Bài giảng Điều khiển số - Chương 5: Tính ổn định của hệ thống điều khiển số

C.5: TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

ÔN LẠI KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

• Phân biệt sự khác nhau giữa trạng thái

xác lập của hệ thống và tính ổn định của

hệ thống

5.1. Định nghĩa

• Hệ thống ổn định là hệ thống có quá trình

quá độ tắt dần theo thời gian.

• Hệ thống không ổn định là hệ thống có

quá trình quá độ tăng dần theo thời gian.

• Hệ thống ở biên giới ổn định là hệ thống

có quá trình quá độ không đổi hoặc dao

động không tắt dần.

Î Muốn xác định tính ổn định của hệ thống

thì phải xác định hàm quá độ: giải phương

trình vi phân.

5.2. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC TUYẾN TÍNH

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính ổn định là tất cả các nghiệm của phương

trình đặc tính đều có phần thực âm.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính không ổn định là có ít nhất một nghiệm của

phương trình đặc tính có phần thực dương.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính ở biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm

của phương trình đặc tính có phần thực bằng

không và tất cả các nghiệm còn lại đều có phần

thực âm.

a₀pⁿ+ a₁pⁿ⁻¹+⋅⋅⋅+ a_n−1p + a_n= 0

Phương trình đặc tính:

p_i= α_i+ jβ_i;

i =1,...,n

Nghiệm của phương trình đặc tính:

Điều kiện cần và đủ về tính ổn định của

hệ thống điều khiển liên tục tuyến tính

Hệ thống ổn định

⇔ ∀α_i< 0

⇔ ∃!α_i> 0

Hệ thống không ổn định

Hệ thống ở biên giới ổn định

⇔ ∃!α_i= 0 ∧α _j< 0

j≠i

p

Nếu thể hiện nghiệm số của

phương trình đặc tính lên

mặt phẳng phức – được

gọi là mặt phẳng p thì các

nghiệm số có phần thực

âm nằm bên trái mặt

Không ổn định

Ổn định

phẳng phức; các nghiệm

số có phần thực dương

nằm bên phải mặt phẳng

phức; còn các nghiệm có

phần thực bằng không

nằm trên trục ảo. Như vậy

bên trái mặt phẳng phức

là miền ổn định, bên phải

mặt phẳng phức là miền

không ổn định, trục ảo là

biên giới.

Biên giới ổn

định

Có thể phát biểu lại đk cần và đủ

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính ổn định là tất cả các nghiệm của phương

trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính không ổn định là có ít nhất một nghiệm của

phương trình đặc tính nằm ở bên phải mặt

phẳng phức.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính ở biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm

của phương trình đặc tính nằm trên trục ảo và

các nghiệm khác nằm ở bên trái mặt phẳng

phức.

Các tiêu chuẩn ổn định

• Định nghĩa …

Î Các tiêu chuẩn ổn định

• Điều kiện cần và đủ …

1. Tiêu chuẩn ổn định đại sô:

- Tiêu chuẩn ổn định Routh

- Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

2. Tiêu chuẩn ổn định tần số:

- Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov

- Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: chỉ dành cho hệ thống kín

5.3. Điều kiện cần và đủ về tính ổn định của hệ

thống điều khiển số

1

p = ln z ⇒ z = e^pT

T

α + jβ T

)

⇒ z_i= e^pⁱ^T= e⁽

i

p_i= α_i+ jβ_i

z_i= e^αⁱ^T.e^jβⁱ^T= z_ie^jβⁱ^T

z_i= e^{α T}

i

α_i< 0 ↔ |z_i| < 1

α_i> 0 ↔ |z_i| > 1

α_i= 0 ↔ |z_i| = 1

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số

ổn định là tất cả các nghiệm của phương trình

đặc tính đều có modun nhỏ hơn 1.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số

không ổn định là có ít nhất một nghiệm của

phương trình đặc tính có modun lớn hơn 1.

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số ở

biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm của

phương trình đặc tính có modun bằng 1 và tất

cả các nghiệm còn lại đều có modun nhỏ hơn 1.

z

Nếu thể hiện nghiệm số của

phương trình đặc tính lên

mặt phẳng phức – được

gọi là mặt phẳng z thì các

nghiệm số có modun nhỏ

hơn 1 nằm bên trong

Biên giới

ổn định

Không ổn định

đường tròn đơn vị; các

nghiệm số có modun lớn

hơn 1 nằm bên ngoài

-1

1

Ổn định

đường tròn đơn vị; còn

các nghiệm có modun

bằng 1 nằm trên đường

tròn đơn vị. Như vậy bên

trong đường tròn đơn vị là

miền ổn định, bên ngoài

đường tròn đơn vị là miền

không ổn định, đường

tròn đơn vị là biên giới.

Ví dụ

1− e^−T

G(z) =

• Hệ thống có hàm truyền đạt:

z − e^−Tz − e^−2T

(

)(

)

Các cực của G(z) là:

1. z₁= e^-TÆ |z₁| = e^-T< 1

Æ Hệ thống đã cho ổn định

2. z₂= e^-2TÆ |z₂| = e^-2T< 1

1

G(z) =

• Hệ thống có hàm truyền đạt:

z²+ 4

Các cực của G(z) là:

1. z₁= j2 Æ |z₁| = 2 > 1

2. z₂= -j2 Æ |z₂| = 2 > 1

Æ Hệ thống đã cho không ổn định

p

z

v

Biên giới

ổn định

Không ổn định

Ổn định

x

-1

1

Ổn định

x

Biên giới ổn

định

z −1

v +1

−v +1

v = ; z =

z +1

Phép biến đổi lưỡng tuyến tính

Kết luận 1

• Sau khi thực hiện phép biến đổi lưỡng

tuyến tính, điều kiện cần và đủ về tính ổn

định của hệ thống điều khiển số cũng

giống như điều kiện cần và đủ về tính ổn

định của hệ thống điều khiển liên tục. Mặt

phẳng v cũng chính là mặt phẳng p

Kết luận 2

• Định nghĩa – giống nhau…

• Điều kiện cần và đủ - giống nhau …

Î Các tiêu chuẩn ổn định giống nhau

Î Sau khi thực hiện phép biến đổi

lưỡng tuyến tính, có thể sử dụng các

tiêu chuẩn ổn định của hệ thống điều

khiển liên tục để xét tính ổn định của hệ

thống điều khiển số

Ví dụ

1

• Xét tính ổn định của hệ thống có

G(z) =

hàm truyền đạt:

z²+ z + 0.5

∆(z) = z²+ z + 0.5

Đa thức đặc tính:

Thực hiện phép biến đổi lưỡng tuyến tính:

2

v +1

⎛

⎝

⎞

⎟

∆(z) _z=

=

+

+ 0.5

v+1

−v+1

⎜

−v +1 −v +1

0.5v²+ v + 2.5

⎠

⇒ ∆(v) = 0.5v²+ v + 2.5

2

1− v

( )

⇒ ∆(v) = 0.5v²+ v + 2.5

0.5 2.5

• Lập bảng Routh:

1

2.5

Î Hệ thống đã cho ổn định

• Đối với hệ thống có đa thức đặc tính bậc

một hoặc bậc hai, điều kiện cần cũng

chính là điều kiện đủ Î hệ thống đã cho

ổn định

5.4. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH JURY

• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 2:

∆(z) = a₀z²+ a₁z + a₂

•

∆(z) _z=1> 0

∆(z) _z=−1> 0

a₂< a₀

• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 3:

∆(z) = a₀z³+ a₁z²+ a₂z + a₃

•

∆(z) _z=1> 0

∆(z) _z=−1< 0

a₃< a₀

a₃²− a₀²> a₁a₃− a₀a₂