Giáo trình Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục
Chöông 2
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC
PHAÀN TÖÛ VAØ HEÄ THOÁNG LIEÂN TUÏC
Noäi dung chöông naøy nhaèm giaûi quyeát hai vaán ñeà:
- Xaùc ñònh moâ hình toaùn hoïc cho caùc phaàn töû.
- Xaùc laäp moái lieân keát giöõa caùc moâ hình toaùn hoïc rieâng thaønh moät moâ hình
toaùn hoïc chung cho toaøn boä heä thoáng.
Heä thoáng ñieàu khieån trong thöïc teá raát ña daïng. Caùc phaàn töû cuûa heä thoáng coù
theå laø cô, ñieän, nhieät, thuyû löïc, khí neùn,... Ñeå nghieân cöùu caùc heä thoáng coù baûn chaát
vaät lyù khaùc nhau chuùng ta caàn döïa treân moät cô sôû chung laø toaùn hoïc.
Khi nghieân cöùu heä thoáng tröôùc heát chuùng ta caàn bieát heä thoáng goàm nhöõng
thieát bò gì, coù nhöõng phaàn töû naøo vaø tìm caùch moâ taû chuùng baèng caùc moâ hình toaùn
hoïc. Moâ hình caàn phaûi ñaûm baûo ñoä chính xaùc nhaát ñònh, phaûn aùnh ñöôïc caùc tính
chaát ñaëc tröng cuûa heä thoáng thöïc, nhöng ñoàng thôøi phaûi ñôn giaûn cho vieäc bieåu
dieãn, phaân tích. Trong nhieàu tröôøng hôïp, ñeå coù moät moâ hình toaùn töông ñoái ñôn
giaûn, chuùng ta phaûi xem xeùt boû qua moät vaøi thuoäc tính vaät lyù ít quan troïng trong heä
thoáng vaø lyù töôûng hoaù moät soá hieän töôïng vaät lyù thöïc teá.
Ñeå moâ taû phaàn töû vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc ngöôøi ta thöôøng
duøng caùc daïng moâ hình toaùn hoïc sau ñaây :
- Phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng.
- Haøm truyeàn
- Phöông trình traïng thaùi.
Hai daïng moâ hình phöông trình vi phaân vaø haøm truyeàn thích hôïp vôùi heä SISO.
Moâ hình phöông trình traïng thaùi ñaëc bieät thích hôïp vôùi heä MIMO.
2.1 Moâ hình phöông trình vi phaân
Toång quaùt, moái quan heä giöõa tín hieäu vaøo r(t) vaø tín hieäu ra y(t) cuûa heä thoáng
tuyeán tính baát bieán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân :
dn y(t)
dtn
d
n- 1y(t)
dtn- 1
dm r(t)
dtm
d
m- 1r(t)
dtm- 1
an
+ an- 1
+...+a0y(t) = bm
+ bm-1
+...+ b0r(t)
(2-1)
Trong ñoù:
ai , bi laø caùc haèng soá, ñöôïc xaùc ñònh töø thoâng soá cuûa caùc phaàn töû .
Soá muõ n laø baäc cuûa heä thoáng. Heä thoáng coù m £n ñöôïc goïi laø heä thoáng hôïp thöùc.
Chæ coù caùc heä thoáng hôïp thöùc môùi toàn taïi trong thöïc teá.
Moâ hình phöông trình vi phaân ñöôïc xaây döïng theo phöông phaùp lyù thuyeát, töùc
laø ñöôïc thieát laäp döïa treân caùc ñònh luaät vaät lyù bieåu dieãn caùc quaù trình ñoäng hoïc xaûy
ra beân trong vaø caùc quan heä giao tieáp vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi cuûa heä thoáng.
13
- Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû cô khí laø ñònh luaät II Newton,
quan heä giöõa löïc vaø bieán daïng, quan heä giöõa ma saùt vaø vaän toác.
- Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû ñieän laø ñònh luaät Kirchhoff, quan
heä doøng ñieän- ñieän aùp treân ñieän trôû, ñieän caûm, tuï ñieän.
- Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû nhieät laø ñònh luaät truyeàn nhieät vaø
ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng.
- ...
Ví duï 2.1. Xaùc ñònh phöông trình vi phaân moâ taû heä cô khí goàm loø xo - khoái löôïng -
giaûm chaán coù sô ñoà nhö hình 2.1a.
F(t)
v
m
y(t)
Fd
k
b
(a)
(b)
(c)
(d)
Hình 2.1
Boä giaûm chaán (hình 2.1b) goàm moät xylanh daàu vaø moät piston, moät trong hai
thaønh phaàn naøy ñöôïc laép coá ñònh coøn phaàn kia di ñoäng. Khi coù chuyeån ñoäng töông
ñoái giöõa piston vaø xylanh, daàu seõ chaûy töø buoàng naøy sang buoàng kia cuûa xylanh
qua khe hôû giöõa piston vaø xylanh hoaëc qua moät loã nhoû trong piston. Löïc ñaåy daàu
qua khe hôû coù taùc duïng caûn trôû chuyeån ñoäng, ta goïi laø löïc ma saùt nhôùt hay löïc giaûm
chaán. Löïc giaûm chaán Fd ngöôïc chieàu vaø tæ leä vôùi vaän toác v:
Fd = b.v vôùi b laø heä soá ma saùt nhôùt, [N.s/m ]
Boä giaûm chaán cuõng ñöôïc bieåu dieãn ñôn giaûn nhö hình 2.1c vaø 2.1d.
Giaû söû taïi t=0 heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng. Theo ñònh luaät II Newton, ta coù
phöông trình caân baèng löïc:
d2 y
dt2
dy
m
=
F = F(t) - b - k.y(t)
å
i
dt
Trong ñoù :
- Tín hieäu vaøo : löïc F(t) taùc duïng töø beân ngoaøi, [N]
- Tín hieäu ra : löôïng di ñoäng y(t) cuûa khoái löôïng m, [m]
m : khoái löôïng [kg]
b : heä soá ma saùt nhôùt (heä soá giaûm chaán), [N.s/m]
k : ñoä cöùng loø xo, [N/m]
d2 y
dt2
dy
m
: löïc quaùn tính ;
b
= F : löïc giaûm chaán
d
dt
k.y(t) : löïc loø xo
14
Þ Phöông trình vi phaân baäc hai moâ taû quan heä vaøo-ra :
d2 y
dt2
dy
m
+ b + k y(t) = F(t)
dt
Ví duï 2.2. Xaùc ñònh phöông trình vi phaân cuûa maïch ñieän RC noái tieáp.
i
R
C
u
uc
- Tín hieäu vaøo : ñieän aùp ngoõ vaøo u , [Volt]
- Tín hieäu ra : ñieän aùp ra uc giöõa hai baûn tuï ñieän, [Volt]
Theo ñònh luaät Kirchhoff, ta coù:
u = uR + uc = Ri + uc
duc
dt
1
maø : uc =
idt Þ
i = C
C ò
Þ Phöông trình vi phaân baäc nhaát moâ taû quan heä vaøo-ra :
duc
u = RC
+ uc
dt
2.2 Pheùp bieán ñoåi Laplace
Ñeå xaùc ñònh haøm tín hieäu ra cuûa heä thoáng khi bieát haøm tín hieäu vaøo, ta caàn
phaûi giaûi phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng. Pheùp bieán ñoåi Laplace giuùp ta giaûi
phöông trình vi phaân moät caùch ñôn giaûn, thuaän lôïi hôn so vôùi caùch giaûi thoâng
thöôøng.
2.2.1 Ñònh nghóa
· Cho haøm thời gian f(t) xaùc ñònh vôùi t ³ 0, bieán ñoåi Laplace cuûa f(t) laø:
¥
F(s) = L[f (t)] = f (t)e- stdt
(2-2)
ò
0
Trong ñoù:
L -laø kyù hieäu pheùp bieán ñoåi Laplace (toaùn töû Laplace).
F(s) -goïi laø aûnh Laplace hay bieán ñoåi Laplace cuûa haøm f(t).
s -laø bieán phöùc, goïi laø bieán Laplace.
Ñieàu kieän ñeå f(t) coù bieán ñoåi Laplace laø tích phaân ôû coâng thöùc ñònh nghóa
(2-2) hoäi tuï.
· Quaù trình toaùn hoïc ngöôïc laïi -Tìm haøm goác f(t) töø haøm aûnh F(s)- ñöôïc goïi laø
pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc vaø kyù hieäu laø L -1.
Cho haøm phöùc F(s), bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa F(s) laø:
1
- 1
f (t) = L [F(s)] =
F(s)etsds
(t ³ 0)
(2-3)
ò
2pj
C
vôùi C laø ñöôøng cong kín ñöôïc löïa choïn trong mieàn s; j laø soá aûo ñôn vò.
15
2.2.2 Tính chaát
§ Tính ñôn aùnh
Bieán ñoåi Laplace laø pheùp bieán ñoåi moät-moät, töùc laø öùng vôùi moãi haøm f(t) cho
tröôùc chæ coù duy nhaát moät aûnh F(s) vaø ngöôïc laïi.
§ Tính tuyeán tính
Neáu F(s), F1(s), F2(s) laø aûnh Laplace cuûa f(t), f1(t), f2(t) vaø k laø haèng soá thì :
L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)
L-1[F1(s) ± F2(s)] = f1(t) ± f2(t)
vaø L[kf(t)] = kF(s)
vaø L-1[kF(s)] = kf(t)
Tính chaát naøy xuaát phaùt töø tính tuyeán tính cuûa pheùp tích phaân trong coâng
thöùc ñònh nghóa bieán ñoåi Laplace vaø Laplace ngöôïc.
§ AÛnh cuûa ñaïo haøm
Laáy tích phaân töøng phaàn udv = uv - vdu vôùi u = e- st ; v = f(t) ta coù:
ò
ò
¥
¥
df(t)
dt
é
ù
¥
- st
- st
&
&
L
+ s f(t)e- stdt = sF(s)- f(0)
= L[f(t)]= òf(t)e dt = f (t)e
ò
ê
ú
0
ë
û
0
0
trong ñoù: f(0) laø giaù trò cuûa haøm f(t) taïi thôøi ñieåm t = 0.
Vôùi moät haøm f(t) cho tröôùc, giaù trò f(0+) vaø f(0-) coù theå khaùc nhau. Khi ñoù coù
söï phaân bieät:
+
&
L [f(t)]= sF(0) - f (0+)
-
&
L [f (t)]= sF(0) - f(0- )
Töø keát quaû treân ta coù theå suy ra aûnh caùc ñaïo haøm baäc cao nhö sau:
2
&&
& &
&
&
&
L[f(t)]= L{f[f(t)]}= sL[f(t)]- f(0) = s F(s)- sf(0)- f(0)
(3)
3
2
&
&&
L[f (t)] = s F(s) - s f (0) - sf(0) - f (0)
.........
n
L[f(n) (t)] = snF(s) - sn- i
f
(i- 1) (0)
(2-4)
å
i=1
vôùi f(0), f (0), f(0), ..., f (n- 1) (0) laø giaù trò cuûa haøm f(t) vaø caùc ñaïo haøm taïi thôøi
&
&&
ñieåm t= 0, ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ñaàu.
Neáu xeùt söï khaùc nhau giöõa L+ vaø L– thì thay vì t=0 ta duøng t=0+ hoaëc t=0- .
Neáu caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta coù coâng thöùc ñôn giaûn:
L[f(n) (t)]= sn .F(s)
(2-5)
§ AÛnh cuûa tích phaân
ét
ê
ù
F(s)
s
L
f(t)dt =
(2-6)
ú
ò
0
ë
û
16
§ AÛnh cuûa haøm treã
Haøm treã (hay haøm chuyeån dòch) ñöôïc ñònh nghóa:
f(t-T) = f(t) khi t³ T
f(t)
f(t-T)
= 0 khi t<T
t
0
T
Haøm treã ñaëc tröng cho moät hieän töôïng vaät lyù coù ñöôøng bieåu dieãn gioáng vôùi
haøm f(t) nhöng bò dòch chuyeån T ñôn vò theo thôøi gian.
Ñaët t= t-T , ta coù :
¥
¥
¥
f (t - T)e- stdt =
f(t )e- s(t +T)dt = e- Ts f(t)e- st dt
L[f(t - T)] = ò
Do :
ò
0
ò
0
T
¥ f (t )e- st dt = f (t)e- stdt = F(s)
¥
ò
0
ò
0
Neân :
L[f(t - T)] = e- TsF(s)
(2-7)
(2-8)
§ AÛnh cuûa tích chaäp
Tích chaäp cuûa hai haøm f1(t) vaø f2(t) ñöôïc ñònh nghóa:
t
t
f(t) = f1(t)*f2 (t) = òf1 (t ).f2 (t - t)dt = f1 (t - t).f2 ( t)dt
ò
0
0
Neáu f(t) laø tích chaäp cuûa f1(t) vaø f2(t) thì :
F(s) = L[f(t)]= F (s).F (s)
1
2
§ Nhaân haøm f(t) vôùi e-α t
Neáu f(t) coù bieán ñoåi Laplace laø F(s) thì :
¥
L[e- a tf(t)] = e- a t f(t)e- stdt = F(s +a )
(2-9)
ò
0
e- a t
Ñieàu naøy cho thaáy vieäc nhaân haøm f(t) vôùi
(a coù theå laø soá thöïc hoaëc soá
phöùc) töông ñöông vôùi vieäc thay s baèng (s+ a ) trong bieán ñoåi Laplace.
§ Ñònh lyù giaù trò cuoái
Neáu f(t) coù aûnh Laplace laø F(s) vaø neáu lim f(t) höõu haïn thì :
t® ¥
lim f(t) = lims.F(s)
(2-10)
t® ¥
s® 0
Ñònh lyù giaù trò cuoái giuùp ta xaùc ñònh giaù trò oån ñònh (xaùc laäp) cuûa haøm f(t)
maø khoâng caàn phaûi bieán ñoåi ngöôïc haøm F(s). Tuy nhieân caàn löu yù laø neáu haøm f(t)
eat sin wt
khoâng toàn taïi traïng thaùi oån ñònh, ví duï tröôøng hôïp f(t) laø haøm sin wt hay
vôùi a>0 thì ñònh lyù giaù trò cuoái khoâng aùp duïng ñöôïc.
17
2.2.3 Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn
Trong muïc naøy chuùng ta tìm bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn thöôøng
duøng trong phaân tích heä thoáng ñieàu khieån.
Ta giaû thieát laø chæ xeùt caùc haøm f(t) trong mieàn t ³ 0 vaø coi f(t)=0 khi t<0. Ñieàu
naøy phuø hôïp vôùi thöïc teá vì thoâng thöôøng chuùng ta chæ nghieân cöùu hoaït ñoäng cuûa heä
thoáng ñieàu khieån sau moät thôøi ñieåm ñaõ ñöôïc löïa choïn baát kyø vaø ñaët laø t=0. Tín hieäu
ra cuûa heä thoáng ôû moïi thôøi ñieåm t>0 hoaøn toaøn coù theå xaùc ñònh neáu bieát caùc ñieàu
kieän ban ñaàu vaø haøm taùc ñoäng (tín hieäu vaøo) ôû thôøi ñieåm t=0.
- Haøm baäc thang ñôn vò
Haøm baäc thang ñôn vò ñöôïc ñònh nghóa:
khi t ³ 0
1
0
ì
í
î
1(t)
1(t) =
1
khi t < 0
t
AÛnh Laplace:
0
¥
¥
1
1
1
s
F(s) = L[1(t)] = e- stdt = - .e- st = - (0 - 1) =
ò
0
s
s
0
K.1(t)
Xeùt tröôøng hôïp haøm baäc thang K(t)=K.1(t) ta coù:
K
K
t
F(s) = L[K.1(t)] = K.L[1(t)] =
s
0
Haøm baäc thang taùc ñoäng taïi t=0 töông öùng vôùi moät tín hieäu haèng soá ñöa ñoät
ngoät vaøo heä thoáng taïi thôøi ñieåm t=0.
- Haøm xung ñôn vò (xung Dirac)
f(t)
Xeùt haøm xung chöõ nhaät f(t):
h
h
0
khi 0£t £t0
ì
í
î
f t = h 1(t) - 1(t - t ) =
( )
[
]
t
0
khi t< 0 & t > t0
0
t0
Neáu laáy dieän tích ht0 baèng 1 ñôn vò, thì h=1/ t0. Khi t0® 0 thì chieàu cao h® ¥
nhöng dieän tích vaãn baèng 1. Tröôøng hôïp ñaëc bieät naøy cuûa haøm xung ñöôïc goïi laø
haøm xung ñôn vò, hay haøm xung Dirac, kyù hieäu laø d(t).
khi t ¹ 0
0
ì
í
î
d1(t)
dt
d t =
( )
=
¥
khi t = 0
d(t)
+¥
0+
t
Haøm d(t) coù tính chaát:
òd(t)dt = d(t)dt =1
ò
0
- ¥
0
AÛnh Laplace:
¥
0+
0+
F(s) = L[d(t)] = d(t)e- stdt = d(t)e- 0dt =
ò
ò
òd(t)dt =1
0
0
0
Haøm xung Dirac coù ñoä roäng baèng 0 vaø ñoä lôùn voâ cuøng neân chæ laø haøm toaùn
hoïc thuaàn tuyù, trong thöïc teá chæ toàn taïi caùc tín hieäu gaàn ñuùng vôùi xung Dirac.
18
Haøm xung Dirac thöôøng ñöôïc duøng ñeå moâ taû caùc nhieãu taùc ñoäng trong khoaûng
thôøi gian raát ngaén (töùc thôøi). Ngoaøi ra, khaùi nieäm xung Dirac cuõng raát höõu ích ñeå
moâ taû quaù trình rôøi raïc hoaù moät tín hieäu lieân tuïc baát kyø nhö chuùng ta seõ ñeà caäp ñeán
sau naøy.
- Haøm muõ e-a t (a > 0)
¥
¥
e- (s+a )t
1
¥
F(s) = L[e- a t ]= e- a te- stdt = e- (s+a )tdt = -
=
ò
ò
0
0
s + a
s + a
0
- Haøm doác ñôn vò
r(t) = t.1(t) =
r(t)
khi t ³ 0
t
ì
í
î
t
khi t < 0
0
0
e- st
- s
vaø v =
ta coù:
Laáy tích phaân töøng phaàn udv = uv - òvdu vôùi
u = t
ò
¥
¥
te- st
e- st
1
1
¥
F(s) = L[t]= te- stdt =
dt = 0+
=
ò
+ ò s
s2
s2
0
- s
0
0
Cuõng coù theå duøng tính chaát aûnh cuûa tích phaân :
ét
ù
L[1(t)]
s
1
s2
F(s) = L[t]= L 1(t)dt =
=
ê
ú
ò
ëê0
ú
û
Theo caùch töông töï ta coù theå tính ñöôïc aûnh cuûa haøm t2 ,t3,...,tn .
- Haøm löôïng giaùc
Söû duïng coâng thöùc Euler : coswt ± jsinwt = e± jwt , ta coù theå bieán ñoåi :
ejwt - e- jwt
e jwt + e- jwt
sin wt =
; coswt =
2j
2
Suy ra:
¥
¥
ejwt - e- jwt
1
1
1
w
æ
ö
L[sinwt]= (sinwt)e- stdt =
e- stdt =
e- stdt =
-
=
ç
÷
ò
ò
s2 + w2
2j
2j s - jw s+ jw
è
ø
0
0
¥
¥
ejwt + e- jwt
1
1
1
s
æ
ç
ö
L[coswt] = (coswt)e- stdt =
+
=
÷
ò
ò
s2 + w2
2
2 s - jw s+ jw
è
ø
0
0
¥
¥
ejwt - e- jwt
e
- (s+a - jw)t - e- (s+a + jw)t
w
L[e-a t sinwt] = e- a t
e- stdt =
dt =
dt =
ò
ò
(s + a )2 + w2
2j
2j
0
0
¥
¥
ejwt + e- jwt
e
- (s+a - jw)t + e- (s+a + jw)t
s + a
(s + a )2 + w2
L[e-a t coswt] = e- a t
e- stdt =
ò
ò
2
2
0
0
Nhaän xeùt:
Caùc aûnh L[e- a t sinwt] vaø L[e- a t coswt] cuõng coù theå tính baèng coâng thöùc (2-9).
19
- Baûng toùm taét caùc bieán ñoåi Laplace thöôøng duøng:
STT
1.
f(t)
1(t)
d(t)
F(s)
1
s
1
1
2.
3.
4.
5.
6.
e-a t (a >0)
s + a
a
1 – e-a t
s(s + a )
K
t
-
T
K (
)
1- e
s(Ts +1)
1
s2
t
n!
sn+1
7.
tn
1
(s + a )2
1
8.
t. e-a t
tn- 1
e- a t
9.
(s + a )n
(n - 1)!
1
1
e- at - e- bt
10.
11.
12.
13.
(s + a)(s + b)
b - a
t
t
T2
-
-
1
T
T2
T
1
1
1-
e
+
e
s(T s +1)(T2s +1)
T - T2
T - T2
1
1
1
1
1
e- at
e- bt
+
+
s(s + a)(s + b)
ab a(a - b) b(b - a)
1
1
a2
1- e- at - ate- at
(
)
s(s + a)2
1
s2 (s + a)
s
1
a2
at - 1+ e- at
14.
15.
16.
17.
18.
(
)
coswt
sinwt
s2 + w2
w
s2 + w2
s + a
e- a t coswt
e- a t sinwt
(s + a )2 + w2
w
(s + a )2 + w2
20
2.2.4 Tìm bieán ñoåi Laplace ngöôïc
Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm thời gian y(t) khi bieát aûnh Laplace Y(s).
Thoâng thöôøng, aûnh Laplace Y(s) coù daïng haøm höõu tæ :
bmsm + bm- 1 m- 1 +...+ b0
s
ansn + an- 1sn- 1 +...+ a0
P(s)
Y(s) =
=
(m<n)
Q(s)
Bieán ñoåi ngöôïc L-1[Y(s)] coù theå tính baèng coâng thöùc ñònh nghóa nhöng caùch
naøy phöùc taïp. Coù moät caùch tieän duïng hôn, ñoù laø phaân tích Y(s) thaønh toång caùc phaân
thöùc ñôn giaûn roài aùp duïng caùc coâng thöùc bieán ñoåi cô baûn cho töøng thaønh phaàn cuûa
toång.
n
n
- 1
- 1
(2-11)
y(t) = L [Y(s)] = L [Y (s)] = yi (t)
å
å
i=1
i
i=1
Daïng haøm y(t) phuï thuoäc vaøo nghieäm cuûa m ẫu số Q(s). Caùc nghieäm naøy coù
theå laø nghieäm ñôn (nghieäm thöïc rieâng bieät), nghieäm boäi, hoaëc nghieäm phöùc. Döôùi
ñaây chuùng ta seõ laàn löôït khaûo saùt caùc tröôøng hôïp cuï theå.
1) Maãu soá cuûa Y(s) chæ coù caùc nghieäm ñôn
Giaû söû Q(s) coù n nghieäm ñôn laø s1, s2, ..., sn .
Khi ñoù coù theå phaân tích :
Q(s) = an (s - s1 )(s - s2 )...(s - sn )
Ai
A1
A2
An
P(s)
Y(s) =
=
+
+...+
+... +
Q(s) s - s1 s - s2
s - si
s - sn
trong ñoù Ai (i = 1,2,…,n) laø caùc heä soá haèng.
Nhaân caû hai veá cuûa phöông trình vôùi (s-si), ta ñöôïc:
A1(s - si ) A2 (s - si )
An (s - si )
s - sn
(s - si )Y(s) =
+
+ ... + Ai + ... +
s - s1
s - s2
Neáu laáy giôùi haïn khi s® si thì taát caû caùc thaønh phần coù chöùa (s-si) ôû veá phaûi
ñeàu baèng 0, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc:
(2-12)
Ai = lim [(s- si )Y(s)]= [(s- si )Y(s)]
s=s
i
s® s
i
- 1 é
ù
ú
Ai
= A esit
Tra baûng, ta coù :
Suy ra:
L
ê
i
s - si û
ë
n
y(t) = Aiesit = A1es1t + A2 es2t + ...+ An esnt
(2-13)
å
i=1
2s +1
2s2 + 6s + 4
Ví duï 2.3. Tìm bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa Y(s) =
Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù an=2 vaø hai nghieäm s=-1 ; s=-2 neân coù theå phaân tích:
A1 A2
2s +1
2s +1
2s +1
2(s +1)(s + 2) s +1 s + 2
Y(s) =
=
=
=
+
2s2 + 6s + 4 2(s2 + 3s + 2)
21
Xaùc ñònh caùc heä soá :
A1 = lim [(s+1)Y(s)]= lim
2s +1
2(s + 2)
2s +1
1
2
= -
s® - 1
s® - 1
3
A2 = lim [(s+ 2)Y(s)]= lim
=
s® - 2
s® - 2
2(s +1)
2
1
3
Þ
Y(s) = -
+
2(s +1) 2(s + 2)
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc:
1
3
- 1
y(t) = L [Y(s)]= - e- t + e- 2t
2
2
2) Maãu soá cuûa Y(s) coù nghieäm boäi
Neáu Q(s) coù (n-r) nghieäm ñôn vaø moät nghieäm boäi s k laëp r laàn, ta phaân tích :
Q(s) = an (s - s1)(s - s2 )...(s - sn- r )(s - sk )r
A1
An- r
Br
Br- 1
B
1
Y(s) =
+...+
+
+
+...+
(s - sk )r (s - sk )r- 1
s - s1
s - sn- r
s - sk
Caùc heä soá Ai (i =1,2,…,n-r) xaùc ñònh nhö tröôøng hôïp nghieäm ñôn ñaõ bieát.
Caùc heä soá Bi (i= r,…,2,1) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân caû hai veá cuûa phöông
r
trình treân vôùi s - s
, sau ñoù laáy ñaïo haøm baäc (r-i) cuûa caû hai veá roài laáy giôùi haïn
(
)
k
khi s® sk . Ta coù keát quaû cuoái cuøng nhö sau:
r- i
é
ê
ë
ù
ú
û
1
d
Bi =
lim
(s - s )r .Y(s)
(2-14)
{
}
k
dsr- i
s® s
(r - i)!
k
Nhaän xeùt:
- Neáu sk laø nghieäm keùp, caàn xaùc ñònh hai heä soá B 2, B1 :
d
é
ù
2
(s- sk )2 Y(s)
é
ù
B2 = lim (s - sk ) Y(s) ; B1 = lim
ê
ú
k ë
û
s® s
s® s
ds
k ë
û
- Neáu sk laø nghieäm boäi ba, caàn xaùc ñònh ba heä soá B 3 , B2, B1 :
d
é
ù
3
B3 = lim (s - sk ) Y(s) ; B2 = lim
(s- sk )3 Y(s)
;
é
ù
ê
ú
k ë
û
s® s
s® s
ds
k ë
û
2
é
ê
ë
ù
ú
û
1
d
B1 = lim
(s - s )3 Y(s)
k
ds2
s® s
2
k
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc haøm aûnh Y(s) ta ñöôïc:
tr- 1
n- r
y(t) = Aiesit + Br
e k + ...+ B2tes t + B1es t
(2-15)
s t
k
k
å
(r - 1)!
i=1
2
Ví duï 2.4. Cho aûnh Laplace Y(s) =
. Haõy xaùc ñònh haøm y(t).
s(s + 3)(s +1)2
Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù hai nghieäm ñôn s1=0 ; s2=-3 vaø moät nghieäm keùp sk= -1
22
Do ñoù coù theå phaân tích :
A1
A2
B2
(s +1)2
B
1
Y(s) =
+
+
+
s
(s + 3)
(s +1)
Xaùc ñònh caùc heä soá :
2
2
A1 = lim [sY(s)]= lim
=
2
s® 0
s® 0
3
(s + 3)(s +1)
2
1
6
A2 = lim [(s+ 4)Y(s)]= lim
= -
s(s +1)2
s® - 3
s® - 3
2
B2 = lim [(s +1)2 Y(s)]= lim
= - 1
s® - 1
s® - 1
s(s + 3)
é
ù
ö
æ
d
d
2
- 2(2s + 3)
s2 (s + 3)2
1
2
é
ù
B1 = lim
(s +1)2 Y(s) = lim
= lim
= -
s® - 1 ê
ú
ç
÷
s® - 1 ê
ú
s® - 1
ds
ds s(s + 3)
ë
û
è
ø
û
ë
2
1
1
1
Þ
Y(s) =
-
-
-
(s +1)2
3s 6(s + 3)
2(s +1)
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc:
2
3
1
6
1
- 1
y(t) = L [Y(s)] =
-
e- 3t - te- t - e- t
2
3) Maãu soá cuûa Y(s) coù nghieäm phöùc
Nghieäm phöùc luoân coù töøng caëp lieân hôïp, ta kyù hieäu laø p 1,2 = a ± jw.
Giöõa chuùng coù moái quan heä : (s-p1)(s-p2) = (s-a-jw)(s-a+jw) = (s-a)2 + w2 .
Tröôøng hôïp nghieäm phöùc cuõng coù theå phaân tích töông töï nhö tröôøng hôïp
nghieäm ñôn nhöng ñeå thuaän tieän hôn, ta thöôøng duøng caùch neâu döôùi ñaây.
Neáu Q(s) coù (n-2) nghieäm ñôn vaø 2 nghieäm phöùc p 1,2 thì coù theå phaân tích :
Q(s) = an (s - s1)...(s - sn- 2 )(s - p1)(s - p2 )
= an (s - s1 )...(s - sn- 2 )[(s - a)2 + w2 ]
A1
An- 2
C1 (s- a)+ C2w
(s - a)2 + w2
Y(s) =
+...+
+
(s - s1 )
(s - sn- 2
)
Caùc heä soá Ai , C1 vaø C2 coù theå xaùc ñònh baèng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña
thöùc, hoaëc aùp duïng coâng thöùc sau :
Ai = lim [(s- si )Y(s)]
(i=1,2,...,n-2)
s® s
i
1
C1 = Im (s- p )(s- p )Y(s)
[
]
1
2
s=p1
w
1
C2 = Re (s - p )(s - p )Y(s)
(2-16)
(2-17)
[
]
1
2
s=p1
w
trong ñoù :
Im_Phaàn aûo ; Re_Phaàn thöïc
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc haøm aûnh Y(s) ta ñöôïc:
n- 2
y(t) =
Aiesit + C1eat coswt + C2eat sinwt
å
i=1
23
Bieåu thöùc naøy theå hieän haøm sin taét daàn theo haøm muõ khi phaàn thöïc a<0, taêng
daàn khi a>0 vaø dao ñoäng khoâng ñoåi khi a= 0 .
Ñeå ñöa veà daïng haøm sin ta coù theå aùp duïng coâng thöùc :
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
a
b
2
a sin wt ±b coswt = a +b 2
sinwt±
cosw t
(2-18)
a 2 +b2
a 2 +b2
a
b
Neáu ñaët
= cosj thì
= sin j
a 2 +b2
a 2 +b2
2
Þ
a sin wt ±b coswt = a +b 2 sinwt cosj ± sinj cosw t
(
)
= a 2 +b2 sin(wt± j )
5(s +1)
s(s2 + 2s + 5)
Ví duï 2.5. Xaùc ñònh haøm y(t) khi bieát aûnh Laplace
Y(s) =
Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù moät nghieäm ñôn s = 0 vaø hai nghieäm phöùc p 1,2= -1± 2j
Do ñoù coù theå phaân tích :
C1 (s +1) + 2C2
A
Y(s) =
+
s
s2 + 2s + 5
5(s +1)
s2 + 2s + 5
æ
ö
A = lim [sY(s)]= lim
= 1
ç
÷
ø
s® 0
s® 0
è
1
1
5(s +1)
ì
í
î
ü
s=- 1+2j ý
þ
C1 = Im [(s - p )(s- p )Y(s)]
= Im
2
= - 1
= 2
1
2
s=p1
s=p1
w
s
1
1
5(s +1)
ì
í
î
ü
s=- 1+2j ý
þ
C2 = Re (s - p )(s - p )Y(s)
= Re
2
[
]
1
2
w
s
Cuõng coù theå duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña thöùc :
C1 (s +1) + 2C2 (A + C1 )s2 + (2A + C + 2C2 )s+ 5A
5(s +1)
s(s2 + 2s + 5)
A
s
1
Y(s) =
=
+
=
s2 + 2s + 5
s(s2 + 2s + 5)
5A = 5
A = 1
C1 = -1
C2 = 2
Þ
A + C1 = 0
2A+ C1+ 2C2 = 5
1 - (s +1) + 2(2) 1
Û
s +1
2(2)
Þ
Y(s) = + = -
+
s2 + 2s + 5
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta thu ñöôïc :
(s +1)2 + (2)2 (s +1)2 + (2)2
s
s
- t
- t
y(t) =
1- e cos2t + 2e sin2t
2
1
æ
ö
- t
=
1+ e . 5
sin 2t -
cos2t
1
ç
÷
5
5
è
ø
= 1+ 5 e- t sin(2t - j )
2
trong ñoù:
j = arccos
= arcsin
= 26,57°
5
5
24
Chuù yù: Neáu phaân tích nhö tröôøng hôïp nghieäm ñôn vaø duøng coâng thöùc Euler ñeå
chuyeån haøm muõ phöùc veà daïng sin, cos ta cuõng nhaän ñöôïc keát quaû treân.
5(s +1)
s(s2 + 2s + 5)
A1
A2
A2
Y(s) =
=
+
+
s
s +1- 2j s +1+ 2j
A1 = lim [s.Y(s)]= 1 ;
s® 0
1
1
A2 = lim [(s+ 1- 2j)Y(s)]= - - j ;
A3 = lim [(s+ 1+ 2j)Y(s)]= - + j
s® - 1+2 j
s® - 1- 2 j
2
2
1
1
æ
ö
æ
ö
Þ
y(t) =1-
+ j e- (1- 2 j)t
-
- j e- (1+2j)t
ç
÷
ç
÷
2
2
è
ø
ö
è
ø
1
1
æ
æ
ö
- t
=1-
+ j e- t cos 2t + jsin 2t -
- j e cos 2t- jsin 2t
(
)
(
)
ç
÷
ç
÷
2
2
è
ø
è
ø
=1- e- t cos2t + 2e- t sin2t
4) Tröôøng hôïp toång quaùt
Xeùt aûnh Laplace:
P(s)
bmsm + bm- 1sm- 1 +...+ b0
ansn + an- 1sn- 1 +...+ a0
Y(s) =
=
(m£ n)
Q(s)
Giaû söû Q(s) coù l nghieäm ñôn, rj nghieäm boäi sk laëp r laàn vaø q caëp nghieäm phöùc.
Ta coù theå phaân tích Y(s) thaønh toång caùc thaønh phaàn toái giaûn:
rj
q
l
r
Ai
Bi
j=1 i=1 (s - skj)i
Ci (s - ai ) + Diw
(s - ai )2 + wi2
i
Y(s) = K +
+
+
(2-19)
å
å å
å
i=1 s - si
i=1
trong ñoù:
- Haèng soá K laø keát quaû pheùp chia P(s) cho Q(s) khi m=n. Neáu m<n thì K=0.
- Caùc haèng soá Ai, Bi, Ci, Di coù theå xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc (2-12), (2-14),
(2-16) ñaõ neâu hoaëc duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña thöùc.
Aùp duïng caùc bieán ñoåi cô baûn cho töøng thaønh phaàn cuûa toång, ta ñöôïc:
- 1
1) L [K] = Kd(t)
- 1 é
ù
ú
Ai
2) L
= Aiesit .1(t)
ê
s - si û
ë
ti- 1
- 1 é
ù
Bi
s t
kj
3) L ê
ú= Bi
e
(s - s )i
(i - 1)!
ê
ë
ú
kj
û
é
ù
ú
Ci (s - a)
a t
- 1 ê
i
4) L
= C e cos(w t)
i
i
(s - a )2 + w2
ê
ë
ú
i
û
é
ù
Diw
a t
- 1 ê
ú
i
i
5) L
= D e sin(w t)
i
i
(s - a )2 + w 2
ê
ú
i û
ë
i
Haøm thôøi gian y(t) = L-1[Y(s)] seõ laø toång caùc bieán ñoåi ngöôïc cuûa caùc thaønh
phaàn rieâng leû.
25
2.2.5 ÖÙng duïng bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
Xeùt heä thoáng tuyeán tính lieân tuïc baát bieán coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t),
ñöôïc moâ taû baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng :
dn y(t)
dtn
d
n- 1y(t)
dtn- 1
dm r(t)
dtm
d
m- 1r(t)
dtm- 1
an
+ an- 1
+...+a0y(t) = bm
+ bm-1
+...+ b0r(t)
Hay döôùi daïng töông ñöông:
any(n) (t)+ an-1y(n-1) (t)+...+ a0y(t) = bmr(m)(t)+ bm-1r(m-1)(t)+ ...+ b0r(t) (2-20)
Baøi toaùn ñaët ra laø tìm nghieäm y(t) khi bieát tröôùc tín hieäu vaøo r(t) vaø caùc ñieàu
kieän ban ñaàu cuûa heä thoáng.
Vôùi phöông phaùp coå ñieån thì vieäc tìm nghieäm toaøn phaàn yeâu caàu phaûi xaùc
ñònh haèng soá tích phaân töø caùc ñieàu kieän ñaàu. Neáu duøng phöông phaùp bieán ñoåi
Laplace thì ñieàu naøy laø khoâng caàn thieát vì ñieàu kieän ñaàu ñaõ bao goàm trong bieán ñoåi
Laplace cuûa caùc thaønh phaàn ñaïo haøm.
Trình töï öùng duïng bieán ñoåi Laplace ñeå giaûi phöông trình vi phaân coù theå toùm
taét theo sô ñoà döôùi ñaây:
giaûi tröïc tieáp
Phöông trình vi phaân
theo bieán t
Nghieäm y(t)
Haøm goác
Bieán ñoåi
Laplace L
Bieán ñoåi
Laplace ngöôïc L-1
Haøm aûnh
Phöông trình ñaïi soá
theo bieán s
Nghieäm Y(s)
giaûi
phöông trình ñaïi soá
Bieán ñoåi Laplace töøng soá haïng cuûa phöông trình vi phaân (2-20), ta ñöôïc :
L[an y(n) (t)]= ansn Y(s)- I(s)n
L[an-1y(n-1) (t)] = an-1sn-1Y(s)- I(s)n -1
…………
L[bmr(m) (t)]= bmsmR(s)- I(s)m
L[bm- 1r(m- 1) (t)]= bm- 1sm- 1R(s) - I(s)m- 1
…………
trong ñoù :
n-1
I(s)n, I(s)n-1,… laø caùc ña thöùc chöùa caùc ñieàu kieän ñaàu y(0), …, y ( )(0).
I(s)m, I(s)m-1,… laø caùc ña thöùc chöùa caùc ñieàu kieän ñaàu r(0),…, r m-1)(0).
(
Thay caùc bieán ñoåi vaøo phöông trình vi phaân vaø saép xeáp laïi, ta ñöôïc:
(ansn + an- 1sn- 1 +...+ a0 )Y(s) = (bmsm + bm-1sm- 1 +...+ b0 )R(s) + I(s)
26
Vôùi I(s) = I(s)n + I(s)n- 1 + ...- I(s)m - I(s)m- 1 - ...
(bmsm + bm- 1sm- 1 +...+ b0 )R(s) + I(s)
Þ
Y(s) =
(2-21)
ansn + an- 1sn- 1 +... +a0
Sau khi tính ñöôïc Y(s) ta coù theå xaùc ñònh nghieäm y(t) baèng caùch laáy bieán ñoåi
Laplace ngöôïc :
- 1
y(t) = L [Y(s)]
d2 y
dt2
dy
Ví duï 2.6. Giaûi phöông trình vi phaân :
+3 + 2y(t) = 0
dt
dy
vôùi ñieàu kieän ñaàu y(0) = a vaø
(0) = b .
dt
Giaûi. Laáy biến đổi Laplace caû hai veá phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc :
2
&
[s Y(s) - sy(0) - y(0)] + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0
Û
Û
[s2Y(s) - as - b] + 3[sY(s) - a] + 2Y(s) = 0
(s2+3s+2)Y(s) = as + (3a+b)
as + (3a + b) as + (3a + b) 2a + b a + b
Û
Y(s) =
=
=
-
s2 +3s + 2
(s +1)(s + 2)
s +1 s + 2
Suy ra:
- 1
y(t) = L [Y(s)] = (2a + b)e- t - (a + b)e- 2t
vôùi t³ 0
d2 y
dy
+ 2 +10y(t) = 8r(t)
dt
Ví duï 2.7. Giaûi phöông trình vi phaân :
dy(0)
dt2
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) =
= 0 , tín hieäu vaøo r(t) =1(t).
dt
Giaûi. Bieán ñoåi Laplace caû hai veá phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc :
(s2 + 2s +10)Y(s) = 8R(s)
1
Tín hieäu vaøo baäc thang ñôn vò r(t)=1(t) Þ R(s)=
s
8
4
4(s +1)
(4/3)(3)
Þ
Y(s) =
=
-
-
s(s2 + 2s +10) 5s 5[(s +1)2 + 32 ] 5[(s +1)2 + 32 ]
- 1
Haøm thôøi gian: y(t) = L [Y(s)]
4 4
4
Þ
y(t) = - e- t cos3t -
e- t sin3t
vôùi t³ 0
5 5
15
4 4 10
4 4 10 - t æ 1
= -
3
ö
e
sin3t +
cos3t = -
e- t sin(3t + j )
ç
÷
5
15
5
15
10
10
è
ø
1
3
vôùi: j = arccos
= arcsin
= 71,57°
10
10
27
2.3 Haøm truyeàn
Xeùt heä thoáng tuyeán tính lieân tuïc baát bieán coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t),
ñöôïc moâ taû baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng :
dn y(t)
dtn
d
n- 1y(t)
dtn- 1
dm r(t)
dtm
d
m- 1r(t)
dtm- 1
an
+ an- 1
+...+a0y(t) = bm
+ bm-1
+...+ b0r(t)
Giaû thieát caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0, bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc :
(ansn + an- 1sn- 1 +... +a0 )Y(s) = (bmsm + bm- 1sm- 1 +... + b0 )R(s)
bmsm + bm- 1sm- 1 +...+ b0
Y(s)
Bieåu thöùc
G(s) =
=
(2-22)
ansn + an- 1sn- 1 +... +a0
R(s)
ñöôïc goïi laø haøm truyeàn (hay haøm truyeàn ñaït) cuûa heä thoáng.
Ñònh nghóa: Haøm truyeàn laø tæ soá giöõa aûnh Laplace cuûa tín hieäu ra vaø aûnh Laplace
cuûa tín hieäu vaøo khi caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0.
Ñeå coù haøm truyeàn ta thöïc hieän caùc böôùc sau ñaây:
1) Vieát phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng (hay phaàn töû).
2) Laáy bieán ñoåi Laplace cuûa phöông trình vi phaân, vôùi giaû thieát taát caû caùc ñieàu
kieän ban ñaàu baèng 0.
3) Laäp tæ soá tín hieäu ra Y(s) treân tín hieäu vaøo R(s). Tæ soá naøy chính laø haøm truyeàn.
Nhaän xeùt:
- Khaùi nieäm haøm truyeàn chæ duøng cho phaàn töû vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán.
- Bieåu thöùc haøm truyeàn chæ phuï thuoäc vaøo caùc thoâng soá a i, bi vaø baäc n cuûa heä
thoáng maø khoâng phuï thuoäc vaøo theå loaïi vaø giaù trò (bieân ñoä) tín hieäu vaøo, tín
hieäu ra.
- Vieäc giaû thieát caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0 laø döïa treân quan ñieåm duøng haøm
truyeàn ñeå nghieân cöùu baûn chaát ñoäng hoïc cuûa heä thoáng. Ñieàu kieän ñaàu khaùc 0
chæ phaûn aùnh ñaëc tính ñoäng hoïc öùng vôùi caùc tröôøng hôïp rieâng cuï theåù.
- Vì haøm truyeàn laø phaân thöùc ñaïi soá khoâng coù pheùp vi phaân vaø tích phaân neân
duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû vaø nghieân cöùu heä thoáng seõ thuaän lôïi hôn nhieàu so
vôùi duøng phöông trình vi phaân. Vôùi khaùi nieäm haøm truyeàn, quan heä giöõa tín
hieäu vaøo vaø tín hieäu ra coù theå bieåu dieãn döôùi daïng phöông trình ñaïi soá :
Y(s) = R(s). G(s)
(2-23)
(tín hieäu ra = tích cuûa tín hieäu vaøo vaø haøm truyeàn)
Ñieàu naøy giuùp cho coâng vieäc xaùc ñònh tín hieäu ra cuûa heä thoáng öùng vôùi moät
tín hieäu vaøo cho tröôùc ñöôïc ñôn giaûn hôn nhieàu.
§ Ña thöùc maãu soá cuûa haøm truyeàn ñöôïc goïi laø ña thöùc ñaëc tính:
A(s) = ansn + an- 1sn- 1 + ....+ a0
(2-24)
Neáu cho maãu soá cuûa haøm truyeàn baèng 0, ta coù phöông trình ñaëc tính:
ansn + an- 1sn- 1 +....+ a0 = 0
(2-25)
28
Treân cô sôû khaûo saùt caùc nghieäm hoaëc caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tính, ta
coù theå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä thoáng. Vaán ñeà xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng seõ
ñöôïc trình baøy rieâng ôû chöông 4.
§ Haøm truyeàn G(s) cuõng ñöôïc vieát döôùi daïng zero-cöïc nhö sau:
m
Õ (s - z )
n
i
(s - z1)....(s - zm )
(s - p1)...(s - pn )
Y(s)
R(s)
i=1
(2-26)
G(s) =
= K
= K
Õ (s - p )
i
i=1
Trong ñoù :
zi (i=1…m) -laø nghieäm cuûa ña thöùc töû soá, goïi laø caùc zero.
pi (i=1…n) -laø nghieäm cuûa ña thöùc maãu soá, goïi laø caùc cöïc (pole).
pi cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính.
bm
K =
- ñoä lôïi (gain).
an
§ Vôùi heä thoáng MIMO coù q ngoõ vaøo vaø p ngoõ ra ta phaûi vieát haøm truyeàn rieâng
cho töøng caëp ngoõ vaøo-ra:
Y (s)
i
Gij =
(i=1,..,p ; j=1,…,q)
(2-27)
R j(s)
Quan heä vaøo-ra cuûa heä MIMO ñöôïc vieát ôû daïng ma traän:
G
... G1q
é
ê
ê
ê
ù
ú
ú
ú
é
ê
ê
ù
ú
ú
é
ê
ê
ù
ú
ú
Y (s)
R1(s)
11
1
Y(s) = G(s).R(s)
Û
M
=
M
O
M
M
(2-28)
ê
ú
ê
ú
Yp (s)
Gp1 L Gpq Rq (s)
ë
û
ë
û
ë
û
trong ñoù :
Y(s) =[Y (s) L Yp (s)]T - laø aûnh Laplace cuûa veùctô tín hieäu ra
1
R(s) = [R1(s) L Rq (s)]T - laø aûnh Laplace cuûa veùctô tín hieäu vaøo
G
... G
é
1q ù
ú
11
Y(s) ê
G(s) =
=
M
O
M
- laø ma traän haøm truyeàn.
(2-29)
ê
ú
R(s)
ê
ú
Gp1 L G
ë
pq û
§ Moät heä thoáng hay phaàn töû tuyeán tính coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t), sau khi
ñaõ ñöôïc moâ hình hoaù vaø coù haøm truyeàn G(s) thöôøng ñöôïc bieåu dieãn ñôn giaûn,
tröïc quan baèng moät khoái nhö hình veõ:
Y(s)
R(s)
y(t)
r(t)
G(s)
G(s)
Hay:
Caùch bieåu dieãn naøy raát tieän cho vieäc cho vieäc xaây döïng moâ hình cuûa moät heä
thoáng phöùc taïp goàm nhieàu khoái gheùp noái tieáp, song song hoaëc phaûn hoài.
29
2.4 Sô ñoà khoái
2.4.1 Caùc thaønh phaàn cuûa sô ñoà khoái
Sô ñoà khoái cuûa moät heä thoáng laø hình veõ moâ taû chöùc naêng cuûa caùc phaàn töû vaø
söï taùc ñoäng qua laïi giöõa caùc phaàn töû trong heä thoáng. Sô ñoà khoái coù ba thaønh phaàn
cô baûn laø khoái chöùc naêng, boä toång ( hay boä so) vaø ñieåm reõ nhaùnh.
· Khoái chöùc naêng:
Y(s)
U(s)
G(s)
Quan heä vaøo-ra:
Y(s) = U(s). G(s)
(tín hieäu ra cuûa khoái = tích cuûa tín hieäu vaøo vaø haøm truyeàn)
· Boä toång: Tín hieäu ra cuûa boä toång baèng toång ñaïi soá cuûa caùc tín hieäu vaøo.
u= x+ y
x
x
e= x–y
+
y
y
Löu yù : - Daáu coäng trong sô ñoà thöôøng ñöôïc löôïc boû.
- Caùc bieåu dieãn sau ñaây laø töông ñöông :
· Ñieåm reõ: Tín hieäu treân nhaùnh chính vaø caùc nhaùnh reõ laø nhö nhau.
x
x
x
2.4.2 Ñaïi soá sô ñoà khoái
Ñaïi soá sô ñoà khoái laø thuaät toaùn bieán ñoåi töông ñöông caùc sô ñoà khoái. Hai sô
ñoà khoái ñöôïc goïi laø töông ñöông nhau neáu chuùng coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo, tín
hieäu ra nhö nhau.
Ñeå tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái phöùc taïp, ta thöôøng tìm caùch
bieán ñoåi sô ñoà khoái ñeå laøm xuaát hieän caùc daïng keát noái ñôn giaûn roài laàn löôït tính
caùc haøm truyeàn töông ñöông theo nguyeân taéc ruùt goïn daàn töø trong ra ngoaøi.
Sau ñaây laø moät soá quy taéc bieán ñoåi sô ñoà khoái thöôøng duøng.
1) Heä noái tieáp
n
Y2 Yn-1
…
Y1
U
Y
Y
U
G1(s)
G2(s)
Gn(s)
G (s)
Û
Õ
i
i=1
Theo sô ñoà khoái ta coù: Y(s) = U(s).G1(s).G2(s)...Gn(s)
Þ
Haøm truyeàn töông ñöông:
n
Y(s)
(2-30)
G(s) =
= G (s).G (s)...G (s) =
Õ G (s)
1
2
n
i
U(s)
i=1
30
2) Heä song song
G1(s)
U
Y
n
U
Y
G2(s)
… …
Û
G (s)
å
i
i=1
Gn(s)
Theo sô ñoà khoái ta coù:
Y(s) = U(s)G1(s) + U(s)G2 (s) +... + U(s)Gn(s)
Þ Haøm truyeàn töông ñöông:
Y(s)
n
(2-31)
G(s) =
= G (s) + G (s) +... + G (s) = Gi(s)
å
1
2
n
U(s)
i=1
3) Heä hoài tieáp moät voøng
· Hoài tieáp aâm
R
Y
R
Y
G(s)
G(s)
Û
1+ G(s)H(s)
H(s)
Töø sô ñoà khoái ta coù caùc phöông trình moâ taû quan heä vaøo-ra:
-Y(s)H(s) + R(s) = E(s)
E(s)G(s) = Y(s)
Þ
[-Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s)
Þ Haøm truyeàn cuûa heä kín hoài tieáp aâm :
Y(s) G(s)
R(s) 1+ G(s)H(s)
Gk (s) =
=
(2-32)
Tröôøng hôïp ñaëc bieät khi haøm truyeàn maïch phaûn hoài H(s)=1, ta coù heä thoáng
hoài tieáp aâm ñôn vò. Khi ñoù coâng thöùc (2-32) trôû thaønh:
Y(s)
G(s)
Gk (s) =
=
(2-33)
R(s) 1+ G(s)
· Hoài tieáp döông
R
E
Y
R
Y
G(s)
G(s)
H(s)
Û
1- G(s)H(s)
+
Töø sô ñoà khoái ta coù caùc phöông trình quan heä :
Y(s)H(s) + R(s) = E(s)
E(s)G(s) = Y(s)
Þ
[Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s)
Y(s)
G(s)
Þ
Haøm truyeàn :
Gk (s) =
=
(2-34)
R(s) 1- G(s)H(s)
31
· Heä hoài tieáp coù nhieãu taùc ñoäng
Xeùt heä hoài tieáp (heä kín) coù sô ñoà khoái:
Z1
Z2
±
±
Y
R
E
Gc(s)
G(s)
H(s)
Neáu coi nhieãu z1(t)=z2(t)=0, ta coù phöông trình quan heä:
[-Y(s)H(s)+R(s)].Gc(s).G(s) = Y(s)
Þ
Haøm truyeàn cuûa tín hieäu vaøo r(t):
(thöôøng ñöôïc coi laø haøm truyeàn cuûa heä kín, neáu khoâng tính ñeán nhieãu)
Y(s) Gc(s)G(s)
R(s) 1+ Gc(s)G(s)H(s)
Gk (s) = GR (s) =
=
(2-35a)
(2-35b)
(2-35c)
Neáu coi tín hieäu vaøo r(t)=0 vaø nhieãu z 2(t)=0, ta coù :
[-Y(s)H(s)Gc(s)± Z1(s)].G(s) = Y(s)
Haøm truyeàn cuûa nhieãu z1(t):
Þ
Y(s)
± G(s)
GZ1(s) =
=
Z1(s) 1+ Gc(s)G(s)H(s)
Neáu coi tín hieäu vaøo r(t)=0 vaø nhieãu z 1(t)=0, ta coù :
-Y(s)H(s)Gc(s)G(s) ± Z2(s) = Y(s)
Haøm truyeàn cuûa nhieãu z2(t):
Þ
Y(s)
±1
GZ2 (s) =
=
Z2 (s) 1+ Gc (s)G(s)H(s)
Aùp duïng nguyeân lyù xeáp choàng ñaùp öùng, ta coù theå bieåu dieãn quan heä vaøo-ra
cuûa heä kín coù nhieãu nhö sau:
Gc(s)G(s)R(s)
G(s)Z1(s)
1+ Gc (s)G(s)H(s) 1+Gc(s)G(s)H(s) 1+Gc(s)G(s)H(s)
(2-35d)
Z2 (s)
Y (s) = Y (s) =
±
±
å
S
i
Nhaän xeùt:
Neáu laáy Gc (s)H(s) >> 1 vaø Gc (s)G(s)H(s) >> 1 thì Gz1(s) vaø Gz2 (s) seõ xaáp
xæ 0, töùc laø aûnh höôûng cuûa nhieãu seõ bò suy giaûm maïnh.
Maët khaùc, neáu Gc (s)G(s)H(s) >> 1 thì GR (s) = Y(s) / R(s) » 1/ H(s) , neân
Y(s) » R(s) / H(s) , töùc laø khi ñoù ñaùp öùng cuûa heä kín khoâng coøn phuï thuoäc vaøo G c(s)
vaø G(s) maø chæ phuï thuoäc vaøo H(s).
Nhö vaäy, heä kín coù öu ñieåm laø ít nhaïy caûm vôùi nhieãu cuõng nhö vôùi söï thay
ñoåi cuûa caùc thoâng soá beân trong cuûa heä thoáng. Ñaây laø ñieàu khoâng theå ñöôïc ñoái vôùi
heä hôû. Tuy nhieân cuõng caàn löu yù laø ñieàu kieän Gc (s)G(s)H(s) >> 1 seõ laøm taêng tính
dao ñoäng cuûa ñaùp öùng neân vaán ñeà oån ñònh cuûa heä kín seõ phöùc taïp hôn heä hôû.
32
Tải về để xem bản đầy đủ
60 trang
09/01/2024
6440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_ta_toan_hoc_phan_t.pdf
