Bài thực hành môn Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học - Bài thực hành số 1: Khảo sát động học của một bình phản ứng lý tưởng khuấy liên tục

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

BÀI THỰC HÀNH SỐ 1

KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC CỦA MỘT BÌNH PHẢN ỨNG LÝ

TƯỞNG KHUẤY LIÊN TỤC

Mục đích của bài thực hành này là mô phỏng, giải quyết các bài toán trong CNHH. Cụ thể :

1. Xác định các điểm hoạt động dừng của một hệ thống phản ứng pha lỏng lý tưởng

khuấy liên tục.

2. Khảo sát các đặc trưng (ma trận và giá trị riêng kết hợp) của hệ thống được tuyến tính

hóa.

3. Khảo sát các đáp ứng thời gian của hệ thống với một số điều kiện ban đầu khác nhau.

Tài liệu tham khảo :

[1] F. Viel et al., Global stabilization of Exothermic Chemical Reactors under Input

Constraints, Automatica, 1997. pp. 1437-1448.

1. Mô tả hệ thống phản ứng :

Hệ khảo sát trong bài thí nghiệm này là một hệ phản ứng lý tưởng khuấy liên tục (CSTR),

được mô tả như trong hình dưới đây:

A

.

Q_J

A, B

υ_AA →υ_BB

.

_{Bình phản ứng được cung cấp bởi chất phản ứng A ở lối vào và có trao đổi nhiệt với jacket}Q_J

Bên trong bình phản ứng xảy ra phản ứng hóa học phát nhiệt bậc 1 dạng AÆB với tốc độ

phản ứng giả sử tuân theo luật tác động khối lượng

r = k(T)x_A

v

(1)

vói x_Alà nồng độ của cấu tử A và k(T) là động học phản ứng, giả sử được mô hình theo luật

thực nghiệm Arrhenius :

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

− k

T

⎛

⎜

⎞

⎟

1

(2)

k(T) = k exp

0

⎝

⎠

Với k₀là hằng số động học phản ứng và k₁là nhiệt độ hoạt hóa. T là nhiệt độ bên trong bình

phản ứng. Ở đầu ra của bình phản ứng, chúng ta thu hồi chất phản ứng A và sản phẩm B.

Nghiên cứu cân bằng năng lượng và vật chất của hệ phản ứng mở trên, chúng ta nhận được

phương trình vi phân thường ODE sau [1] :

•

⎧

x_A= −k(T)x + d(xⁱⁿ− x )

A

⎪

⎨

⎪

•

x_B= k(T)x − dx

•

T = bk(T)x_A+ d(T −T) + e(T_w−T)

A

B

(3)

in

⎪

⎩

với t ∈

[

0, + ∞ . d và e tương ứng là các hằng số (giá trị dương) kết hợp với tỉ số pha loãng và

)

hệ số truyền nhiệt với jacket. b là hằng số dương liên quan đến mức độ phát nhiệt của phản

ứng. Tⁱⁿlà nhiệt độ dòng vào và T_wlà nhiệt độ jacket.

2. Yêu cầu :

Câu hỏi 1 : Phương trình vi phân ( 1) là tuyến tính hay phi tuyến ? Tại sao ?

Hệ phương trình ODE (3) có thể được viết lại dưới dạng tương đương :

•

⎧

x_A= −k(T)x + d(xⁱⁿ− x )

A

⎪

⎨

⎪

•

x_B= k(T)x − dx

•

T = bk(T)x_A− qT + u

A

B

(4)

⎪

⎩

Trong phương trình (4), q=d+e và u=d Tⁱⁿ+e T_wlà đầu vào input (có thể thay đổi được). Bảng

dưới đây cho các dữ liệu các tham số của hệ phản ứng nghiên cứu :

b (K.L/mol)

d (min^-1)

q (min^-1)

k₀(min^-1)

k₁(K)

209.2

1.1

1.25

7.2 10¹⁰

8700

1

xⁱ_Aⁿ(mol/l)

u (K/min)

355

Ký hiệu X_e=

(

x_Ae, x_Be,T_elà điểm hoạt động dừng của hệ thống phản ứng (steadystate) ở các

)

điều kiện đầu vào u = u_e= 355 (K/min) với các thông số khác giữ cố định.

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

Câu hỏi 2 : Viết phương trình toán học mô tả các điểm hoạt động dừng? Đơn giản các phương

trình này, chỉ ra rằng ta nhận được phương trình sau:

bk(T_e)dxⁱ_Aⁿ

(5)

0 =

− qT_e+ 355

k(T_e) + d

Phương trình (5) là tuyến tính hay phi tuyến ? Vì sao ?

bk(T_e)dxⁱ_Aⁿ

Câu hỏi 3 : Đặt F

(

T_e

)

=

− qT_e+ 355. Dùng Matlab với lệnh plot, hãy biểu diễn

k(T_e) + d

T_e)) và nhận xét đường cong F

về số nghiệm của F T_e= 0 ?

quan hệ

(

T_e,F

(

T_ecó mấy giao điểm với trục hoành. Kết luận

)

(

)

Câu hỏi 4 : Tính giá trị số các điểm hoạt động dừng này dùng Matlab với lệnh fsolve ? Ghi lại

kết quả nhận được trong một bảng theo cấu trúc sau để tiện theo dõi.

Điểm dừng

Giá trị

x _Ae

x_Be

T_e

Câu hỏi 5 : Phương trình (4) có thể được viết dưới dạng biểu diễn sau :

•

x_A

⎛

⎜

⎞

⎟

in

⎛

⎞

⎟

f (X ,u)

− k(T)x_A+ d(x_A− x_A)

⎛

1

⎜

⎟

⎜

•

⎜

⎟

x_B= f (X ,u) = k(T)x − dx

•

T

⎜

{

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎟

2

A

B

⎟

(6)

⎜

⎟

f₃(X ,u)

bk(T)x_A− qT + u

⎝

⎠

⎜

⎝

⎟

142 43

14444244443

⎟

f ( X ,u)

⎠

f ( X ,u)

•

X

Tuyến tính hóa phương trình (6) dùng chuỗi Taylor (bỏ qua các thành phần bậc hai và cao

hơn) theo công thức sau :

•

678

X − X_e= A(X − X_e) + B(u −u_e)

(7)

∂f

∂X

∂f

∂u

với A =

và B =

.

X =X_e,u=u_e

Hãy xác định giá trị số của ma trận A và các giá trị riêng kết hợp với nó tại các điểm dừng đã

có trong câu hỏi 4 dùng các lệnh Matlab diff và eig. Nhận xét về dấu của các giá trị riêng

này ?

Câu hỏi 6 : Gọi mặt phẳng tạo bởi

(

T, x_alà mặt phẳng pha (phase plane). Biểu diễn các điểm

)

hoạt động dừng đã tính được trong câu hỏi 4 trên mặt phẳng pha này dùng lệnh plot và kí hiệu

trên figure nhận được các điểm này là P ?

i

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

Câu hỏi 7 : Quay lại phương trình (4), dùng lệnh ode của Matlab, tính nghiệm của nó với các

điều kiện ban đầu tùy chọn khác nhau (tối thiểu 5 điều kiện ban đầu) ? Với mỗi nghiệm tìm

thấy, hãy biểu diễn chúng trên mặt phẳng pha của câu hỏi 6 ? (chú ý vẽ chúng trên cùng một

figure dùng lệnh hold).

Câu hỏi 8 : Kết luận về động học của hệ thống : chúng có luôn hội tụ về các nghiệm dừng P ?

i

Nhận xét (không cần giải thích) dấu của các giá trị riêng trong câu hỏi 5 và việc hội tụ/không

hội tụ này ?

Câu hỏi 9 : (Câu hỏi mở rộng) Quan sát phương trình ODE (4), hãy chỉ ra rằng ở các điều

kiện đẳng nhiệt

tương ứng ?

(

T = const

)

động học của các biến còn lại

(

x_A, x_Bluôn hội tụ tới các giá trị

)

Câu hỏi 10 : (Câu hỏi mở rộng) Dựa vào tính chất đã biết ở câu hỏi 9, hãy đề xuất một biểu

thức toán học đơn giản cho đầu vào u để toàn hệ thống hội tụ về một điểm hoạt động mong

muốn X_d=

(

x_Ad, x_Bd,T_dbiết rằng động học của nhiệt độ (được áp đặt) dưới dạng sau

)

•

T = K(T_d−T)

(8)

với K = const > 0 , luôn hội tụ về T_d. Xác nhận kết quả dùng Matlab với biểu thức toán học

của u tìm được.