Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Động lực học - Chương 14: Phương trình tổng quát động lực học và phương trình Lagrange II

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

NỘI DUNG

1. Phương trình tổng quát động lưc học

2. Phương trình Lagrange II

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

1. Phương trình tổng quát động lực học

Phương trình tổng quát động lực học

N

JJG

JJG JG

F − m W δ r = 0

(

)

∑

k

k =1

N

⎡

(

⎤

k

ꢀꢀ

)

⇒

F − m x δ x + F − m y δ y + F − m z δ z = 0

)

(

)

∑

kx

k

ky

k

kz

k

⎣

⎦

k =1

Phương trình Lagrange II

Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa

độ suy rộng đầy đủ và độc lập tuyến tính

r

⎛

⎞

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

∂T

∂q_i

−

δ q =

Q δ q

⎜

⎟

∑

i

dt ∂q_i

i=1

⎝

d

⎠

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

∂T

∂q_i

⇒

−

= Q_i

ꢀ

dt ∂q_i

⎝

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

1

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

Ví dụ: Cho tải A khối lượng m₁, con lăn khối lượng m₂, các bán kính

R=3r và bán kính quán tính đối với trục qua tâm là ρ. Biết con lăn lăn

không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu

đứng yên. Xác định vận tốc, gia tốc tải A.

M

B

+

I

H

A

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

1. Phương trình tổng quát động lực học

N_I

Cơ hệ một bậc tự do nên ta chọn hệ tọa độ suy

rộng q₁=h

ω

M

*Tính lực suy rộng Q₁

B

I

+

Cho hệ một DCKD từ vị trí ban đầu: tải A đi lên

F_ms

δ h

δϕ =

2r

P

B

H

ϕ

Công di khả dĩ

h

δ

A

=

δ

A(P )

+

δ

A(P )

+

δ

A(M )

∑

k

A

B

A

= −P_Aδ h + 0 + Mδϕ

P_A

δ h

= −P_Aδ h + M

2r

M

⎛

⎞

⎠

⎛

⎝

⎞

⇒ Q₁=

− P_A

⇒

δ A =

− P_Aδ h =

− P_Aδ q₁

∑

k

⎜

⎝

⎟

⎜

⎟

2r

⎠

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

2

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

1. Phương trình tổng quát động lực học

*Tính động năng

T

=

T

_A

+

T

_B

1

=

m₁V_A²+ J_Bω²+ m₂V_B²

2

1

2

1

V_A²

1

2

V_A²

=

m₁V_A²+ m₂ρ ²

+

m₂

2

4r²

4

2

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

⎟

⎠

1 4r m₁+ (r + ρ )m₂

2

1 4r m₁+ (r + ρ )m₂

2

V ²

=

h

ꢀ

=

⎜

A

4r²

⎝

*Tính các đạo hàm

2

∂T

;

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

∂T ∂T

ꢀ

∂q₁

∂h

4r m₁+ (r + ρ )m₂

ꢀ

= 0

=

h

4r²

ꢀ

∂q₁

2

⎛

⎞

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

4r m₁+ (r + ρ )m₂

4r²

ꢀꢀ

⇒

=

h

⎜

⎟

⎠

dt ∂q₁

⎝

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

1. Phương trình tổng quát động lực học

*Áp dụng phương trình Lagrange II

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

∂T

∂q_i

−

= Q_i

dt ∂q_i

⎝

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

⎛

⎜

⎝

∂T

∂q₁

−

= Q₁

dt ∂q₁

⎝

2

⎞

4r m₁+ (r + ρ )m₂

4r²

M

ꢀꢀ

⇒

h + 0 =

− P_A

⎟

2r

⎠

M − 2rm₁g

4r²m₁+ (r²+ ρ ²)m₂

ꢀꢀ

⇒ h = W_A= 2r

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

3

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

Ví dụ: Cho tải A trọng lượng P_A, con lăn trụ tròn B khối lượng P_B, ròng

rọc C khối lượng P_Ccác bán kính R₁=2R₂=2R₀và bán kính quán tính

đối với trục qua tâm là ρ. Biết con lăn lăn không trượt, bỏ qua khối

lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định vận

tốc, gia tốc tải A.

M

s_B

R₁

C

R₁

R₂

B

P_B

h

A

P_A

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

M

Cơ hệ một bậc tự do nên ta chọn hệ

tọa độ suy rộng q₁=h

R₁

s_B

C

*Tính lực suy rộng Q₁

R₁

R₂

Cho hệ một DCKD từ vị trí ban đầu:

tải A đi xuống

B

P_B

h

A

δ h

2R₀

δ h

2

δϕ =

;δ s_B= δϕ R₀=

P_A

Công di khả dĩ

= P_Aδ h − P sinαδ s_B+ M δϕ

δ A = δ A(P ) + δ A(P ) + δ A(M )

B

∑

k

A

B

δ h

2R₀

= P_Aδ h − P sinα

+ M

B

2

+

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

⎟

⎠

sinα

M

sinα

M

⇒

δ A = P − P

+

δ h = P − P

δ q

⎜

∑

k

A

B

A

B

1

2

2R₀

2

2R₀

⎝

sinα

M

⇒ Q₁= P_A− P_B

+

2

2R₀

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

4

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

*Tính động năng

⎛

⎞

1 P

1

2

⎞

⎟

⎠

T = T_A+ T_B+ T_C=

^AV_A²+

^BV_B²+ J_Bω_B²

+

J_Cω_C²

1 P

⎜

⎝

⎟

⎠

2 g

1 P

2 g

2

1 P_BV_A1 1 P_BV_A²

+

V_A²

2

⎛

⎜

⎝

^AV ²+

+

ρ ²

C

=

A

2 g

2 g 4 2 2 g 4²

2 g

4R₀²

1 32R₀²P_A+ 9R₀²P_B+ 8ρ ²P

2

1 32R₀²P_A+ 9R₀²P + 8ρ ²P

2

^C)V_A²

=

(

)h

B

C

ꢀ

=

(

32R₀²g

2

32R₀²g

*Tính các đạo hàm

2

∂T

∂q₁

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

∂T ∂T

ꢀ

∂q₁

∂h

32R₀P_A+ 9R₀P + 8ρ P

B

C

ꢀ

;

= 0

=

h

32R₀²g

ꢀ

2

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

32R₀P_A+ 9R₀P + 8ρ P

B

C

ꢀꢀ

⇒

=

h

⎜

dt ∂q₁

32R₀²g

⎝

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

*Áp dụng phương trình Lagrange II

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

∂T

∂q_i

−

= Q_i

dt ∂q_i

⎝

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

∂q₁

2

−

= Q₁

ꢀ

dt ∂q₁

⎝

2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

32R₀P_A+ 9R₀P + 8ρ P

sinα

M

B

C

ꢀꢀ

h − 0 = P − P

⇒

+

A

B

32R₀²g

2

2R₀

2R₀P_A− R₀P sinα + M

B

ꢀꢀ

⇒ h = 16gR₀

32R₀²P_A+ 9R₀²P + 8ρ ²P

B

C

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

5

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

Ví dụ: Cho lăng trụ A như hình vẽ khối lượng m₁con lăn trụ tròn đồng

chất tâm B khối lượng m₂, con lăn lăn không trượt, bỏ qua ma sát trượt

giữa A và nền, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định gia tốc A và B.

M

B

P_B

s

x

A

P_A

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

M

Cơ hệ hai bậc tự do nên ta chọn hệ tọa độ suy

rộng q₁=x độ dời lăng trụ A, q₂=s độ dời tương

đối của tâm B với lăng trụ A

B

*Tính lực suy rộng Q₁

s

Cho hệ một DCKD đặc biệt

δ q₁= δ x > 0 ;δ q₂= δ s = 0

x

P_B

A

(Gắn chặt B vào lăng trụ A)

P_A

⇒

δ A = δ A(P ) + δ A(P ) + δ A(M )

∑

k

A

B

⇒

Q

=

0

=

0

+

0

+

0

=

0

1

*Tính lực suy rộng Q₂

Cho hệ một DCKD đặc biệt

δ q₁= δ x = 0 ;δ q₂= δ s > 0

δ s

R

⇒

δ A = δ A(P ) + δ A(P ) + δ A(M )

= 0 + P δ s sinα + M

∑

k

A

B

M

= (P sinα + )δ s⇒ Q₂= m₂g sinα +

B

R

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

6

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 13

29/05/2009

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

*Tính động năng

*Quan hệ động học

ꢀ

s

ꢀ

V_A= x

;ω = ϕ_B=

R

JJG JJG

JJG

e

r

Tâm B chuyển động phức hợp

V_B= V_B+V_B

e

r

ꢀ

V_B= V_A= x

ꢀ

;V_B= s

2

e

2

r

2

e

r

2

ꢀ

ꢀꢀ

⇒ V_B= (V_B) + (V_B) + 2V_BV_Bcosα = (x) + (s) + 2xs cosα

1

=

m₁V_A²+ m₂V_B²+ J_Bω²

T

=

T

_A

+

T_B

2

1

2

ꢀ

m₂R²

1

1 1

2 2

s

2

ꢀ

ꢀꢀ

=

m₁x + m₂(x + s + 2xs cosα ) +

2

1

2

R²

3

2

ꢀ

ꢀꢀ

(m₁+ m₂)x + m₂s + m₂xs cosα

2

4

CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương

trình Lagrange II

2. Phương trình Lagrange II

*Tính các đạo hàm

∂T ∂T

∂q₁∂x

∂T

∂q₂∂s

∂T

=

0 ;

=

0

∂T ∂T

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

=

= (m₁+ m₂)x + m₂s cosα

ꢀꢀ

⇒

= (m + m )x + m s cosα

1

2

ꢀ

∂T

ꢀ

∂T

ꢀ

∂q₁∂x

ꢀ

dt ∂q₁

⎝

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

3

ꢀꢀ

⇒

=

m₂s + m₂x cosα

ꢀ

=

m₂s + m₂x cosα

ꢀ

dt ∂q₂

2

ꢀ

∂q₂∂s

2

⎝

Phương trình Lagrange II

ꢀꢀ

(m₁+ m₂)x + m₂s cosα = 0

⎧

⎪

⎨

⎩

⎧

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

ꢀ

∂T

ꢀ

∂T

∂q₁

−

= Q₁

= Q₂

⎪

⎨

⇒

3

M

R

dt ∂q₁

⎝

ꢀꢀ

m₂x cosα + m₂s = m₂g sinα +

⎪

2

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

d

∂T

∂q₂

⎪

Giải hệ phương trình trên ta được gia

tốc của A và gia tốc tương đối của B

⎪

dt ∂q₂

⎝

⎩

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

7

Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Động lực học - Chương 14: Phương trình tổng quát động lực học và phương trình Lagrange II - Nguyễn Duy Khương