Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Chương 10: Các phương pháp tính quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ

trong mạch điện tuyến tính.

I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển.

II. Phƣơng pháp tích phân Duyamen và hàm Green.

III. Phƣơng pháp toán tử Laplace.

1

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

 Tƣ tƣởng chung của phƣơng pháp:

 Mô hình toán học của bài toán quá trình quá độ trong mạch tuyến tính là Hệ phương trình vi

phân + sơ kiện.

 Đối với phương pháp tích phân kinh điển, ta sử dụng nguyên tắc xếp chồng trong mạch tuyến

tính để giải.

I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển.

I.1. Nội dung phƣơng pháp:

 Tìm nghiệm của quá trình quá độ x_qđ(t) dưới dạng xếp chồng nghiệm của quá trình xác lập x_xl(t) và

nghiệm của quá trình tự do x_td(t).

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

 Ý nghĩa:

 Nghiệm xác lập x_xl(t):

 Về mặt vật lý:

o Nghiệm xác lập được tìm ở chế độ mới (sau khi đóng cắt khóa K).

o Nghiệm xác lập được nguồn (kích thích) của mạch duy trì  quy luật biến thiên của

nó đặc trưng cho quy luật biến thiên của nguồn.

2

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.1. Nội dung phƣơng pháp.

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

 Ý nghĩa:

 Nghiệm xác lập x_xl(t):

 Về mặt toán học:

o Nghiệm xác lập là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải là kích thích

của mạch  ta đã biết cách tính nghiệm xác lập khi kích thích của mạch là nguồn

hằng, nguồn điều hòa, hay nguồn chu kỳ.

 Nghiệm tự do x_td(t):

 Về mặt vật lý:

o Nghiệm tự do không được nguồn duy trì.

o Nghiệm tự do tồn tại trong mạch là do quá trình đóng cắt khóa K làm thay đổi kết

cấu hay thông số của mạch.

 Về mặt toán học:

 Nghiệm tự do là nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất (phương trình vi

phân có vế phải bằng 0)

3

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.1. Nội dung phƣơng pháp.

x (t)  A.e^pt

 Về mặt toán học, nghiệm tự do của phương trình thuần nhất có dạng:

td

 Mặt khác, ta có đạo hàm, tích phân của hàm A.e^ptluôn có dạng hàm mũ:

dx_td(t)

 p.A.e^pt p.x_td(t)

dt

x_td(t)

A

x_td(t).dt  A.e^pt.dt  .e^pt



p

 Như vậy, phương trình vi phân thuần nhất sẽ có dạng:

(x_td, p.x_td, p².x_td..., pⁿ.x_td)  0

 Để phương trình vi phân có nghiệm không triệt tiêu  các hệ số của nó phải triệt tiêu.

(phương trình đặc trưng)

p  0

 Giải phương trình ta có được (n) nghiệm {p₁...p_n}. Với mỗi p_kcho ta một nghiệm dạng A_k.e^{p .t}

k

 Vậy nghiệm của quá trình quá độ sẽ có dạng:

n

 Cần lập và giải phương trình

đặc trưng để tìm nghiệm tự do.

x (t)  x (t)  A .e^{p .t}

k



qd

xl

k

k1

4

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.

 Nghiệm tự do là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (không có vế phải). Vậy đối với bài

toán mạch, đó là phương trình vi phân được lập cho các mạch điện triệt tiêu nguồn.

 Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch:

 Đại số hóa phương trình thuần nhất:

 Lập (hệ) phương trình vi tích phân của mạch ở chế độ mới.

 Loại bỏ các nguồn kích thích  thu được phương trình vi phân thuần nhất.

 Thay thế:

d

(.)  p(.)

dt

 Rút ra được phương trình đặc trưng

1

(ma trận đặc trưng)

(.).dt  (.)



p

 Cho: Δp = 0  tìm được các số mũ đặc trưng p_k.

5

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

R₁

I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.

K

i₁ i₂ i₃ 0





Ví dụ:

i₁(t)

E

di₂

R₁.i₁ R₂.i₂ L₂.

dt



 E

L₂

i₂(t)

R₂

Lập phương trình mạch:





C₃

1

R .i 

i₃.dt u_C(0)  E

1 1



Phương trình với nghiệm tự do:

C₃





i₃(t)





i_1tdi_2tdi_3td 0



i_1tdi_2tdi_3td 0



di_2td





R .i  R_2td.i_2td L₂

 0 

R .i  R .i  p.L .i  0





1 1td

2 2td

dt



1

R .i 

.i_3tdu_C(0)  0

1 1td

R .i 

i_3td.dt u_C(0)  0

p.C

1 1td











C₃

Viết dạng ma trận:

Để i_td≠ 0  Δp = 0









1

1

i

0

 _1td  

1



p  

(R₂ pL₂) R

 R (R₂ pL₂)  0

1

   

R R  p.L

0 . i

 0

pC



1

2

2td

   



   

i_3td

1

0

 p² 2p  2  0

 p_1,2 1 j



  



R

0

1

p.C









i_td

Δp

6

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.

 Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch:

Đại số hóa mạch điện:

 Phương trình mạch điện có dạng phương trình vi phân là vì trong mạch điện tồn tại các

phần tử có quán tính L (quán tính từ trường), C (quán tính điện trường).

 Có thể lập phương trình đặc trưng trực tiếp mạch điện (đã triệt tiêu nguồn) ở chế độ xác

lập mới bằng cách đại số hóa mạch điện: L ↔ p.L ; C ↔ 1/p.C.

Z_Kvao(p)  0

 Tính tổng trở vào hoặc tổng dẫn vào của 1 nhánh bất kỳ và cho bằng 0.

Y_Kvao(p)  0

Chứng minh: Khi xét mạch ở chế độ mới, đã triệt tiêu nguồn, nếu ta nhân dòng tự do (hoặc điện áp tự

do) của 1 nhánh bất kỳ với tổng trở vào (hoặc tổng dẫn vào) của nhánh đó thì phải bằng 0 vì mạng 1

cửa xét trong trường hợp này là không nguồn.

Z (p).i  0





Z_Kvao(p)  0

Y_Kvao(p)  0

K vao

Ktd

Để nghiệm tự do không triệt tiêu thì:

Y_Kvao(p).u_Ktd 0



7

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.

Ví dụ: Lập phương trình đặc trưng của mạch sau.

R₁

K

i₁(t)

E

L₂

i₂(t)

p.L₂

i_2td

1

i_1td

C₃

đại số hóa

p.C₃

R₂

i₃(t)

i_3td

R₁





1

Z_vao1 R  (p.L₂ R₂)//

1







p.C₃



p.L₂

i_2td

1

Z_{vao 1}

1

Z_vao2 (R₂ p.L₂)  (R //

)

p.C₃

1

p.C₃

R₂

i_3td

1

Z_vao3

 R //(R  p.L )





1

2

p.C₃

8

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

 Giá trị của số mũ đặc trưng sẽ quyết định dáng điệu của quá trình tự do  quyết định đến dáng điệu

của quá trình quá độ trong mạch:

 Dấu của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do sẽ tăng hay giảm khi t  ∞ (quá trình quá

độ sẽ tiến đến 0 hay tiến đến nghiệm xác lập).

 Độ lớn của số mũ đặc trưng quyết định tốc độ biến thiên của quá trình tự do.

 Dạng nghiệm của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do là dao động hay không dao động.

Số mũ đặc

trƣng p_k

Phƣơng trình

đặc trƣng

Thông số, cấu

trúc mạch điện

Điều chỉnh

Đặc điểm quá

trình quá độ

9

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.

x_td(t)

p_k> 0

p_k< 0

a. Đa thức đặc trƣng có nghiệm thực đơn p_k.

A_k

 Dạng nghiệm tự do:

n

x (t)  A .e^{p .t}

t

k



td

k

k1

- A_k

 Dáng điệu nghiệm tự do:

 Nếu p_k< 0: Nghiệm tự do sẽ giảm về 0

 quá trình quá độ sẽ đi đến nghiệm xác lập x_xl(t).

x_td(t)

 Nếu p_k> 0: Nghiệm

tự do tăng lên ∞ khi t  ∞.

A

 | p_k| quyết định tốc độ tăng/giảm nhanh chậm của nghiệm tự do.

 Cách vẽ hàm: x_td(t) = A.e ^p.t.

1

A.e^-1

A.e^-2

 Đặt hằng số tích phân:

 

 Tại t = 0  x_td(0) = A

p

t = ∞

1

t







A.e nêu p  0

 Tại

t   x () 

τ 2τ

3τ

td

A.e^1nêu p  0

Quá trình quá độ đƣợc coi

 sau khoảng thời gian t = τ thì biên độ của x_tdthay đổi e lần.

là xác lập khi t = 3τ

10

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.

b. Đa thức đặc trƣng có nghiệm thực kép p₁= p₂= p.

 Dạng nghiệm tự do:

x_td(t)  (A  A .t).e^p.t

1

2

 Dáng điệu nghiệm tự do: Có dạng gần giống với trường hợp trên. Đây là giới hạn giữa quá trình

giao động và không dao động của nghiệm quá trình quá độ.

11

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

x_td(t)

I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.

cos(_k.t _k)

c. Đa thức đặc trƣng có nghiệm phức:

p_1,2_1,2 j._1,2

A.e^{ .t}

k

 Dạng nghiệm tự do:

t

A.e^{ .t}

k

x_td(t)  A .e^^k^.t.cos(_k.t _k)

k

_k 0

 Dáng điệu nghiệm tự do:

A.e^{ .t}

k

 Nghiệm tự do sẽ dao động trong đường bao:

2

x_td(t)

A.e^{ .t}

k

 Chu kỳ dao động:

T 

_k

cos(_k.t _k)

 Nếu α_k> 0  nghiệm tự do sẽ tăng dần.

 Nếu α_k< 0  nghiệm tự do sẽ tắt dần.

t

 Cách vẽ nghiệm tự do:

A.e^{ .t}

k

_k 0

12

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.4. Trình tự giải quá trình quá độ theo phƣơng pháp tích phân kinh điển.

 Đặt nghiệm quá độ dạng:

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

 Tìm các giá trị dòng, áp xác lập ở chế độ mới.

 Lập phương trình đặc trưng và tìm nghiệm tự do của mạch ở chế độ mới.

 Tính các hằng số tích phân: (bài toán tính sơ kiện)

 Xét mạch ở chế độ cũ, tính các sơ kiện độc lập tại t = - 0.

 Áp dụng luật đóng mở tính giá trị sơ kiện độc lập tại t = + 0.

 Lập phương trình mạch ở chế độ mới. Tại t = + 0 thay các sơ kiện độc lập để tính các sơ kiện

phụ thuộc khác. Nếu cần thì đạo hàm đến cấp cần thiết để tính các sơ kiện phụ thuộc khác.

 Tổng hợp nghiệm quá độ. Vẽ và nhận xét dáng điệu của nghiệm.

 Chú ý: Trong 1 mạch điện, các biến cùng đại lượng như dòng, áp sẽ có cùng số mũ tắt, chúng chỉ

khác nhau hằng số tích phân.

13

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

a. Đóng mạch R - C vào một nguồn áp hằng.

R

K

u (t)  E







Cxl

 Đặt nghiệm:

 Nghiệm xác lập:

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

i_Cxl(t)  0

 Nghiệm tự do:

 Phương trình đặc trưng:

C

1

.t

R 

 0  p  

 x_td(t)  A.e^

1

E

R.C

p.C

R.C

 Tính hằng số tích phân:

 Sơ kiện:

u_C(0)  0 u_C(0)  0

t

1

R.i(t) u_C(0) 

E

i_C(t).dt  E

 Lập phương trình mạch ở chế độ mới:



C _0

Xét tại t = + 0:

R.i(0)  E  i(0) 

u_Cxl(t)

R

E

1

u_Cqd(t)  E  A.e^

.t

R.C

u_Cqd(t)

E \ R

1

 Tổng hợp nghiệm:

.t

i_Cqd(t)  0 A .e^

i_Cqd(t)

R.C

1

.t

u_Cqd(t)  E.(1e^

)

2

R.C

u_C(0)  0  E  A  A  E.

1

u_Ctd(t)



.t

E

Khi t = + 0:

R.C

E

i_Cqd(t)  .e

i_C(0)   A

2

R

- E

R

14

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

b. Đóng mạch R - C vào một nguồn áp điều hòa

e(t)  E_msin(t ₁)

 Nghiệm xác lập:

 Nghiệm tự do:



u_Cxl(t)

du_Cxl(t)

1









t

p  

 x_td A.e^

1

E_m

1

RC

U_Cm

.



1

RC

jC

i_Cxl(t)  C





R 

dt

R

K

jC

 Tìm hằng số tích phân:

 Sơ kiện:

C

u_C(0)  u_C(0)

e(t)

t

1

R.i u (0) 

i_C(t).dt  e(t)

 Lập phương trình mạch:

C



C _0

E_msin₁

R.i(0)  e(0)  E_msin₁i(0) 

Xét tại t = +0:

 Nghiệm quá độ:

Xét tại t = +0:

R

u_Cqd(t)  u_Cxl(t)u_Ctd(t)

i_Cqd(t)  i_Cxl(t)i_Ctd(t)

u_Cqd(0)  u_Cxl(0) A  A  u_Cxl(0)

1

Quá trình đóng mạch

R - L vào nguồn áp

hằng và điều hòa đƣợc

E_msin

¹i_Cxl(0).

i_Cqd(0)  i_Cxl(0)  A  A 

2

R

xét tƣơng tự

15

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

I.5.3. Xét quá trình quá độ với mạch cấp hai R - L - C.

R

K

E

1

R

1

 Phương trình đặc trưng:

R  p.L 

 0  p² .p 

 0

p.C

L

L.C

L

2

R

1

 

 Biện luận:

 Nếu:

 

 4.

 

L

 

LC

C

L

p_1,2 _1,2

R  2

 luôn có 2 nghiệm âm

C

x_td(t)  A.e^¹^.t A .e^²^.t

1

2

L

R

 Nếu:

R  2

R  2

p_1,2 

 

 có nghiệm kép

C

2L

x_td(t)  (A  A .t)e^.t

1

2

R

R²

1

L

p_1,2 

 j.



   j

 có 2 nghiệm phức

C

2L

(2L)²LC

x_td(t)  A.e^.t.cos(.t )

16

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch.

R₁=1Ω

K

 Đặt nghiệm:

i_1qd(t)

E=1V

x_qd(t)  x_xl(t) x_td(t)

L₂=1H

E

C₃=1F

i_3qd(t)

i_2qd(t)

 Tính nghiệm xác lập: i  i_2xl

 0.5(A) ; i_3xl 0(A)

1xl

R  R₂

1

R₂=1Ω

 Tính nghiệm tự do:

 Phương trình đặc trưng:





1

R  (R ₂ pL₂)//

 0  p² 2p  2  0  p_1,2 1 j

1







pC₃



 x_td(t)  A.e^t.cos(t )

 Tìm hằng số tích phân:

E

 Tại t = - 0:

u_C(0)  0(V) ; i₂(0)  i_L(0) 

 0.5(A)

3

R  R₂

1

 Áp dụng luật đóng mở:

u_C(0)  u_C(0)  0(V) ; i_L(0)  i₂(0)  i_L(0)  i₂(0)  0.5(A)

3

17

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch.

R₁=1Ω

K

 Tìm hằng số tích phân:

i_1qd(t)

L₂=1H

 Lập phương trình mạch ở chế độ mới:

C₃=1F

i_3qd(t)

i_2qd(t)

i₁ i₂ i₃ 0



E=1V

R₂=1Ω



R .i  R₂.i₂ L₂.i₂^' E

1 1

^(*)

t

1



R .i u_C(0) 

i₃.dt  E

1 1







C _0

Xét tại t = +0:

i (0) i (0) i (0)  0

i₃(0)  0.5(A)











1

2

3

i (0) i (0) i^'(0) 1  i^'(0)  0.5(A/ s)

 ₂

1

2



i₁(0) 1

i₁(0) 1(A)



Xét tại t = +0:

Đạo hàm hệ phương trình (*):

i₃^'(0)  0(A/ s)

'



i₁i₂i₃ 0

i^'i^'i^'' 0





1

2

i^'(0)  0.5(A/ s)

i₁^' i₃ 0





1

18

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.

Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch.

R₁=1Ω

K

 Nghiệm quá độ:

i_1qd(t)

i_1qd(t)  0.5 A.e^t.cos(t ₁)

i^'(t)  A .e^tcos(t  )  Ae^t.sin(t  )

L₂=1H





1

C₃=1F

i_3qd(t)



i_2qd(t)

 _1qd

1



E=1V

R₂=1Ω

Xét tại t = +0:

i (0) 1 0.5 A.cos₁

A.cos  0.5 (1)













1qd

1



i^'(0)  A.(sin₁cos₁)  0.5

A.sin₁ 0

(2)

1qd

1

  0







 i (t)  0.50.5.e^t.cos(t)(A)

1

Chia (2) cho (1):

tg  0 

1qd

1

A  0.5

1

Tính toán tương tự ta có:

i_2qd(t)  0.50.5.e^t.sin(t)(A)

2

i_3qd(t)  .e^t.sin(t  45⁰)(A)

2

19

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong

mạch tuyến tính hệ số hằng

I.6. Nhận xét.

 Phương pháp tích phân kinh điển là phương pháp đơn giản, sử dụng trực tiếp toán học để tìm

nghiệm quá độ.

 Nghiệm quá độ được tách thành hai thành phần: Nghiệm tự do + nghiệm xác lập có nhược điểm:

 Chỉ áp dụng được cho các bài toán quá độ tuyến tính: Thỏa mãn tính xếp chồng các đáp ứng

trong mạch.

 Áp dụng cho các bài toán tìm nghiệm xác lập một cách dễ dàng: Mạch có kích thích là nguồn

hằng, nguồn điều hòa.

20

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010

Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Chương 10: Các phương pháp tính quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính - Nguyễn Việt Sơn