Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 4: Chuyển động cơ bản của vật rắn

Ch¬ng 4: ChuyÓn ®éng c¬ b¶n cña vËt r¾n

1. Hai chuyÓn ®éng c¬ b¶n cña vËt r¾n

1.1. ChuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña vËt r¾n

1.1.1. §Þnh nghÜa

Mét vËt ®îc gäi lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn khi mét ®o¹n th¼ng AB

bÊt kú thuéc vËt cã ph¬ng kh«ng thay ®æi trong qu¸ tr×nh chuyÓn

®éng

1.1.2. §Þnh lý

- Quü ®¹o cña mäi ®iÓm trªn vËt r¾n chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lµ nh

nhau.

- T¹i mçi thêi ®iÓm vËn tèc vµ gia tèc cña mäi ®iÓm lµ nh nhau.

Chøng minh:

 

r_B= r_A+ AB

B

C



 

v_B



v = v_B



^A

r_B

w_B

w_A= w_B

A



O

v_A

r_A

D



A

w_A

- §Ó kh¶o s¸t chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña mét vËt ta chØ cÇn kh¶o s¸t

chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm lµ ®ñ.

1.2. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh trôc cè ®Þnh

1.2.1. §Þnh nghÜa

ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n trong ®ã cã hai ®iÓm lu«n cè ®Þnh gäi lµ

chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh trôc ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh

®ã.

B

S

O

S

A

B

1.2.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña c¶ vËt

1.2.2.1. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng



- MÆt ph¼ng ₀g¾n cè ®Þnh víi hÖ quy chiÕu

qua trôc quay AB.

₀



A

- MÆt ph¼ng di déng  g¾n liÒn víi vËt qua AB.

Gãc nhÞ diÖn  gi÷a 2 mÆt ph¼ng ₀vµ  x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt quay.

Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña c¶ vËt:  = (t)

1.2.2.2. VËn tèc cña c¶ vËt

VËn tèc gãc trung b×nh cña vËt trong kho¶ng thêi gian t ®îc x¸c

®Þnh nh sau:



t

_tb=

VËn tèc gãc t¹i thêi ®iÓm t ®îc x¸c ®Þnh nh sau:

 d

t dt



(t) = lim = = 

t→0

VËn tèc gãc cña vËt b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt cña chuyÓn vÞ gãc theo

thêi gian. Thø nguyªn [ gãc quay/ thêi gian], thêng rad/s.

1.2.2.3. Gia tèc gãc cña vËt

Gia tèc gãc cña vËt t¹i thêi ®iÓm t ®îc tÝnh b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt

cña vËn tèc gãc theo thêi gian.

d d ²

dt



(t) = = = 

dt²

Thø nguyªn [ gãc quay/ (thêi gian)²], thêng rad/s².

1.2.2.4. BiÓu diÔn vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt b»ng vÐc t¬

Ngêi ta biÓu diÔn vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc b»ng vÐc t¬ vËn tèc gãc



vµ gia tèc gãc .

























1.2.2.5. Ph¸n ®o¸n tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña vËt



Dùa vµo tÝch v« híng cña hai vÐc t¬ vµ .





1.2.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm thuéc vËt

1.2.3.1. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

Quü ®¹o cña ®iÓm M lµ



métvßng trßn t©m O, b¸n

M₀

O

M₀





kÝnh OM = r.

M

₀

X©y dùng hÖ to¹ ®é tù nhiªn

lÊy M_Olµm gèc.

M

s = cung M_OM = s(t) = OM.(t) = r.(t)

1.2.3.2. VËn tèc cña ®iÓm



Tõ ®Þnh nghÜa vÒ vËn tèc ta cã:

v(t) = s(t) = r.(t) = r.(t)



v(t)

VÐc t¬ vËn tèc

vu«ng gãc víi b¸n kÝnh quü ®¹o r = OM t¹i thêi

®iÓm ®ang xÐt vµ cã chiÒu phï hîp víi chiÒu .

T¹i mçi thêi ®iÓm vËn tèc cña c¸c ®iÓm däc theo b¸n kÝnh OM

ph©n bè theo quy luËt bËc nhÊt quanh O.

1.2.3.3. Gia tèc cña ®iÓm

Hai thµnh phÇn gia tèc tiÕp vµ ph¸p ®îc x¸c ®Þnh nh sau:

- Gia tèc tiÕp tuyÕn:



w = v = r.





T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t cã ph¬ng vu«ng gãc víi b¸n kÝnh quü ®¹o

r = OM vµ cã chiÒu phï hîp víi chiÒu cña .

w



v²

w_n= = r.²

^{- G}^{ia tèc ph¸p tuyÕn:}



  

w_n

híng tõ M vÒ O

M



w_n

- Gia tèc toµn phÇn:

w = w + w_n



w = r.  ²+²





w





O

T¹i mçi thêi ®iÓm gia tèc cña c¸c ®iÓm däc theo b¸n kãnh OM ph©n

bè theo quy luËt bËc nhÊt quanh O.

1.2.3.4. BiÓu diÔn vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm díi d¹ng vÐc t¬



 

- BiÓu thøc vËn tèc:

v = r

- BiÓu thøc gia tèc



dv d

d

dr

w = =

(

  r

)

    

=  r + 

R

O

dt dt

dt

M









w =   r +  v = w + w_n

v





r

1.2.3.5. VÝ dô

Mét vËt r¾n thùc hiÖn chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh

theo quy luËt  = 5t²+ 7t. H·y tÝnh vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt

t¹i thêi ®iÓm t = 10 gi©y. X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm M

n»m c¸ch trôc quay mét kho¶ng r = 1,5m t¹i thêi ®iÓm ®· cho,

2. Hîp chuyÓn ®éng

Trong thùc tÕ chuyÓn ®éng cña ®èi tîng kh¶o s¸t ®èi víi mét hÖ

quy chiÕu ®îc xem lµ cè ®Þnh thêng ®îc kh¶o s¸t th«ng qua chuyÓn

®éng cña nã ®èi víi mét hÖ quy chiÕu ®éng lµ hÖ chuyÓn ®éng so víi

hÖ cè ®Þnh. Bµi to¸n nh thÕ gäi lµ bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng .

C¸c ®Þnh nghÜa

- HÖ quy chiÕu ®îc xem lµ cè ®Þnh gäi lµ hÖ quy chiÕu cè ®Þnh, hÖ to¹

®é ®Ò c¸c O₁x₁y₁z₁®îc g¾n lªn hÖ quy chiÕu nµy.

- HÖ quy chiÕu ®éng gäi lµ hÖ ®éng, hÖ täa ®é ®Ò c¸c Oxyz ®îc g¾n

lªn hÖ nµy.

- ChuyÓn ®éng cña ®èi tîng kh¶o s¸t ®èi víi hÖ quy chiÕu cè ®Þnh

gäi lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi.

-ChuyÓn ®éng cña ®èi tîng kh¶o s¸t ®èi víi hÖ quy chiÕu ®éng gäi lµ

chuyÓn ®éng t¬ng ®èi.

- ChuyÓn ®éng cña hÖ ®éng ®èi víi hÖ quy chiÕu cè ®Þnh gäi lµ

chuyÓn ®éng theo.

2.1. Hîp chuyÓn ®éng cña ®iÓm

2.1.1. §Þnh lý hîp vËn tèc

^{- VÐc t¬ vËn tèc tuyÖt}^{®èi cña}^®iÓm^{b»ng tæng vÐc t¬ vËn tèc theo vµ}

vËn tèc t¬ng ®èi.

v_a= v_e+ v_r



v_a

lµ vËn tèc cña M ®èi víi hÖ cè ®Þnh (O₁x₁y₁z₁) gäi lµ vÐc t¬ tuyÖt

®èi.



lµ vËn tèc cña ®iÓm M^*g¾n liÒn víi hÖ ®éng (Oxyz) vµ trïng víi

v_e

®iÓm M t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t gäi lµ vËn tèc theo.



v_r

lµ vËn tèc cña ®iÓm M ®èi víi hÖ ®éng (Oxyz), gäi lµ vËn tèc t-

¬ng ®èi.

❖Chøng minh:

Täa ®é cña ®iÓm M trong hÖ quy chiÕu cè ®Þnh

  

z₁

z

r = r₀+ r

1

M



y

 

r = r_o+ xi + yj + zk

r



¹

r



O

1



 

= + (xi + yj + zk)



dr₀

dt dt dt

dr

d

1

r₀

y₁

O₁

x



dr



1

Mµ:

= v_a

dt

 ^x

di dj dk dx dy dz

1

 



 

dr₀



v_a= + x + y + z + i + j + k

dt dt dt dt dt dt dt



 

 

  

 

v = r = r + xi + yj + zk = v_e





M^*

0



 



dx dy dz

v_r= i + j + k

dt dt dt

  

v_a= v_e+ v_r

VËy ®Þnh lý ®îc chøng minh

z₁

z

y



r



r

O

1



r₀

y₁

O₁

x

x₁

❖VÝ dô:. Mét con thuyÒn qua s«ng víi vËn tèc lµ u₁so víi mÆt níc

theo ph¬ng vu«ng gãc víi dßng níc.VËn tèc cña dßng níc lµ u₂. T×m

vËn tèc cña thuyÒn so víi bê?

  

v_a= v_e+ v_r

 



u₁

v₀

= u₁+u₂



O

u₂

v_a= u₁²+u₂

2.1.2. §Þnh lý hîp gia tèc cña ®iÓm

2

2.1.2.1. §Þnh lý

VÐc t¬ gia tèc tuyÖt ®èi b»ng tæng c¸c vÐc t¬ gia tèc theo, gia tèc t-

¬ng ®èi vµ gia tèc c«ri«lÝt.

   

w_a= w_e+ w_r+ w_k

❖Chøng minh:



dv_a

dt



w_a=

₂

2













d r₀



d i d j d k

w_a=

+ x + y + z

+

dt²

dt²dt²



2

















d x d y d z

dx di dy dj dz dk





i + j + k + 2

+

2

dt²

   



dt dt dt dt dt dt

dt dt







VËy:

w_a= w_e+ w_r+ w_k

2.1.2.2. BiÓu thøc cña gia tèc c«ri«lÝt

XÐt trêng hîp chuyÓn ®éng cña hÖ ®éng lµ chuyÓn ®éng quay



quanh mét trôc cè ®Þnh.

dr_M



v_M= = _e r_M

Ta cã:

dt

¸p dông c«ng thøc trªn cho ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vÐc



di



dk

dj

t¬ ®¬n vÞ lµ

, ,

dt



dk

dt



di

dj

= _e k

,

= _e j

,

= _e i

dt

dx

dy

dz

dt

= v_ry

= v_rz

,

= v_rx

dt



dt













dx di dy dj dz dk



2

+

= 2_e v_r



dt dt dt dt dt dt





w_k= 2_e v_r

2.2. Hîp chuyÓn ®éng cña vËt

2.2.1. Hîp hai chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn

Hîp hai chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ®ång thêi cña mét vËt r¾n lµ mét

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn víi vÐc t¬ vËn tèc cña mét ®iÓm bÊt kú thuéc

vËt b»ng tæng h×nh hai vÐc t¬ vËn tèc cña c¸c chuyÓn ®éng thµnh

phÇn.

3. ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n

3.1. §Þnh nghÜa vµ m« h×nh

❖ §Þnh nghÜa: Mét vËt r¾n gäi lµ chuyÓn ®éng song ph¼ng khi

kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kú thuéc vËt ®Õn mét mÆt ph¼ng quy

chiÕu nµo ®ã lu«n kh«ng ®_Aæi.

s

y

S

P

B

MÆt ph¼ng quy chiÕu

P₀

P

O

x

LÊy c¸c vÝ dô minh häa

❖ M« h×nh:

- ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n ®îc coi lµ tËp hîp cña c¸c ®-

êng th¼ng song song víi AB.

- ChuyÓn ®éng cña mçi ®êng nµy lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nªn chØ

cÇn nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm.

- M« h×nh chuyÓn ®éng lµ mét tiÕt diÖn song song víi mÆt ph¼ng quy

chiÕu.

3.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña h×nh ph¼ng

y₁

y

3.2.1. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

(S)

M

y_M

O

- HÖ quy chiÕu

x₀= x₀(t)

y₀= y₀(t)

 = (t)



y₀

- Th«ng sè ®Þnh vÞ

- PT chuyÓn ®éng:

x_M

x

O₁

x₁

x₀

- ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n lµ sù tæng hîp hai chuyÓn

®éng c¬ b¶n ®ång thêi ®ã lµ: tÞnh tiÕn cïng O (O lµ ®iÓm bÊt kú

thuéc vËt) vµ quay xung quanh trôc qua O.

y₁

y

(S)

M

y_M



y₀

x_M

x

O

O₁

x₁

x₀



v_M



v_{M 0}



v₀

M



v₀

_P

O