Bài thực hành môn Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học - Bài thực hành số 3: Khảo sát động học một hệ phản ứng dạng ống lý tưởng

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

BÀI THỰC HÀNH SỐ 3

KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC MỘT HỆ PHẢN ỨNG DẠNG ỐNG

LÝ TƯỞNG

Mục đích của bài thực hành này là mô phỏng, giải quyết các bài toán trong CNHH. Cụ thể :

1. Rời rạc hóa một hệ thống phản ứng được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm

riêng PDE dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nhận được một hệ ODE.

2. Tìm nghiệm số của hệ ODE này.

3. Xấp xỉ nghiệm của bài toán dùng phương pháp nội suy Lagrange.

4. Kết luận về ảnh hưởng của số điểm nút chọn trên các nghiệm số.

Tài liệu tham khảo của bài thực hành:

[1] Martin Ruszkowski et al., Passivity based control of transport reaction systems, AIChE

Journal, 2005.

1. Mô tả hệ thống phản ứng ống:

Hệ khảo sát trong bài thực hành này là một hệ phản ứng dạng ống (tubular reactor) lý tưởng

phân bố, được mô tả như trong hình dưới đây:

Dòng A vào

Dòng ra

R

AÆB

0

L

x

Hệ thống trên được giới hạn diễn ra ở các điều kiện đẳng nhiệt, T=const., và sự thay đổi của

các đại lượng vật lý (nồng độ,…) chỉ theo phương truc x, bỏ qua sự thay đổi theo phương bán

kính. Hệ xem xét được cung cấp ở lối vào bằng chất phản ứng A. Bên trong ống xảy ra phản

ứng bậc 1 dạng AÆB với tốc độ phản ứng :

σ = −kc

(1)

vói k là hằng số và c là nồng độ (cục bộ) của cấu tử hóa học A.

Câu hỏi 1 (Mô hình hóa động học) : Nghiên cứu cân bằng vật chất của hệ đẳng nhiệt trên, chỉ

ra rằng sự biến thiên của nông độ c được chi phối bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng

sau [1]:

∂c

∂t

∂²c

∂x²

∂c

∂x

(2)

= D

−υ +σ

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

Trong phương trình (2) t ∈

số khuếch tán. □

[

0, + ∞

)

, x∈

[

0, L ; υ và D lần lượt là vận tốc dòng đối lưu và hệ

]

Nghiệm nếu có của phương trình (2) cần bổ sung các điều kiện ban đầu và điều kiện biên:

• Với điều kiện ban đầu :

c(x,0) = c⁰(x)

(3)

(4)

• Với điều kiện biên Hulburt (ĐK biên Direchlet + ĐK biên Neumann):

c(0,t) = c (t)

⎧

⎪

⎨

0

∂c(x,t)

= 0

⎪

∂x

⎩

x=L

Phương trình (2) với (3) và (4) miêu tả đầy đủ hệ thống.

Bảng dưới đây cho các dữ liệu các tham số của hệ phản ứng nghiên cứu :

υ (cm/s)

D (cm²/s)

L (cm)

k (1/s)

R (cm)

c₀(t) (mol/cm³)

c⁰(t) (mol/cm³)

(Sinh viên tùy chọn giá trị các tham số sao cho phù hợp. Có điểm ưu tiên cho việc chọn lựa

tốt, sáng tạo)

2. Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm:

Trước tiên chúng ta xác định biểu diễn đại số của phương trình vi phân (2) mà chúng ta sẽ

nhận được bởi rời rạc hóa nó dùng phương pháp sai phân hữu hạn tại từng điểm nút.

Gọi h là bước rời rạc không gian sao cho khoảng

[

0, L được chia thành N khoảng con có

]

L

cùng chiều dài h, có nghĩa rằngh = . Chúng ta ký hiệu x_ilà các điểm rời rạc :

N

x₀= 0, x₁= h, x₂= 2h,..., x_N= L

Các điểm này phân bố hình học như sau :

x_N= L

x₂= 2h

x = h

...

x₀= 0

x

¹x

123

x

x_N+1

h

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày chúng ta sẽ kí hiệu c₀= c(0),c₁= c(h),...,c_N= c(Nh) .

Tại các điểm trung gian x₁, x₂,..., x_N−1chúng ta sử dụng các biểu thức sau để xấp xỉ đạo hàm

bậc hai và bậc 1 như sau :

∂²c

c_i+1+ c_i−1− 2c_i

≅

, i =1,..., N −1

(5)

(6)

∂x²

h²

x=x_i

c_i+1− c

2h

∂c

∂x

≅

ⁱ⁻¹, i =1,..., N −1

x=x_i

Chúng ta đưa vào tập điểm rời rạc trên một điểm ảo x_N+1(và ký hiệuc_N+1= c((N +1)h) , xem

sơ đồ phân bố các điểm bên trên) cho mục đích rời rạc hóa tại điểm biên x_N, cụ thể :

∂²c

c_N+1+ c_N−1− 2c_N

≅

(7)

(8)

∂x²

h²

x=x_N

c_N+1− c_N−1

2h

∂c

∂x

≅

x=x_N

Dùng quan hệ thứ nhất trong (4), (8) được xấp xỉ thành:

c_N+1− c_N−1

2h

∂c

∂x

≅

= 0 ⇔ c_N+1= c_N−1

(9)

x=x_N

Sau cùng, để thuân lợi cho biểu diễn chúng ta ký hiệu :

c

c(h,t)

⎡

⎢

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎤

⎥

⎦

1t

c(2h,t)

c_2t

C(t) =

=

(10)

⎢

M

⎢

c(Nh,t)

c_Nt

⎣

3. Yêu cầu :

Chọn số điểm nút (N>2) N= ?

Câu hỏi 2 :

a) Dùng xấp xỉ (5)Æ(6), chỉ ra rằng phương trình (4) tại điểm rời rạc i trở thành :

dc_it

dt

D

υ

2D

h²

D

υ

⎛

⎜

⎞

⎟

⎛

⎜

⎞

⎠

⎛

⎜

⎞

⎟

(11)

=

+

c

−

+ k c +

−

c_(i+1)t, i =1,..., N

⎟

(i−1)t

it

h²2h

⎝

⎠

⎝

⎠

Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô phỏng và tối ưu hóa các quá trình hóa học

b) Tính đến các điều kiên biên (4) và (9), chỉ ra rằng phương trình (11) có thể viết dưới

dạng hệ phương trình vi phân thường sau :

dC

= AC + b

dt

(12)

với C(t) là vector được cho trong (10) và giá trị ban đầuC(t = 0) có được dùng (3). Xác

định các ma trận A, b ?

c) Tìm nghiệm của (12) với Matlab dùng lệnh ode. Biểu diễn biên dạng (profile) của

nồng độ nhận được tại các điểm rời rạc.

d) Viết biểu thức nghiệm c(x,t) dùng nội suy kiểu đa thức Lagrange từ các nút c_it(12) đã

có. Biểu diễn sự thay đổi của nồng độ với Matlab.

Câu hỏi 3 (Câu hỏi mở rộng)

1. Biết rằng biểu thức số mol của A trong ống phản ứng được cho bởi :

L

N(t) = πR²c(x,t)dx

(13)

∫

0

Dùng qui tắc hình thang, chứng minh rằng (13) có thể xấp xỉ như sau :

^N−1(c_it+ c_(i+1)t

)

N(t) = πR²h

∑

2

(14)

i=0

Lập trình tính giá trị số của (14) với giá trị các c_itđã tìm thấy trong (12).

2. Quan sát ảnh hưởng của số điểm nút (tăng/giảm N) trên các nghiệm số bằng

mô phỏng ? Kết luận.