Giáo trình Hệ thống sản xuất tự động hóa với PLCs

7. BẢN ĐỒ KARNAUGH

Chủ đề:

 Các bảng trị chân lý và các bản đồ Karnaugh

Mục tiêu:

 Có khả năng đơn giản hóa các thiết kế với đại số Bun và các bản đồ Karnaugh

7.1 GIỚI THIỆU

Các bản đồ Karnaugh cho phép ta chuyển một bảng giá trị chân lý tới một biểu

thức Bun được rút gọn mà không sử dụng đại số Bun. Bảng chân lý trong hình 7.1 là

một mở rộng của ví dụ chuông chống trộm trước đây, một đầu vào chuông báo yên

lặng đã được thêm vào.

Cho

A, W, M, S như trước

Q= Chuông yên lặng

Bước 1:

Vẽ bảng trị chân lý

S

0

1

M

0

1

0

1

W

0

1

0

1

0

1

0

1

Q

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

A

0

1

0

1

0

1

Figure 7.1 Truth Table for a Burglar Alarm

Bảng chân lý cho một chuông chống trộm

Thay vì chuyển đổi trực tiếp thành một phương trình Bun, nó được đặt trong

dạng bảng như hình 7.2. Các hàng và các cột được lựa chọn từ các biến đầu vào. Giải

pháp của nó mà các biến dùng các hàng hoặc các cột có thể tùy ý – bảng sẽ có hình

thức khác, nhưng bạn vẫn sẽ nhận được một kết quả tương tự. Cho cả các hàng và cả

các cột các biến được sắp xếp để hiển thị các giá trị của các bit bằng cách dùng các

phép toán NOT. Trình tự này không là nhị phân, nhưng nó được tổ chức để chỉ một

trong số các bit là thay đổi trong một thời điểm, vì vậy thứ tự của các bit là 00, 01,

11, 10 – bước này là rất quan trọng. Các giá trị tiếp theo từ bảng chân lý mà có giá trị

là true được đưa vào trong bản đồ Karnaugh. Các giá trị zero (số không) cũng được

đưa vào, nhưng điều này là không cần thiết. Trong ví dụ này ba giá trị true từ bảng

chân lý đã được đưa vào trong bảng này.

Bước 2: Chia ra các biến đầu vào. Tôi chọn SQ và MV

Bước 3: Vẽ một bản đồ Karnaugh dựa trên các biến đầu vào

(Added for clarity: Thêm vào cho rõ ràng)

Ghi chú: Các đầu vào được bố trí để chỉ một bit thay đổi trong một thời điểm

cho bản đồ Karnaugh. Trong ví dụ trên nhớ rằng bất cứ vị trí liền kề nào, thậm chí các

đầu mút đỉnh/đáy và trái/phải đều theo quy tắc này. Điều này được làm để cho các

thay đổi là được nhóm lại một cách trực quan. Nếu mẫu này là không được sử dụng

thì nó sẽ khó hơn để nhóm các bit lại.

Figure 7.2 The Karnaugh Map – Bản đồ Karnaugh

Khi các bit đã được đưa vào trong bản đồ Karnaugh phải có vài mẫu rõ ràng. Các

mẫu này thông thường có một vài thứ là đối xứng. Trong hình 7.3 có hai mẫu đã

được khoanh tròn. Trong trường hợp này một trong số các mẫu là bởi vì có hai bit

bên cạnh nhau. Mẫu thứ hai là khó hơn để nhìn vì các bit bên trái và phải các cột là

bên cạnh nhau. (Ghi chú: Thậm chí bảng này có một cột bên trái và phải, các cạnh và

đỉnh/đáy bao quanh). Một vài bit được dùng hơn một lần, điều này dẫn tới một vài

sự dư thừa trong phương trình cuối cùng, nhưng nó sẽ cũng cho một biểu thức đơn

giản hơn.

Các mẫu này có thể sau đó được chuyển thành một phương trình Bun. Điều này

được làm bởi đầu tiên quan sát rằng mọi mẫu nằm trong hàng thứ ba, vì vậy biểu

thức này sẽ được thực hiện phép toán AND với SQ. Có hai mẫu trong hàng thứ ba,

một mẫu có M như là số hạng chung, mẫu thứ hai có W như là số hạng chung. Điều

này bây giờ có thể được kết hợp vào trong phương trình đó. Cuối cùng phương trình

này là C được chuyển thành logic bậc thang.

Bước 4: Tìm kiếm các mẫu trong bản đồ đó

Bước 5: Viết phương trình bằng cách sử dụng các mẫu

ꢀ = ꢁ. ꢂ. (ꢃ + ꢄ)

Bước 6: Chuyển phương trình sang logic bậc thang

Figure 7.3 Recognition of the Boolean Equation from the Karnaugh Map

Nhận dạng phương trình Bun từ bản đồ Karnaugh

Thêm: Một phương thức được phát triển bởi David Luque Sacaluga dùng một

định dạng tròn cho bảng. Một ví dụ đơn giản được chỉ ra ở dưới để so sánh:

(Chú thích cho các chữ trong hình:

Chuyển bảng chân lý về dạng tròn bằng cách dùng mã Gray cho thứ tự. Các bit là true

trong bảng chân lý là bị làm mờ trong vòng tròn này.

Tìm kiếm các nhóm lớn của các mẫu được lặp lại.

1. Trong trường hợp này ‘B’ là đúng trong nửa đáy của vòng tròn, vì vậy phương trình

trở thành:

X=B.(...)

2. Có sự đối xứng trái-phải, với ‘C’ như là số hạng chung, vì vậy phương trình trở

thành:

X=B.C.(...)

3. Phương trình này gồm tất cả bốn giá trị, vậy phương trình cuối cùng là:

X=B.C

)

Figure 7.4 Aside: An Alternate Approach

Một cách tiếp cận khác

7.2 TÓM TẮT

 Các bản đồ Karnaugh có thể được sử dụng để chuyển một bảng chân lý tới

một phương trình Bun rút gọn.

7.3 BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Tổ chức bản đồ Karnaugh cho bảng giá trị chân lý sau:

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Result

0

1

0

1

0

1

2. Dùng một bản đồ Karnaugh để rút gọn bảng chân lý sau, và thực thi nó trong logic

bậc thang:

A

B

C

D

X

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

3. Viết phương trình Bun tối giản cho bản đồ Karnaugh dưới đây:

CD

ꢅꢆ

0

ꢅ ꢆ

0

ꢅꢆ

1

AB

1

0

ꢀꢇ

ꢀ ꢇ

ꢀꢇ

0

1

0

1

0

4. Cho bảng chân lý sau tìm logic bậc thang thích hợp nhất để thực thi nó. Dùng một

kỹ thuật có cấu trúc như đại số Bun hay các bản đồ Karnaugh:

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

X

0

1

0

1

0

Y

0

1

0

1

0

1

0

1

5. Kiểm tra bảng chân lý dưới đây và thiết kế logic bậc thang tối giản bằng một bản

đồ Karnaugh:

D

0

1

E

0

1

0

F

0

1

0

1

0

G

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Y

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

6. Tìm phương trình Bun tối giản cho bản đồ Karnaugh dưới đây mà không dùng đại

số Bun để rút gọn nó. Vẽ logic bậc thang tương ứng:

ꢀꢇꢅ

ꢀ ꢇ ꢅ

ꢀꢇꢅ

ꢀꢇ ꢅ

1

0

1

0

ꢆ ꢈ

ꢆꢈ

1

0

1

0

ꢆꢈ

7. Cho bảng chân lý gồm các đầu vào A, B, C và D và đầu ra X. Chuyển đổi nó thành

logic bậc thang rút gọn bằng cách dùng một bản đồ Karnaugh:

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

X

0

1

0

1

0

1

8. Xem xét bảng chân lý sau. Chuyển nó thành một bản đồ Karnaugh và phát triển

một phương trình Bun đơn giản hóa (không dùng đại số Bun). Vẽ logic bậc thang

tương ứng:

các đầu vào

đầu ra

X

A

0

B

0

C

0

D

0

1

E

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

9. Cho bảng chân lý bên dưới

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Z

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

a) Tìm một biểu thức đại số Bun bằng cách dùng một bản đồ Karnaugh.

b) Vẽ một sơ đồ bậc thang bằng cách dùng bảng chân lý (không là biểu thức Bun).

10. Chuyển logic bậc thang sau sang một bản đồ Karnaugh:

11. a) Xây dựng một bảng chân lý cho bài toán sau:

i) Có ba nút A, B, C

ii) Đầu ra là bật nếu bất cứ hai nút nào được bấm.

iii) Nếu nút C được ấn thì đầu ra luôn luôn là bật.

b) Phát triển một biểu thức Bun.

c) Phát triển một biểu thức Bun bằng cách dùng một bản đồ Karnaugh.

12. Phát triển biểu thức Bun tối giản cho bản đồ Karnaugh bên dưới

a) Bằng biểu đồ.

b) Bằng đại số Bun.

ꢀꢇ

ꢀ ꢇ

ꢀꢇ

ꢅꢆ

ꢅ ꢆ

ꢅꢆ

1

13. Xem xét phương trình Bun sau:

ꢉ = (ꢀ + ꢇꢀ)ꢀ + (ꢅꢆ + ꢅꢆ + ꢅꢆ)

a) Phương trình Bun này có thể chuyển một cách trực tiếp sang logic bậc thang được

không? Giải thích câu trả lời của bạn, và nếu cần, làm bất cứ thay đổi nào cần thiết

để nó có thể chuyển đổi sang logic bậc thang.

b) Viết ra logic bậc thang, dựa trên kết quả trong bước a).

c) Rút gọn phương trình dùng đại số Bun và viết ra logic bậc thang mới.

d) Viết một bản đồ Karnaugh cho phương trình Bun này, và chỉ ra nó có thể được sử

dụng để làm ra được một phương trình Bun được rút gọn như thế nào.

7.4 GIẢI PHÁP CHO BÀI TẬP THỰC HÀNH

1.

ꢀꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢀ ꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢅꢆ

1

0

1

0

1

ꢅ ꢆ

ꢅꢆ

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

X

0

1

0

1

0

1

0

ꢅꢆ

1

ꢅ ꢆ

0

ꢅꢆ

0

ꢀꢇ

ꢀ ꢇ

ꢀꢇ

0

1

0

1

0

11.

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

out

0

1

0

1

0

1

ꢅ + ꢀ. ꢇ

ꢀꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢀ ꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢅ

1

0

12.

ꢆꢀ + ꢀꢅꢆ

ꢀ ꢇ ꢅꢆ + ꢀꢇꢅꢆ + ꢀꢇꢅꢆ + ꢀꢇꢅꢆ + ꢀ ꢇ ꢅ ꢆ + ꢀꢇꢅꢆ

ꢀꢅꢆ + ꢀꢅꢆ + ꢀ ꢅꢆ

ꢀꢆ + ꢀꢅꢆ

13.

a) ꢉ = ꢀ ꢇ + ꢀ + ꢊꢅ + ꢆꢋꢊꢅ + ꢆꢋ(ꢅ + ꢆ)

b) ꢉ = ꢀ + ꢇ + ꢅ ꢆ

c)

ꢅꢆ

1

ꢅ ꢆ

1

ꢅꢆ

1

ꢅꢆ

1

ꢀ ꢇ

1

0

1

0

1

ꢀꢇ

1

ꢀꢇ

7.5 GIAO BÀI TẬP

1. Dùng bản đồ Karnaugh sau để tạo ra một phương trình Bun được rút gọn. Sau đó

dùng phương trình này để tạo ra logic bậc thang.

ꢀꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢀ ꢇ

1

ꢀꢇ

1

ꢅꢆ

ꢅ ꢆ

ꢅꢆ

1

0

1

0

1

0

2. Dùng một bản đồ Karnaugh để phát triển logic bậc thang được rút gọn cho bảng

chân lý sau trong đó A, B, C là các đầu vào, và X và Y là các đầu ra.

A

0

1

B

0

1

0

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

D

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

X

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Y

0

1

0

1

3. Bạn đang lập kế hoạch cho thiết kế cơ bản cho một hệ điều khiển với điều kiện bên

dưới. Bạn cần lập sơ đồ đi dây cho các thẻ đầu vào và các thẻ đầu ra, và sau đó viết

logic bậc thang cho bộ điều khiển này. Bạn quyết định dùng một kỹ thuật thiết kế

logic Bun để thiết kế logic bậc thang. VÀ, thiết kế của bạn sẽ được đưa ra trên các

trang thiết kế mà bạn sẽ thấy sau trong cuốn sách này.

 Có hai đầu vào từ các cảm biến quang điện PNP: part và busy.

 Có một nút vòng NO, và nút dừng NC.

 Có hai đầu ra tới các đèn chỉ thị, đèn đang chạy và đèn dừng.

 Có một đầu ra tới một băng chuyền, mà nó sẽ điều khiển một động cơ 120V

dòng cao.

 Băng chuyền này được chạy khi cảm biến part là bật và trong khi nút vòng là

được bấm, nhưng cảm biến busy là tắt. Nếu nút stop được bấm băng chuyền

này sẽ dừng lại (stop).

 Trong khi băng chuyền đang chạy đèn đang chạy là bật, ngược lại đèn chỉ thị

dừng là bật.

4. Chuyển bảng chân lý sau thành logic bậc thang đơn giản hóa bằng cách dùng một

bản đồ Karnaugh VÀ các phương trình Bun. Các đầu vào là A, B, C và D và đầu ra là X.

A

0

B

0

C

0

1

D

0

1

0

X

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Giáo trình Hệ thống sản xuất tự động hóa với PLCs - Phần 7: Bản đồ Karnaugh