Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Moân hoïc

CÔ SÔÛ TÖÏ ÑOÄNG

Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hoàng

Bộ môn điều khiển tự động

Khoa Điện – Điện Tử

Đại học Bách Khoa TPHCM

Email: [email protected]

Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Giảng viên: HTHoàng, NVHảo, NĐHoàng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí

9 September 2011

1

Chöông 4

KHAÛO SAÙT

TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG

9 September 2011

2

Noäi dung chöông 4



Khaùi nieäm oån ñònh

 Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

 Ñieàu kieän caàn

 Tieâu chuaån Routh

 Tieâu chuaån Hurwitz

 Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)

 Khaùi nieäm veà QÑNS

 Phöông phaùp veõ QÑNS



Xeùt oån ñònh duøng QÑNS

 Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

 Tieâu chuaån oån ñònh Bode

 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist

9 September 2011

3

Khaùi nieäm oån ñònh

9 September 2011

4

Khaùi nieäm oån ñònh

Ñònh nghóa oån ñònh BIBO

 Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh BIBO (Bounded Input Bounded

Output) neáu ñaùp öùng cuûa heä bò chaën khi tín hieäu vaøo bò chaën.

y(t)

u(t)

Heä thoáng

y(t)

9 September 2011

5

Khaùi nieäm oån ñònh

Cöïc vaø zero

 Cho heä thoáng töï ñoäng coù haøm truyeàn laø:

Y(s) b₀s^m b s^m
1 b_m1s  b_m

1

G(s) 



U(s) a₀sⁿ a₁s^n1 a_n1s  a_n

A(s)  a₀sⁿ a₁s^n

1 a_n1s  a_n

 Ñaët:

maãu soá haøm truyeàn

B(s)  b₀s^m b s^m1 b_m1s  b_m

töû soá haøm truyeàn

1

 Zero: laø nghieäm cuûa töû soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa phöông

trình B(s) = 0. Do B(s) baäc m neân heä thoáng coù m zero kyù hieäu laø z_i,

i

=1,2,…

m

.

 Cöïc: (Pole) laø nghieäm cuûa maãu soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa

phöông trình A(s) = 0. Do A(s) baäc n neân heä thoáng coù n cöïc kyù

hieäu laø p_i, i =1,2,…m.

9 September 2011

6

Khaùi nieäm oån ñònh

Giaûn ñoà cöïc - zero

 Giaûn ñoà cöïc – zero laø ñoà thò bieåu dieãn vò trí caùc cöïc vaø caùc zero

cuûa heä thoáng trong maët phaúng phöùc.

9 September 2011

7

Khaùi nieäm oån ñònh

Ñieàu kieän oån ñònh

 Tính oån ñònh cuûa heä thoáng phuï thuoäc vaøo vò trí caùc cöïc.

 Heä thoáng coù taát caû caùc cöïc coù phaàn thöïc aâm (coù taát caû caùc cöïc

ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc): heä thoáng oån ñònh.

 Heä thoáng coù cöïc coù phaàn thöïc baèng 0 (naèm treân truïc aûo), caùc cöïc

coøn laïi coù phaàn thöïc baèng aâm: heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh.

 Heä thoáng coù ít nhaát moät cöïc coù phaàn thöïc döông (coù ít nhaát moät

cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc): heä thoáng khoâng oån ñònh.

9 September 2011

8

Khaùi nieäm oån ñònh

Phöông trình ñaëc tröng (PTÑT)

 Phöông trình ñaëc tröng: phöông trình A(s) = 0

 Ña thöùc ñaëc tröng: ña thöùc A(s)

 Chuù yù:

Heä thoáng hoài tieáp

Heä thoáng moâ taû baèng PTTT

Y(s)

R(s)



x(t)  Ax(t)  Bu(t)







Y_ht(s)

y(t)  Cx(t)

Phöông trình ñaëc tröng

det sI  A  0

1 G(s)H(s)  0





9 September 2011

9

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

9 September 2011

10

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

Ñieàu kieän caàn

 Ñieàu kieän caàn ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá cuûa phöông

trình ñaëc tröng phaûi khaùc 0 vaø cuøng daáu.

 Thí duï: Heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:

s³ 3s² 2s 1 0

Khoâng oån ñònh

s⁴ 2s² 5s  3  0

s⁴ 4s³ 5s² 2s 1 0

Chöa keát luaän ñöôïc

9 September 2011

11

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Qui taéc thaønh laäp baûng Routh

 Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:

a

₀

s

ⁿ



a

₁

s

^n1







a

_n1

s



a

_n



0

 Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Routh, tröôùc

tieân ta thaønh laäp

baûng Routh theo qui taéc:

 Baûng Routh coù n+1 haøng.

 Haøng 1 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún.

 Haøng 2 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá leû.

 Phaàn töû ôû haøng i coät j cuûa baûng Routh (i  3) ñöôïc tính theo

coâng thöùc:

c_ij c_{i2, j1}_i.c_{i1, j1}

c_i2,1

_i

vôùi

c_i1,1

9 September 2011

12

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Daïng baûng Routh

c_ij c_{i2, j1}_i.c_{i1, j1}

c_i2,1

_i

c_i1,1

9 September 2011

13

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Phaùt bieåu tieâu chuaån

 Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc phaàn töû

naèm ôû coät 1 cuûa baûng Routh ñeàu döông

. Soá laàn ñoåi daáu cuûa caùc

phaàn töû ôû coät 1 cuûa baûng Routh baèng soá nghieäm cuûa phöông trình

ñaëc tröng naèm beân phaûi maët phaúng phöùc.

9 September 2011

14

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Thí duï 1

 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø:

s⁴ 4s³ 5s² 2s 1  0

 Giaûi: Baûng Routh

 Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1 baûng

Routh ñeàu döông.

9 September 2011

15

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Thí duï 2

 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái:

Y

(

s

)

50

R

(

s

)

G(s) 

H

(

s

)



s(s  3)(s² s  5)

1

s  2

 Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:

1 G(s).H(s)  0

50

1



1

.

 0

s(s  3)(s² s  5) (s  2)

s(s  3)(s² s  5)(s  2)  50  0

s⁵ 6s⁴16s³ 31s² 30s  50  0



9 September 2011

16

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Thí duï 2 (tt)

 Baûng Routh

 Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1

baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn.

9 September 2011

17

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Thí du

ï

3

 Tìm ñieàu kieän cuûa K ñeå heä thoáng oån ñònh:

R

(

s

)

Y

(

s

)

K

G(s) 

s(s² s 1)(s  2)

 Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:

1 G(s)  0

K



1

 0

s(s² s 1)(s  2)

s

⁴



3

s

³



3

s

²



2

s



K



0

9 September 2011

18

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Thí duï 3 (tt)

 Baûng Routh

 Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh:

9





2  K  0

14

9



0  K 



7





K  0

9 September 2011

19

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

Tröôøng hôïp ñaëc bieät 1

 Neáu baûng Routh coù heä soá ôû coät 1 cuûa haøng naøo ñoù baèng 0, caùc heä

soá coøn laïi cuûa haøng ñoù khaùc 0 thì ta thay heä soá baèng 0 ôû coät 1 bôûi

soá  döông nhoû tuøy yù, sau ñoù quaù trình tính toaùn ñöôïc tieáp tuïc.

9 September 2011

20

Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng