Giáo trình Cơ sở tự động - Giải bài tập số 3
MÔN HỌC : CƠ SỞ TỰ ĐỘNG
BÀI TẬP SỐ 3
Trường ĐHBK Tp. HCM
Khoa Điện – Điện Tử
Bộ Môn Điều Khiển Tự Động
Câu 1 : Cho hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ :
1.
2.
Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh thay
đổi không đáng kể và có sai số đối với tín hiệu vào hàm dốc là 0.01 (2.5đ)
Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh thỏa :
KV* = 15, ΦM* ≥ 400 , GM* ≥ 10 dB. Tính độ dự trữ biên và pha của hệ thống sau khi
hiệu chỉnh. (3.5đ)
3.
Cho GC(s) là khâu PI, bằng phương pháp Ziegler-Nichols vòng kín hãy xác định các hệ số
KP , KI . (1đ)
Giải :
1. Thiết kế khâu GC(s) thỏa exl = 0.01
Theo đề bài :
+ Đáp ứng quá độ không thay đổi
+ Hiệu chỉnh sai số xác lập
s +1/ βT
s +1/T
→ chọn GC(s) là khâu trễ pha :
GC (s) = KC
(β <1)
• Bước 1 : Xác định β
40
Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh :
KV = lim sG(s) = lim s
=1
s3 +14s2 + 40s
s→0
s→0
1
1
KV* =
=
=100
Hệ số vận tốc sau khi hiệu chỉnh :
e*xl 0.01
KV
KV*
β =
= 0.01
→
• Bước 2 : Chọn zero của khâu hiệu chỉnh
Các cực của hệ thống trước hiệu chỉnh :
40
1+ G(s) = 0
↔ 1+
= 0
↔ s3 +14s2 + 40s + 40 = 0
s3 +14s2 + 40s
s1 = −10.58
→
s = −1.71+ 0.92i
→
Cặp cực quyết định : s2,3 = −1.71± 0.92i
2
s3 = −1.71− 0.92i
1
1
1
1
+ Chọn
sao cho
Re{s2} =1.71
→
= 0.1
βT
βT
βT
• Bước 3 : Xác định cực của khâu hiệu chỉnh
1
1
= β
= 0.01*0.1= 0.001
T
βT
• Bước 4 : Xác định KC
GC (s)G(s) s=s* =1
Để đáp ứng quá độ không thay đổi đáng kể thì cặp cực quyết định cũng không thay đổi → chọn :
s* = −1.71+ 0.92i
(−1.71+ 0.92i + 0.1)
(−1.71+ 0.92i + 0.001) (−1.71+ 0.92i)(−1.71+ 0.92i + 4)(−1.71+ 0.92i +10)
40
KC
*
=1 → KC =1.046
s + 0.1
s + 0.001
Vậy :
GC (s) =1.046
2. Thiết kế khâu GC(s) thỏa KV* = 15, ΦM* ≥ 400, GM* ≥ 10 dB
• Bước 1 : Xác định KC
Hệ số vận tốc của hệ thống sau hiệu chỉnh :
1+αTs
40
KV* = lim sGC (s)G(s) = lim sKC
*
= KC
1+Ts s3 +14s2 + 40s
s→0
s→0
→
KC = KV* =15
• Bước 2 : Vẽ biểu đồ Bode
600
15
G1(s) = KCG(s) =
=
s3 +14s2 + 40s s(1/ 4s +1)(1/10s +1)
ω1 =1/T =1/1/ 4 = 4, ω2 =1/T2 =1/1/10 =10
1
ω =
1
)
+ Điểm A :
L
(ω
=
20lg15
=
20
x1.176
=
23.52
dB
+ Công thức tính góc pha :
ϕ(ω) = −900 − arctg(Tω) − arctg(T2ω) = −900 − arctg(1/ 4ω) − arctg(1/10ω)
1
+ Tính góc pha một số điểm đặc biệt :
ϕ(0) = −900 − 00 − 00 = −900
ϕ(+∞) = −900 −900 −900 = −2700
ϕ(ω1) = −900 − arctg(1) − arctg(4/10) = −900 − 450 − 21.80 = −156.80
ϕ(ω2 ) = −900 − arctg(10/ 4) − arctg(1) = −900 − 68.20 − 450 = −203.20
+ Vẽ biểu đồ Bode (theo phương pháp gần đúng) của G1(s) như hình vẽ bên dưới. Có thể chọn khâu
hiệu chỉnh GC(s) là sớm pha hoặc trễ pha. Chọn trường hợp là sớm pha.
• Bước 3 : Xác định tần số cắt trước hiệu chỉnh
Từ biểu đồ Bode → ωC ≈ 7 rad/s
2
• Bước 4 : Độ dự trữ pha của hệ chưa hiệu chỉnh
ΦM = 1800 + ϕ(ωC) = 1800 – 1820 ≈ -20
• Bước 5 : Góc pha cần bù
ϕmax = ΦM * − ΦM +θ = 400 + 20 +80 = 500
• Bước 6 : Xác định α
1+ sin(ϕmax
1−sin(ϕmax
)
α =
≈ 7.5
)
• Bước 7 : Xác định tần số cắt mới
Từ điều kiện L (ωC' ) = −10log(α) = −8.78 dB
1
Dựa vào biểu đồ Bode → ωC' ≈10
rad / s
• Bước 8 : Xác định T
1
T =
≈ 0.036
→
αT = 0.266
ωC'
α
1+ 0.266s
1+ 0.036s
Vậy :
GC (s) =15
23.52
GC(s)
17.5
GM*
-8.78
GC(s)G1(s)
G1(s)
’
ωC
ωC
27.78
3.76
GC(s)
-156.80
-203.20
ΦM*
GC(s)G1(s)
G1(s)
ω-π
3
• Bước 9 : Tính độ dự trữ biên và pha sau
khi hiệu chỉnh
+ Vẽ biểu đồ Bode sau khi hiệu chỉnh bằng cách
vẽ thêm :
1+ 0.266s
1+ 0.036s
GC (s) =
+ Lưu ý : không gộp KC vào trong GC(s)
vì nó đã được tính trong G1(s) ở bước 2.
1/αT =1/ 0.266 = 3.76
1/T =1/ 0.036 = 27.78
20lg(α) = 20lg(7.5) =17.5 dB
ωmax = ωC' ≈10
ϕmax = 500
rad / s
+ Sau khi vẽ → GM* ≈ 9 dB, ΦM* ≈ 250
Kết luận : theo yêu cầu đề bài ΦM* ≥ 400 →
thực hiện lại bước 5, tức chọn lại ϕmax theo hướng lớn hơn 500
• Chú ý : Chỉ làm đến đây là xong, không cần làm lại bước 5.
Chọn trường hợp là trễ pha
• Bước 3 : Xác định tần số cắt mới
ϕ1(ωC' ) = −1800 + ΦM *+θ = −1800 + 400 + 50 = −1350
Từ biểu đồ Bode → ωC' ≈ 2.41 rad / s
• Bước 4 : Xác định α
Từ biểu đồ Bode → L (ωC' ) ≈14.3 dB
↔
−20log(α) =14.3
→
α = 0.2
1
• Bước 5 : Chọn zero khâu trễ pha
Chọn 1/αT sao cho 1/αT ωC' = 2.41
→
1/αT = 0.25
→
αT = 4
• Bước 6 : Tính T
αT
4
1+ 4s
1+ 20s
Vậy :
GC (s) =15
T =
=
= 20
α
0.2
4
• Bước 7 : Tính độ dự trữ biên và pha sau khi hiệu chỉnh
+ Tương tự như bước 9 trong trường hợp sớm pha → vẽ thêm
dạng đặc tuyến tần số của khâu trễ pha.
1+ 4s
1+ 20s
với chú ý vận dụng
GC (s) =
+ Từ biểu đồ Bode của GC(s)*G1(s) tìm được GM* ≈ 12.7 dB, ΦM* ≈ 39.60
Kết luận : Khâu hiệu chỉnh trễ pha đã thiết kế chấp nhận được theo yêu cầu của đề bài.
5
3. Thiết kế bộ điều khiển PI
40
PTĐT :
1+ KG(s) = 0
↔
1+ K
= 0
s3 +14s2 + 40s
↔
s3 +14s2 + 40s + 40K = 0
3
−ω + 40ω = 0
− jω3 −14ω2 + 40 jω + 40K = 0
→
Thay
s = jω
→
−14ω2 + 40K = 0
2π
ωgh
Tgh =
≈1
ω = 0
ω = 40
→
→
K = 0
K =14
Kgh =14
• KP = 0.45Kgh = 6.30
• TI = 0.83Tgh = 0.83 → KI = KP / TI ≈ 7.59
6
Câu 2 : Cho hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ :
1.
2.
Bằng phương pháp QĐNS hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp ứng quá độ của hệ thống
sau khi hiệu chỉnh thỏa : POT = 9.5% , tqđ (5%) = 0.2 s (2.0đ)
Bằng phương pháp Bode hãy thiết kế khâu trễ pha GC(s) để đáp ứng hệ thống sau khi hiệu
chỉnh thỏa : KV* = 10, ΦM* ≥ 400, GM* ≥ 20 dB. Tính GM của hệ thống sau khi hiệu chỉnh
(3 đ).
3.
4.
Cho GC(s) = K. Tìm K để hàm truyền vòng kín có 1 cực nằm bên phải mặt phẳng phức (1 đ).
Để sai số xác lập bằng 0 đối với tín hiệu vào hàm dốc (ramp) thì khâu GC(s) phải có dạng như
thế nào ? (0.5 đ).
Giải :
s +1/αT
s +1/T
1. Theo đề bài khâu hiệu chỉnh là khâu sớm pha :
• Bước 1 : Xác định cặp cực quyết định
G(s) = KC
(α >1)
POT = 9.5%
→
ξ = 0.6
3
tqd (5%) =
= 0.2
→
ωn = 25 rad / s
ξωn
→
s1*,2 = −ξωn ± jωn 1−ξ 2 = −15± j20
• Bước 2 : Xác định góc pha cần bù
φ* = −1800 + arg(−15+ j20) + 2arg(−15+ j20 − (−10)) − arg(−15+ j20 − (−0.1)) = 28.30
• Bước 3 : Xác định cực và zero theo pp đường phân giác
0
OPx = arg(−15+ j20) =126.9
OP = −15+ j20 = 25
2
0
126.9 28.30
OPx φ *
sin
sin
+
sin
sin
+
2
2
2
OB = OP
OC = OP
= 25
= 25
= 32.0
0
126.9 28.30
OPx φ *
−
−
2
2
2
2
0
126.9 28.30
OPx φ *
sin
sin
−
sin
sin
−
2
2
2
2
=
19.5
0
126.9 28.30
OPx φ *
+
+
2
2
2
2
s + 32.0
s +19.5
⇒
G(s) = KC
7
• Bước 4 : Xác định KC
GC (s)G(s) =1
−15+ j20 + 32.0
10(−15+ j20) +1
−15+ j20 +19.5 (−15+ j20)(−15+ j20 +10)2
KC = 54.5
→
KC
*
=1
s=s1*
→
→
0.283KC =1
GC (s) = 54.5
→
s + 32.0
s +19.5
2. Theo đề bài khâu hiệu chỉnh là khâu trễ pha
• Bước 1 : Xác định KC
10s +1
1
KV = lim sG(s) = lim s
=
s(s +10)2 100
s→0
s→0
KV*
10
→
KC =
=
=1000
KV 1/100
• Bước 2 : Vẽ biểu đồ Bode G1(s)
10s +1
10s +1
G1(s) = KCG(s) =1000
=10
s(s +10)2
s(0.1s +1)2
1
1
1
1
ω1 =
=
= 0.1 rad / s, ω2 =
=
=10
rad / s
T
10
T2 0.1
1
ω = 0.01 rad / s
0
A:
L(ω0 ) = −20log(0.01) + 20log(10) = 60
dB
+ Công thức tính góc pha :
ϕ(ω) = −900 + arctg(Tω) − 2arctg(T2ω) = −900 + arctg(10ω) − 2arctg(0.1ω)
1
+ Tính góc pha một số điểm đặc biệt :
ϕ(0) = −900 + 00 − 00 = −900
ϕ(+∞) = −900 + 900 −1800 = −1800
ϕ(ω1) = −900 + arctg(1) − 2arctg(0.01) = −900 + 450 −1.150 ≈ −450
ϕ(ω2 ) = −900 + arctg(100) − 2arctg(1) = −900 +89.430 −900 ≈ −900
+ Vẽ biểu đồ Bode (theo phương pháp gần đúng) của G1(s) như hình vẽ bên dưới.
• Bước 3 : Xác định tần số cắt mới
ϕ1(ωC' ) = −1800 + ΦM *+θ = −1800 + 400 + 50 = −1350
Từ biểu đồ Bode suy ra : ωC' = 25 rad / s
8
• Bước 4 : Tính α
L(ωC' ) = −20log(α) = 25dB → α = 0.056
• Bước 5 : Chọn zero
1
1
ωC' = 25
→
= 2.5 → αT = 0.4
αT
αT
• Bước 6 : Tính T
αT
0.4
0.4s +1
8.5s +1
T =
=
= 8.5 → GC (s) =1000
α
0.056
• Bước 7 : Tính độ dự trữ biên sau khi hiệu chỉnh
+ Vẽ Bode sau khi hiệu chỉnh bằng cách vẽ thêm :
+ Tính một số giá trị :
0.4s +1
8.5s +1
GC (s) =
1
1
1
=
= 0.12,
= 2.5
T
8.5
αT
20log(α) = −L(ωC' ) = −25 dB
1
1
ωmin
=
=
≈ 2.0
rad / s
T α 8.5 0.056
α −1
α +1
0.056 −1
0.056 +1
ϕmin = sin−1
= sin−1
≈ −630
• Biểu đồ Bode pha của hệ sau khi hiệu chỉnh
tiệm cận với đường ngang -1800. Vậy GM = ∞
9
25
GC(s)*G(s)
G1(s)
GC(s)
GC(s)
0.12
2.5
GC(s)*G(s)
G1(s)
ωmin
ωC’
3. Hàm truyền vòng kín
GC (s)G(s)
10Ks + K
Gk (s) =
=
1+ GC (s)G(s) s3 + 20s2 + (100 +10K)s + K
Để Gk(s) có 1 cực bên phải mặt phẳng phức thì nghiệm của pt : s3 + 20s2 + (100 +10K)s + K = 0
phải có một nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Áp dụng tiêu chuẩn ổn định Routh :
s3
s2
s1
s0
1
100+10K
20
100 + 199K/20
K
K
0
Theo tiêu chuẩn ổn định Routh thì để có 1 nghiệm bên phải mặt phẳng phức thì các hệ số cột 1 bảng
Routh đổi dấu 1 lần. Từ đó suy ra :
199K
199K
100 +
> 0
100 +
< 0
20
20
K < 0
K < 0
2000
2000
199
⇒
−
< K < 0 K < − −
199
10
2000
199
Trường hợp :
ta thay hàng s1 bởi [40 0] thì các hệ số cột 1 bảng Routh cũng đổi dấu 1
K = −
lần. Tóm lại, K < 0 thì hệ kín có 1 cực bên phải mặt phẳng phức.
4. Ta có :
1
e(∞) =
= 0 ⇒ KV → ∞
KV
10s +1
1
KV = lim sGC (s)G(s) = lim sGC (s)
= limGC (s)
→ ∞
s(s +10)2
100
s→0
s→0
s→0
GC' (s)
Vậy GC(s) phải có ít nhất 1 khâu tích phân lý tưởng, tức là GC (s) =
s
K
Câu 3 : Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình bên dưới. Biết rằng
và nếu GC (s) =1
G(s) =
s(s + a)
thì hệ thống kín có cặp cực phức với hệ số tắt
và tần số dao động tự nhiên
ωn = 2
ξ =1/ 2
(rad/sec).
3.1
3.2
Xác định hàm truyền G(s).
Tính độ vọt lố và thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5% của hệ thống trước khi hiệu
chỉnh.
3.3
Thiết kế GC (s) sao cho hệ kín sau khi hiệu chỉnh có đáp ứng quá độ thay đổi không
đáng kể, đồng thời sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm dốc bằng 0.01.
Giải :
3.1 Tìm hàm truyền G(s)
• PTĐT :
K
K
GK (s) =
=
s(s + a) + K s2 + as + K
⇒ s2 + as + K = 0
⇔ s2 + 2ξωns +ωn2 = 0
a = 2ξω = 2
n
⇒
K = ω2 = 2
n
2
G(s) =
s(s + 2)
3.2 Độ vọt lố và thời gian quá độ
11
−ξπ
1−ξ 2
3
POT = exp
100% = 4.32%
3
ts =
=
= 3sec
ξωn
1/ 2 * 2
3.3 Thiết kế GC(s)
Yêu cầu chất lượng quá độ không đổi nhưng cài thiện sai số xác lập → chọn bộ trễ pha :
s + (1/ βT)
GC (s) = KC
(β <1)
s + (1/ T)
• Hệ số vận tốc trước hiệu chỉnh :
2
KV = limsG(s) = lims
= 1
s→0
s→0
s(s + 2)
• Hệ số vận tốc mong muốn sau hiệu chỉnh :
1
e*xl
KV* =
=1/ 0.01=100
• Xác định β :
KV
β =
=1/100 = 0.01
KV*
• Chọn zero :
Cực của hệ thống trước hiệu chỉnh :
s1,2 = −ξωn ± jωn 1−ξ 2 = −1± j
Chọn :
1
1
Re s =1
→
= 0.1
{ }
1
βT
• Tính cực :
1
βT
1
= β
= 0.01*0.1= 0.001
T
βT
Vậy :
s + 0.1
s + 0.001
GC (s) = KC
• Tính KC :
GC
(
s
)G
(
s
)
=1
s=s1
s + 0.1
s + 0.001 s(s + 2) s=s
2
(
−
1
+ j + 0.1)
2
KC
*
= KC
*
=1
(−1+ j + 0.001) (−1+ j)(−1+ j + 2)
1
⇒ KC =1.0507
• Kết luận :
GC (s) =1.05
s + 0.1
s + 0.001
12
Câu 4 : Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình bên dưới. Cho biểu đồ Bode của đối tượng kèm theo
phía dưới bài tập.
4.1
4.2
4.3
Xác định hàm truyền G(s).
Tính sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị trước khi hiệu chỉnh
Dựa vào biểu đồ Bode, thiết kế khâu hiệu chỉnh GC (s) sao cho hệ kín ổn định có độ
dự trữ pha ΦM * ≥ 600 , sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng
0.02.
Giải :
4.1 Hàm truyền G(s) có dạng
K
G(s) =
(T s +1)(T2s +1)2
1
Theo biểu đổ Bode, ta có:
(dB)
⇒
K = 7
20lg K = 16.9
1
(rad/sec)
⇒
T = 2
= 0.5
1
T
1
1
(rad/sec)
⇒
T2 = 0.5
= 2
T2
7
Do đó: G(s) =
4.2 Hệ số vị trí
(2s +1)(0.5s +1)2
7
KP = limG(s) = lim
= 7
2
s→0
s→0
(2s +1)(0.5s +1)
Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:
1
1
⇒
exl = 0.125
exl =
= = 0.125
1+ KP
8
4.3 Thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s)
- Tính KC
Hệ số vị trí mong muốn:
1
1
1
e*xl =
= 0.02
KP* =
−1=
−1
KP* = 49
⇒
⇒
1+ KP*
e*xl
0.02
KP* 49
⇒ KC =
=
⇒
KC = 7
KP
7
- Đặt G1(s) = KCG(s) .
Biểu đồ Bode biên độ của G1(s) nâng lên 20lg KC = 16.9 (dB) so với b.đồ Bode biên độ của G(s),
Biểu đồ Bode pha của G1(s) không đổi so với biểu đồ Bode pha của G(s)
13
Theo biểu đồ Bode: ⇒ ΦM ≈ −400 ⇒ không thể bù sớm pha ⇒ GC(s) là khâu trể pha
αTs +1
GC (s) = KC
Ts +1
0
0
′
′
ϕ(ωC ) = −115
Tần số cắt mới: ϕ(ωC ) = −180 + ΦM + 5
⇒
′
Theo biểu đồ Bode: ⇒ ωC ≈ 0.9 (rad/sec)
1
1
′
Chọn :
(rad/sec) ⇒
(rad/sec) ⇒ αT = 11
= 0.09
<< ωC
αT
Tính α
αT
′
20lgα = −L1 (ωC ) ≈ −28 (dB)
⇒
α = 0.04
11
⇒
T =
= 275
0.04
Kết luận: Hàm truyền của khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là:
11s +1
GC (s) = 7
275s +1
14
14 trang
22340
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ sở tự động - Giải bài tập số 3", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_so_tu_dong_giai_bai_tap_so_3.pdf
