Giáo trình Cơ sở tự động - Giải bài tập số 2
MÔN HỌC : CƠ SỞ TỰ ĐỘNG
GIẢI BÀI TẬP SỐ 2
Trường ĐHBK Tp. HCM
Khoa Điện – Điện Tử
Bộ Môn Điều Khiển Tự Động
Câu 1 : Cho hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ.
s + K
s + 2
θo
θr
Go (s)
1.5
Go (s) =
s3 +14s2 + 40s
a/. Xác định K để hệ thống ổn định
b/. Vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống khi K thay đổi từ 0 → +∞.
(Chú ý : Giao điểm QĐNS với trục ảo : ± 2.25j ).
a/. Xác định K để hệ thống ổn định
s + K
1.5
s + 2 s3 +14s2 + 40s
s4 +16s3 + 68s2 + 81.5s +1.5K = 0
• Phương trình đặc trưng : 1+
*
= 0
⇒
(1)
• Bảng Routh :
s4
s3
s2
s1
s0
1
16
68
81.5
1.5K
0
0
1.5K
0
0
0
0
1/16
0.2543
62.9063
81.5 – 0.3815K
1.5K
• Điều kiện ổn định :
81.5 − 0.3815K > 0
1.5K > 0
⇔ 0 < K < 213.62
b/. Vẽ QĐNS
• Đưa về dạng chuẩn : Từ ptđt (1) chia cho (s4 +16s3 + 68s2 + 81.5s)
1.5
⇒
1+ K
= 0
(2)
s4 +16s3 + 68s2 + 81.5s
• Cực :
p1 = 0,
p2 = -2.10,
p3 = -3.87,
p4 = -10.03
• Zero : Không có
1
• Tiệm cận :
4
0
−3π /4
−π /4
π /4
p −
z
i
∑ ∑
i
(2l +1)π
4 − 0
i=1
i=1
α =
=
,
OA =
= −4
4 − 0
3π /4
• Điểm tách nhập : Từ (2) → K = −(s4 +16s3 + 68s2 + 81.5s)/1.5
dK /ds = −(4s3 + 48s2 +132s + 81.5)/1.5
⇒
dK /ds = 0
⇔
s1 = −8.12, s2 = −3.06, s3 = −0.82
Loại : s2
• Giao điểm giữa QĐNS với trục ảo :
Từ câu a/. → Kgh = 213.62, thay vào ptđt giải ra ta được :
s1 = −9, s2 = −7, s3 = −2.25 j, s4 = 2.25 j
Vậy giao điểm QĐNS với trục ảo là :
• QĐNS
s3 = −2.25 j, s4 = 2.25 j
2
Câu 2 : Cho hệ thống như hình vẽ.
a/. Vẽ QĐNS của hệ thống khi 0 ≤ K < +∞ . Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định.
b/. Tìm cực thuộc QĐNS có dạng s = −ξω + jω 1−ξ 2 với
, tìm K lúc đó.
ξ=0.5
25 s + K
(
)
PTĐT: 1+ G s = 0 ⇔ 1+
= 0 ⇔ s3 + 9s2 + 25s + 25K = 0
1
( )
( )
s2 s + 9
(
)
25
1 ⇔ 1+ K
( )
= 0
s3 + 9s2 + 25s
Zero : không có
Pole : p1 = 0, p2,3 = − ± i
9
19
−4.50 ± 2.18i
2
2
p1 + p2 + p3
OA =
= −3
3
π
Tiệm cận:
α = π 3
−π 3
Điểm tách nhập:
s3 + 9s2 + 25s
1 ⇒ K = −
( )
25
6
6
s1 = −3 +
s2 = −3 −
−2.18
−3.82
∂K
∂s
3s2 + 18s + 25
3
3
⇒
= −
= 0 ⇔
25
(cả 2 đều thuộc QĐNS)
Giao điểm QĐNS với trục ảo: áp dụng tiêu chuẩn ổn định Routh cho PTĐT (1).
s3
s2
s1
1
9
25-
25
25K
ĐK ổn định
K<9
(25K/9)
25K
s0
K>0
Vậy điều kiện hệ thống ổn định: 0 < K < 9.
Ta có: Kgh = 9. Thay vào (1) giải ra ta được: s1 = -9, s2 = 5i, s3 = -5i
Vậy giao điểm QĐNS với trục ảo: s2 = 5i, s3 = -5i
3
Góc xuất phát tại cực phức p2:
θ = 1800 − arg p − p − arg p − p
(
)
(
)
2
1
2
3
9
19
2
9
19
2
9
19
2
= 1800 − arg − + i
− 0 − arg − + i
− − − i
2
2
2
= 1800 −1540 − 900 = −640
(Hình vẽ)
Từ QĐNS, ta suy ra: cực cần tìm: s = −1.4 + 2.4i
Chú ý các quan hệ :
ξ=0.5 → cosθ=0.5
Thay vào PTĐT, ta tính được K:
−1.4 + 2.4i 3 + 9 −1.4 + 2.4i 2 + 25 −1.4 + 2.4i
(
)
(
)
(
)
K =
= 1.91
25
4
Câu 3 : Cho hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ.
θr
θo
GC (s)
Go (s)
H(s)
s +1
Go(s) như câu 1, GC(s) = 10, H(s) =
a/. Vẽ biểu đồ Bode của hệ hở :
s + 2
Gh(s) = Go(s)GC(s)H(s)
b/. Hệ thống vòng kín có ổn định không ? Tại sao ?
• Hàm truyền vòng hở :
15(s +1)
s +1
s(0.5s +1)(0.025s2 + 0.35s +1)
Gh (s) =
= 0.1875
(s + 2)(s3 +14s2 + 40s)
• Tần số gãy : ω1 =1, ω2 =1/0.5 = 2, ω3 =1/ 0.025 = 6.3 (rad / s)
• Biểu đồ Bode đi qua điểm A có tọa độ :
ω0 = 0.1(rad / s)
L(ω0 ) = 20lg(0.1875) − 20lg(0.1) ≈ 5.46(dB)
(có thể chọn tọa độ khác)
• Công thức tính góc pha :
0.35ω
ϕ(ω) = −900 + arctg(ω) − arctg(0.5ω) − arctg(
)
1− 0.025ω2
ω
ϕ(ω)
0.1
-890
1
-910
2
6.3
-1710
10
-1980
100
-2610
-1090
(có thể chọn các điểm khác).
5
• Biểu đồ Bode :
+ Độ dự trữ biên : GM 34 dB
≈
+ Độ dự trữ pha : ΦM 900
≈
• Vậy, hệ thống vòng kín ổn định
200(s + 0.4)e−0.1s
s2 (s +10)2
Câu 4 : Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền hở là G(s) =
a/. Vẽ biểu đồ Bode biên độ và pha của G(s).
b/. Đánh giá tính ổn định của hệ kín
1
0.4
1
0.8
s + 1
e−0.1s
Viết lại hàm truyền vòng hở:
G s =
( )
2
s2
s + 1
10
Các tần số cắt: ω = 0.4 rad / s , ω = 10 rad / s
(
)
(
)
1
2
ω = 0.1
0
Điểm đầu:
A:
L ω = 20log 0.8 − 2*20log 0.1 = 38dB
(
)
(
)
(
)
0
Tính bode pha:
ω
0.4
ω
10
1800
ϕ ω = −1800 + arctan
− 2arctan
−
0.1ω
( )
π
6
0.1
0.4
1
2
4
10
ω
(rad/s)
ϕ(ω)
(0)
-168
-142
-129
-135
-162
-240
Biểu đồ Bode như sau:
Từ biểu đồ Bode:
-
Tần số cắt biên: ωC = 2rad /sec
Tần số cắt pha: ω−π = 5rad /sec
-
GM = 10dB
ΦM = 450
-
Độ dự trữ biên và pha:
Như vậy hệ kín ổn định.
7
7 trang
21920
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ sở tự động - Giải bài tập số 2", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_so_tu_dong_giai_bai_tap_so_2.pdf
