Đề thi cuối học kì môn Đại số B1 (Khóa 2012)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
ĐỀ THI CUỐI KÌ – MÔN ĐẠI SỐ B1
Các lớp ngành Vật Lý, Hải dương học, Điện tử - Viễn thông (Khóa 2012)
Thời gian làm bài: 90 phút (Sinh viên không được sử dụng tài liệu)
Bài 1: Giải và biện luận (theo tham số m) hệ phương trình sau:
{
Bài 2: Cho W là không gian con của R3 sinh bởi các vecto u1 = (1; 1; 2); u2 = (1; 2; 1);
u3 = (1; -1; 4).
a) Tìm một cơ sở và xác định chiều của không gian W.
b) Xác định m để vecto u = (m; 4; m + 2) thuộc W.
Bài 3: Trong không gian R3 cho các vecto u1 = (1; 2; 3); u2 = (1; 3; 2); u3 = (2; 5; 4) và
u = (3; 8; 4).
a) Chứng minh tập hợp B = {u1, u2, u3} là cơ sở của R3 và xác định tọa độ của vecto u
theo cơ sở B.
b) Chứng minh tập hợp B' = {u1 + u2, u2 + u3, u1 + u2 + u3} cũng là cơ sở của R3 và xác
định ma trận chuyển cơ sở từ B sang B'.
Bài 4: Cho toán tử tuyến tính xác định bởi:
a) Tìm một cơ sở của Im và một cơ sở của Ker .
3
{
}
b) Xác định ma trận biểu diễn theo cơ sở của R .
- - - HẾT - - -
1 1 1 1
i : a c ma trận:
A 1 m 2 m
m 3 3
1
1 1 1
1 1 1
1 m 2 (3 m).(m 2),
1 m m 2 4.(m 2)
m 3 3
1
3 3
1 1 1
1 1 1
2 1 m 2 (m 1).(2 m),
m 1 3
3 1 m m 2.(m 1).(m 2)
m 3
1
m 3
m 2
• Khi 0
thì hệ phương trình c nghiệm u nh t:
1 2
4
(m 1) 2(m 1)
(x1,x2,x3) = (
;
;
3 ) = (
;
;
)
(3 m) (3 m) (3 m)
• Khi 0 thì c hai trư ng hợp:
– i m thì 1= 4
hệ phương trình v nghiệm
1 1 1 1
1 0 0 4
– i m ta c ma trận: A 1 2 2 2 chuân hoa 0 1 1
3
0
2 3 3
1
0 0 0
Hệ phương trình c v số nghiệm: (x1 , x2 , x3) = (– 4 ; 3 – t ; t v i t
ết luận: • m = 3: ệ phương trình v nghiệm
R.
• m = 2: Hệ c v số nghiệm: (x1 , x2 , x3) = (– 4 ; 3 – t ; t v i t
R.
4
(m 1) 2(m 1)
• m 2 và m 3: ệ c nghiệm u nh t: x1,x2,x3) = (
;
;
).
(3 m) (3 m) (3 m)
u
1 1 2
1 1 2
1
i : a) Ta c ma trận: A u2 1 2 1 chuan hoa 0 1 1
u
1 1 4
0 0 0
3
ậ : ; 1 ; 2) ; (0 ; 1 ; – } là một cơ sở của và dim W = 2.
b) ể u thuộc u phải là t hợp tu ến t nh của vectơ u1, u2, u3 a c ma trận sau:
1 1 1
m
1 1 1
m
(u1T uT2 u3T uT ) 1 2 -1
4
chuan hoa 0 1 -2 4- m
2 1 4 m 2
0 0 0 6- 2m
u là t hợp tu ến t nh của u1, u2, u3 6 – 2m = 0
Vậy: Vecto u thuộc W
u
1 2 3
1
i : a) • Ta c ma trận: A u2 1 3 2
u3 2 5 4
det A = –1 0 B = {u1, u2, u3} độc lập tu ến t nh.
Mà u1, u2, u3 thuộc R3 là cơ sở của 3.
2
1 1 2 3
1 0 0 2
• a c ma trận: (u1T uT2 u3T uT ) 2 3 5 8 chuan hoa 0 1 0 1
u
B
1
3 2 4 4
0 0 1
3
3
u (1;2;3)
u u (2;5;5)
1 2
1
b) • Ta c : u (1;3;2) u u (3;8;6)
a trận:
2
2
3
u (2;5;4)
u u2 u3 (4;10;9)
3
1
u1 u2
2 5 5
1 3 1
A'
u2 u3
3 8 6 chuan hoa 0 1
3
dim B' 3
u u2 u3 4 10 9
0
0
11
1
u
1 2 3
1 2 3
1
A u2 1 3 2 chuan hoa 0 1 1 dim B 3
u
2 5 4
0 0 1
3
dim B = dim B'.
M t hác: B' độc lập tu ến t nh et = –1 0) B' là cơ sở của 3.
uT uT2 u3T (u1 u2)T (u2 u3)T (u1 u2 u3)T
1
1 1 2 2 3 4
1 0 0 1 0 1
• Ta c ma trận:
2 3 5 5 8 10 chuan hoa 0 1 0 1 1 1
3 2 4 5 6 9
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
Vậ : (B B') 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
1 1 1
1 1 1
i : a) a c ma trận: A 1 2 1 chuan hoa 0 1 2
2 1 4
0 0 0
Hệ phương trình c v số nghiệm: x1 ; x2 ; x3) = (–3t ; 2t ; t v i t R.
f
ghiệm c n ản: u = (–3 ; 2 ; 1) B = {u = (–3 ; 2 ; 1)} là cơ sở của er .
1 1 2
1 1 2
AT 1 2 1 chuan hoa 0 1 1
1 1 4
0 0 0
f
C = {u1, u2} v i u1 = (1 ; 1 ; 2) và u2 = (0 ; 1 ; – là cơ sở của m .
b) Ta có: B = {u1 = (1 ; 0 ; 1) ; u2 = (0 ; 1 ; 1); u3 = (1 ; 1 ; 1)}
f
f
f
(u1) = (2 ; 0 ; 6) ; (u2) = (2 ; 1 ;5) ; (u3) = (3 ; 2 ; 7).
uT uT2 u3T f (u1)T f (u2)T f (u3)T
1
1 0 1 2 2 3
1 0 0
6
4
4
3
5
a c ma trận:
0 1 1 0 1 2 chuan hoa 0 1 0
4
1 1 1 6 5 7
0 0 1 4 2 2
1 0 0
6
4
4
3
5
ậy:
f
0 1 0
4
.
B,B'
0 0 1 4 2 2
- - - HẾT - - -
3 trang
28100
Free
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi cuối học kì môn Đại số B1 (Khóa 2012)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_thi_cuoi_hoc_ki_mon_dai_so_b1_khoa_2012.pdf
