰= {u₁⁰= (0, 1, 2, −3), u⁰₂= (2, 0, 1, 3), u⁰₃= (0, 1, −2, 1)}. Chứng minh B⁰

là cơ sở của W và xác định (B → B⁰).

Bài 3.39. Cho W là không gian con của R sinh bởi các vectơ u₁= (1, 1, 1, 2),

u₂= (1, 2, 1, −1) và u₃= (2, 3, 1, 1).

4

a) Chứng tỏ rằng B = {u₁, u₂, u₃} là cơ sở của W.

4

b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R . Tìm điều kiện của a, b, c, d để u ∈ W. Với điều kiện

đó, hãy tìm [u] theo a, b, c, d.

B

c) Cho u⁰₁= (1, 1, −1, 2), u₂⁰= (2, 4, 1, −2), u⁰₃= (1, 0, 0, 5). Chứng tỏ rằng

B⁰= {u⁰₁, u⁰₂, u⁰₃} là cơ sở của W và xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang

B⁰và từ B⁰sang B.

4

Bài 3.40. Trong không gian R , cho các vectơ u₁= (1, 0, 1, −1), u₂= (1, 1, −1, 2),

u₃= (1, 2, −2, 2) và W = h{u₁, u₂, u₃}i.

a) Chứng tỏ rằng B = {u₁, u₂, u₃} là cơ sở của W.

4

b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R . Tìm điều kiện của a, b, c, d để u ∈ W. Với điều kiện

đó, hãy tìm [u] theo a, b, c, d.

B

c) Cho u⁰₁= (2, 1, 0, 1), u₂⁰= (2, 3, −3, 4), u⁰₃= (3, 3, −2, 3). Chứng tỏ rằng

B⁰= {u⁰₁, u⁰₂, u⁰₃} là cơ sở của W và xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang

B⁰và từ B⁰sang B.









1

2









0

d) Tìm [u] và [v] biết [u] = −2 và [v] = −3 .

B

3

1

3

Bài 3.41. Cho B = {u₁, u₂, u₃} là cơ sở của không gian R có ma trận chuyển cơ





1 −2

2 −3 −2

−1

0

3





sở từ B sang cơ sở chính tắc của R là P =

.

2

1

a) Tìm tọa độ [u] theo cơ sở B của vectơ u = (2, 1, −1).

B

b) Xác định các vectơ u₁, u₂, u₃của cơ sở B.

3

Bài 3.42. Trong không gian R cho các vectơ u₁= (3, 2, 3), u₂= (2, 1, −5), u₃=

(−3, −1, 15). Đặt



v₁= u₁− u₂− u₃,



v₂= −2u₁+ 5u₂+ 3u₃,



v₃= u₁− 2u₂− u₃.

20

Bài tập Đại số tuyến tính - Bài tập chương 1