Đề thi cuối học kì môn Đại số B1 (Khóa 2012)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
ĐỀ THI CUỐI KÌ – MÔN ĐẠI SỐ B1
Các lớp ngành Vật Lý, Hải dương học, Điện tử - Viễn thông (Khóa 2012)
Thời gian làm bài: 90 phút (Sinh viên không được sử dụng tài liệu)
Bài 1: Giải và biện luận (theo tham số m) hệ phương trình sau:
{
Bài 2: Cho W là không gian con của R3 sinh bởi các vecto u1 = (1; 1; 2); u2 = (1; 2; 1);
u3 = (1; -1; 4).
a) Tìm một cơ sở và xác định chiều của không gian W.
b) Xác định m để vecto u = (m; 4; m + 2) thuộc W.
Bài 3: Trong không gian R3 cho các vecto u1 = (1; 2; 3); u2 = (1; 3; 2); u3 = (2; 5; 4) và
u = (3; 8; 4).
a) Chứng minh tập hợp B = {u1, u2, u3} là cơ sở của R3 và xác định tọa độ của vecto u
theo cơ sở B.
b) Chứng minh tập hợp B' = {u1 + u2, u2 + u3, u1 + u2 + u3} cũng là cơ sở của R3 và xác
định ma trận chuyển cơ sở từ B sang B'.
Bài 4: Cho toán tử tuyến tính xác định bởi:
a) Tìm một cơ sở của Im và một cơ sở của Ker .
3
{
}
b) Xác định ma trận biểu diễn theo cơ sở của R .
- - - HẾT - - -
1 1 1 1
i : a c ma trận:
A 1 m 2 m
m 3 3
1
1 1 1
1 1 1
1 m 2 (3 m).(m 2),
1 m m 2 4.(m 2)
m 3 3
1
3 3
1 1 1
1 1 1
2 1 m 2 (m 1).(2 m),
m 1 3
3 1 m m 2.(m 1).(m 2)
m 3
1
m 3
m 2
• Khi 0
thì hệ phương trình c nghiệm u nh t:
1 2
4
(m 1) 2(m 1)
(x1,x2,x3) = (
;
;
3 ) = (
;
;
)
(3 m) (3 m) (3 m)
• Khi 0 thì c hai trư ng hợp:
– i m thì 1= 4
hệ phương trình v nghiệm
1 1 1 1
1 0 0 4
– i m ta c ma trận: A 1 2 2 2 chuân hoa 0 1 1
3
0
2 3 3
1
0 0 0
Hệ phương trình c v số nghiệm: (x1 , x2 , x3) = (– 4 ; 3 – t ; t v i t
ết luận: • m = 3: ệ phương trình v nghiệm
R.
• m = 2: Hệ c v số nghiệm: (x1 , x2 , x3) = (– 4 ; 3 – t ; t v i t
R.
4
(m 1) 2(m 1)
• m 2 và m 3: ệ c nghiệm u nh t: x1,x2,x3) = (
;
;
).
(3 m) (3 m) (3 m)
u
1 1 2
1 1 2
1
i : a) Ta c ma trận: A u2 1 2 1 chuan hoa 0 1 1
u
1 1 4
0 0 0
3
ậ : ; 1 ; 2) ; (0 ; 1 ; – } là một cơ sở của và dim W = 2.
b) ể u thuộc u phải là t hợp tu ến t nh của vectơ u1, u2, u3 a c ma trận sau:
1 1 1
m
1 1 1
m
(u1T uT2 u3T uT ) 1 2 -1
4
chuan hoa 0 1 -2 4- m
2 1 4 m 2
0 0 0 6- 2m
u là t hợp tu ến t nh của u1, u2, u3 6 – 2m = 0
Vậy: Vecto u thuộc W
u
1 2 3
1
i : a) • Ta c ma trận: A u2 1 3 2
u3 2 5 4
det A = –1 0 B = {u1, u2, u3} độc lập tu ến t nh.
Mà u1, u2, u3 thuộc R3 là cơ sở của 3.
2
1 1 2 3
1 0 0 2
• a c ma trận: (u1T uT2 u3T uT ) 2 3 5 8 chuan hoa 0 1 0 1
u
B
1
3 2 4 4
0 0 1
3
3
u (1;2;3)
u u (2;5;5)
1 2
1
b) • Ta c : u (1;3;2) u u (3;8;6)
a trận:
2
2
3
u (2;5;4)
u u2 u3 (4;10;9)
3
1
u1 u2
2 5 5
1 3 1
A'
u2 u3
3 8 6 chuan hoa 0 1
3
dim B' 3
u u2 u3 4 10 9
0
0
11
1
u
1 2 3
1 2 3
1
A u2 1 3 2 chuan hoa 0 1 1 dim B 3
u
2 5 4
0 0 1
3
dim B = dim B'.
M t hác: B' độc lập tu ến t nh et = –1 0) B' là cơ sở của 3.
uT uT2 u3T (u1 u2)T (u2 u3)T (u1 u2 u3)T
1
1 1 2 2 3 4
1 0 0 1 0 1
• Ta c ma trận:
2 3 5 5 8 10 chuan hoa 0 1 0 1 1 1
3 2 4 5 6 9
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
Vậ : (B B') 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
1 1 1
1 1 1
i : a) a c ma trận: A 1 2 1 chuan hoa 0 1 2
2 1 4
0 0 0
Hệ phương trình c v số nghiệm: x1 ; x2 ; x3) = (–3t ; 2t ; t v i t R.
f
ghiệm c n ản: u = (–3 ; 2 ; 1) B = {u = (–3 ; 2 ; 1)} là cơ sở của er .
1 1 2
1 1 2
AT 1 2 1 chuan hoa 0 1 1
1 1 4
0 0 0
f
C = {u1, u2} v i u1 = (1 ; 1 ; 2) và u2 = (0 ; 1 ; – là cơ sở của m .
b) Ta có: B = {u1 = (1 ; 0 ; 1) ; u2 = (0 ; 1 ; 1); u3 = (1 ; 1 ; 1)}
f
f
f
(u1) = (2 ; 0 ; 6) ; (u2) = (2 ; 1 ;5) ; (u3) = (3 ; 2 ; 7).
uT uT2 u3T f (u1)T f (u2)T f (u3)T
1
1 0 1 2 2 3
1 0 0
6
4
4
3
5
a c ma trận:
0 1 1 0 1 2 chuan hoa 0 1 0
4
1 1 1 6 5 7
0 0 1 4 2 2
1 0 0
6
4
4
3
5
ậy:
f
0 1 0
4
.
B,B'
0 0 1 4 2 2
- - - HẾT - - -
3 trang
26/04/2022
8460
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi cuối học kì môn Đại số B1 (Khóa 2012)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_thi_cuoi_hoc_ki_mon_dai_so_b1_khoa_2012.pdf
