Thuật toán chữ ký số xây dựng trên bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học
THUẬT TOÁN CHỮ KÝ SỐ XÂY DỰNG TRÊN BÀI TOÁN
LOGARIT RỜI RẠC KẾT HỢP KHAI CĂN
Nguyễn Đức Thụy1, Lưu Hồng Dũng2
Tóm tắt:
Bài báo đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó của bài toán logarit
rời rạc kết hợp khai căn trên Zp . Bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn được đề xuất ở
đây là một dạng bài toán khó mới thuộc lớp các bài toán chưa có cách giải về mặt toán
học. Phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó của bài toán logarit rời
rạc kết hợp khai căn này cho phép nâng cao độ an toàn của thuật toán. Ngoài ra, phương
pháp xây dựng lược đồ chữ ký ở đây có thể áp dụng để phát triển một lớp thuật toán chữ
ký số mới phù hợp với các ứng dụng yêu cầu cao về độ an toàn trong thực tế.
Từ khóa: Chữ ký số; Thuật toán chữ ký số; Lược đồ chữ ký số; Bài toán Logarit rời rạc; Bài toán khai căn.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chữ ký số hiện nay đã được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như Chính
phủ điện tử, Thương mại điện tử,… hay trong các hệ thống viễn thông và mạng
máy tính. Tuy nhiên, việc nghiên cứu, phát triển các lược đồ chữ ký số mới cho
mục đích thiết kế - chế tạo các sản phẩm, thiết bị an toàn và bảo mật thông tin
trong nước vẫn luôn là vấn đề cần thiết được đặt ra. Trong [1] đã đề xuất một
phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký số dựa trên tính khó của việc giải bài
toán logarit rời rạc trên Zp [2]. Ưu điểm của phương pháp mới đề xuất là từ đó có
thể triển khai một lớp thuật toán chữ ký số cho các ứng dụng khác nhau. Tuy
nhiên, độ an toàn của các thuật toán chữ ký được xây dựng theo phương pháp này
chỉ được đảm bảo bởi độ khó của việc giải bài toán logarit rời rạc – DLP (Discrete
Logarithm Problem) trên Zp. Do đó, nếu có một giải thuật thời gian đa thức cho bài
toán này (DLP) thì tính an toàn của các thuật toán sẽ bị phá vỡ hoàn toàn. Nâng
cao độ an toàn cho các thuật toán chữ ký số dựa trên tính khó của việc giải đồng
thời 2 bài toán khó là một hướng tiếp cận đang nhận được nhiều sự quan tâm của
các nhà nghiên cứu, trong [3 – 13] các tác giả đã đề xuất một số thuật toán chữ ký
xây dựng trên đồng thời hai bài toán phân tích số và logarit rời rạc. Trong bài báo
này, cũng với mục đích nâng cao độ an toàn cho các thuật toán chữ ký số, nhóm
tác giả tiếp tục phát triển phương pháp đề xuất trong [1] trên cơ sở tính khó giải
của một bài toán mới, ở đây được gọi là bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn
trên Zp, ký hiệu: DLRP (Discrete Logarithm combining Finding Root Problem).
Đây là một dạng bài toán khó lần đầu được đề xuất và ứng dụng cho việc xây dựng
thuật toán chữ ký số và có nhiều triển vọng cho phép xây dựng các thuật toán phù
hợp với các ứng dụng thực tế đòi hỏi độ an toàn cao.
2. BÀI TOÁN KHÓ MỚI VÀ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG THUẬT TOÁN
CHỮ KÝ SỐ
2.1. Bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên Zp
Bài toán được đề xuất ở đây là một dạng bài toán khó mới và được gọi là Bài
toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên trường Zp, dạng thứ nhất của bài toán này
có thể phát biểu như sau:
192
N.Đ. Thụy, L.H. Dũng “Thuật toán chữ ký số xây dựng trên … kết hợp khai căn”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
Cho 2 số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện: q|(p-1), với mỗi số nguyên dương
* , hãy tìm các số x1 và x2 thỏa mãn phương trình sau:
y∈Z p
(
)
x1 )
−1 .x2
(
x1
mod q mod p = y
Dạng thứ hai của bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn có thể được phát biểu
như sau:
Cho số nguyên tố p, với mỗi cặp số nguyên dương a,b∈Z*p , hãy tìm số x thỏa
mãn phương trình sau:
x
)
(
a
≡
(
x
)
b mod p
Trong toán học, bài toán trên thuộc lớp các bài toán chưa có cách giải, các giải
thuật cho bài toán logarit rời rạc – DLP (Discrete Logarithm Problem) hay bài toán
khai căn – FRP (Finding Root Problem) trên Zp hiện tại là không áp dụng được với
DLRP.
2.2. Xây dựng lược đồ chữ ký dựa trên tính khó của bài toán mới đề xuất
2.2.1. Thuật toán sinh khóa
Ở phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký mới đề xuất, bài toán DLRP được
sử dụng để hình thành cặp khóa bí mật và công khai của các đối tượng ký. Trong
đó, p là tham số hệ thống (tham số miền) do nhà cung cấp dịch vụ tạo ra, ở đây p là
số nguyên tố cần phải được chọn sao cho việc giải bài toán DLP là khó. Các tham
số (x1, x2, q) là khóa bí mật và y là khóa công khai tương ứng của mỗi đối tượng ký
trong hệ thống. Để tạo khóa x1 mỗi thực thể ký cần tạo trước số nguyên tố q thỏa
mãn: q|(p – 1) và một số
p−1
* . Khóa x1 được tạo theo:
∈Zp
α
q
x1 =
α
mod p
Khóa x2 là một giá trị được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (1, q). Sau đó, khóa
công khai được tạo ra từ (x1, x2, q) theo (1):
(
x1 )
−1 ×x2
modq mod p
(1)
y =
Thuật toán sinh khóa có thể được mô tả lại như trên Bảng 1 sau đây:
Bảng 1. Thuật toán sinh tham số và khóa
input: lp, lq – độ dài (tính theo bit) của các số nguyên tố p,q.
(
x1
)
output: p,q, x1, x2, y.
[1]. generate p,q: len(p) = lp, len(q) = lq, q|(p-1)
[2]. select α: 1 <
α
< p
x1 ← α ( / q mod p
p−1
)
[3].
[4]. if (x1 = 1) then goto [2]
[5]. select x2: 1 < x2 < q
−1
(x1 )
2
[6].
y ← x1
( )
.x modq mod p
[7]. return {p,q, x1,x2,y}
Chú thích:
- len(.) : Hàm tính độ dài (theo bit) của một số nguyên.
- p: Tham số hệ thống/tham số miền.
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 66, 04 – 2020
193
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học
- q, x1, x2: Khóa bí mật.
- y: Khóa công khai của đối tượng ký.
2.2.2. Thuật toán ký
Giả sử (R,S) là chữ ký lên bản tin M, u là 1 giá trị trong khoảng (1,q) và R
được tính từ u theo công thức:
R = (x1 )
u mod p
(2)
Và S được tính từ v theo công thức:
S = x1
( )
v mod p
(3)
(4)
Ở đây: v cũng là 1 giá trị trong khoảng (1,q).
Cũng giả thiết rằng phương trình kiểm tra của lược đồ có dạng:
E
y
S ≡ R × y
( ) ( ) ( )
R×S mod p mod p
Với:
R× S mod p = (x1 )
k mod p
và:
E = H(M)
*
k ∈Zq
Trong đó: H(.) là hàm băm và
.
Đặt:
k
(5)
(6)
x1 mod p = Z
( )
Khi đó có thể đưa phương trình kiểm tra về dạng:
E
y
(S) ≡ (R) ×(y)
Z mod p
Từ (1), (2), (3) và (6) ta có:
v.E
u.y
)
(x1 )
−1.x2 .Z
(7)
(
x1
Từ (7) suy ra:
v × E ≡ u × y + x1 × x2 × Z
Nên:
v = E−1 ×
Mặt khác, từ (2), (3) và (4) ta có:
)
≡
(
x1
×
(
x1
)
mod p
(
)
mod q
−1 × x2 × Z
modq
(8)
u × y +
(
x1
)
(9)
(v + u)mod q = k
Từ (8) và (9) ta có:
k = u + E−1
×
u × y +
(
x1
)
−1 × x2 × Z
mod q
(10)
Từ (10), suy ra:
(11)
u =
k −
(
x1
)
−1 × x2 × Z × E−1
×
E−1 × y +1
−1 modq
Từ (11) và (8), có thể tính thành phần thứ nhất của chữ ký theo (2):
R = x1
( )
u mod p
và thành phần thứ 2 theo (3):
S = x1
v mod p
(
)
Từ đây thuật toán ký được mô tả trên Bảng 2 như sau:
Bảng 2. Thuật toán ký
input: p, q, x1, x2, y, M.
output: (R,S).
[1].
E ← H(M )
[2]. select k: 1 < k < q
194
N.Đ. Thụy, L.H. Dũng “Thuật toán chữ ký số xây dựng trên … kết hợp khai căn”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
k
[3].
Z ←
u ←
(
x1
)
mod p
x1
−1 × x2 × Z × E−1
u × y +
u mod p
v mod p
k −
(
)
×
E−1 × y +1
modq
−1 mod q
[4].
[5].
[6].
[7].
−
)
v ← E− ×
(
x1
1 × x2 × Z
1
R ←
S ←
(
x1
)
(
x1
)
[8]. return (R,S)
Chú thích:
M ∈{0,1}∞
- M: b
- (R,S): ch
2.2.3. Thu t toán ki
Thu t toán ki m tra c
ả
n tin c
ký c
m tra ch
a lượ
ầ
n ký, v
lên M.
ký
ớ
i:
.
ữ
ủa U
ậ
ể
ữ
ậ
ể
ủ
c
đồ được giả thiết là:
S ≡ R × y
( ) ( ) ( )
R×S mod p mod p
E
y
Ở đây, E là giá trị đại di
ký (R,S) th a mãn đẳng th
xác th c v ngu n g c và tính toàn v
n tin b ph nh n v ngu n g c và tính toàn v
m tra được tính theo:
ệ
ứ
n c
c trên thì ch
n. Ngược l
ủ
a b
ả
n tin c
ầ
n th
ẩ
m tra: E = H(M ). N
p l và b n tin sẽ đượ
ký b coi là gi o và
ó, n u v trái c
ếu M và chữ
ỏ
ề
ữ
ký được coi là h
ợ
ữ
đ
ệ
ả
c
ự
ồ
ố
ẹ
ạ
i, thì ch
ị
ả mạ
b
th
ả
ứ
ị
ủ
ậ
ề
ồ
ố
ẹn. Do
ế
ế
ủ
a
đẳng
c ki
ể
A = S
( )
E mod p
(12)
và v
ế
phải được tính theo:
y
Z
(13)
(14)
B =
(
R
)
×
(
y
)
mod p
ở đây:
Thì
Khi
sau:
Z = R × S mod p
đ
i
ều ki
ó, thu
ệ
ậ
n chữ
t toán ki
ký h
ể
ợ
p l
ệ
m tra c
là: A = B
a lượ
đ
ủ
c
đồ
m
ớ
i
đề xu
ất
được mô t
ả
trong B
ả
ng 3
nh
ư
Bảng 3. Thu
ậ
t toán ki
ểm tra
input: p, y, M, (R,S).
output: TRUE / FALSE.
[1].
[2].
[3].
[4].
E ← H(M)
A ←
E mod p
(S)
Z ← R × S mod p
y
B ←
(
R
)
×
(
y
)
Z modp
[5]. if (A = B) then
else return FALSE}
Chú thích:
{return TRUE}
{
- M, (R,S): b
- N u k t qu
kh ng định. Ngược l
và tính toàn v n.
ả
ả
n tin, ch
ữ
ký c
là TRUE thì tính toàn v
i, n u k t qu là FALSE thì M b
ần thẩm tra.
ế
ế
tr
ả
v
ề
ẹ
n và ngu
ồ
ủ
n g
nh
ố
c c
ủ
ề
a M đượ
c
c
ẳ
ạ
ế
ế
ả
ị
ph
ận v
nguồn g
ố
ẹ
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 66, 04 – 2020
195
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học
đề xu
ng minh ở đây là: Cho p, q là 2 s
2.2.4. Tính
u c
đ
úng đắn c
ủ
a lượ
c
đồ
m
ới
ất
Đi
ề
ầ
n ch
ứ
ố
nguyên t
ố
v
ớ
i q|(p-1),
1< x2 < q
0,1 ∗
}
a Zn
−1
x1 = α (
q mod p
p
−1 /
)
H :
{
,
| q |≤| n |<| p |
,
1 <
α
< p ,
,
,
(
x1
)
.
x2 mod
k
,
,
1 < k < p ,
,
,
,
(
)
y =
u =
R =
B =
(
x1
k −
x1
u mod p
)
q mod p
E = H
M
Z = x1 mod p
( )
1 ×x2 ×Z
−
)
1
,
(
(
x1
)
−1 × x2 × Z × E−1
(
×
E−1 × y +1 −1
modq
v = E− ×
u× y +
(
x
modq
mod p
1
E
)
v
)
,
.
N
ếu:
,
Z = R× S mod p
A =
(
S
)
S =
x1
mod p
y
Z
thì: A = B.
(
Tính
R
)
×
(
y
)
mod p
đ
úng đắn c
ủ
a thu
ật toán m
ớ
i
đề xu
ất được chứng minh như sau:
T
ừ
(3), (8) và (12) ta có:
E mod p =
−1
)
−1.x2.Z
A =
(
S
)
(
x1
)
v.E mod p =
(
x1
.E mod p
(
)
E
.
u.y+
(
x1
)
(15)
(
u.y+(x1 )
−1.x2.Z
= x1
( )
) mod p
Với:
−
1
k mod p
và :
Z = (x1 )
−
)
1
1
1
u =
k −
(
x1
× x2 × Z × E−
×
E− × y +1
modq
Từ (2), (3), (5), (8), (11) và (14) ta lại có:
Z = R× S mod p = x1 × x1 x1
v mod p = u+v mod p
( ) ( ) ( )
u
−1
)
−1
u+u.
)
(
E
)
−1.y+
(
E
.(
x1
)
−1.x2.Z
u.
)
(
E
−1.y+1 −1.x2.Z
)
+(E) .(x1 )
(16)
(17)
=
=
(
x1
mod p =
−1
(
x1
mod p
mod p = (x1 )
k mod p = Z
−1
(k−
(
x1
)
−1.x2.
(
E
)
−1.Z
).
((
E
)
−1.y+1
)
.
((
E
)
−1.y+1 −1.x2.Z
+(E) .(x1 )
)
(
x1
)
Thay (1), (2), (5) và (16) vào (13) ta được:
−1
(x1 )
y
Z
u.y
B =
(
R
)
×
(
y
)
mod p =
) mod p
(
x1
)
×
(
x1
)
.x .Z mod p
2
(
u.y+(x1 )
−1.x2.Z
= x1
( )
T
ừ
(15) và (17) suy ra
2.2.5. M độ an toàn c a thu
độ an toàn c a lượ
ng t n công nh
n công khóa bí m
ượ đồ đề xu
để hình thành ch ký. Vì th
, nói cách khác là k n công ph
t h p khai c n và bài toán tìm b
a lượ đồ đề xu t xét theo kh
ánh giá b ng m độ khó c a vi c gi
ng bài toán khó m i, mà ngay c
ng không có ngh
n công gi o ch ký
thu t toán ki m tra (B ng 3) c
(R,S) gi o sẽ được công nh
u ki
đ
i
ề
u c
ầ
n ch
ứ
ng minh: A = B.
đề xu
đề xu t có thể đánh giá qua kh
ứ
c
ủ
ậ
t toán đượ
c
ất
M
ứ
t s
c
ủ
c
đồ
m
ớ
i
ấ
ả
n
ă
ng ch
ố
ng
l
ạ
i m
ộ
ố
d
ạ
ấ
ư:
- T
ấ
ật
Ở
l
c
m
ớ
i
ất, các tham s
ố
(x1,x2,q) cùng được s
đồ ch phá v u c
i gi đượ đồng th i bài toán logarit r
a ph n t trên Zp. Do ó, m độ an toàn
ng ch ng t n công làm l khóa bí m đượ
được các bài toán. C n chú ý, DLRP là
khi có các gi i thu t th i gian a th c cho
gi được bài toán này.
ử
d
ụ
ng làm khóa bí
3 tham s này cùng
i r
m
b
k
c
đ
ậ
l
t
ữ
ế
, lượ
c
ả
ỉ
b
ị
ỡ
n
ế
ờ
ả
ố
ị
ế
ủ
ộ
ẻ
t
ấ
ải
c
ờ ạc
ợ
ă
ậc c
ủ
ầ
ử
đ
ức
c
m
ớ
i
ấ
ả
n
ă
ố
ấ
ộ
ật
c
ằ
ứ
c
ủ
ệ
ải
ầ
m
ộ
t d
ạ
ớ
ả
ả
ậ
ờ
đ
ứ
FRP và DLP c
ũ
ĩ
a là s
ẽ
ải
- T
ấ
ả
m
ạ
ữ
T
ừ
ậ
m
ể
ả
ủ
ữ
a thu
ký h
ậ
ợ
t toán m
ớ
ớ
p l i m
i
đề xu
ất cho th
t b n tin M n
ấ
y, m
ột cặp
ả
ện:
ạ
ận là ch
ệ
v
ộ
ả
ếu th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
S ≡ R × y
( ) ( ) ( )
R.S modp modp
E
y
(18)
196
N.Đ. Thụy, L.H. Dũng “Thuật toán chữ ký số xây dựng trên … kết hợp khai căn
”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
(18), n u ch n trước R r
T
ừ
ế
ọ
ồ
i tính S thì khi
đ
ó
đ
i
ề
u ki
ệ
n (18) s
tr
ng th
ẽ
có d
thành:
hai c
ạ
ng:
E
S ≡ a
( ) ( )
S mod p
(19)
(20)
Còn n
ế
u ch
ọ
n trước S r
ồ
i tính R thì khi
đ
ó
đ
i
ề
u ki n (18) s
ệ
ẽ
ở
y
R
R ≡ b mod p
( ) ( )
V
ớ
i a và b là h
ạ
ằng s
toán logarit r i r c k
ố
, d ấy r
ễ
th
ằng (19) và (20) chính là d
ạ
ứ
ủa bài
ờ
ế
t h
ợ
p khai căn trên Zp.
4. KẾT LUẬN
Bài báo đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số theo một phương pháp mới dựa
trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên Zp. Mức độ an
toàn của thuật toán xây dựng theo phương pháp này được đảm bảo bằng mức độ
khó của việc giải bài toán trên. Ở đây, bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên
Zp là một dạng bài toán khó mới, lần đầu được đề xuất và ứng dụng trong việc xây
dựng thuật toán chữ ký số. Từ phương pháp mới đề xuất có thể xây dựng một lớp
thuật toán chữ ký số có độ an toàn cao cho các ứng dụng trong thực tế.
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyen Duc Thuy and Luu Hong Dung, December 2016, “A New Construction Method of
Digital Signature Algorithms”, IJCSNS International Journal of Computer Science and Network
Security. Vol. 16 No. 12 pp. 53-57, ISSN: 1738 - 7906.
[2] T. ElGamal (1985). “A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete
logarithms”. IEEE Transactions on Information Theory. Vol. IT-31, No. 4. pp.469–472.
[3] Q. X. WU, Y. X. Yang and Z. M. HU, January 2001, "New signature schemes based on
discrete logarithms and factoring", Journal of Beijing University of Posts and
Telecommunications, vol. 24, pp. 61-65.
[4] Z. Y. Shen and X. Y. Yu, June 2004, "Digital signature scheme based on discrete logarithms
and factoring", Information Technology, vol. 28,pp. 21-22.
[5] Shimin Wei, December 2007, “Digital Signature Scheme Based on Two Hard Problems”,
IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security, VOL.7 No.12, ISSN:
1738 - 7906.
[6] Eddie Shahrie Ismail, Tahat N.M.F., Rokiah. R. Ahmad, 04/2008, “A New Digital Signature
Scheme Based on Factoring and Discrete Logarithms”, Journal of Mathematics and Statistics;
12(3). DOI: 10.3844/jmssp.2008.222.225 Source:DOAJ.
[7] Qin Yanlin , Wu Xiaoping, 8-11 Aug. 2009, “ New Digital Signature Scheme Based on both
ECDLP and IFP”, Computer Science and Information Technology, 2009. ICCSIT 2009. 2nd
IEEE International Conference on, pp 348 – 351, E-ISBN : 978-1-4244-4520-2.
[8] Swati Verma1, Birendra Kumar Sharma, 2011, “A New Digital Signature Scheme Based on
Two Hard Problems”, International Journal of Pure and Applied Sciences and Technology, Int.
J. Pure Appl. Sci. Technol, no.5(2), pp. 55-59, ISSN 2229 – 6107.
[9] Sushila Vishnoi , Vishal Shrivastava, 2012, ”A new Digital Signature Algorithm based on
Factorization and Discrete Logarithm problem”, International Journal of Computer Trends and
Technology, volume 3, Issue 4.
[10] A.N. Berezin, N.A. Moldovyan, V.A. Shcherbacov, 2013, "Cryptoschemes Based on
Difficulty of Simultaneous Solving Two Different Difficult Problems", Computer Science Journal
of Moldova, vol.21, no.2(62).
[11] Phạm Văn Hiệp, Nguyễn Hữu Mộng, Lưu Hồng Dũng, “Một thuật toán chữ ký xây dựng dựa
trên tính khó của việc giải đồng thời hai bài toán phân tích số và logarit rời rạc“, Tạp chí Khoa
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 66, 04 – 2020
197
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học
học và Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 7(128). 2018, ISSN: 1859 – 1531.
[12] Phạm văn Hiệp, Lưu Hồng Dũng, “Chữ ký số tập thể và mô hình ứng dụng“, Tạp chí Nghiên
cứu KH và CN Quân sự, số Đặc san CNTT, 11 – 2018, ISSN: 1859 – 1043.
[13] Nguyễn Vĩnh Thái, Lưu Hồng Dũng, “Một lược đồ chữ ký xây dựng trên tính khó của việc
giải đồng thời 2 bài toán phân tích số và logarit rời rạc trên Zp“, Tạp chí Nghiên cứu KH và
CN Quân sự, số Đặc san CNTT, 04 – 2019, ISSN: 1859 – 1043.
ABSTRACT
A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM BASED ON DISCRETE
LOGARIT COMBINING FINDING ROOT PROBLEM
The paper proposes to build a digital signature schema based on the difficulty
of the discrete logarithm combining finding root problem on Zp. This problem is a
new difficult problem type of the problems class without mathematical solution.
Building a digital signature scheme based on the difficulty of the discrete
logarithm combining finding root problem allows to improve the security of the
algorithm. In addition, the signature schema construction method here can be
applied to develop a new digital signature algorithm layer that is suitable for
applications that require high levels of security in practice.
Keywords: Digital Signature; Digital Signature Algorithm; Digital Signature Schema; Discrete Logarithm
problem; Finding Root Problem.
Nhận bài ngày 07 tháng 11 năm 2019
Hoàn thiện ngày 08 tháng 12 năm 2019
Chấp nhận đăng ngày 10 tháng 04 năm 2020
Địa chỉ: 1 Khoa CNTT, Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh.
2 Khoa CNTT, Học viện KTQS.
*
Email: luuhongdung@gmail.com.
198
N.Đ. Thụy, L.H. Dũng “Thuật toán chữ ký số xây dựng trên … kết hợp khai căn”
7 trang
10/05/2022
3340
Bạn đang xem tài liệu "Thuật toán chữ ký số xây dựng trên bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- thuat_toan_chu_ky_so_xay_dung_tren_bai_toan_logarit_roi_rac.pdf
