Bài thực hành môn Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học - Bài thực hành số 2: Khảo sát một hệ phản ứng dạng ống lý tưởng trạng thái dừng

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

BÀI THỰC HÀNH SỐ 2

KHẢO SÁT MỘT HỆ PHẢN ỨNG DẠNG ỐNG LÝ TƯỞNG

TRẠNG THÁI DỪNG

Mục đích của bài thực hành này là mô phỏng, giải quyết các bài toán trong CNHH. Cụ thể :

1. Tìm nghiệm số của một hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm

riêng dùng phương pháp sai phân hữu hạn.

2. Tính toán xấp xỉ nghiệm dùng phương pháp nội suy Lagrange.

3. So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm giải tích (nghiệm chính xác).

4. Kết luận về ảnh hưởng của số điểm nút chọn trên các nghiệm số.

Tài liệu tham khảo của bài thực hành:

[1] Martin Ruszkowski et al., Passivity based control of transport reaction systems, AIChE

Journal, 2005.

1. Mô tả hệ thống phản ứng ống:

Hệ khảo sát trong bài thực hành này là một hệ phản ứng dạng ống (tubular reactor) lý tưởng

phân bố, được mô tả như trong hình dưới đây:

Dòng A vào

Dòng ra

R

AÆB

0

L

x

Hệ thống trên được giới hạn diễn ra ở các điều kiện đẳng nhiệt, T=const., và sự thay đổi của

các đại lượng vật lý (nồng độ,…) chỉ theo phương truc x, bỏ qua sự thay đổi theo phương bán

kính. Hệ xem xét được cung cấp ở lối vào bằng chất phản ứng A. Bên trong ống xảy ra phản

ứng bậc 1 dạng AÆB với tốc độ phản ứng :

σ = −kc

(1)

vói k là hằng số và c là nồng độ (cục bộ) của cấu tử hóa học A.

Câu hỏi 1 (Mô hình hóa động học) : Nghiên cứu cân bằng vật chất của hệ đẳng nhiệt trên, chỉ

ra rằng sự biến thiên của nông độ c được chi phối bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng

sau [1]:

∂c

∂t

∂²c

∂x²

∂c

∂x

(2)

= D

−υ +σ

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

Trong phương trình (2) t ∈

số khuếch tán. □

[

0, + ∞

)

, x∈

[

0, L ; υ và D lần lượt là vận tốc dòng đối lưu và hệ

]

2. Giới hạn của bài thực hành:

Trong bài thực hành này chúng ta chỉ nghiên cứu các nghiệm dừng, tức là các nghiệm không

phụ thuộc vào thời gian :

∂c

∂t

(3)

= 0 ⇔ c = c(x)

Nghiệm nếu có của phương trình (2) với (3) cần bổ sung điều kiện biên (đựợc gọi là ĐK biên

Hulburt) :

c(0) = c

⎧

⎪

⎨

0

(4)

∂c(x)

∂x

= 0

⎪

x=L

⎩

Bảng dưới đây cho các dữ liệu các tham số của hệ phản ứng nghiên cứu :

υ (cm/s)

D (cm²/s)

L (cm)

k (1/s)

R (cm)

c₀(t) (mol/cm³)

(Sinh viên tùy chọn giá trị các tham số sao cho phù hợp. Có điểm ưu tiên cho việc chọn lựa

tốt, sáng tạo)

Câu hỏi 2 :

a) Chứng minh rằng hệ thống nghiên cứu (2) với điều kiện dừng (3) trở thành :

∂²c

∂x²

∂c

∂x

(5)

(6)

D

−υ − kc = 0

có phương trình đặc trưng là :

aλ²+ bλ + c = 0

υ

D

k

với a = 1, b = −

và c = −

?

D

b) Chứng minh rằng phương trình (6) luôn có hai nghiệm thực phân biệtλ₁vàλ₂?

c) Suy ra nghiệm tường minh chính xác của (5) với điều kiện biên (4) ?

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

3. Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm:

Trước tiên chúng ta xác định biểu diễn đại số của phương trình vi phân (5) mà chúng ta sẽ

nhận được bởi rời rạc hóa nó dùng phương pháp sai phân hữu hạn tại từng điểm nút.

Gọi h là bước rời rạc không gian sao cho khoảng

[

0, L được chia thành N khoảng con có

]

L

cùng chiều dài h, có nghĩa rằngh = . Chúng ta ký hiệu x_ilà các điểm rời rạc :

N

x₀= 0, x₁= h, x₂= 2h,..., x_N= L

Các điểm này phân bố hình học như sau :

x_N= L

x₂= 2h

x = h

...

x₀= 0

x

¹x

123

x

x_N+1

h

Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày chúng ta sẽ kí hiệu c₀= c(0),c₁= c(h),...,c_N= c(Nh) .

Tại các điểm trung gian x₁, x₂,..., x_N−1chúng ta sử dụng các biểu thức sau để xấp xỉ đạo hàm

bậc hai và bậc 1 như sau :

∂²c

c_i+1+ c_i−1− 2c_i

≅

, i =1,..., N −1

(7)

(8)

∂x²

h²

x=x_i

c_i+1− c

2h

∂c

∂x

≅

ⁱ⁻¹, i =1,..., N −1

x=x_i

Chúng ta đưa vào tập điểm rời rạc trên một điểm ảo x_N+1(và ký hiệuc_N+1= c((N +1)h) , xem

sơ đồ phân bố các điểm bên trên) cho mục đích rời rạc hóa tại điểm biên x_N, cụ thể :

∂²c

c_N+1+ c_N−1− 2c_N

≅

(9)

∂x²

h²

x=x_N

c_N+1− c_N−1

2h

∂c

∂x

≅

(10)

x=x_N

Và một điều kiện biên trong (4) được xấp xỉ thành:

c_N+1− c_N−1

2h

∂c

∂x

≅

= 0 ⇔ c_N+1= c_N−1

(11)

x=x_N

Sau cùng, để thuân lợi cho biểu diễn chúng ta ký hiệu :

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

c

c(h)

⎡

⎢

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎤

⎥

⎦

1

c(2h)

c₂

C =

=

(12)

⎢

M

⎢

c(Nh)

c_N

⎣

Câu hỏi 3 :

a) Dùng xấp xỉ (7)Æ(10), chỉ ra rằng phương trình (5) tại điểm rời rạc i trở thành :

1

υ 1

2

h²

k

1

υ 1

⎛

⎜

⎞

⎟

⎛

⎜

⎞

⎟

⎛

⎜

⎞

⎟

(13)

+

c −

+

c +

−

c_i+1= 0, i =1,..., N

i−1

i

h²D 2h

D

h²D 2h

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

b) Tính đến các điều kiên biên (11), chỉ ra rằng phương trình (9) có thể viết dưới dạng hệ

tuyến tính sau :

AC = b

(14)

với C là vector được cho trong (12). Xác định các ma trận A, b ?

c) Tìm nghiệm của hệ (14) với Matlab :

Bước 1 : Khai báo các ma trận A, b.

Bước 2 : Ma trận A khả nghịch ?

Bước 3 : Tìm nghiệm dùng lệnh đã học trong bài thực hành số 1.

d) Viết biểu thức nghiệm dùng nội suy kiểu đa thức Lagrange. Biểu diễn đồ họa biên

dạng phân bố của nồng độ c và so sánh với nghiệm giải tích đã có ở câu hỏi 2 (c).

Câu hỏi 4 (Câu hỏi mở rộng)

1. Biết rằng biểu thức số mol của A trong ống phản ứng được cho bởi :

L

N = πR²c(x)dx

(15)

(16)

∫

0

Dùng qui tắc hình thang, chứng minh rằng (15) có thể xấp xỉ như sau :

^N−1(c_i+ c_i+1)

N = πR²h

∑

2

i=0

Lập trình tính giá trị số của (16) với giá trị các c_iđã tìm thấy trong (14).

2. Quan sát ảnh hưởng của số điểm nút (tăng/giảm N) trên độ chính xác nghiệm

số bằng mô phỏng ? Kết luận.