Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ

• Sự làm việc ổn định

• Tuyến tính hóa

• Phân tích ổn định hệ thống

• Phương pháp hàm năng lượng trong hệ thống cơ

• Phương pháp hàm năng lượng trong các hệ thống điện cơ

1

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Khảo sát sự làm việc ổn định của hệ thống cơ

• Khi nhiễu tác động nhỏ (các biến trạng thái hay tín hiệu đầu vào

thay đổi nhỏ)

Æ dùng phương pháp tuyến tính hóa.

• Khi nhiễu tác động lớn

Æ dùng phương pháp số Æ nghiệm trong miền thời gian.

Trong một số trường hợp có thể dùng các hàm năng lượng

để xét sự ổn định của hệ thống.

2

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 1

Tuyến tính hóa hệ thống có một biến

• Phương trình vi phân bậc một phi tuyến:

ꢀ

x = f

(

x,u

)

Khai triển gần đúng bậc nhất hàm f(x,u) theo chuổi Taylor quanh điểm làm

việc cân bằng x^evà û (û: tín hiệu đầu vào)

∂f

∂x

∂f

∂u _u=u

⋅ x − x^e

+

ꢀ

ˆ

⋅ u − u

(

x = f x,u = f

+

(

)

e

(

)

ˆ

x=x , u=u

x=x^e

ˆ

Tuyến tính hóa phương trình trạng thái tại điểm x^evà u=û

∂f

∂x

∂f

∂u _u=u

ꢀ

Δx =

⋅Δx +

⋅Δu

x=x^e

ˆ

e

Δx = x − x^e

Δu = u − u

f x ,u = 0

ˆ

Với

(

)

∂f

∂x

∂f

∂x ₀

Nếu u=û=const Æ chỉ tuyến tính hóa

phương trình trạng thái tại điểm x^e:

ꢀ

Δx =

⋅Δx hay Δx =

⋅Δx

x=x^e

3

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Phân tích ổn định hệ thống

• Phương trình vi phân bậc hai phi tuyến

d ²x

dt²

dx

dt

d²x B dx

1

M

+ B

= f

(

x,u

)

+

−

f x,u = 0

hay

(

)

dt²M dt

M

Tuyến tính hóa tại x=x^e:

d²Δx B dΔx

+

+ω₀²⋅Δx = 0

dt²

M dt

∂f x

( )

∂x

1

ω₀²= −

đặt

M

x=x^e

B

s²+ s +ω₀²= 0

Phương trình đặc trưng

Æ nghiệm

M

B

B²

4M ²

s₁,s₂= −

±

−ω₀²

2M

4

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 2

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

B

B²

4M ²

∂f x

1

( )

ω₀²= −

> 0

s₁,s₂= −

±

−ω₀²

Trường hợp I B>0, M>0,

nếu

M

∂x

2M

x=x^e

B²

Δx(t) = C₁e^s¹^t+ C₂e^s²^t

Δx(t) = C₁e^st+ C₂e^st

−ω₀²> 0

−ω₀²= 0

−ω₀²< 0

s₁, s₂<0

•

4M ²

nghiệm

B²

4M ²

s₁=s₂=s<0

B²

4M ²

Δx(t) = C₁e^{(−α+ jβ )t}+ C₂e^{(−α − jβ )t}

= e^−αt(Acosβt + Bsin βt)

s_1,2=-α±jβ (-α<0)

trong cả 3 trường hợp t Æ ∞ Ö Δx Æ0 hay xÆx^e

Æ Hệ thống ổn định (hay điểm cân bằng là ổn định)

ie, các nghiệm của phương trình đặc trưng (hoặc giá trị riêng của ma

trận A) đều thuộc về nửa bên trái của hệ trục tọa độ.

5

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

2

Trường hợp II B>0, M>0, -ω₀>0

Một trong hai nghiệm s₁, s₂là số thực dương:

t Æ ∞ ÖΔx Æ ∞

Æ điểm làm việc cân bằng không ổn định

Trường hợp đặc biệt B=0, M>0

2

• nếu -ω₀>0

Æ s₁và s₂là 2 số thực trái dấu

Æ điểm làm việc cân bằng không

ổn định

∂f x

( )

∂x

∂f x

(

∂x

)

> 0

Ý nghĩa vật lý

> 0

0

6

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 3

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

Trường hợp đặc biệt B=0, M>0

2

• nếu -ω₀<0

Æ s₁và s₂là 2 số liên hợp phức

trái dấu với phần thực bằng không

Æ khối lượng dịch chuyển theo

hàm sin quanh điểm cân bằng

∂f

x

)

(

< 0

∂x

0

Æ điểm làm việc cân bằng là ổn

định

∂f x

( )

Ý nghĩa vật lý

< 0

∂x

0

7

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

Ví dụ 5.1

I₀

1

L₀λ²

W_m^'=

I₀², x > 0

2 1+ x a

(

)

x

d²x

dt²

M

= Mg + f ^e

Mg

(a) Tìm điểm cân bằng x_e>0

(b) Tìm min I₀sao cho hệ thống cân bằng

(c) Điểm cân bằng có ổn định không?

8

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 4

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

Ví dụ 5.1

(a) Tìm điểm cân bằng x^e>0

I₀

∂W_m^'

1

2

L₀I₀²

1

f ^e=

= −

Tính lực điện từ

2

∂x

a

1+ x a

(

)

x

Tìm điểm cân bằng từ phương trình

d²x

M

= Mg + f ^e= 0

dt²

Mg

1

2

L₀I₀²

1

Mg =

2

a

1+ x a

(

)

L₀I₀²

⎛

⎞

x = a ±

−1

⎜

⎟

⎠

⎜

⎝

2Mga

L₀I₀²

⎛

⎞

x^e= a

−1

Do x^e>0

⎜

⎝

⎟

⎠

2Mga

9

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

Ví dụ 5.1

I₀

(b) Tìm min I₀sao cho hệ thống cân bằng

Để x^e>0

x

L₀I₀²

2Mga

x^e=

−1> 0 → I₀>

2Mga

L₀

Mg

10

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 5

I₀

Phân tích ổn định hệ thống (tt)

Ví dụ 5.1

x

(c) Điểm cân bằng có ổn định không?

d²x

dt²

Tuyến tính hóa phương trình:

M

= Mg + f ^e

d²Δx 1 ∂f ^e

1

L₀I₀²

1+ x^ea

1

a²

Mg

=

⋅Δx =

⋅ Δx = −ω₀²Δx

3

dt²

M ∂x

M

x=x^e

(

)

Đây là trường hợp đặc biệt B=0, M>0

1

L₀I₀²

1+ x^ea

1

1 ∂f ^e

−ω₀²=

=

> 0 do 1+ x^ea > 0

3

M

a²M ∂x

x=x^e

(

)

Æ s₁và s₂là 2 số thực trái dấu

Æ cân bằng không ổn định

11

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Phương pháp hàm năng lượng trong hệ thống cơ

Tự học 5.5 Æ 5.7 [1]

Phương pháp hàm năng lượng trong hệ thống cơ

Hàm năng lượng trong hệ thống điện cơ

12

BMTBD-BĐNLĐC-nxcuong-V3

Page 6