Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 3: Ứng suất và Biến dạng

17/09/201414

Chương III: Ứng suất và biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III

3.1. Ứng suất

3.2. Trạng thái ứng suất.

Ứng suất và Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.5. Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

Xét một điểm M trên mặt cắt và một phân tố điện tích chung quanh

Chia vật bằng một mặt cắt và khảo sát tính chất của các lực tiếp xúc

truyền qua mặt này do phần tách ra tác động lên. Các lực tiếp xúc

phân bố khắp mặt cắt với chiếu và giá trị thay đổi, chúng được gọi là

ứng suất (hay ứng lực, sức căng) tại một điểm.

M: dF. Nếu gọi ứng lực trên dF là ꢀꢁ thì ứng suất ꢂ

⃗

tại M trên mặt



phẳng vuông góc Oz là:

P



1

p





dP



dP

M

P

2

Khi dF 0

p 

dF



Ứng suất

dF



O

z



k

i

j

Ứng suất ꢂ

⃗

được phân

thành 2 thành phần:

P₃

x

y

(II)

(I)

: Ứng suất pháp hướng theo pháp tuyến mặt cắt

: Ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt







B



p_B

* Ứng suất pháp: gây ra biến dạng dài

* Ứng suất tiếp: gây ra biến dạng góc

Ứng suất: nội lực tại điểm

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

1

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng



3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

3.1. Ứng suất

3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất

P

 _zy

1

p



P₂

 _z

M

O

 __zx





Trong hệ trục Cartesian

như hình vẽ:

_zy

M _x

M _z

z

p



k

i

O

(A)

j

z

 _z

P₃





C

N _z

Q_x

x

y

z

p   _zk  _zyj  _zxi

M

 _zx

y

x

y

Q _y

x



* Ứng suất pháp: hướng theo phương z

z

dF



* Ứng suất tiếp:

hướng theo phương x

hướng theo phương y

 ^zx





y

^{N }^{ dF}

zy

z



^{R }^^p^^.dF

F





Qui ước dấu của các thành phần ứng suất:

^{Q }^{ dF}

- Ứng suất pháp xem là dương khi vector biểu diễn nó cùng

chiều với pháp tuyến ngoài của mặt cắt.

- Ứng suất tiếp là dương khi vector biểu diễn nó cùng chiều

y

zy

F



^{Q }^{ dF}

x

zx





Ox, Oy.

F

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất

3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất

3.1.3. Các thành phần ứng suất

Tổng quát: Tách một phân tố tại C bằng 6 mặt vi phân trực giao



_zy

M _x

M _z

p

O

(A)

với các trục tọa độ.



z

 _z

p_z

C

N _z

Q_x

Trên 3 mặt vi phân dương có các

z

M

 _zx

y



vector ứng suất:

p_y













x

y

Q _y

x

dF

p_x, p_y, p_z

y



Mỗi vector trong chúng có ba

thành phần song song với ba

^{M }^{ ydF}



x

z

F







p_x





p.dF

trục tọa độ:





^{M  }^{ xdF}

^{M }^m

y

z

_C





C

p  , ,

_x



_xz



_yz

_zy

x

xy

F



F



^{M }^{( y  x)dF}

y

yx

p  , ,

_y

z

zx

zy





F



HCM 08/2014

p  , ,

_z

z

zx

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

2

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất

3.1.3. Các thành phần ứng suất

* Nguyên lý tương hỗ ứng suất tiếp

Ứng suất tại một điểm được đặc trưng bởi chín thành phần ứng

suất và chúng được viết dưới dạng Tensor:

Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông

góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào

hoặc hướng ra cạnh chung đó.







_x_xy



^xz

T  _yx_y_yz





_xy _yx;_xz_zx;_yz_zy







_zx_zy_z



Khi đó tensor ứng suất là một tensor đối xứng, do đó trạng

thái ứng suất chỉ còn phụ thuộc 6 thông số:

_x_xy









^xz

T 

 _y_yz

_z









Sym

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

3.2.2. Phương chính và ứng suất chính





3.2.1. Trạng thái ứng suất tại một điểm

p

Mặt chính: mặt cắt mà trên đó phương của trùng với phương của

n

Nếu cho qua M những mặt cắt π khác nhau, thì tương ứng với

mỗi vị trí của π ta được 1 vector ứng suất. Tập hợp tất cả các

vector ứng suất này được gọi là trạng thái ứng suất tại M. Tập

hợp này không phải là một tập hợp vector độc lập.



Khi đó: - Phương của

- Ứng suất

n

được gọi là phương chính

được gọi là ứng suất chính

_n

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương

chính vuông góc nhau từng đôi một. Ứng với ba phương chính

ta có ba ứng suất chính:

₁ ₂₃

Các ứng suất chính

này không phụ thuộc

việc chọn hệ trục tọa

độ

M

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

3

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng

3.2.3. Các trạng thái ứng suất

Là trạng thái của điểm có vector ứng suất tổng luôn nằm trong

một mặt phẳng, với mọi mặt vi phân khảo sát.

Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương

chính:



0

₂

0













1

T 

0

₃

Trạng thái ứng suất

đơn: có hai ứng suất

chính bằng không.

Trạng thái ứng suất Trạng thái ứng suất

phẳng: có một ứng suất khối: ba ứng suất

chính bằng không.

chính đều khác không

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng:

3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ (//z)

 _x _y _x _y

_u



cos 2  _xysin2

y

_uv

2

y

_u

 _x _y

u

_xy

_uv



sin2  _xycos 2

_xy

v

u

2

v

_x

0



Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u (

)

90 

x

 _yx

 _x _y _x _y

_v



cos 2  _xysin2

x

_yx

 _y

2

z

 _y

 _x _y

(3.10)

_vu 

sin2  _xycos 2

_u_v  _x _y const

_uv _vu

2

Nhận xét:

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

4

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

** Hai trường hợp đặc biệt

3.3.2. Ứng suất chính – Phương chính

Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không. Để tìm mặt chính:

_x _y

_uv 0

2_xy

a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

_x; _y 0; _xy 



_uv



sin2₀_xycos 2₀ 0

 tg2₀

(*)

2

_x _y

Thay vào (**) ta được:











2_xy



2



  tan^1

/2 









2

1

2

0

 _x _y

_max





 ² 4 ²













min

khác biệt nhau 90⁰ Hai phương chính

₀

 Hai trị số

b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

_x _y 0; _xy 

^{Thay vào}_u^{, ta thu được các ứng suất chính}

Thay vào (**) ta được:

_x _y

_max  hay ₁ ₃

1

_max





( _x _y)² 4_x²_y(**)

min



4



4

2

min

₂ 

₁

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4.1. Cơ sở của phương pháp

 _x _y _x _y

d_uv

d

 _x _y













 0





sin2 _xycos 2

uv

2

_u





cos 2 _xysin2

2

 _x _y

_x _y

 _x _y

_uv



sin2  _xycos 2



2cos 2  2 _xysin 2  tg2  

2

2 _xy

_x_y

 ²

qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho

1

Chuyển vế

tg2  

uv

So sánh với (*), ta được:

2

tg2₀



Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

  ₀

 Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với

mặt chính một góc 45⁰

²



4

Trục hoành:

Trục tung:



_x _y

 

2







²









2

x

y

 

 





 



_uv

_xy

u



2

_{Thay vào}_uv

ta được:



1

  2;0

(_x _y)² 4_x²_y



_y







Tâm:

x

Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr

ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và

_max 

2

min



²

 

ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau

x

^y

_x²_y

HCM 08/2014

R 

Bán kính:

đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét.



Hochiminh city Universityof Technology

2

Applied Mechanic





5

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr

Cho một phân tố ứng suất. Biết:

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr



_max

 , ,

x

y

xy

_max

_uv

O



_max,_min,_max,

_min, các phương chính, ưs pháp, ưs tiếp tại

Tìm:

I

_u

_uv

_v

_vu

_min

mặt nghiêng bất kì

M

_max

O

-Dựng hệ trục tọa độ:

_y



_u

_x

A

B

C

 













_min

x

C

^y;0

_max

-Xác định tâm C vòng tròn:

₂

2

²

₁

 







x



^y

R 

_x²_y

_xy

_min

-Xác định bán kính R của vòng tròn:

P

J

2







_xy

_min



_xy



₁ tan^1

-Xác định điểm cực P:

P  ;





y

_max _y





HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

Ví dụ:

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

Ví dụ:

 _x _y_x _y

_u



cos2 _xysin2

_y 10

_x18

18

y

10

2

_x _y

_uv



sin2 _xycos 2

v

2

 18



x

_x _y

1

2



_max  _j



(_x _y)² 4_x²_y

 _y 10



2

min

k



_xy 6

u

6



60⁰





_xy

_max _y

0

₁ tan^1

  30



_max





x





  30⁰

₂ ₁ 90⁰

₁

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

6

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng



_v

I

3.5. Biến dạng

_vu

_max

9.1

19.2

11.2

P

6

₁

15.2

16.2



C

_v

8.2

_u

18 ^

10

O

max

_min

4

_max

  30⁰



₂

min

_uv

9.1

v

_u

_uv

J

u

HCM 08/2014

_min

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.5. Biến dạng

3.5.1. Khái niệm

Khi chịu tác dụng của ngoại lực hay sự biến thiên nhiệt độ thì

khoảng cách giữa các điểm thuộc vật thể thay đổi, gây ra sự

thay đổi về hình dạng và kích thước của vật. Sự thay đổi này

gọi là sự biến dạng.

Có hai khái niệm biến dạng: Biến dạng của toàn vật và biến

dạng tại một điểm.

Biến dạng tại một điểm: biến dạng của một phân tố VCB

quanh điểm khảo sát bao gồm biến dạng dài và biến dạng góc.

Biến dạng góc



Biến dạng dài:

s ' s

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

7

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.5. Biến dạng

3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm

Trạng thái ứng suất và biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi

3.5. Biến dạng

3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm

Là tập hợp các biến dạng dài và biến dạng góc của điểm.

các Tensor:

Trạng thái biến dạng của điểm sẽ hoàn toàn xác định nếu được

cho trước biến dạng dài theo ba phương vuông góc nhau bất kỳ

và ba biến dạng góc trên ba mặt vuông góc nhau tạo bởi ba

phương đó.



_xy



_x_xy















x

^xz

T_

 _y _yz

_z

T 

_y _yz



















Các thành phần biến dạng:

 _x,  _y,  _z,  _xy,  _yz,  _xz

Sym

_z

Trạng thái biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi Tensor biến

dạng:

Quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến

_x_xy









^xz

dạng:

T 

_y _yz



- Ứng suất pháp gây ra biến dạng dài.









Sym

_z

- Ứng suất tiếp gây ra biến dạng góc

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

Đối với trạng thái ứng suất khối tổng quát, biến dạng dài theo

phương x:

Quan hệ giữa ứng suất pháp và biến

dạng dài:

_x

E

^{- Biến dạng dài theo phương x do}_x

_x

gây ra :

_xx_x/ E

Trong đó: E là module đàn hồi, là

 ,

- Biến dạng dài theo phương x do

y

z

hằng số vật liệu

gây ra :

_xy_y/ E;_xz_z/ E

_x^cũnggây ra biến dạng dài theo các phương còn

_x

^{lại(phương y, z).}_y_z _x 

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo

phương x:

E

1





_x _x(_y_z)





Trong đó: là hệ số possion, là hằng số vật liệu



E

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

8

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

Biến dạng dài theo phương y:

Biến dạng dài theo phương z:



- Biến dạng dài theo phương y do

y

^{- Biến dạng dài theo phương z do}_z

gây ra :

_zz_z/ E

gây ra :

_yy_y/ E

 ,

^{- Biến dạng dài theo phương y do}_x,_z

gây ra :

- Biến dạng dài theo phương z do

gây ra :

x

y

_yx_x/ E;_yz_z/ E

_zx _x/ E;_zy _y/ E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo

phương y:

phương z:

1





_y _y(_x_z)





_z _z(_x_y)









E

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

Biến dạng dài theo phương các phương chính:

Khi phân tố bị trượt thuần túy, chỉ



_{, biến dạng góc}

_xyquan hệ

có

xy

Cũng dựa trên nguyên lý cộng tác dụng ta có:

_với_xy

theo định luật Hooke về

1

₁   (  )





1

2

3

trượt.

E

_xy_xy/G

1

₂   (  )





Trong đó: G là module đàn hồi

trượt, là hằng số vật liệu

Vậy biến dạng góc trong

mặt xy là:

2

1

3

E

1

2 1

_xy





E

₃   (  )





3

1

2

G 

_xy

E

2(1 )

E

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

9

17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Vậy:

Vậy biến dạng góc trong các mặt

yz, xz là:

2 1

1

_xy











_x _x(_y_z)

_xy



E

_yz2 1

_yz





1

_yz2 1

_yz





_yz

_xz









_y _y(_x_z)

_yz

_xz





G

E

G

E

2 1

_xz

G

_xz





1

2 1

_xz

G

_xz











_z _z(_x_y)





E

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Một số ví dụ

Cho phân tố ứng suất như hình vẽ.

y

6

2





 _x 12kN / cm

  6kN / cm²





y

12



 4kN / cm²





xy

4

  150⁰

60⁰

u

x

HCM 08/2014

Hochiminh city Universityof Technology

Applied Mechanic

10

Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 3: Ứng suất và Biến dạng - Nguyễn Thái Hiền