Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 1+2: Các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học. Hệ lực

Häc phÇn 1: C¬ häc vËt r¾n tuyÖt ®èi

Nh÷ng kh¸i niÖm më ®Çu

1.1. ChuyÓn ®éng vµ c¬ häc

ChuyÓn ®éng lµ sù biÕn ®æi tr¹ng th¸i cña mét ®èi tîng nµo ®ã theo

thêi gian.

ChuyÓn ®éng ®¬n gi¶n nhÊt lµ sù biÕn ®æi theo thêi gian vÒ vÞ trÝ

kh«ng gian cña mét tËp hîp ®iÓm nµo ®ã díi t¸c dông cña m«i

trêng.

Khoa häc nghiªn cøu quy luËt chuyÓn ®éng ®ã gäi lµ c¬ häc.

C¬ häc øng dông lµ mét lÜnh vùc cña c¬ häc.

1.2. Lùc, kh«ng gian vµ thêi gian

§iÓm vËt chÊt gäi lµ chÊt ®iÓm, tËp hîp c¸c chÊt ®iÓm cã chuyÓn

®éng phô thuéc vµo nhau gäi lµ hÖ chÊt ®iÓm hay c¬ hÖ.

Lùc lµ ®¹i lîng vÐc t¬ ®Æc trng cho t¸c dông t¬ng hç vÒ mÆt c¬ häc

gi÷a hai chÊt ®iÓm hay c¬ hÖ .

Víi mét c¬ hÖ, lùc g«m: Néi lùc vµ ngo¹i lùc.

Kh«ng gian vµ thêi gian cã tÝnh chÊt tuyÖt ®èi kh«ng phô thuéc vµo

vËt chÊt vµ chuyÓn ®éng .

1.3. M« h×nh nghiªm cøu

- M« h×nh kh¶o s¸t: §iÓm vµ vËt r¾n tuyÖt ®èi ( kh«ng chó ý ®Õn tÝnh

chÊt cña ®èi tîng ®ang xÐt )

- §iÓm lµ m« h×nh cña nh÷ng ®èi tîng mµ kÝch thíc , h×nh d¸ng cã

thÓ bá qua trong bµi to¸n ®îc xÐt.

- VRT§ lµ vËt r¾n mµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú lu«n kh«ng

®æi.

1.3.1. To¹ ®é më réng cña c¬ hÖ

-§Ó m« t¶ ChuyÓn ®éng cña mét ®èi tîng ta cÇn vËt lµm mèc hay

chuÈn ®Ó so s¸nh  gäi lµ hÖ quy chiÕu.

- VÞ trÝ cña mét ®èi tîng ®èi víi mét hÖ quy chiÕu ®· chän tríc ®îc

x¸c ®Þnh bëi mét tËp hîp sè lµ th«ng sè ®Þnh vÞ.

- TËp hîp c¸c th«ng sè ®Þnh vi x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm, vËt hoÆc hÖ

vËt gäi lµ to¹ ®é më réng.

- Sè täa ®é më réng ®ñ vµ d

z

a

( x, y, z )

m

(s)



o

x

a

y

x

z

m

y

x_a

m

y

a

(s)

m



a

x

a

o



o

b

y

x

a

z

a

( x, y, z )

m

(s)



o

x

a

y

x

z

m

y

x_a

m

y

a

(s)

m



a

x

a

o



o

b

y

x

a

II. tÜnh häc

Ch¬ng 1: c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ c¸c ®Þnh

luËt tÜnh häc

1.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n

1.1.1.HÖ lùc

HÖ lùc lµ tËp hîp nhiÒu lùc t¸c dông lªn mét vËt r¾n.

VÝ dô vµ ký hiÖu:

Hîp lùc cña hÖ lùc lµ mét lùc duy nhÊt t¬ng ®¬ng víi mét hÖ lùc.

VÝ dô vµ kÝ hiÖu:

HÖ lùc c©n b»ng lµ hÖ lùc mµ díi t¸c dông cña nã vËt r¾n tự do n»m

ë tr¹ng th¸i c©n b»ng.

Tr¹ng th¸i c©n b»ng cña mét vËt r¾n lµ tr¹ng th¸i ®øng yªn cña nã

so víi mét vËt r¾n kh¸c ®îc chän lµm hÖ qui chiÕu.

1.2.C¸c ®Þnh luËt tÜnh häc

§Þnh luËt 1: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét vËt r¾n n»m c©n b»ng díi

t¸c dông cña hai lùc lµ hai lùc ®ã cïng ®êng t¸c dông, ngîc chiÒu vµ

cïng cêng ®é.

VÝ dô:

§Þnh luËt 2: T¸c dông cña hÖ lùc kh«ng ®æi nÕu ta thªm vµo hoÆc

bít ®i hÖ hai lùc c©n b»ng

HÖ qu¶ (®Þnh lý trît lùc)

§Þnh luËt 3: Hai lùc t¸c dông t¹i mét ®iÓm t¬ng ®¬ng víi mét lùc

t¸c dông t¹i ®iÓm ®ã vµ cã vÐc t¬ b»ng vÐc t¬ ®êng chÐo cña h×nh

b×nh hµnh cã hai c¹nh lµ hai vÐc t¬ lùc cña c¸c lùc ®· cho.

§Þnh luËt 4: Lùc t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông gi÷a hai vËt cã cïng c-

êng ®é, cïng ®êng t¸c dông, híng ngîc chiÒu nhau.

§Þnh luËt 5: Mét vËt r¾n biÕn d¹ng ®· c©n b»ng díi t¸c dông cña

mét hÖ lùc th× khi ho¸ r¾n nã vÉn c©n b»ng.

§Þnh luËt 6: VËt r¾n chÞu liªn kÕt, c©n b»ng cã thÓ ®îc xem lµ vËt

r¾n tù do c©n b»ng b»ng c¸ch gi¶i phãng tÊt c¶ c¸c liªn kÕt vµ thay

thÕ t¸c dông cña c¸c liªn kÕt ®îc gi¶i phãng b»ng c¸c ph¶n lùc liªn

kÕt thÝch hîp.

1.3. Liªn kÕt vµ ph¶n lùc liªn kÕt

❖Liªn kÕt ®iÓm tùa

-Liªn kÕt ®iÓm tùa lµ liªn kÕt mµ tiÕp xóc lµ ®iÓm hoÆc ®êng.

- Ph¶n lùc kiªn kÕt t¹i chç tiÕp xóc híng theo ph¬ng ph¸p tuyÕn

chung cña hai bÒ mÆt tiÕp xóc.

- Ph¶n lùc liªn kÕt bao giê còng híng theo ph¬ng g©y liªn kÕt.

n

❖Liªn kÕt gi¸ con l¨n

❖ Liªn kÕt d©y mÒm

n

t

1

t₂

-Ph¶n lùc liªn kÕt híng theo

ph¬ng cña d©y vµ cã chiÒu híng ra ngoµi mÆt c¾t.

❖Liªn kÕt b¶n lÒ (trô, cÇu, cèi)

z

r

y

a

y

a

o

y

a

x_a

x

❖Liªn kÕt thanh

❖Liªn kÕt ngµm

z_a

3

1

m_x

m_y

s

3

a

s

1

s

2

y_a

X_a

m_z

Ch¬ng 2:

hÖ lùc

2.1. HÖ lùc ®ång quy ph¼ng

2.1.1. §Þnh nghÜa

HÖ lùc cã ®êng t¸c dông ®i qua mét ®iÓm gäi lµ hÖ lùc ®ång quy.

NÕu ®êng t¸c dông cña c¸c lùc cïng n»m trong mÆt ph¼ng ta cã hÖ

lùc ®ång quy ph¼ng.

2.1.2. D¹ng tèi gi¶n

Cho hÖ ®ång quy ph¼ng cã n lùc

Sö dông ®Þnh lý trît lùc ®a gèc cña c¸c vÐc t¬ lc vÒ ®iÓm ®ång

quy.

Sö dông ®Þnh luÊt 3 ®Ó biÕn ®æi hÖ lùc ®ång quy ph¼ng thµnh mét

lùc ®Æt t¹i ®iÓm ®ång quy.

Hîp lùc cña hÖ lùc ®ång quy ®îc biÓu diÔn b»ng vÐc t¬ chÝnh cña

hÖ lùc ®Æt t¹i ®iÓm ®ång quy.

2.1.3. §iÒu kiÖn c©n b»ng

HÖ lùc ®ång quy ph¼ng c©n b»ng khi vµ chØ khi vÐc t¬ chÝnh cña hÖ

lùc triÖt tiªu.

VÝ dô

2.2. HÖ ngÉu lùc

2.2.1. NgÉu lùc

2.2.1.1. Kh¸i niÖm

HÖ hai lùc song song, ngîc chiÒu vµ cïng cêng ®é t¹o thµnh mét

ngÉu lùc

Trong mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh ngÉu lùc ®îc biÓu diÔn b»ng m« men ®¹i

sè.

Trong kh«ng gian ngÉu lùc ®îc biÓu diÔn b»ng vÐc t¬ m« men.

2.2.1.2. BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng ngÉu lùc

Hai ngÉu lùc n»m trong cïng mét mÆt ph¼ng, cã cïng trÞ sè m«

men ®¹i sè th× t¬ng ®¬ng nhau.

Trong kh«ng gian hai ngÉu lùc cã cïng vÐc t¬ m« men th× t¬ng ®-

¬ng víi nhau.

2.2.2. HÖ ngÉu lùc

TËp hîp c¸c ngÉu lùc t¸c dông lªn mét vËt r¾n gäi lµ hÖ ngÉu lùc.

2.2.2.1. Thu gän hÖ ngÉu lùc

Hîp c¸c ngÉu lùc trong mÆt ph¼ng lµ mét ngÉu lùc n»m trong mÆt

ph¼ng ®· cho, cã m« men ®¹i sè b»ng tæng m« men ®¹i sè cña c¸c

ngÉu lùc trong hÖ.

n

m = m



k

k=1

2.2.2.2. §iÒu kiÖn c©n b»ng

HÖ ngÉu lùc ph¼ng c©n b»ng khi vµ chØ khi tæng m« men ®¹i sè cña

c¸c ngÉu lùc trong hÖ triÖt tiªu.

VÝ dô:

2.3. HÖ lùc ph¼ng

2.3.1.VÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh cña hÖ lùc ph¼ng

2.3.1.1. VÐc t¬ chÝnh cña hÖ lùc ph¼ng

VÐc t¬ chÝnh cña mét hÖ lùc ph¼ng, ký hiÖu lµ , b»ng tæng c¸c vÐc

V

t¬ lùc cña hÖ lùc.

VÐc t¬ chÝnh cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p vÐc t¬ hoÆc täa ®é

®Ò c¸c.

2.3.1.2. M« men chÝnh cña hÖ lùc ph¼ng ®èi víi mét ®iÓm

❖ M« men cña mét lùc ®èi víi mét ®iÓm O lµ mét ®¹i lîng ®¹i sè, ký



hiÖu

m_O(F) = F.d

O

F

d

F



F

LÊy dÊu (+) nÕu quay quanh O ngîc chiÒu kim ®ång hå.

❖ M« men chÝnh cña hÖ lùc ph¼ng ®èi víi mét ®iÓm

M« men chÝnh cña mét hÖ lùc ph¼ng ®èi víi mét ®iÓm O lµ mét l-

îng ®¹i sè, ký hiÖu b»ng tæng m« men cña c¸c lùc cña hÖ ®èi víi

M_O

®iÓm O.

n



1



2



k

M = m (F ) + m (F ) +....+ m (F ) = m (F )



O

n

O

k=1

❖ VÝ dô

- TÝnh Mo cña mét hÖ lùc ph¼ng.

❖ NhËn xÐt:

- VÐc t¬ chÝnh lµ vÐc t¬ tù do cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi víi mçi hÖ lùc, m«

men chÝnh phô thuéc vµo ®iÓm lÊy m« men

- M« men chÝnh cña hÖ lùc ®ång quy lÊy ®èi víi ®iÓm ®ång quy b»ng

0.

- VÐc t¬ chÝnh cña hÖ ngÉu lùc b»ng 0.

2.3.2. Thu gän hÖ lùc ph¼ng

2.3.2.1. §Þnh lý dêi lùc song song



F

Lùc ®Æt t¹i A t¬ng ®¬ng víi t¸c dông cña nã ®Æt t¹i B vµ mét ngÉu



lùc cã m« men b»ng m« men cña ®Æt t¹i A ®èi víi B

F



(A)



(A)

F [F ,m_B(F )]

(B)

Chøng minh:



F'



F



F

B



F



F

B

A



m = m_B(F)

2.3.2.2. Thu gän hÖ lùc ph¼ng vÒ mét ®iÓm

  

Gi¶ sö cã mét hÖ lùc gåm 3 lùc (

) thu lÇn lît tõng lùc vÒ

F , F , F

2

3

O (theo ®Þnh lý dêi lùc song song) ¹ta ®îc mét hÖ lùc ®ång quy ph¼ng

vµ mét hÖ ngÉu lùc ph¼ng. Thu gän hai hÖ nµy ta ®îc mét vÐc t¬



V

M_O

chÝnh ®Æt t¹i O vµ mét m« men chÝnh .

f

1

m₁

m₃

f₂

m_o

m₂

f

1

O

f

12

f₂

f₃

v

❖ §Þnh lý: HÖ lùc ph¼ng bÊt kú t¬ng ®¬ng víi mét lùc vµ mét ngÉu

lùc ®Æt t¹i mét ®iÓm tuú ý cïng n»m trong mÆt ph¼ng t¸c dông cña



hÖ lùc, t¬ng øng lµ lùc thu gän vµ ngÉu lùc thu gän

(M_O)

(V )

2.3.2.3. C¸c d¹ng chuÈn cña hÖ lùc ph¼ng

TiÕp tôc thu gän hÖ ngÉu lùc ph¼ng ta ®îc c¸c d¹ng chuÈn sau:



M_O= 0

- HÖ lùc ph¼ng c©n b»ng khi tån t¹i ®ång thêi V = 0 vµ



M_O 0

vµ

- HÖ lùc ph¼ng thu gän vÒ mét ngÉu khi

V = 0

- HÖ lùc ph¼ng cã hîp lùc khi:



M = 0

(®Æt t¹i O)

+

vµ

V



0

O

f

1

m₁

m₃

f₂

m_o

m₂

f

1

O

f

12

f₂

f₃

v



M_O

M  0

+

vµ

(®Æt c¸ch ph¬ng mét kho¶ng

vÒ phÝa

h =



V  0

O

V

phô thuéc vµo chiÒu cña m« men chÝnh ).

M_O

m_o= 0

O

v

m_o

v

O

h = M_O/ V

v

^{b»ng lµ vÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝ}^{nh cña hÖ lùc ®èi víi mét ®iÓm}

bÊt kú ph¶i ®ång thêi triÖt tiªu.

V = 0

M_O= 0

chiÕu c¸c lùc lªn hai trôc to¹ ®é vu«ng gãc vµ tæng m« men cña c¸c

lùc ®èi víi mét ®iÓm bÊt kú ph¶i ®ång thêi triÖt tiªu.

n



m (F ) = 0

F = 0



0

k



kx



ky

k=1

h×nh chiÕu cña c¸c lùc lªn trôc  vµ tæng m« men cña c¸c lùc ®èi víi

hai ®iÓm A vµ B tuú ý ph¶i ®ång thêi triÖt tiªu. Víi ®iÒu kiÖn lµ AB

kh«ng vu«ng gãc víi .

n



m (F ) = 0

F = 0



B

k



A

k



k

k=1

m« men cña c¸c lùc ®èi víi ba ®iÓm A, B vµ C tuú ý kh«ng th¼ng

hµng ph¶i triÖt tiªu.

n



k



k

m (F ) = 0 m (F ) = 0

 

m (F ) = 0

B

C

k



A

k=1

❖ VÝ dô:

❖ Kh¸i niÖm vÒ ma s¸t trît

N

R

R_m

A

P₂

P₃

P₁

S₁

F

F_m

Q

B

S₂

S₃

B

C¸c lùc t¸c dông lªn A gåm: Q, N, P

- Khi P = P₁®ñ nhá vËt A ®øng yªn  tån t¹i lùc ma s¸t

- Khi P = P₂vËt chím chuyÓn ®éng, F ma s¸t ®¹t cùc ®¹i F = F_m. Gãc

 gäi lµ gãc ma s¸t ( f = tg  = F_m/N ), f ®îc gäi lµ hÖ sè ma s¸t trît

TiÕp tôc t¨ng P = P₃vËt A sÏ chuyÓn ®éng nhanh dÇn. Ph¬ng cña S₃

n»m ngoµi gãc ma s¸t.

❖VÝ dô:

- Bµi to¸n vËt ®i lªn mÆt ph¼ng nghiªng

-Bµi to¸n vËt ®i xu«ng mÆt ph¼ng nghiªng

2.4. HÖ lùc kh«ng gian

HÖ lùc kh«ng gian lµ tËp hîp nhiÒu lùc n»m bÊt kú trong kh«ng gian.

2.4.1. VÐc t¬ chÝnh vµ vÐc t¬ m« men chÝnh cña hÖ lùc kh«ng gian

T¬ng tù nh hÖ lùc ph¼ng, vÐc t¬ chÝnh cña hÖ lùc kh«ng gian lµ mét

vÐc t¬ tù do:

n

 

V = F



k

k=1