Tài liệu Phương pháp thể tích hữu hạn giải các bài toán
PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Böôùc moät: Taïo löôùi.
Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
E
W
B
A
P
Caùc ñieåm nuùt
The åtích kieåm soaùt
N
J+
n
1
j-1
E
J
j
W w
e
s
Thể tích kiểm
soát vô hướng
(phương trình
liên tục)
T
E
J-
1
S
I-1 i
I i+ I+
t
1
1
e
n
s
N
S
P
b
w
W
B
Sai phân hóa
∂
∂t
(ρφ) + div(ρuφ) = div(Γgradφ) + Sφ
Tích phân theo thể tích hữu hạn rời rạc
t+∆t
t+∆t
t+∆t
t+∆t
∂
∂t
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
(ρφ)dt dV +
n.(ρuφ)dA dt =
n.(Γgradφ)dA dt +
SφdV dt
V
t
t
A
t
A
t
V
t+∆t
t+∆t
t+∆t
t+∆t
∂
∂t
∫ ∫
∫
∫
∫
(ρφ)dt dV =
(
∆(AΓφ)
)
dt −
(
∇(Aρuφ) dt + S.∆Vdt
)
V
t
t
t
t
t+∆t
∂
∂t
0
∫ ∫
(ρφ)dt dV = ρ(φP − φP ).∆V
V
t
Sai phân hóa
t+∆t
t+∆t
(
(A )
)
dt
(
(A u ) dt
)
∆ Γφ − ∇ ρ φ =
∫
∫
t
t
t+∆t
∂φ
∂x
∂φ
∂x
∂φ
∂y
∂φ
∂y
∂φ
∂z
∂φ
(AΓ )e − (AΓ )w + (AΓ )n − (AΓ )s + (AΓ )t − (AΓ )b dt −
∫
∂z
t
t+∆t
(
[
(Aρuφ)e − (Aρuφ)w
]
+
[
(Aρuφ)n − (Aρuφ)s
]
+
[
(Aρuφ)t − (Aρuφ)b dt
]
)
∫
t
Rời rạc hoá phương trình tích phân
φP − φw
φE − φP
∂φ
∂x
∂φ
∂x
e
AΓ
− AΓ
= AeΓe
− Aw Γw
xPE
xPW
w
φN − φP
φP − φ
∂φ
∂y
∂φ
∂y
S
AΓ
AΓ
− AΓ
= An Γn
− AsΓs
n
yPN
yPN
s
φT − φP
φP − φ
∂φ
∂z
∂φ
∂z
B
− AΓ
= At Γt
− AbΓb
zPT
zPB
t
b
Đặt:
F = Aρu; D = AΓ/xi,j
Rời rạc hoá phương trình tích phân
t+∆t
ρ(φP − φ0P ).∆V = −
{
[
Feφe − Fw φw
]
+
[
Fn φn − Fs φs
]
+
[
Ft φt − Fb φb
]
}
dt +
∫
t
t+∆{t (De (φE − φP )
)
−
(
Dw (φP − φw )
)
+
(
Dn (φN − φP )
)
−
(
Ds (φP − φS )
)
+
(
Dt (φT − φP )
) (
− Db (φP − φB ))}dt
∫
t
t+∆t
+ S.∆Vdt
∫
(*)
t
Rời rạc hoá phương trình tích phân
Để xác định vế phải của phương trình (*), tham số trọng
lượng θ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ được áp dụng.
Các tích phân bên vế phải sẽ được viết lại như sau:
t+∆t
Iφ = φPdt = [θ.φP + (1− θ)φ0P ]∆t
(**)
∫
t
Rời rạc hoá phương trình tích phân
Sử dụng phương trình (**) for φE, φW, φN, φS, φT, φB vào
phương trình (*) và chia phương trình này cho ∆t, ta được:
ρ(φP − φ0P ).∆V
= −θ
{
[
Feφe − Fw φw
]
+
[
Fn φn − F φs
]
+
[
Ft φt − Fbφb −
]
}
s
∆t
(1− θ)
{
[
Feφ0e − Fw φ0w
+
Fn φ0n − Fs φs0
+
Ft φ0t − Fb φ0b
}
+
]
[
]
[
]
θ
{(De (φE − φP )
)
−
(
Dw (φP − φw )
)
+
(
Dn (φN − φP )
)
−
(
Ds (φP − φS )
)
+
(
Dt (φT − φP )
)
−
(
Db (φP − φB ))}
+
(1− θ){(De (φ0E − φ0P )
)
−
(
Dw (φ0P − φ0W )
)
+
(
Dn (φ0N − φ0P )
)
−
(
Ds (φ0P − φS0 )
)
+
(
Dt (φ0T − φ0P )
)
−
(
Db (φ0P − φ0B ))}
+ S∆V
(***)
Khi θ = 0, phương trình (***) trở nên tường minh, nếu 0<θ<1,
phương trình (***) không tường minh, còn nếu θ = 1, thì phương
trình (***) hoàn toàn không tường minh. Khi θ = 1/2, phương
trình (***) được gọi là phương trình Crank-Nicolson. Trong phần
này, phương pháp rời rạc hóa không tường minh hoàn toàn sẽ
được áp dụng để rời rạc hóa các phương trình tổng quát.
Rời rạc hoá phương trình tích phân
Bởi vì phương pháp này áp dụng cho quá trình thay đổi tức thời
(transient), nên người ta sử dụng các phương trình khuếch tán-đối
lưu và các sơ đồ chuyển đổi qua lại. Do đó, ta có:
0 0
aPφP = aWφW + aEφE + aSφS + aNφN + aBφB + aTφT + a φ + Su
P P
Trong đó:
aP = aW + aE + aS + aN + aB + aT + a0P + ∆F − SP
Với:
ρ0P ∆V
a0P =
S.∆V = Su + SPφP
∆t
Rời rạc hoá phương trình tích phân
Fw
Fe
a = max F , D + ,0
W
w
w
a = max − F , D − ,0
E
e
e
2
2
F
s
Fn
a = max F , D + ,0
a = max − F , D − ,0
S
s
s
N
n
n
2
2
Fb
F
a = max F , D + ,0
t
B
b
b
a = max − F , D − ,0
2
T
t
t
2
∆F = Fe – Fw + Fn – Fs + Ft – Fb
Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA
φ1
= C1
= C2
= C3
-β2φ1 + D2φ2 - α2φ3
-β3φ2 + D3φ3 - αP1φP1
………..
-βnφn-1 + Dnφn - αnφn+1= Cn
φn+1 = Cn+1
Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA
Trong các phương trình trên, φ1 và φn+1 được xem là những giá trị
biên. Phương trình dạng tổng quát được viết như sau:
-βjφj-1 + Djφj - αjφj+1 = Cj
α2
D2
β2
D2
C2
D2
φ2 = φ3 + φ1 +
α3
D3
β3
D3
C3
D3
φ3 = φ4 + φ2 +
…………………………..
αn
Dn
βn
φn+1 + φn−1 +
Dn
Cn
Dn
φn =
BÀI TẬP
MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG
SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN
1. Bài toá n truyền dẫn nhiệt
Quá trình truyền nhiệt ổn định qua tấm phẳng có bề dày L = 2cm;
hệ số dẫn nhiệt k = 0,5 (W/m.độ); nguồn cấp nhiệt không đổi
q/ρCp = 1000 (kW/m3). Các bề mặt A và B của tấm phẳng có nhiệt
độ 100oC và 200oC. Giả sử rằng kích thước theo phương y và z đủ
lớn để gradient nhiệt độ chỉ xuất hiện theo phương x.
Xác định:
1) Phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt
2) Biết rằng: Nghiệm giải tích của bài toán trên có dạng:
T −T q
B
A
T =
+ (L − x) .x +TA
L 2k
Đánh giá kết quả gần đúng theo kết quả mô phỏng và
kết quả chính xác theo nghiệm giải tích trên (5 nút)
Xuất phát từ phương trình tổng quát
∂
(ρφ) + div(ρuφ) = div(Γgradφ) + Sφ
∂t
Phương trình truyền nhiệt dạng tổng quát được viết
dưới dạng:
2
∂T
∂t
∂T
∂x
∂T
∂y
∂T
∂z
∂2T
∂x2
∂2T
∂y2
∂ T
∂z2
ρCp
+ ρCp ux
+ uy
+ uz
= kx
+ ky
+ kz
+ Q
Phương trình truyền nhiệt trong tấm phẳng có kích
thước chiều y>>x và z >>x có dạng:
∂T ∂2T
ρCp = kx
+ Q
∂t
∂x2
Trong trường hợp truyền nhiệt ổn định:
∂2T
kx
+ Q = 0
∂x2
Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
E
A
W
w
e
B
P
Caùc ñieåm nuùt
∆x/2 ∆x
∆x
Điểm giữa
d dT
k dV + qdV = 0
∫
∫
dx dx
(V )
(V )
dT
dx
dT
dx
Ak
− Ak
+ q(V ) = 0
e
w
TE −T
TP −T
P
w
Aeke
− Awkw
+ qA∆x = 0
xPE
xPW
0 0
aPTP = aWTW + aETE + a T + Su
P P
F
e
F
w
a = max − F , D − ,0 = D
a = max F , D + ,0 = D
E
e
e
e
W
w
w
w
2
2
aP = aW + aE − SP
F = 0
D = Ak/∆x
SU = qA∆x
Sp = 0
Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
E
A
W
w
e
B
P
Caùc ñieåm nuùt
∆x/2 ∆x
∆x
Điểm 1
d dT
k dV + qdV = 0
∫
∫
dx dx
(V )
(V )
dT
dx
dT
dx
Ak
− Ak
+ q(V ) = 0
e
w
TE −T
TP −TB
xPW / 2
P
Aeke
− Awkw
+ qA∆x = 0
xPE
0 0
aPTP = aWTW + aETE + a T + Su
P P
F
F
w
e
a = max F , D + ,0 = 0
a = max − F , D − ,0 = D
W
w
w
E
e
e
e
2
2
aP = aW + aE − SP
F = 0
D = Ak/∆x
SU = qA∆x+2kATB/∆x
2kA
∆x
SP = −
Làm tương tự đối với điểm 5
aW = Dw
aE = 0
aP = aW + aE − SP
F = 0
D = Ak/∆x
SU = qA∆x+2kATA/∆x
2kA
∆x
SP = −
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
29/04/2022
6240
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Phương pháp thể tích hữu hạn giải các bài toán", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tai_lieu_phuong_phap_the_tich_huu_han_giai_cac_bai_toan.pdf
