Bài tập Đại số tuyến tính - Lê Văn Hợp
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (GV LÊ VĂN HỢP)
CHƯƠNG I : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây (nghiệm duy nhất) và kiểm tra ĐL Kronecker Capelli :
x 2y 4z 31
y 2z 5x 29
z 3x y 10
z 2y 7x 8
x 3y z 5
z 2x y 2
x y 2z 3t 1
3y z t 2x 6
2t 3x y z 4
3z t x 2y 4
x 2y 3z 2t 1
2z 2x 3t y 2
2y 2t 3x z 5
t 2z 3y 2x 11
a)
b)
c)
d)
y 5z x 7
3z 3y 2x 14
2/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây (vô nghiệm) và kiểm tra Định lý Kronecker Capelli :
x y 3z 1
y 2z 2x 1
z x y 3
2x y z t 1
2t 5x y z 1
2z 8t 3x 2y 2
y z 3t 2x 4
2x 5y 3z t 5
3z 3x t 7y 1
2t 6z 9y 5x 7
6y t 4x 3z 8
2x 2y z t u 1
t z 2u 2y x 1
a)
b)
c)
d)
7u 5z 10y 4x 5t 1
7z 2x 7t 11u 14y 1
2y x 3z 1
3/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây (vô số nghiệm) và kiểm tra Định lý Kronecker Capelli :
x 3y 2z 0
3z 2x y 0
5y 4z 3x 0
4z 17y x 0
3x 4y 5z 7t 0
x y 2z 3t 1
3z x 2t 4y 2
4y 2t x z 2
2t 5z 8y x 2
16t 4x 11y 13z 0
a)
b)
e)
c)
3z 2t 2x 3y 0
2y z 3t 7x 0
3x 3y 7z 3t 6u 3
t 4z 3u 2y 2x 2
3u 5z 3y 3x 2t 1
8z 2x 3t 9u 2y 2
x 2y 2z 7t 3u 1
6y 5u 15t 3x 4z 2
5t 2x 4y z u 1
20u 14z 8x 16y 50t 7
x 2y z t 2u 1
z 2x t u 2y 1
d)
f)
7u 5z 10y 4x 5t 1
7t 11u 2x 7z 14y 1
4/ Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây theo các tham số thực m, a, b, c và d
rồi kiểm tra Định lý Kronecker Capelli :
3x 4y 4z 17t 11m 7
8z 5x 27t 6y 18m 10
3y 12t 2x 2z 8m 5
19t 2z 5y 3x 13m 8
x y z 2t 1
3z x 4t 2y 2
y t x 4z m
x 3y 8z t 3
a) 5z 2x 5t y m
b)
c)
13t 19z 5y 4x 2
2
mt z 3y 4x m 6m 4
x 2y z t u m
2t z 2x 2u y 3m
u 3x t 2y z m 1
z 2u 5y 2x 2t m 1
x 2y z 2t 3u a
x y z 3t 12
2z x t 2y 3
y 2x 3z 9
6y 13u 8t 3x 5z b
t 4x 8y 5z u c
d)
e)
f)
5u 3z 2x 4y 3t d
mt z y 2x 21
x y z 1
x 2y z 2t m
x y z m 1
x y 3z 1
g) mz 2x 3y 3
h) t z y x 2m 1 i) (m 1)z mx y m
j) mz 2x y m 1
my 3z x 2
7y t x 5z m
my z x 1
my 3z x 2
1
CHƯƠNG II : TÍNH TOÁN MA TRẬN VÀ MA TRẬN VUÔNG KHẢ NGHỊCH
1
2
1
2
1
1
1
0
1
2 1
1 0 1
3 1
1/Cho các ma trận thực A =
, B =
, C = 3
0
và D = 3
0
4 .
2 1
3
2
4
4
1
2 1 0
2 3 1 2
Tính E = CDBA, F = DBAC và G = ACDB .
2/ Tính Ak theo k nguyên 0 nếu A là một trong các ma trận thực sau :
1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
0
1
0
sint
cost
0
2 1 a 0
cos x sin x
sin x cos x
1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1
3 2
1 b
1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 sint cost
2 4
1
1
3/ Cho đa thức thực f(x) = 2x3 5x2 + 4x 3. Tính ma trận f(A) nếu A =
4/ Giải các phương trình ma trận thực sau ( X là ma trận ẩn phải tìm ) :
hay A =
.
3
2
3
2
1
0
4
2
1 1 2
3 1
4
1
1
2
1
2
a)
X =
b) X
=
c)
X = X
d) X2 = I2
4
0 3
4
5
2 3
3 4
3 4
3
5
1 2
2 3
2
1
1
1
2 1
1 2
1
1
1 1
e) X
X
=
f)
X X
=
g) X2 = X ( X M2(R) )
1 1
1 0
1 1
1 1
2 3
5 4
3 1
4 2
7 8
11 8
3
4
2 5
7 11
8 8
h)
X + Xt
=
i)
Xt + X
=
1
2
3
4
0 1
0 0
0 0
1 0
1
0
1 0
5/ Cho các ma trận thực A =
, B =
, C =
và D =
.
0 1
1 1
Chứng minh (AB)n AnBn và (CD)n CnDn n nguyên 2.
6/ Cho A, B, C Mn(R) và số nguyên k 1 .
a) Khai triển (5A 2B + 3C)(6B C 4A)(2C + 3A + B) .
b) Giả sử A2 = A. Khai triển và rút gọn (ABA AB)2 và (ABA BA)2 .
c) Giả sử C2 = In. Tính Ck .
d) Giả sử A2 = A và B = (2A In). Tính Ak và Bk .
e) Giả sử A2 = On và C = (A + In). Tính Ck và Sk = In + C + C2 + … + Ck .
f) Giả sử Ak = On và AB = BA. Tính (AB)k và Am với m nguyên k .
g) Giả sử AB = On.Chứng minh (BA)m = On m nguyên 2. Cho ví dụ để thấy có thể BA On .
h) Giả sử A3 = On = B4 và AB = BA. Chứng minh (cA + dB)6 = On c,d R.
Tổng quát hóa kết quả trên khi có r, s nguyên 1 thỏa Ar = On = Bs và AB = BA.
i) Ký hiệu Tr là hàm vết (trace) lấy tổng các hệ số trên đường chéo chính của một ma trận vuông.
Chứng minh Tr(A B) = Tr(A) Tr(B) và Tr(AB) = Tr(BA). Suy ra (AB BA) cIn c R \ {0}
.
2
7/ Dùng phương pháp Gauss - Jordan để xét tính khả nghịch của các ma trận thực sau và tìm ma trận nghịch
đảo của chúng ( nếu có ) :
2 0 3
2
3 4
1
3
1
13
8
12
1
2 2
2
3
3
a) 2
1
2
3
2
b) 2
2
4
3
6
c) 1 1 3 d) 12 7 12 e) 2 1
2
f) 1 1 2
1
3
1
2
1
6
4
5
3
1 4
5
7
4
A
B
C
D
E
F
g) Từ đó tính nhanh (4A)1, (At )1, (21A1 )1 (A 3 )1, (A4 )1, (BA)1, (A1B)1 (AB1)1 và (B1A1)1 .
,
,
8/ Cho A,B Mn(R) .
a) Giả sử A khả nghịch. Chứng minh (A1BA)k = A1BkA k 1.
Chứng minh (A + B) khả nghịch ( In + A1B ) khả nghịch ( In + BA1 ) khả nghịch
b) Giả sử A9 = A20 = In . Chứng minh A = In .
c) Giả sử A2B3 = A3 B7 = B8A4 = In . Chứng minh A = In = B.
9/ Áp dụng ma trận khả nghịch để giải các phương trình ma trận thực sau ( X là ma trận ẩn phải tìm ) :
3
1 4
5 2
4 0 1
1 8
2
7 4
5 3
4
3
1 6
a)
X =
b) X 4
1
0
6
3
=
c)
X
=
3
1
1 2
5
7
0 3
5
4
0
2
2
2
0
3
4
0
3
3
1
2
1
2
3
1
2
2 1
5 2
3
4
d) 2 1 3 X = 1
1
e) X
=
0
f ) 1 3 7 X
=
0
2
3
1
2
2
3
2
2
4
7
1
4
2
1
3
2
2
1
3
3
2
3 4
1
3
1
4
3 2
4 3
5
1
2
5
g)
X
=
h)
1 2 X5 2
2
4
3
6
=
1 1 3
5
1
6 7
5
7
4
3
1
2
1
10/ Cho A, B, C Mn(R), số nguyên k 1 và c,d R.
a) Giả sử Ak = On và L = ( In + A + A2 + … + Ak 1 ).
Chứng minh H = ( In A ) khả nghịch và H1 = L.
Suy ra K = ( In + A ) cũng khả nghịch và tính K1 theo A.
d
b) Giả sử A2 = cA và cd 1. Đặt Q = ( In
A ).
cd 1
Chứng minh P = ( In + dA ) khả nghịch và P1 = Q.
c) Giả sử A, B, C khả nghịch.
Tìm X và Y nếu A5XB6 = 7A3C2B4 và A9C8YB4C2 = 2A9C5A7B1C2 .
CHƯƠNG III : ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
1/ Tính các định thức sau :
2
3
3
2
2
1
2
1
2
3
3b
2
3
2b
5
5a
4ab
7a
8
2 1
4
3m 2m(1 m) 7m
6b
a) 6 3 2 b) 4
5(1 m)
4(m 1)
2
4
c)
d)
2
1
3
2
5
4
1
2
2
1
2
3
4(b a) 3(a b) 5a(a b) 6(b a)
3
2/ Khi nào các ma trận thực sau có định thức bằng 0 ?
0 a b c
a 0 c b
b c 0 a
c b a 0
1 x2 x3
d) 1 a2 a3
1 b2 b3
1
x
x
x
3
2
x
1
1
x
3
x 1 x3
c) a 1 a3
b 1 b3
a b c
e) b c a
c a b
a) x 1
b)
f)
x
x
1
x 3
1
a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2
b2 (b 1)2 (b 2)2 (b 3)2
c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2
d2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2
a 1 1 1
b 0 1 1
c 1 0 1
d 1 1 0
a x x b
x a b x
x b a x
b x x a
a
c
b
b
c
b
a
1
a
c
1
1
g)
h)
i)
j)
a b b c c a 2
3/ Dùng phương pháp định thức để xét tính khả nghịch của các ma trận thực sau và tìm ma trận nghịch đảo
( nếu có ) của chúng :
1 5
3
2
3
4
3
2
6
6
13 12
6
4
5
2
1
2
5 8
a) 2 1 1 b) 1
2 c) 5 1 4 d)
8
7
e) 7
3
1 f) 1
1
5
5
3
4 2
1
1 2
4
1 2
2
12 12 5
4
3 2
3
4/ Khi nào các ma trận thực sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch của chúng lúc đó :
1
3
3
2
m 3
m
1
2
1
a
b
c
1
1
sin a
a)
7 m 5
b)
m 1
m
c) 1
1
1
d) 1
1
cos a
m 2m
1
3m 3
m 3
bc ac ab
sin a cosa
1
5/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực sau bằng qui tắc CRAMER :
1
1
1
11
3 2
0
2
3
7
2 1 2 5
2 1 1
1
a) 4 4 1 22
b) 0
3
0
6
c) 4
1
2
1
1
5
d) 2
4
5 15
2
3
1
11
2
1
8 1
3 5
6
19
6/ Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính thực sau theo tham số thực m bằng qui tắc CRAMER :
m 1 1
m
m 2 m 1
m 1
1
m 2
2m 5
9
m
a)
b)
c)
d)
1 m m
m 2
1
0
1
m 1
0
3
m 4 1 m
2
1
3
5 m 1
1 m 1
3
1
1 1 3
1
m
1
1
1
0
e)
2
1
2
4
0
2
f) 2 4 4m 2 1 g) 2 1
m
m 1 h) m m 1
3m 1 m 3
3 m 1
9
0
1 m
3
2
m
1 m 1
CHƯƠNG IV : KHÔNG GIAN VECTOR Rn
1/ Tập hợp nào dưới đây là không gian vector con của Rn ( n = 3, 4, 5 ) ? Tại sao ?
a) W = { X = (x,y,z) R3 / 2x | y | + 3z = 0 }
b) W = { X = (x,y,z) R3 / xy + yz + zx = 0 }
c) W = { X = (x,y,z) R3 / y 4x + 3z = 0 = 5x + 8y 7z }
d) W = { X = (x,y,z,t) R4 / x y + 9z = 3t x z = 2t 7y 5z = 8x + 4y t }
e) W = { X = (x,y,z,t) R4 / x + 5y 2z 4t 0 }
f) W = { X = (x,y,z,t) R4 / x2 y + 3z t3 1 }
g) W = { X = (x,y,z,t) R4 / (5x + 4y + z 6t)2 + (9x y + 7z + 2t)2 + (8x 6y + 3z t)2 0 }
h) W = { X = (x,y,z,t,u) R5 / 3x = 2y = 6z = 9t = 4u }
4
2/ Khi nào = (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t)) W = < S > nếu
a) S = { X = (1,1,2), Y = (2,3,3) } R3
b) S = { X = (3,1,1), Y = (1,5,7), Z = (1,2,3) } R3
c) S = { X = (1,2,1,0), Y = (2,1,0,1), Z = (0,1, 2,1) } R4
d) S = { X = (2,1,3,1), Y = (1,4,0,3), Z = (3,6,6,5), T = (2,1,3,1) } R4
e) = (m, 4, m + 2) R3 và S = { X = (1,1,2), Y = (1,2,1), Z = (1,1,4) } R3
3/ Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các tập hợp dưới đây :
a) S = { X = (3,1,1), Y = (1,5,7), Z = (1,2,3), T = (9,0,4) } R3
b) S = { X = (3,2,7,1), Y = (9,6,21,3) } R4
c) S = { X = (2,1,0,9), Y = (5,7,3,4) } R4
d) S = { X = (1,1,7,2), Y = (5,1,1,18), Z = (5,2,8,16) } R4
e) S = { X = (1,2,3,4), Y = (3,3,5,1), Z = (5,8,13,6) } R4
f) S = { X = (1,2, 3m + 1), Y = (3,1,m 3), Z = (m + 5, 2,4) } R3
4/ Tập hợp nào dưới đây là cơ sở của R3 ? ( s = sinx và c = cosx )
a) S = { X = (3,2,7), Y = (8,2,3) } b) S = { X = (1,1,7), Y = (5,1,1), Z = (5,2,8), T = (4,0,3) }
c) S = { X = (3,2,1), Y = (2,1,1), Z = (12, 1,1) } d) S = { X = (2,3,1), Y = (4,5,2), Z = (5,7,3) }
e) S = { X = (1,1,c), Y = (1,1,s), Z = (s,c,1) }
f) S = { X = (0,1,s), Y = (1,0,c), Z = (s,c,0) }
5/ Giải thích B là một cơ sở của không gian W = < B > V = Rn ( n = 3, 4, 5 ) rồi tìm điều kiện để
= (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t) hay = (u,v,w,t,z) ) W.
Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.
a) B = { X = (2,3,1), Y = (4,6,5) }( V = R3 )
b) B = { X = (0,3,1,2), Y = (0,9,3,8) }( V = R4 )
c) B = { X = (1,4,2,5), Y = (2,5,3,9), Z = (1,2,1,4) }( V = R4 )
d) B = { X = (0,2,1,7,3), Y = (0,6,0,25,10), Z = (0,4,13,34,13) }( V = R5 )
e) B = { X = (1,2,5,2,3), Y = (4,8,16,7,6) }( V = R5 )
6/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = < S > V = Rn ( n = 3, 4 ) rồi tìm điều kiện để = (u,v,w) W
( hay = (u,v,w,t) W ) Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.
a) S = { X = (2,3,1), Y = (3,1, 5), Z = (1,5,3) } R3
b) S = { X = (1,2,3), Y = (2,1,4), Z = (3,0,5), T = (2,7,8) } R3
c) S = { X = (1,2,4,0), Y = (2,3,3,1), Z = (1,4,2,3), T = (1,9,3,5) } R4
d) S = { X = (2,17,43,12), Y = (0,5,5,2), Z = (1,11,19,7), T = (1,1,29,3) } R4
7/ Chỉ ra một tập sinh hữu hạn S cho W để thấy W V = Rn ( n = 3, 4 ) .
Sau đó tìm một cơ sở B cho W = < S > rồi tìm điều kiện để = (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t)) W ?
Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.
a) W = { U = (2a + 3b + c, 3a b 5c, a + 5b 3c) / a,b,c R }
b) W = { U = (a 2b 3c + 2d, 2a b + 7d, 3a + 4b + 5c 8d) / a,b,c,d R }
c) W = { U = (a + 2b + c d, 2a + 3b 4c + 9d, 4a + 3b + 2c + 3d, 5d b 3c) / a,b,c,d R }
d) W = { U = (2a c + d, 5b 17a + 11c d, 5b + 43a 19c + 29d, 2b 12a + 7c 3d) / a,b,c,d R }
8/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = { X Rn / AX = O } ( n = 4, 5 ) nếu A là
1 6
8
3
4
5
1
3
1
2
2
1
5
1
7
1
2
5
7
1 2
1
1
1
2
3
3
1
2
8
3
5
2
3
1
a) 2 3
3
20 b) 2
1
1 2 3 c)
d)
3
3
8 12
9
3
7
22 15
3 2 1 1 2
2 11
1 4
7
Nếu W Rn, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của Rn .
5
9/ Kiểm tra S và T là các cơ sở của R3 rồi viết P(S → T) và P(T → S) .
Tìm X, [ X ]T, [ Y ]S, [ Y ]T, Z và [ Z ]S nếu
a) S = { X1 = (1,1,2), X2 = (2,1, 2), X3 = (1,0,3) }, T = { Y1 = (2,5,2), Y2 = (2,1,3), Y3 = (1,2, 2) }
2
3
[ X ]S = 1 , Y = (4,1, 2) và [ Z ]T =
0
3
1
b) S = { X1 = (1,1,0), X2 = (0,1,1), X3 = (1,0,1) }, T = { Y1 = (1,0,0), Y2 = (1,1,0), Y3 = (1,1,1) }
1
2
[ X ]S = 5 , Y = (3,4,0) và [ Z ]T = 2
1
3
10/ Cho S = { X , Y , Z } là một cơ sở của R3 và T = { E, F, G } R3.
Kiểm tra T cũng là một cơ sở của R3 rồi viết P(S → T) và P(T → S) nếu
a) E = 2X 2Y 3Z, F = 3X + 2Y + 4Z và G = 4X + 3Y + 6Z.
b) X = E F + G, Y = 3E F + 2G và Z = E + 3F + G.
11/ Cho S = { X = (a,c), Y = (b,d) } R2 thỏa ab + cd = 0 và a2 + c2 = 1 = b2 + d2 .
Chứng minh S là một cơ sở của không gian vector R2. Tìm [ Z ]S nếu Z = (u,v) R2.
12/ Cho V = R3 ( hay V = R4 ) và X = (u,v,w) ( hay X = (u,v,w,t)) V. Xét S,T V và W = < S > V.
Tìm điều kiện để X W rồi giải thích S và T là các cơ sở của W. Tính [ X ]S ( khi X W ) và viết
ma trận P(S → T). Từ đó suy ra P(T → S) và [ X ]T .
a) S = { Y = (3,2,1), Z = (1,1,2) } và T = { E = (1,4,5), F = (2,3,3) }
b) S = { Y = (1,1,1,0), Z = (2,3,4,1), U = (1,4,3,2) } và
T = { E = (1,1,1,1), F = (2,7,0,3), G = (3,8,1,3) }
13/ Cho H, K R4 và các ma trận thực
2 1
5
1
1 2 3
5
1 1 5 6
2 2 9 13
3 3 14 19
5 5 23 32
2 2
7
2
1 3 13 22
A =
B =
và C =
4 3 12 3
4 4 17 4
3 5
2 3
1
4
2
7
Tìm một cơ sở cho H, K, ( H + K ), ( H K ) trong các trường hợp dưới đây và cho biết trường hợp
nào có tổng trực tiếp H K ?
a) H = < S >, K = < T > , S = { Y = (1,2,0,1), Z = (1,1,1,0) } và T = { E = (1,0,1,0), F = (1,3,0,1) }
b) H = < S >, K = < T > , S = { Y = (1,2,1,0), Z = (2,1,0,1), U = (1,1,1,1), P = (1,1,1,1) } và
T = { E = (1,2,0,1), F = (2,1,3,1), G = (7,8,9,5) }.
c) H = < S >, K = < T > , S = { Y = (1,1,1,1), Z = (1,1,1,1), U = (1,3,1,3) } và
T = { E = (1,2,0,2), F = (1,2,1,2), G = (3,1,3,1) }.
d) H = < S >, S = { Y = (3,6,0,2), Z = (1,1,3,3), U = (2,3,2,4), E = (5,9,2,6) } và
K = { X R4 / AX = O }.
e) H = { X R4 / BX = O } và K = { X R4 / CX = O }.
14/ Cho H, K Rn . Đặt L = ( H K ) Rn .
a) Chứng minh L Rn ( H K hay K H ) .
b) Cho một ví dụ cụ thể mà trong đó L không phải là một không gian con của Rn.
6
CHƯƠNG V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1/ R2, R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C.
a) Cho f(u,v,w) = (u2v+3w, vw+3u, 4w2u3v, 5u3v+5w) (u,v,w) R3. Giải thích f L(R3, R4)
và viết [ f ]B,C . Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f). Khi nào Y = (x,y,z,t) Im(f) ?
b) Giải thích D = { 1 = (4,3), 2 = (3,2) } và E = { 1 = (1,2,2), 2 = (3,2,3), 3 = (2,3,3) } lần
1 3
4
1
lượt là các cơ sở của R2 và R3. Xét g, h L(R2, R3) có [ g ]A,B
=
0
2
và [ h ]D,E
=
2 5 .
2 1
3
0
Tìm biểu thức của g và viết [ g ]D,B , [ g ]A,E và [ g ]D,E
.
c) Viết [ h ]D,B , [ h ]A,E và [ h ]A,B rồi suy ra biểu thức của h.
2/ R2, R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C.
a) Cho f(u,v,w,t) = (2v+4wu3t, 2u+v2w+5t, 3u+4v+7t) (u,v,w,t) R4. Giải thích f L(R4, R3)
và viết [ f ]C,B . Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f). Khi nào Y = (x,y,z) Im(f) ?
b) Giải thích D = { 1 = (5,2), 2 = (3,1) } và E = { 1 = (5,1,3), 2 = (3,1,2), 3 = (1,0,1) } lần lượt
1
1 2
3
0 5
là các cơ sở của R2 và R3. Xét g,h L(R3, R2) có [ g ]B,A
=
và [ h ]E,D =
2
3
0
1 2 1
Tìm biểu thức của g và viết [ g ]B,D , [ g ]E,A và [ g ]E,D
.
c) Viết [ h ]B,D , [ h ]E,A và [ h ]B,A rồi suy ra biểu thức của h.
3/ R3 có cơ sở chính tắc là B.
a) Cho f(u,v,w) = (u3w+3v, v+w+2u, 10u12w) (u,v,w) R3. Giải thích f L(R3) và viết [ f ]B .
Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f). Khi nào Y = (x,y,z) Im(f) ?
b) Giải thích E = { 1 = (1,0,2), 2 = (2,2,1), 3 = (3,3,2) } là một cơ sở của R3. Xét g, h L(R3) có
1
2 3
2
1
0
[ g ]B = 1 0 2 và [ h ]E =
3
2
1 . Tìm biểu thức của g và viết [ g ]E,B , [ g ]B,E và [ g ]E
2
1 1
0
3
1
c) Viết [ h ]B , [ h ]B,E và [ h ]E,B rồi suy ra biểu thức của h. Xác định các không gian Im(h) và Ker(h).
4/ R3 có cơ sở chính tắc là B.
a) Cho f(u,v,w) = (u+2w+3v, 4v+w+2u, 3u+7v+3w) (u,v,w) R3. Giải thích f L(R3) và viết [ f ]B
Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f). Khi nào Y = (x,y,z) Im(f) ?
b) Giải thích E = { 1 = (3,0,2), 2 = (4,1,3), 3 = (6,1,4) } là một cơ sở của R3. Xét g, h L(R3) có
3
1
0
4
1
0
[ g ]B =
2
4
1
và [ h ]E = 2
3
2 . Tìm biểu thức của g và viết [ g ]E,B , [ g ]B,E và [ g ]E
2
1
3
1
0
3
c) Viết [ h ]B , [ h ]B,E và [ h ]E,B rồi suy ra biểu thức của h. Xác định các không gian Im(h) và Ker(h).
5/ R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là B và C.
a) Giải thích E = { 1 = (2,1,5), 2 = (1,0,1), 3 = (4,2,1) } là một cơ sở của R3.
Tìm [ ]E nếu = (u,v,w) R3.
b) Cho 1 = (2,3,1), 2 = (1,0,3) và 3 = (3,4,1) R3.
Tìm f L(R3) thỏa f(j) = j j = 1,2,3 ( dùng [ ]E hay [ f ]E,B ) .
c) Cho 1 = (1,1,0,1), 2 = (2,1,3,0) và 3 = (3,0,4,1) R4.
Tìm g L(R3, R4) thỏa g(j) = j j = 1,2,3 ( dùng [ ]E hay [ g ]E,C ) .
7
7 trang
26/04/2022
8340
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Đại số tuyến tính - Lê Văn Hợp", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_dai_so_tuyen_tinh_le_van_hop.pdf
