Bài giảng Truyền nhiệt - Chương II: Dẫn nhiệt ổn định một chiều - Nguyễn Toàn Phong
Chöông II
DAÃN NHIEÄT
Sunday, October 05, 2008
OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU
A. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT
Ta laàn löôït khaûo saùt trong ba heä toïa ñoä töông öùng vôùi
caùc tröôøng hôïp trong vaùch phaúng, trong vaät hình truï vaø vaät
hình caàu.
I. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ VUOÂNG GOÙC
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch phaúng roäng so vôùi
chieàu daøy, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu
→ Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông vuoâng goùc vaùch
→ Maët ñaúng nhieät song song beà maët vaùch
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
→ Choïn truïc toïa ñoä vuoâng goùc maët ñaúng nhieät
→ Phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho phaàn töû khaûo
saùt nhö sau
nhieät löôïng
daãn vaøo taïi x daãn ra taïi x + Δx
nhieät löôïng
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟
−
⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎠
nhieät löôïng
phaùt sinh trong ΔV
bieán thieân
naêng löôïng trong ΔV
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
+
=
⎝
⎠
⎝
⎠
Nguyeãn toaøn phong
1 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
ΔEΔV
Qx − Qx+Δx + QΔV =
(2-1)
Δτ
Vôùi
⎧
ΔEΔV = Eτ+Δτ − Eτ
⎪
⎪
(
)
(
)
= Δm ⋅C⋅ tτ+Δτ − tτ = ρ⋅C⋅F⋅Δx⋅ tτ+Δτ − tτ
⎨
⎪
⎪
⎩
Q = q ⋅ΔV = q ⋅F⋅Δx
ΔV
v
v
Theá vaøo phöông trình 2-1, ta coù:
tτ+Δτ − tτ
Qx − Qx+Δx + qv ⋅ F⋅ Δx = ρ⋅C⋅ F⋅ Δx⋅
Δτ
Nguyeãn toaøn phong
2 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Chia phöông trình treân cho F⋅ Δx, ta ñöôïc
tτ+Δτ − tτ
Qx+Δx − Qx
Δx
1
− ⋅
F
+ qv = ρ⋅C⋅
(2-2)
(2-3)
Δτ
Δx → 0
Δτ → 0
⎧
⎨
⎩
Laáy giôùi haïn
1 ∂
F ∂x
∂t
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅ λ⋅F⋅
+ q = ρ⋅C⋅
⎜
v
∂x
Trong ñoù
Qx+Δx − Qx ∂Qx
∂
∂t
∂x
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
lim
=
=
− λ⋅ F⋅
Δx→0
Δx
∂x ∂x
Vôùi dieän tích F = const, phöông trình 2-3 ñöôïc vieát laïi
∂
∂t
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
λ⋅
+ q = ρ⋅C⋅
(2-4)
⎜
v
∂x ∂x
Nguyeãn toaøn phong
3 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
II. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ TRUÏ
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch truï coù chieàu daøi lôùn
so vôùi baùn kính, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu
→ Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính
→ Maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët truï ñoàng taâm
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
→ Choïn truïc toïa ñoä truøng vôùi truïc oáng
→ Phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho phaàn töû khaûo
saùt nhö sau
Nguyeãn toaøn phong
4 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
nhieät löôïng
daãn vaøo taïi r
t
nhieä löôïng
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎜
⎟ ⎜
−
⎟
⎟
⎟ ⎜
⎠ ⎝
daãn ra taïi r + Δr
⎝
⎠
nhieät löôïng
phaùt sinh trong ΔV
bieán thieân
naêng löôïng trong V
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
+
=
Δ
⎝
⎠
⎝
⎠
ΔEΔV
Qr − Qr+Δr + QΔV =
(2-5)
Δτ
Vôùi
⎧
ΔEΔV = Eτ+Δτ − Eτ
⎪
⎪
(
)
(
)
= Δm⋅C⋅ tτ+Δτ − tτ = ρ⋅C⋅F⋅Δr⋅ tτ+Δτ − tτ
⎨
⎪
⎪
⎩
Q = q ⋅ΔV = q ⋅F⋅Δr
ΔV
v
v
Theá vaøo phöông trình 2-5, ta coù:
tτ+Δτ − tτ
Qr − Qr+Δr + qv ⋅F⋅Δr = ρ⋅C⋅F⋅Δr⋅
Δτ
Chia phöông trình treân cho Fr, laáy giôùi haïn vaø söû
duïng ñònh luaät Fourier
Qr+Δr − Qr
Δr
tτ+Δτ − tτ
1
− ⋅
F
+ qv = ρ⋅C⋅
∂t
(2-6)
(2-7)
Δτ
1 ∂
∂t
∂τ
⎛
⎞
⋅ λ⋅ F⋅ + q = ρ⋅C⋅
⎜
⎟
v
F ∂r
∂r
⎝
⎠
Vôùi dieän tích F = 2π⋅ r⋅L, phöông trình 2-7 ñöôïc vieát laïi
1 ∂
r ∂r
∂t
∂r
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅ r⋅λ⋅ + q = ρ⋅C⋅
(2-8)
⎜
⎟
v
Nguyeãn toaøn phong
5 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
III. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ CAÀU
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch caàu, maät ñoä doøng
nhieät ñoàng ñeàu treân beà maët
→ Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính
→ Maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët caàu ñoàng taâm
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
Thöïc hieän töông töï nhö phaàn vaùch truï, vôùi löu yù dieän
tích F = 4π⋅ r2 theá vaøo 2-7, phöông trình daãn nhieät
1 ∂
∂t
∂r
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅ r2 ⋅λ⋅ + q = ρ⋅C⋅
(2-9)
⎜
⎟
v
r2
∂r
Nguyeãn toaøn phong
6 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
IV. TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT
CHO TRÖÔØNG MOÄT CHIEÀU
Töø caùc phöông trình 2-4, 2-8 vaø 2-9, ta coù daïng toång
quaùt cho tröôøng moät chieàu nhö sau:
1 ∂
∂t
∂r
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅ rn ⋅λ⋅ + q = ρ⋅C⋅
(2-10)
⎜
⎟
v
rn
i. Toïa ñoä vuoâng goùc
∂r
n = 0
x ≡ r
⎧
⎨
⎩
⇒
ii. Toïa ñoä truï
⇒ n 1
iii. Toïa ñoä caàu
⇒ n 2
Nguyeãn toaøn phong
7 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät λ = const
qv
1 ∂
∂t
1 ∂t
⎛
⎞
⋅ rn ⋅ + = ⋅
(2-11)
(2-12)
⎜
⎟
rn
i. Tröôøng hôïp daãn nhieät oån ñònh
∂r
∂r λ a ∂τ
⎠
⎝
∂t
∂τ
1 d
dt q
⎞
⎛
⎝
n
v
= 0 → ⋅ r ⋅ + = 0
⎜
⎟
rn dr
dr λ
⎠
ii. Tröôøng hôïp khoâng coù nguoàn nhieät beân trong
1 ∂ ∂t 1 ∂t
⎛
⎝
⎞
q = 0 → ⋅ rn ⋅ = ⋅
(2-13)
⎜
⎟
v
rn ∂r
∂r a ∂τ
⎠
iii. Tröôøng hôïp daãn nhieät oån ñònh
khoâng coù nguoàn nhieät beân trong
∂t
∂τ
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
= 0
d
dr
dt
⎞
⎛
⎜
⎝
→
rn ⋅ = 0
(2-14)
⎟
dr
⎠
q = 0
v
Nguyeãn toaøn phong
8 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
B. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN - ÑIEÀU KIEÄN BAN ÑAÀU
Giaûi phöông trình vi phaân ta ñöôïc nghieäm toång quaùt, ñoái
vôùi töøng tröôøng hôïp cuï theå seõ coù töông öùng ñieàu kieän bieân,
keát hôïp laïi seõ xaùc ñònh ñöôïc phöông trình rieâng töông öùng.
I. ÑIEÀU KIEÄN BAN ÑAÀU
Laø haøm phaân boá nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm baét ñaàu khaûo saùt,
toång quaùt
(
)
t x,y,z,0 = t x,y,z
(2-15)
II. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN THEO NHIEÄT ÑOÄ
Nhieät ñoä beà maët raát deã xaùc ñònh, do vaäy ñieàu kieän bieân
nhieät coù theå cho theo nhieät ñoä beà maët
Ví duï cho tröôøng hôïp vaùch phaúng coù chieàu daøy δ
( )
t 0,τ = t
⎧
⎨
⎩
1
(2-16)
(
δ τ =
)
t ,
t2
Nguyeãn toaøn phong
9 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
III. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN MAÄT ÑOÄ DOØNG NHIEÄT
Khi bieát ñaày ñuû thoâng tin veà töông taùc naêng löôïng ôû beà
maët → xaùc ñònh ñöôïc maät ñoä doøng nhieät → ñöôïc söû duïng
laøm ñieàu kieän bieân
doøng nhieät trao ñoåi
taïi beà maët vò trí x
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
∂t
∂x
q = −λ ⋅ =
(2-17)
Löu yù: Chieàu höôùng doøng nhieät daãn trong vaùch vaø
doøng nhieät treân beà maët
Ñieàu kieän bieân:
( )
∂t 0,τ
− λ⋅
= q0
∂x
vaø
( )
∂t δ,τ
− λ⋅
= qδ
∂x
Nguyeãn toaøn phong
10 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Tröôøng hôïp beà maët ñöôïc caùch nhieät toát
( )
( )
∂t 0,τ
∂t δ,τ
− λ⋅
= 0
hoaëc − λ⋅
= 0
(2-18)
∂x
∂x
( )
∂t 0,τ
= 0
vaø
t
δ,τ
= 60o C
)
∂x
Tröôøng hôïp ñoái xöùng nhieät
(
)
∂t δ 2,τ
= 0 (2-19)
∂x
Nguyeãn toaøn phong
11 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
IV. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN ÑOÁI LÖU
nhieät löôïng daãn
ñeán beà maët
nhieät löôïng ñoái löu
treân beà maët
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞ ⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟ ⎜
=
⎟ ⎜
⎠ ⎝
( )
∂t 0,τ
[
tf1 − t
(
0,τ
)
]
(2-20.a)
(2-20.b)
− λ⋅
= α1 ⋅
= α2 ⋅
∂x
vaø
( )
∂t δ,τ
[
t
(
δ,τ − tf2
)
]
− λ⋅
∂x
Ví duï
Nguyeãn toaøn phong
12 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
V. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN BÖÙC XAÏ
nhieät löôïng böùc xaï
nhieät löôïng daãn
ñeán beà maët
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
=
treân beà maët
⎝
⎠
( )
∂t 0,τ
Ts4urr,1 − T4
(
0,τ
)
]
(2-21.a)
(2-21.b)
− λ⋅
= ε1 ⋅σ⋅
= ε2 ⋅σ⋅
∂x
vaø
( )
∂t 0,τ
T4
(
δ,τ
)
− T4
]
− λ⋅
surr,2
∂x
Ví duï
Nguyeãn toaøn phong
13 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
VI. ÑIEÀU KIEÄN TIEÁP XUÙC
Tröôøng hôïp tieáp xuùc lyù töôûng giöõa hai vaùch
)
)
tA xo ,τ = tB xo ,τ
(2-22.a)
(2-22.b)
vaø
)
)
∂tA xo ,τ
∂tB xo ,τ
− λA ⋅
= −λB ⋅
∂x
∂x
Nguyeãn toaøn phong
14 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
VII. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN SUY ROÄNG
nhieät löôïng daãn
toång nhieät löôïng trao ñoåi
baèng taát caû caùc caùch treân beà maët
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
ñeán beà maët
C. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ
Nguyeãn toaøn phong
15 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
D. DAÃN NHIEÄT OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU
KHOÂNG COÙ NGUOÀN NHIEÄT BEÂN TRONG
I. PHÖÔNG TRÌNH DAÃN NHIEÄT
Töø phöông trình 2-10
1 ∂
∂t
∂r
∂t
∂τ
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅ rn ⋅λ⋅ + q = ρ⋅C⋅
⎜
⎟
v
rn
∂r
q = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
v
Vôùi ñieàu kieän
∂t
= 0
∂τ
Ta ñöôïc
∂
∂r
∂t
∂r
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
rn ⋅λ⋅ = 0
(2-23)
(2-24)
⎟
Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät λ = const
∂
∂t
⎞
⎛
⎜
⎝
rn ⋅ = 0
⎟
∂r
∂r
⎠
i. Toïa ñoä vuoâng goùc
n = 0
x ≡ r
⎧
⎨
⎩
⇒
ii. Toïa ñoä truï
⇒ n = 1
iii. Toïa ñoä caàu
⇒ n = 2
Nguyeãn toaøn phong
16 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
II. DAÃN NHIEÄT QUA VAÙCH PHAÚNG
1. Vaùch Phaúng Moät Lôùp
Xeùt vaùch phaúng ñoàng chaát, ñaúng höôùng, maät ñoä doøng
nhieät ñoàng ñeàu treân beà maët
t
Chieàu daøy δ, m
Qλ
Heä soá daãn nhieät λ, W/(m.K)
t(x)
dx
t1
Nhieät ñoä beà maët hai beân
vaùch ñöôïc duy trì khoâng ñoåi t1, t2
dt
t2
Vaùch coù chieàu roäng raát lôùn so
vôùi chieàu daøy, nhö vaäy nhieät ñoä
chæ bieán thieân theo phöông
vuoâng goác vôùi maët phaúng
x
0
δ
Q
t1
t2
δ
Rλ =
→ daãn nhieät oån ñònh moät chieàu
λ ⋅ F
Phöông trình 2-24 ñöôïc vieát laïi nhö sau:
d2t
= 0
(2-25)
(2-26)
dx2
⎧
⎨
⎩
t = t
1
x=0
Ñieàu kieän bieân
t = t2
x=δ
Tích phaân phöông trình 2-25 ta ñöôïc nghieäm:
t = C1 ⋅x + C2
Nguyeãn toaøn phong
17 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Theá ñieàu kieän bieân 2-26, haèng soá C1, C2 tìm töø heä sau
t2 − t1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
t = C × 0 + C
C =
⎧
⎨
⎩
1
1
2
1
⇒
δ
t = C × δ + C
2
1
2
C = t
2
1
Theá vaøo phöông trình tröôøng nhieät ñoä
t1 − t
t = t1 −
2 ⋅x
(2-27)
δ
Theo ñònh luaät Fourier:
dt
dx
qF = −λ ⋅
Vaäy maät ñoä doøng nhieät truyeàn qua vaùch phaúng:
λ
δ
W m2
(2-28)
(2-29)
(
)
qF = ⋅ t1 − t2
Nhieät löôïng daãn qua vaùch coù dieän tích F
λ
δ
(
)
Q = F⋅qF = ⋅F⋅ t1 − t2
W
Phöông trình treân ñöôïc theå hieän laïi ñoàng daïng ñònh luaät
Ohm:
t1 − t2
δ (λ⋅F) Rλ
t1 − t2
Q =
=
W
(2-30)
δ
λ⋅F
Rλ =
Nhieät trôû daãn nhieät qua1 lôùp vaùch phaúng,
K W
Nguyeãn toaøn phong
18 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Hình döôùi cho ta thaáy söï töông ñöông cuûa caùc ñaïi löôïng
trong hai coâng thöùc:
Phöông trình 2-27 cuõng coù theå vieát laïi:
qF
t = t1 − ⋅ x
(2-31)
λ
Nhaän xeùt: Khi heä soá daãn nhieät laø haèng soá, phaân boá
nhieät ñoä trong vaùch laø haøm tuyeán tính
Do dieän tích caùc maët ñeàu gioáng nhau, nhieät
trôû Rλ coù theå tính töông öùng cho F = 1m2 vaø
coâng thöùc 2-30 chính laø maät ñoä doøng nhieät qF
Nguyeãn toaøn phong
19 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
2. Daãn Nhieät Qua Vaùch Phaúng Nhieàu Lôùp
Giaû söû ta coù vaùch phaúng goàm 3 lôùp nhö hình beân döôùi
Ta tính cho moät ñôn vò dieän tích, caùc vaùch tieáp xuùc lyù töôûng
Lôùp VL 1 VL 2 VL 3
λ1
λ2
qλ
λ3
qλ
qλ
δ1
δ2
δ3
t1
t2
t3
δ2
t4 qλ
δ1
λ1
δ3
λ3
R1 =
R2 =
R3 =
λ2
Maät ñoä doøng nhieät daãn qua caùc lôùp:
⎧
⎪
⎪
t1 − t2
R1
t2 − t3
R2
t3 − t4
R3
q1 =
⎪
⎨
q =
2
⎪
⎪
q =
⎪ 3
⎩
Nguyeãn toaøn phong
20 of 48
Chöông II – Daãn Nhieät Oãn ÑònhMoät Chieàu
Tải về để xem bản đầy đủ
48 trang
56040
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Truyền nhiệt - Chương II: Dẫn nhiệt ổn định một chiều - Nguyễn Toàn Phong", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truyen_nhiet_chuong_ii_dan_nhiet_on_dinh_mot_chieu.pdf
