Giáo trình Toán rời rạc - Phụ lục 2: Bài toán luồng cực đại

PHẦN PHỤ LỤC

Phụ lục 2

Bài toán luồng cực đại

Cho mạng G=(V,E). Hãy tìm luồng f* trong mạng với giá trị luồng val(f*) là

lớn nhất. Luồng như vậy ta sẽ gọi là luồng cực đại trong mạng.

Bài toán như vậy có thể xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng thực tế. Chẳng hạn

khi cần xác định cường độ lớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giao

thông. Trong thí dụ này lời giải của bài toán luồng cực đại sẽ chỉ cho ta các đoạn

đường xe đông nhất và chúng tạo thành chỗ hẹp tương ứng của dòng giao thông xét

theo hai nút đã chọn. Một thí dụ khác là nếu xét đồ thị tương ứng với một hệ thống

đường ống dẫn dầu, trong đó các ống tương ứng với các cung, điểm phát có thể coi là

tàu chở dầu, điểm thu là bể chứa, còn các điểm nối giữa các ống là các nút của đồ thị,

khả năng thông qua của các cung tương ứng với tiết diện các ống. Cần phải tìm luồng

dầu lớn nhất có thể bơm dầu từ tàu chở dầu vào bể chứa.

Định lý: Các mệnh đề dưới đây là tương đương:

(i) f là luồng cực đại trong mạng.

(ii) Không tìm được đường tăng luồng f.

(iii) Val(f)=c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó.

(Ta gọi lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng ra thành hai tập X

và X*=V\X, trong đó sX và t  X*.)

Định lý trên là cơ sở để xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại

trong mạng: Bắt đầu từ luồng trên tất cả các cung bằng 0 (ta sẽ gọi luồng như vậy là

luồng không), và lặp lại bước lặp sau đây cho đến khi thu được luồng mà đối với nó

không còn đường tăng:

Bước lặp tăng luồng (Ford – Fulkerson): Tìm đường tăng P đối với luồng hiện có, tăng

luồng dọc theo đường P.

Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo thủ tục mô tả trong

việc chứng minh định lý trên. Thuật toán Ford-Fulkerson được mô tả trong thủ tục sau

đây:

Procedure Luongcucdai;

Begin

Stop := false;

While not Stop do

If < Tìm đường tăng luồng P> then

< Tăng luồng dọc theo P>

Else Stop := true;

End;

158

Để tìm đường tăng luồng trong G(f) có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo

chiều rộng (hay tìm kiếm theo chiều sâu), bắt đầu từ đỉnh s trong đó không cần xây

dựng tường minh đồ thị G(f). Ford-Fulkerson đề nghị thuật toán gán nhãn chi tiết sau

đây để giải bài toán luồng cực đại trong mạng. Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận

được nào đó trong mạng (có thể bắt đầu từ luồng không) , sau đó ta sẽ tăng luồng bằng

cách tìm các đường tăng luồng. Để tìm đường tăng luồng ta sẽ áp dụng phương pháp

gán nhãn cho các đỉnh. Mỗi đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba

trạng thái: chưa có nhãn, có nhãn chưa xét, có nhãn đã xét. Nhãn của một đỉnh v gồm

hai phần và có một trong hai dạng sau : [ p(v) ,(v) ] hoặc [ p(v),(v) ]. Phần thứ nhất

+p(v) (-p(v)) chỉ ra là cần tăng giảm luồng theo cung (p(v),v)( cung (v,p(v)) còn phần

thứ hai (v) chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm luồng theo cung này. Đầu tiên

chỉ có đỉnh s được khởi tạo nhãn và nhãn của nó là chưa xét, còn tất cả các đỉnh còn lại

đều chưa có nhãn. Từ s ta gán nhãn cho tất cả các đỉnh kề với nó và nhãn của đỉnh s sẽ

trở thành đã xét. Tiếp theo, từ một đỉnh v có nhãn chưa xét ta lại gán nhãn cho tất cả

các đỉnh chưa có nhãn kề với nó và nhãn của đỉnh v trở thành đã xét. Quá trình sẽ

được lặp lại cho đến khi hoặc là đỉnh t trở thành có nhãn hoặc là nhãn của tất cả các

đỉnh có nhãn đầu là đã xét nhưng đỉnh t vẫn không có nhãn. Trong trường hợp thứ nhất

ta tìm được đường tăng luồng, còn trong trường hợp thứ hai đối với luồng đang xét

không tồn tại đường tăng luồng (tức là luồng đã cực đại). Mỗi khi tìm được đường

tăng luồng, ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau đó xoá tất cả các nhãn và đổi

với luồng mới thu được lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường tăng luồng.

Thuật toán sẽ kết thúc khi nào đối với luồng đang có trong mạng không tìm được

đường tăng luồng.

Hai thủ tục tìm đường tăng luồng có thể mô tả như sau :

Procedure Find-path;

{

Thủ tục gán nhãn đường tăng luồng

p[v],   [v] là nhãn của đỉnh v;

V_Tlà danh sách các đỉnh có nhãn chưa xét ;

c[u,v] là khả năng thông qua của cung (u,v),u,v

f[u,v] là luồng trên cung (u,v), (u,v V);

V;



}

BEGIN

p[s] := s ;



[s] :=

;

V_T:= {s};

Pathfound := true;

While V_T<> {} do

159

BEGIN

V_T;( * lấy u từ V_T*)

V do

u



For v



If (v chưa có nhãn) then

Begin

If (c[u,v] >0) and (f[u,v] < c[u,v] ) then

Begin

P[v] := u ;



[v] := min { [u],c[u,v]-f[u,v] };

V_T:=V_T {v};(* nạp v vào danh sách các đỉnh có nhãn *)

If v = t then exit;

End

Else

If (c[v,u] > 0) and (f[v,u] < 0) then

Begin

P[v] := u ;



[v] := min { [u] , f[u,v] };

V_T:=V_T {v};(* nạp v vào danh sách các đỉnh có nhãn *)

If v = t then exit;

End;

PathFound :=false;

End;

Procedure Inc_flow ;

{ thuật toán tăng luồng theo đường tăng }

Begin

v := t ;

u := t ;

tang := [t];

while u <> s do

begin

v := p[u];

if v > 0 then f[v,u] := f[v,u] + tang

else

begin

v := -v;

f[u,v] :=f[u,v] –tang;

end;

u := v ;

160

end;

Procedure FF;

{ thủ tục thể hiện thuật toán Ford_fulkerson }

Begin

(* khởi tạo bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *)

For u



V do

V do f[u,v] :=0;

For v



Stop := false;

While not Stop do

begin

find_path;

If pathfound then

Inc_flow

Else

Stop:=true;

End;

< Luồng cực đại trong mạng là f[u,v], u,v

< Lát cắt hẹp nhất là (V_T, V\ V_T) >

End;

 V >

Chương trình sau là chương trình phục vụ cho việc học tập và giảng dạy về bài

toán tìm luồng cực đại trong mạng. Chương trình sau được xây dựng bằng công cụ lập

trình Delphi.

Các chức năng của chương trình: Ta xây dựng chương trình bao gồm những chức

năng sau:

* Tóm tắt thuật toán Ford – Fulkeson.

* Hiển thị các bước thực hiện ứng với từng ví dụ cụ thể.

Tóm tắt thuật toán Ford – Fulkerson :

Chức năng này có mục đích giúp cho người sử dụng nắm vững được thuật toán

trước khi đi vào các thí dụ cụ thể.

Hiển thị các bước thực hiện của bài toán:

Do chương trình nhằm mục đích phục vụ cho việc dạy và học môn Toán rời rạc

nên chức năng việc hiển thị chi tiết các bước giải bài toán ứng với tưng thí dụ cụ thể

giúp cho người sử dụng hiểu rõ hơn về thuật toán.

Cấu trúc dữ liệu và cài đặt thuật toán:

Cấu trúc dữ liệu:

Đồ thị được lưu giữ dưới dạng tập đỉnh và tập cạnh. Mỗi đỉnh được lưu theo

cấu trúc của một Record như sau:

161

L_TypeDinh = record

Ten:String;

ToaDo:L_TypeToaDo;

MucKichHoat:Byte;

end;

Trong đó:

- Biến Ten có kiểu String , lưu giữ tên đỉnh (mặt định là V₀,V₁,…)

- Biến ToaDo có kiểu L_TypeToaDo, lưu giữ toạ độ x, y của mỗi đỉnh có cấu

trúc của một Record như sau :

L_TypeToaDo = record

x,y:integer;

end;

Biến Muckichhoat có kiểu Byte lưu giữ mức độ kích hoạt của đỉnh (mỗi đỉnh có

4 mức kích hoạt khác nhau), biến này dùng để xác định đỉnh đầu, đỉnh cuối, đỉnh

hẹp….

Tập cạnh của đồ thị cũng được lưu theo cấu trúc của Record, cấu trúc của mỗi

cạnh được lưu trữ như sau:

L_TypeCanh = record

DinhDau,DinhCuoi:Integer;

TrongSo:L_TypeChiphi;

end;

trong đó :

-

Biến DinhDau có kiểu Integer, lưu giữ chỉ số đỉnh đầu của cạnh .

Biến DinhCuoi có kiểu Integer, lưu giữ chỉ số đỉnh cuối của cạnh .

Biến TrongSo có kiểu L_TypeChiPhi, lưu giữ giá và khả năng thông qua của

cạnh đang xét. Kiểu L_TypeChiPhi là một Record có dạng như sau :

L_TypeChiPhi = record

Gia:real;

kntq:real;

end;

Cài đặt thuật toán:

Như đã trình bày ở phần trên , thuật toán Ford –Fulkerson được cài đặt bằng

cách kết hợp 2 thủ tục Find-Path (thủ tục gán nhãn tìm đường tăng luồng) và Inc-Flow

(thủ tục tăng luồng theo đường tăng).

Đây là phần cài đặt chi tiết của thuật toán Ford – Fulkerson (viết theo ngôn ngữ

lập trình Delphi):

162

procedure L_find_path(var L_G1:L_typedothi);

{

thu tuc gan nhan tim duong tang luong:

L_p[v],L_nhan,L_e[v] la nhan cua dinh v;

L_v la danh sach cac dinh co nhan nhung chua xet;

}

VAR x,y:integer;

ok:boolean;

a1,b1,k1,l1:real;

t,t1,i:integer;

BEGIN

for i:=0 to L_G1.sodinh-1 do

L_p1[i]:=-1;

L_p1[0]:=0;

L_nhan[0]:=true;

L_e[0]:=vocung;

L_v:=[0] ; L_v1:=[0];

L_pathfound:=true;

While L_v<>[] do

Begin

ok:=true;

x:=0;

While (x<=L_G1.sodinh-1) and (ok=true) do

Begin

If x in L_v then ok:=false

Else

x:=x+1;

End;

L_v:=L_v-[x];

For y:=0 to L_G1.sodinh-1 do

If L_p1[y]=-1 then

Begin

L_giatri(L_G1,x,y,t,a1,b1); {a:=c[x,y],b:=f[x,y]}

L_giatri(L_G1,y,x,t1,k1,l1); {k:=c[y,x],l:=f[y,x]}

If (a1>0) and (b1<a1) then

Begin

L_p1[y]:=x;

L_nhan[y]:=true;

L_e[y]:=L_min(L_e[x],a1-b1);

L_v:=L_v+[y];

163

L_v1:=L_v1+[y];

If y=L_G1.sodinh-1 then

Begin

exit;

End;

End

Else

If (k1>0) and (l1>0) then

Begin

L_p1[y]:=x;

L_nhan[y]:=false;

L_e[y]:=L_min(L_e[x],l1);

L_v:=L_v+[y];

L_v1:=L_v1+[y];

If y=L_G1.sodinh-1 then

Begin

exit;

End;

L_pathfound:=false;

end;

procedure L_Inc_flow(var L_G1:L_typedothi);

{

tang luong theo duong tang

}

var x,y,t,t1:integer;

tang,a,k:real;

s,s1,s2,s3,s4:string;

ok:boolean;

begin

x:=L_G1.sodinh-1;

y:=L_G1.sodinh-1;

tang:=L_e[L_G1.sodinh-1];

ok:=false;

while x<>0 do

begin

y:=L_p1[x];

164

L_giatri(L_G1,x,y,t,a,L_b); {a:=c[x,y],b:=f[x,y]}

L_giatri(L_G1,y,x,t1,k,L_l); {k:=c[y,x],l:=f[y,x]}

if L_nhan[x] then

L_G1.dscanh[t1].trongso.gia:=L_G1.dscanh[t1].trongso.gia+tang

else

begin

L_G1.dscanh[t].trongso.gia:=L_G1.dscanh[t].trongso.gia-tang;

ok:=true;

end;

x:=y;

end;

procedure L_luongcucdai(L_G:L_typedothi; var L_G1:L_typedothi;var gt:real);

{

thu tuc the hien thuat toan Ford_fulkerson

}

var x,y,z,t,i,j,t1,t2:integer;

a1,b1,f:real;

ok1,stop:boolean;

s,s1,ch,ch1,a:string;

begin

L_G1.SoDinh:=L_G.SoDinh ;

L_G1.socanh:=L_G.socanh;

setlength(L_p1,L_G1.SoDinh);

setlength(L_nhan,L_G1.SoDinh );

setlength(L_e,L_G1.SoDinh );

setlength(L_G1.DSdinh,L_G1.SoDinh );

Setlength(L_G1.dscanh,L_G1.SoCanh );

for j:=0 to L_G.SoDinh -1 do

L_G1.DSDinh[j]:=L_G.DSDinh[j];

for j:=0 to L_G.SoCanh -1 do

L_G1.DSCanh[j]:=L_G.DSCanh[j];

stop:=false;

while not stop do

begin

L_find_path(L_G1);

if L_pathfound then

begin

tam:=tam+1;

if tam>1 then

165

L_inc_flow(L_G1)

else

stop:=true;

end;

f:=0;

for y:= 0 to L_G1.sodinh-1 do

begin

L_giatri(L_G1,0,y,t1,a1,b1);

f:=f+b1;

end;

for y:=0 to L_G1.Socanh -1 do

if L_G1.DSCanh[y].DinhCuoi =L_G1.SoDinh -1 then

begin

break;

end;

tam:=0;

t2:=1;

while (t2<=L_G1.sodinh-2) do

begin

if t2 in L_v1 then

L_G1.dsdinh[t2].MucKichHoat :=3

else

L_G1.dsdinh[t2].MucKichHoat :=0;

end;

t2:=t2+1;

end;

L_G1.dsdinh[0].MucKichHoat :=3;

L_G1.dsdinh[L_G1.SoDinh -1].MucKichHoat :=0;

end;

Giao diện chương trình :

Hình dưới đây là form chính của chương trình, người sử dụng có thể tự vẽ đồ

thị để kiểm tra thuật toán (đồ thị được vẽ sẽ nằm ở phần đồ thị nguồn). Sau khi đã có

đồ thị nguồn, muốn biết kết quả của bài toán thì ta nhấn nút Run trên thanh công cụ

của form, ta sẽ được đồ thị kết quả (nằm ở phần đồ thị đích).

Các bước giải ứng với từng bài toán cụ thể được trình bày khi ta nhấn Notes.

Đây là phần giúp cho người sử dụng hiểu rõ hơn về thuật toán, nó trình bày cách làm

bài toán theo từng bước tương ứng với thuật toán đã nêu.

Ngoài ra, người sử dụng có thể xem lại thuật toán bằng cách click đôi vào phần

dưới của form. Phần này giúp người sử dụng luôn nắm vững được thuật toán.

166

Để

thuận

tiện

cho

người

sử

dụng, chương trình này đã lưu sẵn một số thí dụ cụ thể để mô tả thuật toán, người sử

dụng chỉ cần vào file

open, sau đó chọn một ví dụ cần xem.

Chương trình còn có chức năng giúp cho người sử dụng tạo ra các thí dụ mới

và lưu lại các ví dụ vừa tạo.

Tên của các đỉnh đồ thị được mặt định là V₀,V₁,…. Tuy

nhiên chương trình có chức năng đổi tên cho đỉnh, người

sử dụng có thể đổi tên đỉnh bằng cách vào Edit

rename sau đó đánh tên mới vào (xem hình bên).



Việc đổi tên đỉnh và xoá đỉnh có thể thực hiện theo hai

cách, người sử dụng có thể chọn đỉnh rồi chọn Edit như

cách trên, hoặc click phải vào đỉnh cần xét rồi chọn các

167