Bài giảng Truyền nhiệt - Chương I: Các khái niệm cơ bản về truyền nhiệt và phương trình vi phân dẫn nhiệt - Nguyễn Toàn Phong
Chöông I
CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ
TRUYEÀN NHIEÄT vaø
Sunday, October 05, 2008
PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT
A. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN
Nhieät löôïng
⇒ Laø naêng löôïng trao ñoåi khi coù cheânh leäch nhieät ñoä
Nguyeãn toaøn phong
Page 1 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Nguyeãn toaøn phong
Page 2 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Nhieät löôïng trao ñoåi theo ba hình thöùc cô baûn: daãn nhieät,
trao ñoåi nhieät ñoái löu vaø trao ñoåi nhieät böùc xaï
I. DAÃN NHIEÄT
⇒ Nhieät löôïng truyeàn giöõa hai vaät tieáp xuùc tröïc tieáp
vôùi nhau coù cheânh leäch nhieät ñoä
⇒ hoaëc giöõa caùc vuøng coù nhieät ñoä khaùc nhau trong
cuøng moät vaät.
Nguyeãn toaøn phong
Page 3 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
II. TRAO ÑOÅI NHIEÄT ÑOÁI LÖU
⇒ Nhieät löôïng trao ñoåi giöõa löu chaát vaø beà maët raén
khi coù cheânh leäch nhieät ñoä.
Nguyeãn toaøn phong
Page 4 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Nguyeãn toaøn phong
Page 5 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
III. TRAO ÑOÅI NHIEÄT BÖÙC XAÏ
⇒ Nhieät löôïng trao ñoåi giöõa hai vaät coù nhieät ñoä
cheânh leäch khoâng tieáp xuùc nhau trong moâi tröôøng
chaát khí hoaëc chaân khoâng.
IV.
Nguyeãn toaøn phong
Page 6 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
V. TRAO ÑOÅI NHIEÄT PHÖÙC TAÏP
⇒ Nhieät löôïng truyeàn giöõa hai ñoái töôïng coù cheânh
leäch nhieät ñoä töø hai caùch treân trôû leân
Quaù trình truyeàn nhieät naêng coù lieân quan chaët cheõ vôùi söï
phaân boá nhieät ñoä (hay gradient nhieät ñoä)
Nguyeãn toaøn phong
Page 7 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
VI. TRÖÔØNG NHIEÄT ÑOÄ
Nhieät ñoä Laø thoâng soá traïng thaùi bieåu thò möùc ñoä noùng
laïnh cuûa vaät.
Laø yeáu toá quyeát ñònh phöông höôùng chuyeån
ñoäng cuûa doøng nhieät.
Tröôøng nhieät ñoä Moâ taû giaù trò nhieät ñoä trong vaät theo
thôøi gian.
Trong tröôøng hôïp toång quaùt nhieät ñoä laø haøm soá cuûa toïa ñoä
vaø thôøi gian.
t = f
t = f
t = f
(
(
x,y,z,τ
r,φ,z,τ
r,φ,θ,τ
)
)
)
(1-1)
Nguyeãn toaøn phong
Page 8 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh
)
t = f x,y,z
∂t
∂τ
(1-2)
(1-3)
= 0
• Tröôøng nhieät ñoä bieán thieân 2 chieàu
)
t = f x,y,τ
∂t
∂z
= 0
• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh bieán thieân theo 2 chieàu
( )
∂t
= 0 vaø = 0
∂τ
t = f x,y
∂t
∂z
(1-4)
(1-5)
• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh bieán thieân 1 chieàu
t f x
=
∂t ∂t
∂t
∂τ
= = 0 vaø = 0
∂y ∂z
Nguyeãn toaøn phong
Page 9 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
VII. GRADIENT NHIEÄT ÑOÄ
Maët ñaúng nhieät: Taäp hôïp caùc ñieåm coù nhieät ñoä gioáng
nhau taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù.
¾ Maët ñaúng nhieät khoâng caét nhau.
¾ Nhieät ñoä seõ thay ñoåi khi ñi qua caùc maët ñaúng nhieät.
Gradient nhieät ñoä: Ñoä bieán thieân nhieät ñoä theo phöông
phaùp tuyeán.
Laø vectô truøng vôùi phöông phaùp
tuyeán cuûa beà maët ñaúng nhieät theo
chieàu taêng cuûa nhieät ñoä
n
s
∂t
∂n
t + Δt
∂t
s
ϕ
t
r
r
r
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
grad t = ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k = ∇t
(1-6)
Nguyeãn toaøn phong
Page 10 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Hay
grad t = no grad t
(1-7)
no Vectô phaùp tuyeán ñôn vò theo chieàu taêng nhieät ñoä
vôùi beà maët ñaúng nhieät.
r
r
r
no = cos(n,x)⋅ i + cos(n,y)⋅ j + cos(n,z)⋅k
Ñoä lôùn
grad t = t'2x +t'2y +t'2z
(1-8)
(1-9)
VIII. NGUOÀN NHIEÄT
Nguoàn nhieät laø naêng löôïng chuyeån hoùa töø doøng ñieän,
phaûn öùng nguyeân töû hoaëc töø caùc phaûn öùng
hoùa hoïc thaønh naêng löôïng nhieät,
tính cho moät ñôn vò theå tích qv, W m3
Nhieät löôïng sinh ra töø theå tích V do nguoàn nhieät beân trong
QV = qv ⋅dV
(1-10)
∫
V
Nguyeãn toaøn phong
Page 11 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
B. ÑÒNH LUAÄT FOURIER
Ñaây laø ñònh luaät cô baûn cuûa daãn nhieät trong vaät chaát.
“Nhieät löôïng dQτ truyeàn qua phaàn töû beà maët ñaúng nhieät dF
trong khoaûng thôøi gian dτ tyû leä thuaän vôùi gradient nhieät ñoä”
∂t
∂Qτ = − λ ⋅ ⋅dF ⋅dτ
∂n
J
(1-11)
Daáu “ −” Do nhieät löôïng luoân ñi töø nôi coù nhieät ñoä cao
ñeán nôi coù nhieät ñoä thaáp.
λ Heä soá daãn nhieät, laø thoâng soá vaät lyù ñaëc tröng
cho khaû naêng daãn nhieät cuûa vaät lieäu. W/(m.K)
Maät ñoä doøng nhieät nhieät löôïng truyeàn qua moät ñôn vò
beà maët ñaúng nhieät trong moät ñôn vò
thôøi gian:
dQτ
dF ⋅dτ
∂t
∂n
W/m2
(1-12)
(1.13)
qF =
= − λ ⋅
qF = qx ⋅ i + qy ⋅ j + qz ⋅ k
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
⎧
⎪
qx = − λ⋅
⎪
⎪
⎨
Vôùi
q = − λ⋅
(1-14)
(1-15)
y
⎪
⎪
q = − λ⋅
⎪ z
⎩
∂z
qF = − λ ⋅grad t
qF = − λ ⋅∇t
hay
Tröôøng hôïp toång quaùt:
Nguyeãn toaøn phong
Page 12 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Doøng nhieät truyeàn qua maët ñaúng nhieät F trong moät ñôn vò
thôøi gian:
Q = − λ⋅ grad t ⋅dF
W
(1-16)
∫
F
Nhieät löôïng truyeàn qua maët ñaúng nhieät F sau khoaûng
thôøi gian τ:
τ
Q = −∫∫λ⋅ grad t ⋅dF⋅dτ
J
(1-17)
0 F
Nguyeãn toaøn phong
Page 13 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
C. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT
Hieän töôïng daãn nhieät luoân lieân quan vôùi söï chuyeån ñoäng
vi moâ cuûa vaät chaát
9Trong chaát khí
⇒ laø do khueách taùn cuûa caùc phaân töû vaø nguyeân töû
9Trong chaát loûng vaø chaát caùch ñieän
⇒ do taùc duïng cuûa soùng ñaøn hoài
9Trong kim loaïi
⇒ do söï khueách taùn cuûa caùc ñieän töû töï do (dao ñoäng
ñaøn hoài cuûa maïng tinh theå ñoùng vai troø thöù yeáu)
Caùc giaû thuyeát khi thieát laäp phöông trình vi phaân daãn nhieät:
+ Vaät ñoàng chaát vaø ñaúng höôùng.
+ Thoâng soá vaät lyù laø haèng soá.
+ Vaät xem laø hoaøn toaøn cöùng (söï thay ñoåi theå tích do
nhieät ñoä gaây neân raát beù)
+ Caùc phaàn vó moâ cuûa vaät khoâng coù söï chuyeån ñoäng
töông ñoái vôí nhau.
+ Nguoàn nhieät beân trong phaân boá ñeàu: qv = const , W/m3
Nguyeãn toaøn phong
Page 14 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Phöông trình vi phaân daãn nhieät ñöôïc xaây döïng döïa treân
cô sôû ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng vaø ñònh luaät Fourier.
Ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng: “Nhieät löôïng δQ1 ñöa
vaøo phaàn töû theå tích dV sau khoaûng thôøi gian dτ do daãn nhieät
vaø do nguoàn nhieät beân trong phaùt ra baèng söï bieán thieân noäi
naêng trong phaàn töû theå tích vaät”
∂Q1 + ∂Q2 = ∂Q
(1-18)
δQ1 Nhieät löôïng ñöa vaøo phaàn töû theå tích baèng daãn
nhieät sau khoaûng thôøi gian dτ
δQ2 Nhieät löôïng phaùt sinh trong phaàn töû theå tích sau
khoaûng thôøi gian dτ do nguoàn nhieät beân trong.
δQ Ñoä bieán thieân noäi naêng trong phaàn töû theå tích dv
sau khoaûng thôøi gian dτ.
Nguyeãn toaøn phong
Page 15 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Theo phöông x, nhieät löôïng ñöa vaøo taïi vò trí x vaø ñöa ra
taïi vò trí x + dx laø:
∂Qx = qx ⋅dy⋅dz⋅dτ
∂Qx+dx = qx+dx ⋅dy⋅dz⋅dτ
Nhieät löôïng tích tuï laïi trong phaàn töû theå tích theo
phöông x sau khoaûng thôøi gian dτ :
∂Q1x = ∂Qx − ∂Qx+dx
(1-19.a)
(
)
= qx − qx+dx ⋅dy⋅dz⋅dτ
Haøm qx+dx lieân tuïc trong khoaûng dx, do ñoù coù theå khai
trieån theo chuoåi Taylor nhö sau:
dx2
2!
dxn
n!
∂qx
∂x
∂2qx
∂x2
∂nqx
∂xn
qx+dx = qx +
⋅dx +
⋅
+... +
⋅
Neáu chæ laáy 2 soá haïng ñaàu, theá vaøo (a) ta coù:
∂qx
∂x
∂Q1x = −
⋅dx⋅dy⋅dz⋅dτ
(1-19.b)
Töông töï, nhieät löôïng tích tuï theo phöông y vaø z laø:
∂qy
∂Q1y = −
∂Q1z = −
⋅dx⋅dy⋅dz⋅dτ
⋅dx⋅dy⋅dz⋅dτ
∂y
∂qz
∂z
Nhö vaäy, nhieät löôïng tích tuï laïi trong phaàn töû theå tích dv
sau khoaûng thôøi gian dτ do daãn nhieät laø:
Nguyeãn toaøn phong
Page 16 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
∂Q1 = ∂Q1x + ∂Q1y + ∂Q1z
(1-19.c)
∂qy
⎛
⎞
∂qx
∂qz
⎜
⎜
⎟
⎟
= −
+
+
⋅dV⋅dτ = −∇q⋅dV⋅dτ
∂x ∂y ∂z
⎝
⎠
Nhieät löôïng toûa ra do nguoàn nhieät beân trong qv [W/m3]
(phaân boá ñeàu):
∂Q2 = qv ⋅dV⋅dτ
(1-19.d)
Bieán thieân noäi naêng trong phaàn töû theå tích dv:
Cv ≡ Cp ≡ C
∂t
∂Q = C⋅dm ⋅ ⋅dτ = C⋅ρ⋅ ⋅dV ⋅dτ
∂τ ∂τ
(1-19.e)
(1-20)
∂t
Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vaøo 1-18
qv
C.ρ
∂t
∂τ
1
C.ρ
= −
⋅∇q +
Ta ñöôïc:
Theá phöông trình 1-15 vaøo 1-20
qv
C.ρ
∂t λ
∂τ C.ρ
Ta ñöôïc
=
⋅∇2t +
qv
C.ρ
∂t
∂τ
= a⋅∇2t +
Hay
(1-21)
λ
a =
heä soá khueách taùn nhieät, laø thoâng soá vaät lyù toàn taïi
C.ρ
trong quaù trình daãn nhieät khoâng oån ñònh vaø ñaëc
tröng cho toác ñoä bieán thieân nhieät ñoä cuûa vaät.
Nguyeãn toaøn phong
Page 17 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Trong heä toïa ñoä truï
Ta theá quan heä sau
x = r⋅cosφ
y = r⋅sinφ
z = z
⎧
⎪
⎨
(1-22)
⎪
⎩
vaøo phöông trình 1-21, phöông trình vi phaân daãn nhieät
trong heä toïa ñoä truï coù daïng:
2
2
2
⎛
⎞
qv
C.ρ
∂t
∂τ
∂ t 1 ∂t 1 ∂ t ∂ t
= a⋅
+ ⋅ + ⋅
+
+
⎜
⎟
(1-23)
∂r2
r2 ∂φ2 ∂z2
r ∂r
⎝
⎠
Nguyeãn toaøn phong
Page 18 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Trong heä toïa ñoä caàu:
Ta theá quan heä sau
x = r⋅cosφ⋅sinθ
y = r⋅sinφ⋅sinθ
z = r⋅cosθ
⎧
⎪
⎨
(1-24)
⎪
⎩
vaøo phöông trình 1-21, phöông trình vi phaân daãn nhieät
trong heä toïa ñoä caàu coù daïng:
2
2
⎡
⎤
qv
c.ρ
∂t
∂τ
1 ∂
r
1
∂
∂θ
∂t
∂θ
1
∂ t
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
( )
r⋅ t +
= a⋅ ⋅
⋅
sinθ⋅
+
⋅
+
⎢
⎥
∂r2
r2 .sinθ
r2 .sin2 θ ∂φ2
⎣
⎦
(1-25)
Nguyeãn toaøn phong
Page 19 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
D. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN
DAÃN NHIEÄT OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU
KHOÂNG COÙ NGUOÀN NHIEÄT BEÂN TRONG
I. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ VUOÂNG GOÙC
qv
C.ρ
∂t
∂τ
P/trình 1-21
= a⋅∇2t +
Tröôøng hôïp naøy maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët phaúng
song song → nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông x, ta coù
∂t
∂y
∂t
∂t
∂z
⎫
= 0
= 0
d2t
⎪
⎪
= 0
⇒
(1-26)
⎬
⎪
dx2
= 0 qv = 0
⎪
⎭
∂τ
II. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ TRUÏ
2
2
2
⎛
⎞
⎟
⎠
qv
C.ρ
∂t
P/t 1-23: = a⋅
∂τ
∂ t 1 ∂t 1 ∂ t ∂ t
+ ⋅ + ⋅
+
+
⎜
⎝
∂r2
r2 ∂φ2 ∂z2
r ∂r
Tröôøng hôïp naøy maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët truï ñoàng
taâm → nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính
∂t
∂φ
∂t
∂t
∂z
⎫
= 0
= 0
d2t 1 dt
⎪
⎪
⇒
+ ⋅ = 0
⎬
⎪
dr2
r dr
= 0 qv = 0
⎪
⎭
∂τ
d
dt
⎛
⎝
⎞
⎠
r ⋅
= 0
⇒
(1-27)
⎜
⎟
dr dr
Nguyeãn toaøn phong
Page 20 of 24
Chöông I – KNCB & PT Vi Phaân Daãn Nhieät
Tải về để xem bản đầy đủ
24 trang
18220
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Truyền nhiệt - Chương I: Các khái niệm cơ bản về truyền nhiệt và phương trình vi phân dẫn nhiệt - Nguyễn Toàn Phong", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truyen_nhiet_chuong_i_cac_khai_niem_co_ban_ve_truy.pdf
