Bài giảng Nhập môn tin học 2 - Chương 5: Đại số boolean và mạch logic

Chương 5

ĐẠI SỐ BOOLEAN

VÀ MẠCH LOGIC

1

Nội dung

6.1. Giới thiệu

6.2. Đại số Boolean

6.3. Hàm Boolean

6.4. Các cổng luận lý

6.5. Mạch Logic

6.6. Thiết kế của mạch kết hợp

6.7. Câu hỏi và bài tập

2

GIỚI THIỆU

^Đại số Boole được phát minh bởi nhà toán học Anh George

Boole vào năm 1854.

^Đại số Boole nghiên cứu các phép toán thực hiện trên các

biến chỉ có 2 giá trị 0 và 1, tương ứng với hai trạng thái luận

lý "sai" và "đúng" (hay "không" và "có") của đời thường.

3

GIỚI THIỆU

^Tương tự các hệ đại số khác được xây dựng thông qua

những vấn đề cơ bản sau:

^Miền (domain) là tập hợp (set) các phần tử

(element)

^Các phép toán (operation) thực hiện được trên

miền

^Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom)

được công nhận không qua chứng minh

^Tập các hệ quả (set of consequences) được suy ra

từ định đề, định lý (theorem), định luật (law) hay

luật(rule)

4

NHỮNG NGUYÊN TẮC CƠ BẢN

^Sử dụng hệ cơ số nhị phân.

^Các phép toán:

^Phép cộng luận lí (logical addition) : (+) hay (OR )

^Phép nhân luận lí (logical multiplication): (.) hay ( AND )

^Phép bù ( NOT )

^Độ ưu tiên của các phép toán

^Tính đóng (closure): tồn tại miền B với ít nhất 2

phần tử phân biệt và 2 phép toán (+) và (•) sao cho:

Nếu x và y là các phần tử thuộc B thì (x + y), (x•y) ₅

cũng là 1 phần tử thuộc B

PHÉP CỘNG LUẬN LÍ

Phép toán:

Biểu thức :

Dấu ‘+’ hay OR

A + B = C

Hay A OR B = C

Nguyên tắc:

• Kết quả trả về 0 (FALSE) khi và chỉ khi tất cả giá trị đầu vào là 0

(FALSE).

• Kết quả là 1 (TRUE) khi có bất kì một giá trị nhập vào có giá trị là

1 (TRUE).

Ví dụ:

1 0 0 1 1 0 1 0

A

1 1 0 0 1 0 0 1

B

1 1 0 1 1 0 1 1

A + B hay A OR B

6

PHÉP NHÂN LUẬN LÍ

Phép toán:

Biểu thức :

Dấu ‘.’ hay AND

A . B = C

Hay AAND B = C

Nguyên tắc:

• Kết quả trả về 1 (TRUE) khi và chỉ khi tất cả giá trị đầu vào là 1

(TRUE).

• Kết quả là 0 (FALSE) khi có bất kì một giá trị nhập vào có giá trị là

0 (FALSE).

Ví dụ:

1 0 0 1 1 0 1 0

A

1 1 0 0 1 0 0 1

B

1 0 0 0 1 0 0 0

A . B hay A

AND B

7

PHÉP BÙ

Phép toán:

Biểu thức :

Dấu ‘-’ hay NOT (phép toán một ngôi)

Ā

Hay NOT A

Nguyên tắc:

• Kết quả trả về 1 (TRUE) nếu giá trị đầu vào là 0 (FALSE).

• Ngược lại, kết quả là 0 (FALSE) nếu giá trị nhập vào là 1 (TRUE).

Ví dụ:

1 0 0 1 1 0 1 0

A

0 1 1 0 0 1 0 1

Ā hay NOT A

8

ĐỘ ƯU TIÊN CỦA CÁC PHÉP TOÁN

^Biểu thức được tính từ trái sang phải.

^Biểu thức trong ngoặc đơn được đánh giá trước.

^Các phép toán bù (NOT) được ưu tiên tiếp theo.

^Tiếp theo là các phép toán ‘.’ (AND).

^Cuối cùng là các phép toán ‘+’ (OR).

Ví dụ: C = A or B and Not A

1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0 1

??????????

A

B

C

9

CÁC ĐỊNH ĐỀ Huntington CỦA ĐẠI SỐ

BOOLEAN

^Định đề 1:

^Định đề 4: Tính kết hợp –

Associative law

 A = 0 khi và chỉ khi A không bằng 1

• x + (y + z) = (x + y) + z

• x . (y . z) = (x . y) . z

 A = 1 khi và chỉ khi A không bằng 0

^Định đề 2: Phần tử đồng nhất

 x + 0 = x

^Định đề 5: Tính phân phối –

Distributive law

 x . 1 = x

• x . (y +z) = x . y + x . z

• x + y . z = (x + y) . (x + z)

^Định đề 3: Tính giao hoán-

Commutative law

^Định đề 6: Tính bù

• x + x = 1

 x + y = y + x

 x . y = y . x

10

• x . x = 0

NGUYÊN LÍ ĐỐI NGẪU – The Principle of Duality

• Đại số Boolean mang tính đối ngẫu

• Đổi phép toán (+) thành (•)

• Đổi phần tử đồng nhất 0 thành 1

Cột 1

Row 1 1 + 1 = 1

Row 2 0 . 0 = 0

Cột 2

Column 3

1 + 0 = 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0

0 . 1 = 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1

11

CÁC ĐỊNH LÍ CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN

^Định lí 1 (Luật lũy đẳng-

Idempotent Law)

 Định lí 4 (Định luật bù kép –

Involution Law))

 x + x = x

 x . x = x

^Định lí 2 (Định luật nuốt-

Absorption Law)

 Định lí 5

 x + 1 = 1

 x . 0 = 0

^Định lí 3 (Định luật hấp thu)

 Định lí 6 (Định luật De Morgan)

 x + x . y = x

 x . (x + y) = x

12

HÀM BOOLEAN – Boolean Function

^Một hàm Boolean là một biểu thức được tạo từ:

^Các biến nhị phân,

^Các phép toán hai ngôi OR và AND, phép toán một ngôi

NOT,

^Các cặp dấu ngoặc đơn và dấu bằng.

^Với giá trị cho trước của các biến, giá trị của hàm chỉ có

thể là 0 hoặc 1.

^Phương trình

Hay

W = f(X, Y, Z)

Với: X, Y và Z được gọi là các biến của hàm.

13

HÀM BOOLEAN

^Một hàm Boole cũng có thể được biểu diễn bởi dạng bảng

chân trị. Số hàng của bảng là 2ⁿ, n là số các biến nhị phân

được sử dụng trong hàm.

X

0

1

Y

0

1

0

1

Z

0

1

0

1

0

1

0

1

W

0

1

0

1

14

SỰ DƯ THỪA (redundant)

^Khái niệm:

 Literal: là 1 biến hay phủ định của biến đó (A hay A)

 Term của n literal là sự kết hợp của các literal mà mỗi

biến chỉ xuất hiện một lần duy nhất.

Ví dụ: term của 3 biến A, B, C là A.B.C

^Một biểu thức gọi là dư thừa nếu nó có chứa

 Literal lặp: xx hay x+x

 Biến và bù của biến: xx’ hay x+x’

 Hằng: 0 hay 1

^Các thành phần dư thừa có thể loại bỏ khỏi biểu thức

^Các thành phần thừa trong biểu thức không cần hiện

thực trong phần cứng

15

SỰ DƯ THỪA (redundant)

Ví dụ

16

TỐI THIỂU HÀM BOOLEAN –

Minimization of Boolean Functions

^Tối thiểu hàm Boolean là việc tối ưu hóa số lượng phần

tử và số hạng để tạo ra một mạch với số lượng phần tử

ít hơn.

^Phương pháp: sử dụng phương pháp đại số, áp dụng

các định lý, định đề, các luật,…cắt-và-thử nhiều lần để

tối thiểu hàm Boolean tới mức thấp nhất.

^Ví dụ:

17

TỐI THIỂU HÀM BOOLEAN

18

PHẦN BÙ CỦA MỘT HÀM

Complement of a Boolean Function

^Phần bù của một hàm Boolean F là F có được bằng

cách thay 0 thành 1 và 1 thành 0 trong bảng chân

trị của hàm đó.

x

0

1

y

0

1

0

1

z

0

1

0

1

0

1

0

1

F

0

1

0

1

0

F

1

0

1

0

1

19

PHẦN BÙ CỦA MỘT HÀM

^Ví dụ: Áp dụng định lí De Morgan

20