Giáo trình Cơ sở điều khiển tự động

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

CƠ SỞ

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

CƠ SỞ

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Biên soạn :

Ths. ĐẶNG HOÀI BẮC

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

LỜI NÓI ĐẦU

Lịch sử phát triển của điều khiển tự động được ghi nhận từ trước công nguyên, bắt đầu từ

đồng hồ nước có phao điều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp. Hệ điều chỉnh nhiệt độ đầu tiên do Cornelis

Drebble (1572 - 1633) người Hà Lan sáng chế. Hệ điều chỉnh mức đầu tiên là của Polzunou người

Nga (1765) Hệ điều chỉnh tốc độ được ứng dụng trong công nghiệp đầu tiên là của Jame Watt

(1769). Thế chiến lần thứ hai đòi hỏi sự phát triển về lý thuyết và ứng dụng để có những máy bay

lái tự động, những hệ điều khiển vị trí cúa loại pháo, điều khiển các loại vũ khí khác, điều khiển

tự động các rađa v.v… Những năm 1950, các phương pháp toán học và phân tích đã phát triển và

đưa vào ứng dụng nhanh chóng. ở Mỹ thịnh hành hướng nghiên cứu trong miền tần số với các

công trình ứng dụng của Bode, Nyquist và Black ở các trung tâm thí nghiệm điện tín. Trong khi

ấy, ở Liên Xô (cũ) ngự trị lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng trong miền thời gian.

Từ những năm 1980, máy tính số bắt đầu được sử dụng rộng rãi, cho phép điều khiển với độ

chính xác cao các đối tượng khác nhau. Các phương pháp của Liapunou, Minorsky cũng như lý

thuyết điều khiển tối ưu hiện đại của L.S. Pontryagin (Liên Xô cũ), của R.Belman (Mỹ) có ý

nghĩa rất lớn. Các nguyên tắc điều khiển thích nghi, điều khiển bền vững, điều khiển mờ, các “hệ

thông minh” v.v… ra đời và được áp dụng có hiệu quả vào thực tiễn.

Nhìn chung, cơ sở điều khiển tự động là môn học trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ

bản để phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển kỹ thuật trong miền thời gian và miền tần số

bằng công cụ toán học. Trong sách hướng dẫn học tập này, chúng ta tập trung xét các hệ thống

trong miền liên tục và miền rời rạc, đề cập đến các vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết hệ thống điều

khiển được ứng dụng cho kỹ thuật. Các phương pháp được đề cập đến để phân tích và tổng hợp hệ

thống là phương pháp kinh điển khảo sát theo hàm truyền đạt của hệ thống và phương pháp không

gian trạng thái. Nội dung chính sẽ bao gồm 7 chương:

Chương 1: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ liên tục.

Chương II. Các đặc tính của hệ thống ĐKTĐ liên tục.

Chương III. Khảo sát tính ổn định của hệ thống ĐKTĐ liên tục.

Chương IV. Khảo sát chất lượng hệ thống ĐKTĐ liên tục.

Chương V. Tổng hợp hệ thống ĐKTĐ liên tục.

Chương VI. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ rời rạc.

Chương VII. Phân tích và tổng hợp hệ thống ĐKTĐ rời rạc.

Ngày nay, các công cụ để điều khiển đều biến đổi nhanh chóng và hoàn thiện, nhưng những

nguyên lý cơ bản vẫn không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể. Các vấn đề được đề cập trong

sách hướng dẫn này dựa trên các giáo trình về Điều khiển tự động trong và ngoài nước nhưng

được tóm tắt và cô đọng giúp học viên nắm được những vấn đề cơ bản nhất của môn học.

Vì thời gian có hạn, chắc còn một số sai sót không tránh khỏi, nhóm biên soạn mong nhận

được các góp ý của người đọc để hoàn thiện trong các lần xuất bản sau.

Tác giả

3

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

CHƯƠNG I. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC

NỘI DUNG

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Trong mọi hoạt động của con người, ở bất cứ lĩnh vực nào, bất cứ vị trí nào đều liên quan

đến hai từ điều khiển. Trong khoa học, tồn tại một ngành khoa học đã và đang phát triển mạnh

mẽ, đó là điều khiển học.

Điều khiển học là khoa học nghiên cứu về các quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều

khiển trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học công nghệ, môi trường... Điều khiển học chia

ra làm nhiều lĩnh vực khác nhau gồm điều khiển học toán học, điều khiển học sinh học, điều khiển

học kỹ thuật...

Điều khiển học kỹ thuật là khoa học nghiên cứu về quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều

khiển các quá trình và hệ thống thiết bị kỹ thuật. Khái niệm điều khiển được hiểu là tập hợp tất cả

các tác động mang tính tổ chức của một quá trình nhằm đạt được mục đích mong muốn của quá

trình đó. Hệ thống điều khiển mà không có sự tham gia trực tiếp của con người trong quá trình

điều khiển được gọi là điều khiển tự động.

Chương này đề cập đến các vấn đề sau:

+ Khái niệm chung về hệ thống điều khiển, phân tích sơ đồ khối của một hệ thống điều

khiển thông thường và các phân lọai các hệ thống điều khiển.

+ Mô tả toán học các hệ thống điều khiển trong miền thời gian và trong miền tần số. Các

cách biểu diễn hệ thống điều khiển tự động (ĐKTĐ) và mối quan hệ giữa chúng.

1.1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tự động điển hình.

Một hệ thống ĐKTĐ gồm ba thành phần cơ bản là đối tượng điều khiển (Object - O), thiết

bị điều khiển (Controller - C) và thiết bị đo lường (Measuring Device - M).

Đối tượng điều khiển là thành phần tồn tại khách quan có tín hiệu ra là đại lượng cần được

điều khiển và nhiệm vụ cơ bản của điều khiển là phải tác động lên đầu vào của đối tượng điều

khiển sao cho đại lượng cần điều khiển đạt được giá trị mong muốn. Thiết bị điều khiển là tập hợp

tất cả các phần tử của hệ thống nhằm mục đích tạo ra giá trị điều khiển tác động lên đối tượng.

Giá trị này được gọi là tác động điều khiển.

Đại lượng cần điều khiển còn được gọi là đại lượng ra của hệ thống ĐKTĐ. Những tác

động từ bên ngoài lên hệ thống được gọi là tác động nhiễu.

Có ba phương thức điều khiển là phương thức điều khiển theo chương trình, phương thức

bù nhiễu và phương thức điều khiển theo sai lệch.

Trong phương thức điều khiển theo chương trình, tín hiệu điều khiển được phát ra do một

chương trình định sẵn trong thiết bị điều khiển. Với phương thức bù nhiễu, tín hiệu điều khiển

được hình thành khi xuất hiện nhiễu loạn tác động lên hệ thống, tín hiệu điều khiển phát ra nhằm

bù lại sự tác động của nhiễu loạn để giữ cho giá trị ra của đại lượng cần điều khiển không đổi. Vì

vậy hệ bù nhiễu còn được gọi là hệ bất biến.

4

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Trong kỹ thuật thường sử dụng phương thức điều khiển theo sai lệch, trong đó tín hiệu điều

khiển là sự sai lệch giữa giá trị mong muốn và giá trị đo được của đại lượng cần điều khiển. Sơ đồ

cấu trúc của hệ điều khiển tự động theo sai lệch được mô tả trên hình 1.1.

y

x

u

e

C

O

f

M

Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tự động điên hình

Các tín hiệu tác động trong hệ thống:

u : tín hiệu vào (input)

y : tín hiệu ra (output)

x : tín hiệu điều khiển tác động lên đối tượng (O)

e : sai lệch điều khiển

f : tín hiệu phản hồi

Hệ thống ĐKTĐ luôn tồn tại một trong hai trạng thái là trạng thái xác lập (trạng thái tĩnh)

và trạng thái quá độ (trạng thái động). Trạng thái xác lập là trạng thái mà tất cả các đại lượng của

hệ thống đều đạt được giá trị không đổi. Trạng thái quá độ là trạng thái kể từ thời điểm có tác

động nhiễu cho đến khi hệ thống đạt được trạng thái xác lập mới. Lý thuyết điều khiển tự động tập

trung mô tả và phân tích trạng thái quá độ của hệ thống. Trạng thái xác lập đánh giá độ chính xác

của quá trình điều khiển. Nếu ở trạng thái xác lập vẫn còn tồn tại sai lệch giữa tín hiệu chủ đạo và

tín hiệu đo, giá trị này được gọi là sai lệch dư (hay sai lệch tĩnh), ký hiệu là ∂ , hệ thống được gọi

là hệ thống có sai lệch dư. Nếu ∂ = 0 thì gọi là hệ thống không có sai lệch dư.

1.1.2 Phân loại hệ thống điều khiển tự động.

Có rất nhiều cách phân loại hệ thống ĐKTĐ. Mục đích của phần này không phải nhằm đi

sâu các cách phân loại hệ thống mà đi sâu một cách phân loại để chúng ta thấy được vị trí, giới

hạn của phần lý thuyết mà mình đang nghiên cứu. Với mục đích đó, hệ thống ĐKTĐ được phân

làm hai loại chính, phụ thuộc vào tính chất của các phần tử trong hệ thống là hệ thống tuyến tính

và hệ thống phi tuyến.

- Hệ tuyến tính là hệ thống mà tất cả các phần tử của nó đều là tuyến tính.

- Hệ phi tuyến là hệ thống mà chỉ cần một trong các phần tử của nó là phi tuyến.

Nội dung cơ bản nhất của lý thuyết điều khiển tự động là đi sâu nghiên cứu hệ tuyến tính.

Đặc trưng cơ bản nhất của các phần tử tuyến tính là nguyên lý xếp chồng, nghĩa là khi có một tổ

hợp tín hiệu tác động ở đầu vào của phần tử thì tín hiệu ra sẽ bằng tổ hợp tương ứng của các tín

hiệu ra thành phần. Hệ thống phi tuyến không có tính chất này.

5

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Dựa vào tính chất truyền tín hiệu mà hệ thống tuyến tính lại được phân ra làm hai loại là hệ

thống liên tục tuyến tính và hệ thống rời rạc tuyến tính. Các khái niệm liên tục và rời rạc ở đây

được hiểu theo biến thời gian.

- Hệ thống liên tục tuyến tính nếu tất cả các tín hiệu xuất hiện trong hệ thống đều là

tín hiệu liên tục theo thời gian.

- Hệ thống rời rạc tuyến tính nếu chỉ cần một tín hiệu xuất hiện trong hệ thống tín

hiệu rời rạc theo thời gian.

Dựa vào lượng thông tin thu thập được ban đầu về đối tượng điều khiển và tính chất của nó

mà ta phải xây dựng được hệ thống thiết bị điều khiển thích hợp, đảm bảo được chất lượng của

điều khiển. Do đó, hệ thống liên tục tuyến tính được phân ra làm hai loại là hệ điều khiển thông

thường và hệ điều khiển tự thích nghi.

Hệ thống tuyến tính được xây dựng cho những đối tượng mà các thông tin ban đầu về

chúng khá đầy đủ. Trong hệ thống này, cấu trúc và tham số của thiết bị điều khiển là không đổi

với đối tượng điều khiển cụ thể. Đối với những đối tượng điều khiển mà thông tin ban đầu không

đầy đủ hay quá trình công nghệ có yêu cầu đặc biệt thì hệ thống tuyến tính không đáp ứng được

thì phải xây dựng hệ thống thích nghi. Đối với hệ thống thích nghi, ngoài cấu trúc thông thường,

trong thiết bị điều khiển còn có một số thiết bị đặc biệt khác thực hiện chức năng riêng của nó

nhằm đảm bảo chất lượng của quá trình điều khiển.

Hệ thống ĐKTĐ còn được phân ra làm hai loại là hệ thống hở và hệ thống kín. Đối với hệ

thống hở, tín hiệu của đại lượng cần điều chỉnh không được sử dụng trong quá trình tạo ra tác

động điều khiển. Hệ thống kín sử dụng phương pháp điều khiển theo sai lệch. Tín hiệu đo được

của đại lượng cần điều khiển được đưa phản hồi trở lại đầu vào hệ thống và được sử dụng trong

quá trình tạo ra tác động điều khiển.

Việc phân loại các hệ thống ĐKTĐ trên đây chỉ là một cách. Tuy nhiên, giữa các loại hệ thống

này có liên quan mật thiết với nhau, ví dụ như trong hệ tuyến tính có hệ liên tục và hệ rời rạc…

1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ ĐỘNG HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ

ĐỘNG.

Các đặc tính quan trọng của hệ thống điều khiển tự động bao gồm: đặc tính tĩnh, đặc tính

động, các đặc tính thời gian và các đặc tính tần số.

Đặc tính tĩnh đưa ra quan hệ vào ra của hệ th ống ở trạng thái xác lập, nó thể hiện độ chính

xác điều khiển của hệ thống.

Đặc tính động của hệ thống thường được mô tả bằng hàm truyền đạt. Nếu thay p = jω

trong công thức tính hàm truyền đạt, ta nhận được hàm truyền tần số và từ đây có thể khảo sát đặc

tính động học của hệ thống thông qua đặc tính tần số của nó.

1.2.1 Mô tả hệ thống trong miền thời gian

1.2.1.1 Hàm truyền đạt của hệ thống

Mối quan hệ vào – ra trong hệ thống ĐKTĐ thường được biểu diễn thông qua hàm truyền đạt:

Y p =W p .U p

( ) ( ) ( )

(1.1)

6

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

trong đó:

Y p là tín hiệu ra của hệ thống

( )

U p là tín hiệu vào của hệ thống

( )

W p là hàm truyền đạt của hệ thống

( )

Định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ

thống đó biểu diễn theo biến đổi Laplace với điều kiện đầu triệt tiêu.

L y t

( )

{

}

W p =

( )

(1.2)

L u t

( )

{

}

với L là biến đổi Laplace.

Một hệ thống điều khiển tự động thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân

(PTVP) dạng tổng quát:

dⁿy

dⁿ⁻¹y

dy

+...+a_n−1+a_ny=b

d^mu d^m−1

y

du

+…+b_m−1+b_mu

dt

(1.3)

a

+a

+b

0

⁰dtⁿ¹dtⁿ⁻¹

dtⁿ¹dtⁿ⁻¹

dt

trong đó a ₀÷ a_n, b₀÷ b_mlà các hệ số và n ≥ m

Với điều kiện đầu triệt tiêu:

1

n

( )

0 = ... = y^{( )}0 = 0

⎧

⎪

⎨

⎩

y 0 = y

( )

( ) ( )

(1.4)

1

( )

n

0 = ... = u^{( )}0 = 0

⎪

u 0 = u

( )

( ) ( )

Biến đổi Laplace của (1.3) ta có hàm truyền đạt của HTĐKTĐ là:

( ) b₀p^m+ b p^m−1+...+ b_m−1p + b_m

Y p

1

W p =

( )

=

(1.5)

(1.6)

a₀pⁿ+ a₁pⁿ⁻¹+...+ a_n−1p + a_n

U p

( )

a₀pⁿ+ a₁pⁿ⁻¹+...+ a_n−1p + a_n= 0

(1.6) được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng (PTĐT) của hệ thống

ĐKTĐ.

Trong biểu thức (1.5), các nghiệm của đa thức tử số được gọi là các điểm không (zero), còn

các nghiệm của đa thức mẫu số được gọi là các điểm cực (pole).

1.2.1.2 Phương trình trạng thái mô tả hệ thống

Để hiểu rõ về cách xây dựng phương trình trạng thái, ta hãy xét một mạch lọc tương tự

RLC như sau:

L

R

i

C

7

U₁

U₂

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Từ sơ đồ này ta có các phương tr ình mô tả vào ra hệ thống như sau

di 1

⎧

U₁= iR + L

+

idt

(1)

(2)

∫

⎪

dt C

⎨

⎪

1

U₂=

idt

∫

⎪

⎩

C

Ta thấy rằng các trạng thái của mạch sẽ phụ thuộc i và U₂. Để xây dựng mô hình toán ta

đặt:

U₂= x₁

i = x₂

x₁, x₂được gọi là biến trạng thái, tạo ra một không gian trạng thái mô tả các trạng thái của

mạch điện trên. Trong bài toán điều khiển tự động người ta quan tâm đến tốc độ biến thiên của

ꢀ ꢀ

trạng thái: x , x (đạo hàm hay vi phân bậc 1 của x₁, x₂).

1

2

1

⎫

⎧

ꢀ

(2) →x = x₂

x =0.x + .x₂+0.U₁

1

⎪

C

−1

C

R

⇔

⎬

⎪

⎨

⎪

R

1

−1

1

ꢀ

(1) → x₂= x − x₂+ U₁

x₂= x − x₂+ U₁

1

⎪

⎩

L

⎭

L

Biểu diễn dưới dạng ma trận, ta có:

1

C

R

⎡

⎤

⎥

ꢀ

x

⎡ ⎤

1

⎡ ⎤

0

1

⎡ ⎤

⎢

⎢ ⎥

=

+

U₁

1

⎢ ⎥

−1

⎢ ⎥

ꢀ

⎢ ⎥

x₂

⎣L⎦

⎣ ⎦

ꢂꢃꢄ

ꢁ

_ꢂꢅꢃꢅ_L_ꢄ_⎦ꢁ

⎣ L

B.U

ꢀ

X

A

ꢀ

⇔ X = AX + BU

(*)

(*): gọi là phương trình trạng thái mô tả hoạt động của mạch RLC trên.

Như vậy thay vì ta phải nghiên cứu từ mạch điện cụ thể, từ phương trình trạng thái, dưới

góc độ toán học ta hoàn toàn có thể thể hiện toàn bộ các hoạt động của mạch điện với các kết quả

tương tự như khi nghiên cứu trên mạch cụ thể.

Với A, B là các ma trận trạng thái quyết định việc thay đổi các trạng thái của hệ. Ma trân A

được gọi là ma trận chuyển trạng thái.

Đối với các hệ thống phức tạp, ta có dạng tổng quát của phương trình trạng thái và phương

trình ra là:

ꢀ

⎧x = f x,u,t

(

)

⎪

(1.7)

⎨

y = g x,u,t

(

⎪

⎩

ꢀ

trong đó: x, x, f : là các vector n chiều

u : là các vector r chiều

8

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

y, g : là các vector m chiều

Nếu hệ tuyến tính thì (1.7) được viết dưới dạng phương trình trạng thái dạng tổng quát

mô tả một hệ thống ĐKTĐ bất kỳ như sau:

ꢀ

⎧x = A t x + B t u

( )

⎪

(1.8)

⎨

y = C t x + D t u

( ) ( )

⎪

⎩

(các hệ số của ma trận là hàm thay đổi theo thời gian)

Nếu hệ thống tuyến tính là dừng, tức A, B, C, D là ma trận hằng số (không đổi theo thời

gian) thì ta có hệ phương trình trạng thái:

ꢀ

x = Ax + Bu

⎧

⎨

⎩

(1.9)

y = Cx + Du

trong đó:

a

a₁₂... a_1n

b

... b

1r

⎡

⎢

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

11

12

a₂₁a₂₂... a_2n

b₂₁b₂₂... b_2r

A =

, B =

...

... ... ...

... ... ... ...

a

a_n2... a_{nn ⎦}

b

b_n2... b_{nr ⎦}

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ⁿ¹

c

c₁₂... c_1n

d

d₁₂... d_1r

⎡

⎢

⎤

⎡

⎢

⎤

⎥

11

⎥

c₂₁c₂₂... c_2n

d₂₁d₂₂... d_2r

C =

, D =

...

... ... ...

...

... ... ...

c

⎣ ^m1

c_m2... c_{mn ⎦}

d

⎣ ^m1

d_m2... d_{mr ⎦}

⎢

⎥

⎢

⎥

Sau khi được biểu diễn bởi phương trình trạng thái như (1.8), (1.9) ta sẽ có sơ đồ cấu trúc

dạng tổng quát biểu diễn như hình vẽ

D

+

x t

( )

y t

( )

u t

( )

ꢀ

x t

( )

+

t

B

C

dτ

( )

∫

0

+

A

Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc tổng quát theo phương trình trạng thái của hệ liên tục

1.2.1.3 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt cho trước.

* Nếu đặc tính động học của hệ thống được mô tả bằng PTVP dạng:

9

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

dⁿy

dⁿ⁻¹y

dy

(1.10)

(1.11)

a

+a

+...+a_n−1+a_ny=ku

⁰dtⁿ¹dtⁿ⁻¹

với u là tác động đầu vào của hệ thống.

Hàm truyền đạt của hệ có dạng:

dt

k

W p =

( )

a₀pⁿ+ a₁pⁿ⁻¹+...+ a_n−1p + a_n

Giải phương trình (1.10), ta tìm được hàm y t , nghĩa là biết được sự thay đổi của tín hiệu

( )

ra theo thời gian khi có tác động đầu vào. Có thể chuyển (1.10) thành n PTVP bậc nhất bằng cách

thay đổi biến số:

y = y

⎧

⎪

1

dy₁

= y₂− A y

1 1

dt

dy₂

dt

= y₃− A₂y₁

⎪

⎨

Đặt:

...

⎪

dy_n−1

dt

= y_n− A_n−1y₁

⎪dy_n

= ku − A_ny₁

⎪

dt

⎩

Vậy ta có phương trình trạng thái mô tả hệ thống:

ꢀ

x = Ax + Bu

⎧

⎨

⎩

y = Cx

−A 1 ... 0

0

⎡

⎢

⎤

⎥

⎡ ⎤

1

⎢ ⎥

−A₂0 ... 0

0

⎢ ⎥

với A =

, B =

, C = 1 0 ... 0

[

]

⎢ ⎥

... ... ... ...

...

⎢ ⎥

−A 0 ... 0

k

⎢

⎣

⎥

n

⎦

⎣ ⎦

ꢀ

y_n−1

y = y₁

ꢀ

y₂

u

ꢀ

y_n

y₂

ꢀ

y₁

1

k₀

p

A_n

A_n−1

A₂

A

1

Hình 1.3 Sơ đồ cấu trúc hệ thống

10

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

+

y

y t

( )

u t

( )

ꢀ

y

+

t

B

C

dτ

( )

∫

0

+

A

Hình 1.4 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ

* Nếu đặc tính động học của hệ thống được mô tả bằng PTVP dạng:

dⁿy dⁿ⁻¹y d^mu ^m−1y

dy

+...+a_n−1+a_ny=b

d

du

+…+b_m−1+b_mu

dt

(1.12)

(1.13)

a

+a

+b

dtⁿ¹dtⁿ⁻¹

0

⁰dtⁿ¹dtⁿ⁻¹

dt

thì hàm truyền đạt của hệ thống có dạng:

B₀p^m+ B p^m−1+...+ B_m−1p + B_m

1

W p =

( )

pⁿ+ A pⁿ⁻¹+...+ A_n−1p + A_n

1

với B_i= b a₀, A = a_ia₀.

i

y = y

⎧

1

⎪

dy₁

= y₂− A y + B₀u

1 1

dt

dy₂

dt

= y₃− A₂y₁+ B u

⎪

⎨

1

Đặt:

...

⎪

dy_n−1

dt

= y_n− A_n−1y₁+ B_m−1u

⎪dy_n

= B_mu − A_ny₁

⎪

dt

⎩

Vậy ta có phương trình trạng thái mô tả hệ thống:

ꢀ

x = Ax + Bu

⎧

⎨

⎩

y = Cx

−A 1 ... 0

B

0

⎡

⎢

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

1

−A₂0 ... 0

B

1

với A =

, B =

, C = 1 0 ... 0

[

]

... ... ... ...

...

−A 0 ... 0

B

⎣ ^m⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

n

⎦

11

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

B_m−1

B

B₀

1

ꢀ

y_n

ꢀ

y_n−1

y = y₁

y_n

ꢀ

y₂

ꢀ

y₁

1

B_m

u

p

A₂

A

A_n

A_n−1

1

Hình 1.5 Sơ đồ cấu trúc hệ thống

+

y

y t

( )

u t

( )

ꢀ

y

+

t

B

C

dτ

( )

∫

0

+

A

Hình 1.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ

1.2.2 Mô tả hệ thống trong miền tần số

Để xác định các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết phải xác định hàm truyền đạt của nó,

sau đó thay p = jω vào, ta sẽ nhận được hàm truyền tần số để từ đó xét các đặc tính tần số của hệ

thống.

Thông thường, hệ thống ĐKTĐ được phân ra thành hệ thống hở và hệ thống kín.

Y

U

Y

W_h

p

( )

W_h

p

( )

(a)

(b)

Hình 1.7 Sơ đồ hệ thống hở (a) và hệ thống kín (b)

Gọi W_hp là hàm truyền đạt của hệ hở và W p là hàm truyền đạt của hệ kín thì ta có

( )

k

mối quan hệ giữa chúng là:

W_h

p

( )

W_kp =

( )

(1.14)

1+W_h

p

( )

12

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

1.2.2.1 Các đặc tính tần số của hệ hở

Giả sử hệ thống hở được mô tả bởi hàm truyền đạt:

W_hp =W p .W p ...W p

n

(1.15)

(1.16)

( )

1

2

Nếu hàm truyền tần số của các phần tử được mô tả dưới dạng:

W jω = A ω .e ^{jϕ ω}

( )

(

)

i

(

)

i

thì hàm truyền tần số của hệ hở được tính theo biểu thức:

n

j

ϕ ω

(

i

)

∑

i=1

W_hjω =

A ω .e

( )

(1.17)

(

)

i

∏

i=1

Các đặc tính tần số của hệ hở sẽ là:

- Đặc tính biên tần (BT):

n

A ω =

( )

A ω

( )

(1.18)

(1.19)

(1.20)

i

∏

i=1

- Đặc tính pha tần (hay pha tần logarithm – PT- PTL)

n

ϕ ω = ϕ ω

( )

i

∑

i=1

- Đặc tính biên tần logarithm (BTL)

n

L ω = 20lg A ω =

( ) ( )

20lg A ω =

( )

L ω

( )

i

∑

i=1

Như vậy, đặc tính BTL và PTL của hệ hở bằng tổng đại số của các đặc tính BTL và PTL

của các phần tử thành phần.

1.2.2.2 Đặc tính tần số của hệ kín

Nếu hàm truyền tần số của hệ hở được biểu diễn theo công thức (1.17) thì theo (1.14),

(1.18), (1.19), ta có hàm truyền tần số của hệ kín là:

A ω e ^{jϕ ω}

A ω

( )

(

)

( )

W_kjω =

=

(1.21)

(

)

1+ A ω e ^{jϕ ω}

e^{− jϕ ω}⁾+ A ω

(

)

(

( )

Sử dụng công thức Eurler:

e^{− jϕ ω}= cosϕ ω − jsinϕ ω

( ) ( )

(1.22)

(

)

ta được:

13

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

A ω

( )

W_kjω =

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(

)

A ω + cosϕ ω − jsinϕ ω

( )

Tách phần thực và phần ảo ta có:

A ω ⎡A ω + cosϕ ω ⎤

( ) ( ) ( )

A ω sinϕ ω

( ) ( )

⎣

⎦

W_kjω =

+ j

(

)

1+ A²ω + 2cosϕ ω A ω

( ) ( ) ( )

- Đặc tính BT của hệ kín

A ω

( )

A ω =

( )

k

1+ A²ω + 2cosϕ ω A ω

( ) ( ) ( )

- Đặc tính PT của hệ kín:

sinϕ ω

( )

ϕ ω = arctg

( )

(1.26)

k

A ω + cosϕ ω

( ) ( )

Như vậy có thể dựa vào các công thức trên để xây dựng các đặc tính tần số của hệ thống

kín.

1.3 CÁC QUY TẮC BIẾN ĐỔI SƠ ĐỒ KHỐI

1.3.1 Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

Các phần tử được gọi là mắc nối tiếp nhau nếu tín hiệu ra của phần tử trước là tín hiệu vào

của phần tử sau. Tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu vào của phần tử đầu tiên và tín hiệu ra của

hệ thống là tín hiệu ra của phần tử cuối cùng. Sơ đồ của các phần tử mắc nối tiếp được mô tả trên

hình 1.8.

U

Y

U₁

U₂

W

W₂

W_n

W .W₂...W_n

1

Hình 1.8 Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

Từ hình 1.8 ta có:

W =U₁U

1

W₂=U₂U₁

…

W_n= Y U_n−1

Vậy hàm truyền đạt của hệ thống:

Y

W p = =W .W₂...W_n

(1.27)

( )

1

U

14

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

1.3.2 Hệ thống gồm các phần tử mắc song song

Hệ thống được xem là gồm các phần tử mắc song song nếu tín hiệu vào của hệ thống là tín

hiệu vào của các phần tử thành phần còn tín hiệu ra của hệ thống bằng tổng đại số của các tín hiệu

ta của từng phần tử thành phần. Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc song song được mô tả trên

hình 1.9.

Từ hình 1.9 ta có:

Y =W U

1

Y₂=W₂U

…

Y_n=W_nU

Với Y = Y ₁+Y₂+...+Y_n

Vậy hàm truyền đạt của hệ thống:

Y

W p = =W +W₂+...+W_n

( )

(1.28)

1

U

U₁=U

U₂=U

W

1

Y

1

U

Y

Y₂

Y

W₂

W +W₂+...+W_n

1

U

Y_n

U_n=U

W_n

Hình 1.9 Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc song song

1.3.3 Hệ thống có mạch mắc phản hồi (hồi tiếp)

Hệ thống có mạch mắc phản hồi gồm hai loại là phản hồi âm và phản hồi dương.

Đối với phản hồi dương: tín hiệu ra của hệ thống chính là tín hiệu được đưa về phản hồi còn

trong phản hồi âm, tín hiệu đó có thêm dấu âm.

e

U

Y

W

1

F

+

W₂

(a)

(b)

Hình 1.10 Sơ đồ hệ thống có mạch phản hồi âm (a) và dương (b)

15

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

*Xét hệ thống có phản hồi âm (hình 1.10a):

e =U − F

Y=W .e

1

Z =W₂.Y

Giải ra ta có:

Y

W

1

W p =

( )

=

(1.29)

(1.30)

U

1+W W₂

1

* Xét hệ thống có phản hồi dương: e =U + F

Y

W

1

W p =

( )

U

1−W W

1 2

1.3.4 Chuyển đổi vị trí các tín hiệu

Chuyển đổi vị trí các tín hiệu là công cụ để chuyển sơ đồ khối các mạch liên kết phức tạp

sang các mạch liên kết đơn giản như mắc song song, nối tiếp, hồi tiếp để từ đó có thể sử dụng các

quy luật đã nêu trên nhằm xác định hàm truyền đạt của hệ thống. Nguyên tắc của việc chuyển đổi

là không làm thay đổi sự truyền tín hiệu trong hệ thống.

1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệu vào

* Từ trước ra sau một khối:

U₁

W

U₁

U₂

Y

U₂

W

(a)

Hình 1.11 Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối

Từ hình 1.11 (a) và (b) ta có: Y =WU₁+WU₂

(b)

Vậy tín hiệu U₁chuyển từ trước ra sau một khối thì tín hiệu đó phải đi qua một khối mới có

hàm truyền đạt chính bằng khối đó.

* Từ sau ra trước một khối:

U₁

U₂

1 W

U₁

U₂

Y

W

(a)

(b)

Hình 1.12 Chuyển tín hiệu vào từ sau ra trước một khối

16

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Từ hình 1.12 (a) và (b) ta có: Y =U₁+WU₂

Vậy tín hiệu U₁chuyển từ sau ra trước một khối thì tín hiệu đó phải đi qua một khối mới có

hàm truyền đạt chính bằng nghịch đảo của khối đó.

1.3.4.2 Chuyển đổi tín hiệu ra

* Từ trước ra sau một khối:

Y

1

Y

1 W

1

Y₂

U

W

Y₂

W

(a)

(b)

Hình 1.13 Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối

* Từ sau ra trước một khối:

Y

1

Y

W

1

Y₂

U

W

Y₂

(a)

(b)

Hình 1.14 Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối

1.3.4.3 Các bộ cộng, điểm rẽ nhánh liền nhau có thể đổi chỗ cho nhau

Y

U₁

U₂

U₃

U₂

U₃

(a)

(b)

Y

U

Z₂

Z₁

(b)

Z₁

Z₂

(a)

Hình 1.15 Các bộ cộng, điểm rẽ nhánh có thể chuyển vị trí cho nhau

17

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Ví dụ 1.1: Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có sơ đồ như hình 1.16:

W₆

+

B

Y

U

W₁

W₂

W₃

W₄

A

W₅

Hình 1.16

Để tính được hàm truyền đạt của hệ thống, ta phải chuyển hệ thống về dạng có thể áp dụng

được các công thức trong phần 1.3. Có nhiều cách thực hiện như:

-

Cách 1: Chuyển A về B (chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước khối W₃), sau đó hoán đổi vị trí

của A và B.

-

Cách 2: Chuyển B về A (chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau khối W₃), sau đó hoán đổi vị trí

của A và B.

Sau đây ta sẽ thực hiện theo cách 1, khi đó ta có hệ thống tương đương như trên hình 1.17.

Từ hình 1.17, ta có thể tính hàm truyền đạt của ba khâu W₂, W₃, W₆và có hệ thống tương

đương như hình 1.18:

W₂

W₂₃₆

=

1−W₂.W₃.W₆

W₆

W₃

+

B

Y

U

W₃

W₁

W₂

W₄

A’

W₅

Hình 1.17

18

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

B

Y

U

W₃

W₁

W₂₃₆

W₄

W₅

Hình 1.18

Từ hình 1.18:

W .W₂₃₆

1

W

=

12356

1+W_5.W₁.W₂₃₆

Hàm truyền đạt hở của hệ thống:

Hàm truyền đạt kín của hệ thống:

W_h=W₁₂₃₅₆.W₃.W₄

W_h

W_k=

1+W_h

1.4 GRAPH TÍN HIỆU

Được dùng để xác định hàm truyền đạt của hệ thống ĐKTĐ với các đặc điểm sau:

Graph là đồ hình gồm các nhánh và các nút.

-

Mỗi một nút của graph được biểu diễn bằng một điểm và ghi tên một đại lượng nào đó

trong hệ thống điều khiển. Nút gốc là lượng vào, nút ngọn là lượng ra của một khâu nào

đó.

X _j

-

Một nhánh nối nút gốc và nút ngọn có mũi tên, trên đó ghi giá trị

hàm truyền đạt tương ứng với một khâu nào đó (hình 1.19). Hàm

truyền đạt của một nhánh bằng tỉ số giữa giá trị nút ngọn và giá

trị nút gốc:

W_ij

Hình 1.19

X_i

W_ij= X _jX_i

Tương tự như sơ đồ cấu trúc, sự liên kết của các nhánh riêng lẻ tạo thành một graph tín hiệu

cho một hệ thống điều khiển.

* Các quy tắc biến đổi của graph:

-

Các nhánh nối tiếp:

X₂

X₁

X₂

X₃

X₁

W₁

W₁.W₂

Hình 1.20

19

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

-

Các nhánh song song:

W₁

W₂

X₂

X₁

X₂

W₁+W₂

Hình 1.21

-

Phản hồi dương (âm)

W₁

W₂

X₂

X₁

X₂

W

1

1±W .W₂

1

Hình 1.22

-

Khử nhánh tạo vòng kín:

W₂

X₃

X₁

W .W₃

X₂

W₁

1

1−W₂

Hình 1.23

* Sự tương quan giữa sơ đồ cấu trúc hệ thống và graph tín hiệu trong hệ thống điều khiển

Hình 1.23 là graph tín hiệu biểu diễn hệ thống có sơ đồ cấu trúc như hình 1.24.

X₂

X₃

X₁

W₁

W₃

+

W₂

Hình 1.24

Theo hình 1.23 ta có:

X₂=W X +W₂X₂

1 1

20

Giáo trình Cơ sở điều khiển tự động - Đặng Hoài Bắc