Giáo trình Toán rời rạc - Chương VII: Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị
CHƯƠNG VII
ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ
Từ xa xưa đã lưu truyền một bài toán cổ “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà ở gần ba
cái giếng, nhưng không có đường nối thẳng các nhà với nhau cũng như không có đường
nối thẳng các giếng với nhau.
Có lần bất hoà với nhau, họ tìm cách làm
các đường khác đến giếng sao cho các đường này
đôi một không giao nhau. Họ có thực hiện được ý
định đó không?
N1
N2
N3
G1
G2
G3
Bài toán này có thể được mô hình bằng đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3. Câu hỏi ban
đầu có thể diễn đạt như sau: Có thể vẽ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có hai
cạnh nào cắt nhau? Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán: có thể vẽ một đồ
thị trên một mặt phẳng không có các cạnh nào cắt nhau không. Đặc biệt chúng ta sẽ trả
lời bài toán ba nhà ba giếng. Thường có nhiều cách biểu diễn đồ thị. Khi nào có thể tìm
được ít nhất một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh cắt nhau?
7.1. ĐỒ THỊ PHẲNG.
7.1.1. Định nghĩa: Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt
phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các
cạnh). Hình vẽ như thế gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị.
Một đồ thị có thể là phẳng ngay cả khi nó thường được vẽ với những cạnh cắt
nhau, vì có thể vẽ nó bằng cách khác không có các cạnh cắt nhau.
Thí dụ 1: 1) Một cây, một chu trình đơn là một đồ thị phẳng.
2) K4 là đồ thị phẳng bởi vì có thể vẽ lại như hình bên không có đường cắt nhau
a
b
a
b
c
d
c
d
Đồ thị K4
K4 vẽ không có đường cắt nhau
3) Xét đồ thị G như trong hình a dưới đây. Có thể biểu diễn G một cách khác như trong
hình b, trong đó bất kỳ hai cạnh nào cũng không cắt nhau.
b
b
d
e
a
a
e
d
c
c
104
4) Đồ thị đầy đủ K5 là một thí dụ về đồ thị không phẳng (xem Định lý 7.2.2).
7.1.2. Định nghĩa: Cho G là một đồ thị phẳng. Mỗi phần mặt phẳng giới hạn bởi một
chu trình đơn không chứa bên trong nó một chu trình đơn khác, gọi là một miền (hữu
hạn) của đồ thị G. Chu trình giới hạn miền là biên của miền. Mỗi đồ thị phẳng liên
thông có một miền vô hạn duy nhất (là phần mặt phẳng bên ngoài tất cả các miền hữu
hạn). Số cạnh ít nhất tạo thành biên gọi là đai của G; trường hợp nếu G không có chu
trình thì đai chính là số cạnh của G.
Thí dụ 2: 1) Một cây chỉ có một miền, đó là miền vô hạn.
c
2) Đồ thị phẳng ở hình bên có 5 miền, M5
là miền vô hạn, miền M1 có biên abgfa,
b
d
M2
a
miền M2 có biên là bcdhgb, … Chu
trình đơn abcdhgfa không giới hạn một
miền vì chứa bên trong nó chu trình đơn
khác là abgfa.
M1
g
M5
h
M4
M3
f
e
7.1.3. Định lý (Euler, 1752): Nếu một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh và d
miền thì ta có hệ thức:
n p + d = 2.
Chứng minh: Cho G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh và d miền.
Ta bỏ một số cạnh của G để được một cây khung của G. Mỗi lần ta bỏ một cạnh
(p giảm 1) thì số miền của G cũng giảm 1 (d giảm 1), còn số đỉnh của G không thay đổi
(n không đổi). Như vậy, giá trị của biểu thức n p + d không thay đổi trong suốt quá
trình ta bỏ bớt cạnh của G để được một cây. Cây này có n đỉnh, do đó có n 1 cạnh và
cây chỉ có một miền, vì vậy:
n p + d = n (n 1) + 1 = 2.
Hệ thức n p + d = 2 thường gọi là “hệ thức Euler cho hình đa diện”, vì được
Euler chứng minh đầu tiên cho hình đa diện có n đỉnh, p cạnh và d mặt. Mỗi hình đa
diện có thể coi là một đồ thị phẳng. Chẳng hạn hình tứ diện ABCD và hình hộp
ABCDA’B’C’D’ có thể biểu diễn bằng các đồ thị dưới đây.
A
B
C
A
D
D
A’
D’
B
C
B’
C’
7.1.4. Hệ quả: Trong một đồ thị phẳng liên thông tuỳ ý, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh
có bậc không vượt quá 5.
105
Chứng minh: Trong đồ thị phẳng mỗi miền được bao bằng ít nhất 3 cạnh. Mặt khác,
mỗi cạnh có thể nằm trên biên của tối đa hai miền, nên ta có 3d 2p.
Nếu trong đồ thị phẳng mà tất cả các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 6 thì do mỗi
đỉnh của đồ thị phải là đầu mút của ít nhất 6 cạnh mà mỗi cạnh lại có hai đầu mút nên ta
có 6n 2p hay 3n p. Từ đó suy ra 3d+3n 2p+p hay d+n p, trái với hệ thức Euler
d+n=p+2.
7.2. ĐỒ THỊ KHÔNG PHẲNG.
7.2.1. Định lý: Đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 là một đồ thị không phẳng.
Chứng minh: Giả sử K3,3 là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 6 đỉnh
(n=6) và 9 cạnh (p=9), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền là d=pn+2=5.
Ở đây, mõi cạnh chung cho hai miền, mà mỗi miền có ít nhất 4 cạnh. Do đó
4d2p, tức là 4x52x9, vô lý.
Như vậy định lý này cho ta lời giải của bài toán “Ba nhà ba giếng”, nghĩa là
không thể thực hiện được việc làm các đường khác đến giếng sao cho các đường này đôi
một không giao nhau.
7.2.2. Định lý: Đồ thị đầy đủ K5 là một đồ thị không phẳng.
Chứng minh: Giả sử K5 là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 5 đỉnh (n=5)
và 10 cạnh (p=10), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền là d=pn+2=7.
Trong K5, mỗi miền có ít nhất 3cạnh, mỗi cạnh chung cho hai miền, vì vậy
3d2n, tức là 3x72x10, vô lý.
7.2.3. Chú ý: Ta đã thấy K3,3 và K5 là không phẳng. Rõ ràng, một đồ thị là không
phẳng nếu nó chứa một trong hai đồ thị này như là đồ thị con. Hơn nữa, tất cả các đồ thị
không phẳng cần phải chứa đồ thị con nhận được từ K3,3 hoặc K5 bằng một số phép toán
cho phép nào đó.
Cho đồ thị G, có cạnh (u,v). Nếu ta xoá cạnh (u,v), rồi thêm đỉnh w cùng với hai
cạnh (u,w) và (w,v) thì ta nói rằng ta đã thêm đỉnh mới w (bậc 2) đặt trên cạnh (u,v) của
G.
Đồ thị G’ được gọi là đồng phôi với đồ thị G nếu G’ có được từ G bằng cách
thêm các đỉnh mới (bậc 2) đặt trên các cạnh của G.
Thí dụ 3:
a
a
u
b
v
c
u
b
w
v
c
d
G
G’
106
Đồ thị G là đồng phôi với đồ thị G’.
Nhà toán học Ba Lan, Kuratowski, đã thiết lập định lý sau đây vào năm 1930.
Định lý này đã biểu thị đặc điểm của các đồ thị phẳng nhờ khái niệm đồ thị đồng phôi.
7.2.4. Định lý (Kuratowski): Đồ thị là không phẳng khi và chỉ khi nó chứa một đồ
thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5.
Thí dụ 4:
b
b
a
f
c
a
b
f
c
a
d
d
c
e
e
e
d
f
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Đồ thị trong hình 1 và 2 là đồ thị phẳng. Các đồ thị này có 6 đỉnh, nhưng không
chứa đồ thị con K3,3 được vì có đỉnh bậc 2, trong khi tất cả các đỉnh của K3,3 đều có bậc
3; cũng không thể chứa đồ thị con K5 được vì có những đỉnh bậc nhỏ hơn 4, trong khi
tất cả các đỉnh của K5 đều có bậc 4.
Đồ thị trong hình 3 là đồ thị không phẳng vì nếu xoá đỉnh b cùng các cạnh (b,a),
(b,c), (b,f) ta được đồ thị con là K5.
7.3. TÔ MÀU ĐỒ THỊ.
7.3.1. Tô màu bản đồ:
Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng. Trong một bản đồ, ta coi hai miền có
chung nhau một đường biên là hai miền kề nhau (hai miền chỉ có chung nhau một điểm
biên không được coi là kề nhau). Một bản đồ thường được tô màu, sao cho hai miền kề
nhau được tô hai màu khác nhau. Ta gọi một cách tô màu bản đồ như vậy là một cách tô
màu đúng.
Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau,
chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau. Tuy nhiên việc làm đó nói chung là
không hợp lý. Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống
nhau. Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ. Một bài toán được
đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đúng một bản đồ.
Thí dụ 5: Bản đồ trong hình bên có 6 miền,
nhưng chỉ cần có 3 màu (vàng, đỏ, xanh)
để tô đúng bản đồ này. Chẳng hạn, màu vàng
được tô cho M1 và M4, màu đỏ được tô cho M2
và M6, màu xanh được tô cho M3 và M5.
M3
M4
M1 M2
M6
M5
107
7.3.2. Tô màu đồ thị:
Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị, trong đó mỗi miền
của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh; các cạnh nối hai đỉnh, nếu các miền được
biểu diễn bằng hai đỉnh này là kề nhau. Đồ thị nhận được bằng cách này gọi là đồ thị đối
ngẫu của bản đồ đang xét. Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu
phẳng. Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán tô màu các
đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề nhau có cùng một màu, mà ta
gọi là tô màu đúng các đỉnh của đồ thị.
Số màu ít nhất cần dùng để tô màu đúng đồ thị G được gọi là sắc số của đồ thị G
và ký hiệu là χ(G).
Thí dụ 6:
a
d
f
b
c
e
h
g
Ta thấy rằng 4 đỉnh b, d, g, e đôi một kề nhau nên phải được tô bằng 4 màu khác
nhau. Do đó χ(G) ≥ 4. Ngoài ra, có thể dùng 4 màu đánh số 1, 2, 3, 4 để tô màu G như
sau:
3
2
2
1
4
1
4
3
Như vậy χ(G) = 4.
7.3.3. Mệnh đề: Nếu đồ thị G chứa một đồ thị con đồng phôi với đồ thị đầy đủ Kn thì
χ(G) ≥ n.
Chứng minh: Gọi H là đồ thị con của G đồng phôi với Kn thì χ(H) ≥ n. Do đó χ(G) ≥ n.
7.3.4. Mệnh đề: Nếu đơn đồ thị G không chứa chu trình độ dài lẻ thì χ(G) =2.
Chứng minh: Không mất tính chất tổng quát có thể giả sử G liên thông. Cố định đỉnh u
của G và tô nó bằng màu 0 trong hai màu 0 và 1. Với mỗi đỉnh v của G, tồn tại một
đường đi từ u đến v, nếu đường này có độ dài chẵn thì tô màu 0 cho v, nếu đường này có
độ dài lẻ thì tô màu 1 cho v. Nếu có hai đường đi mang tính chẵn lẻ khác nhau cùng nối
108
u với v thì dễ thấy rằng G phải chứa ít nhất một chu trình độ dài lẻ. Điều mâu thuẫn này
cho biết hai màu 0 và 1 tô đúng đồ thị G.
7.3.5. Mệnh đề: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một đồ thị không chứa K3 và có
sắc số bằng n.
Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n.
Trường hợp n=1 là hiển nhiên.
Giả sử ta có đồ thị Gn với kn đỉnh, không chứa K3 và có sắc số là n. Ta xây dựng
n
đồ thị Gn+1 gồm n bản sao của Gn và thêm kn đỉnh mới theo cách sau: mỗi bộ thứ tự
(v1, v2, …, vn), với vi thuộc bản sao Gn thứ i, sẽ tương ứng với một đỉnh mới, đỉnh mới
này được nối bằng n cạnh mới đến các đỉnh v1, v2, …, vn. Dễ thấy rằng Gn+1 không chứa
K3 và có sắc số là n+1.
7.3.6. Định lý (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng đều có
thể tô đúng bằng 5 màu.
Chứng minh: Cho G là một đồ thị phẳng. Không mất tính chất tổng quát có thể xem G
là liên thông và có số đỉnh n ≥ 5. Ta chứng minh G được tô đúng bởi 5 màu bằng quy
nạp theo n.
Trường hợp n=5 là hiển nhiên. Giả sử định lý đúng cho tất cả các đồ thị phẳng có
số đỉnh nhỏ hơn n. Xét G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh.
Theo Hệ quả 7.1.4, trong G tồn tại đỉnh a với deg(a) ≤ 5. Xoá đỉnh a và các cạnh
liên thuộc với nó, ta nhận được đồ thị phẳng G’ có n−1 đỉnh. Theo giả thiết quy nạp, có
thể tô đúng các đỉnh của G’ bằng 5 màu. Sau khi tô đúng G’ rồi, ta tìm cách tô đỉnh a
bằng một màu khác với màu của các đỉnh kề nó, nhưng vẫn là một trong 5 màu đã dùng.
Điều này luôn thực hiện được khi deg(a) < 5 hoặc khi deg(a)=5 nhưng 5 đỉnh kề a đã
được tô bằng 4 màu trở xuống.
Chỉ còn phải xét trường hợp deg(a)=5 mà 5 đỉnh kề a là b, c, d, e ,f đã được tô
bằng 5 màu rồi. Khi đó trong 5 đỉnh b, c, d, e ,f phải có 2 đỉnh không kề nhau, vì nếu 5
đỉnh đó đôi một kề nhau thì b c d e f là đồ thị đầy đủ K5 và đây là một đồ thị không
phẳng, do đó G không phẳng, trái với giả thiết. Giả sử b và d không kề nhau (Hình 1).
(5)
(5)
f
f
f
(1)
a
a
a
c
e
e
(2)
e
(2)
b
(1)
b
d
(1)
d
(2)
c
c
(2)
(3)
(4)
n
m
m
m
n
n
Hình 1
Hình 2
Hình 3
109
Xoá 2 đỉnh b và d và cho kề a những đỉnh trước đó kề b hoặc kề d mà không kề a (Hình
2), ta được đồ thị mới G’’ có n−2 đỉnh. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể tô đúng G’’
bằng 5 màu. Sau khi các đỉnh của G’’ được tô đúng rồi (Hình 2), ta dựng lại 2 đỉnh b và
d, rồi tô b và d bằng màu đã tô cho a (màu 1, Hình 3), còn a thì được tô lại bằng màu
khác với màu của b, c, d, e, f. Vì b và d không kề nhau đã được tô bằng cùng màu 1, nên
với 5 đỉnh này chỉ mới dùng hết nhiều lắm 4 màu.. Do đó G được tô đúng bằng 5 màu.
7.3.7. Định lý (Định lý 4 màu của Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng đều có thể tô
đúng bằng 4 màu.
Định lý Bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm 1850 bởi
một sinh viên người Anh tên là F. Guthrie và cuối cùng đã được hai nhà toán học Mỹ là
Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh vào năm 1976. Trước năm 1976 cũng
đã có nhiều chứng minh sai, mà thông thường rất khó tìm thấy chỗ sai, đã được công bố.
Hơn thế nữa đã có nhiều cố gắng một cách vô ích để tìm phản thí dụ bằng cách cố vẽ
bản đồ cần hơn bốn màu để tô nó.
Có lẽ một trong những chứng minh sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng
minh sai “bài toán bốn màu” được công bố năm 1879 bởi luật sư, nhà toán học nghiệp
dư Luân Đôn tên là Alfred Kempe. Nhờ công bố lời giải của “bài toán bốn màu”,
Kempe được công nhận là hội viên Hội Khoa học Hoàng gia Anh. Các nhà toán học
chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới 1890, khi Percy Heawood phát hiện ra
sai lầm trong chứng minh của Kempe. Mặt khác, dùng phương pháp của Kempe,
Heawood đã chứng minh được “bài toán năm màu” (tức là mọi bản đồ có thể tô đúng
bằng 5 màu).
Như vậy, Heawood mới giải được “bài toán năm màu”, còn “bài toán bốn màu”
vẫn còn đó và là một thách đố đối với các nhà toán học trong suốt gần một thế kỷ. Việc
tìm lời giải của “bài toán bốn màu” đã ảnh hưởng đến sự phát triển theo chiều hướng
khác nhau của lý thuyết đồ thị.
Mãi đến năm 1976, khai thác phương pháp của Kempe và nhờ công cụ máy tính
điện tử, Appel và Haken đã tìm ra lời giải của “bài toán bốn màu”. Chứng minh của họ
dựa trên sự phân tích từng trường hợp một cách cẩn thận nhờ máy tính. Họ đã chỉ ra
rằng nếu “bài toán bốn màu” là sai thì sẽ có một phản thí dụ thuộc một trong gần 2000
loại khác nhau và đã chỉ ra không có loại nào dẫn tới phản thí dụ cả. Trong chứng minh
của mình họ đã dùng hơn 1000 giờ máy. Cách chứng minh này đã gây ra nhiều cuộc
tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quan trọng biết bao. Chẳng hạn, liệu có thể có sai
lầm trong chương trình và điều đó dẫn tới kết quả sai không? Lý luận của họ có thực sự
là một chứng minh hay không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin ra từ một máy tính không
đáng tin cậy?
110
7.3.8. Những ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị:
1) Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào
có hai môn thi cùng một lúc.
Có thể giải bài toán lập lịch thi bằng mô hình đồ thị, với các đỉnh là các môn thi,
có một cạnh nối hai đỉnh nếu có sinh viên phải thi cả hai môn được biểu diễn bằng hai
đỉnh này. Thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy
việc lập lịch thi sẽ tương ứng với việc tô màu đồ thị này.
Chẳng hạn, có 7 môn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học đuợc đánh số từ 1 tới
7 và các cặp môn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và
4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 6, 5 và 7, 6 và 7. Hình dưới
đây biểu diễn đồ thị tương ứng. Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này. Vì số
màu của đồ thị này là 4 nên cần có 4 đợt thi.
1
Đỏ
7
2
Xanh
Nâu
6
3
Vàng
Đỏ
5
4
Vàng
Nâu
2) Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số 1 tới số 12 được phân chia cho các
đài truyền hình sao cho không có đài phát nào cách nhau không quá 240 km lại dùng
cùng một kênh. Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình tô màu đồ thị.
Ta xây dựng đồ thị bằng cách coi mỗi đài phát là một đỉnh. Hai đỉnh được nối với
nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá 240 km. Việc phân chia kênh
tương ứng với việc tô màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh.
3) Các thanh ghi chỉ số: Trong các bộ dịch hiệu quả cao việc thực hiện các vòng lặp
được tăng tốc khi các biến dùng thường xuyên được lưu tạm thời trong các thanh ghi chỉ
số của bộ xử lý trung tâm (CPU) mà không phải ở trong bộ nhớ thông thường. Với một
vòng lặp cho trước cần bao nhiêu thanh ghi chỉ số? Bài toán này có thể giải bằng mô
hình tô màu đồ thị. Để xây dựng mô hình ta coi mỗi đỉnh của đồ thị là một biến trong
vòng lặp. Giũa hai đỉnh có một cạnh nếu các biến biểu thị bằng các đỉnh này phải được
lưu trong các thanh ghi chỉ số tại cùng thời điểm khi thực hiện vòng lặp. Như vậy số
màu của đồ thị chính là số thanh ghi cần có vì những thanh ghi khác nhau được phân
cho các biến khi các đỉnh biểu thị các biến này là liền kề trong đồ thị.
111
BÀI TẬP CHƯƠNG VI:
1. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 mặt, tất cả các đỉnh đều có bậc 4.
Tìm số đỉnh của đồ thị G.
2. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có 9 đỉnh, bậc các đỉnh là 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4,
4, 5. Tìm số cạnh và số mặt của G.
3. Tìm số đỉnh, số cạnh và đai của:
a) Kn;
b) Km,n.
4. Chứng minh rằng:
a) Kn là phẳng khi và chỉ khi n ≤ 4.
b) Km,n là phẳng khi và chỉ khi m ≤ 2 hay n ≤ 2.
5. Đồ thị nào trong các đồ thị không phẳng sau đây có tính chất: Bỏ một đỉnh bất kỳ và
các cạnh liên thuộc của nó tạo ra một đồ thị phẳng.
a) K5;
b) K6;
c) K3,3.
6. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh và m cạnh, trong đó n ≥ 3. Chứng
minh rằng:
m ≤ 3n − 6.
7. Trong các đồ thị ở hình dưới đây, đồ thị nào là phẳng, đồ thị nào không phẳng? Nếu
đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị không phẳng?
a
f
b
h
b
a
c
g
c
b
f
f
g
g
d
f
e
d
d
e
c
e
G1
G2
G3
8. Chứng minh rằng đồ thị Peterson (đồ thị trong Bài tập 8, Chương IV) là đồ thị không
phẳng.
9. Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh và đai là g, với g ≥ 3. Chứng
minh rằng:
g
m ≤
(n − 2).
g 2
10. Đa diện lồi có d mặt (d ≥ 5), mà từ mỗi đỉnh có đúng 3 cạnh. Hai người chơi trò
chơi như sau: mỗi người lần lượt tô đỏ một mặt trong các mặt còn lại. Người thắng là
112
người tô được 3 mặt có chung một đỉnh. Chứng minh rằng tồn tại cách chơi mà người
được tô trước luôn luôn thắng.
11. Chứng minh rằng:
a) Một đồ thị phẳng có thể tô đúng các đỉnh bằng hai màu khi và chỉ khi đó là đồ thị
phân đôi.
b) Một đồ thị phẳng có thể tô đúng các miền bằng hai màu khi và chỉ khi đó là đồ thị
Euler.
12. Tìm sắc số của các đồ thị cho trong Bài tập 7.
13. Tìm sắc số của các đồ thị Kn, Km,n, Cn, và Wn.
14. Khoa Toán có 6 hội đồng họp mỗi tháng một lần. Cần có bao nhiêu thời điểm họp
khác nhau để đảm bảo rằng không ai bị xếp lịch họp hai hội đồng cùng một lúc, nếu các
hội đồng là:
H1 = {H, L, P}, H2 = {L, M, T}, H3 = {H, T, P}.
15. Một vườn bách thú muốn xây dựng chuồng tự nhiên để trưng bày các con thú.
Không may, một số loại thú sẽ ăn thịt các con thú khác nếu có cơ hội. Có thể dùng mô
hình đồ thị và tô màu đồ thị như thế nào để xác định số chuồng khác nhau cần có và
cách nhốt các con thú vào các chuồng thú tự nhiên này?
16. Chứng minh rằng một đơn đồ thị phẳng có 8 đỉnh và 13 cạnh không thể được tô
đúng bằng hai màu.
17. Chứng minh rằng nếu G là một đơn đồ thị phẳng có ít hơn 12 đỉnh thì tồn tại trong
G một đỉnh có bậc ≤ 4. Từ đó hãy suy ra rằng đồ thị G có thể tô đúng bằng 4 màu.
113
10 trang
06/05/2022
3740
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Toán rời rạc - Chương VII: Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_roi_rac_chuong_vii_do_thi_phang_va_to_mau_do.doc
