Giáo trình Kỹ thuật đồ họa
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Lời nói đầu
Đồ họa máy tính được ra đời bởi sự kết hợp của 2 lĩnh vực thông tin và truyền
hình. Đầu tiên kỹ thuật đồ họa được phát triển bởi các nhóm kỹ sư sử dụng máy tính lớn.
Trong giai đoạn đầu của sự phát triển người ta phải tốn nhiều tiền cho việc trang bị các
thiết bị phần cứng. Ngày nay, nhờ vào sự tiến bộ của vi xử lý, giá thành của máy tính
càng lúc càng phù hợp với túi tiền của người sử dụng trong khi các kỹ thuật ứng dụng đồ
họa của nó ngày càng cao hơn nên có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến lĩnh vực này.
Chúng ta có thể vẽ ra những hình ảnh không chỉ là ảnh tĩnh mà còn có thể biến đổi thành
những hình ảnh sinh động qua các phép quay, tịnh tiến... Do vậy, đồ họa máy tính trở
thành một lĩnh vực lý thú và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Tuy nhiên, việc dạy và học kỹ thuật đồ họa thì không là đơn giản do chủ đề này có
nhiều phức tạp. Kỹ thuật đồ họa liên quan đến tin học và toán học bởi vì hầu hết các giải
thuật vẽ, tô cùng các phép biến hình đều được xây dựng dựa trên nền tảng của hình học
không gian hai chiều và ba chiều.
Hiện nay, Kỹ thuật đồ họa là một môn học được giảng dạy cho sinh viên chuyên
ngành Tin học với 45 tiết lý thuyết và 15 tiết thực tập. Nội dung của giáo trình kỹ thuật
đồ họa này tập trung vào 2 vấn đề chính như sau :
- Trình bày các thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản như đường thẳng, đa giác,
đường tròn, ellipse và các đường conic. Các thuật toán này giúp cho sinh viên có thể tự
mình thiết kế để vẽ và tô một hình nào đó ( chương 1 và 2).
- Nội dung thứ hai đề cập đến đồ họa hai chiều và đồ họa ba chiều bao gồm các
phép biến đổi Affine, windowing và clipping, quan sát ảnh ba chiều qua các phép chiếu,
khử các mặt khuất và đường khuất, thiết kế đường cong và mặt cong (từ chương 3 đến
chương 7).
Giáo trình kỹ thuật đồ họa này được sửa đổi và cập nhật dựa trên kinh nghiệm
giảng dạy đã qua và được xây dựng dựa trên tài liệu tham khảo chính là :
Donald Hearn, M. Pauline Baker; Computer Graphics; Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey , 1986.
Sau cùng, chúng tôi hy vọng rằng giáo trình này sẽ đóng góp tích cực trong việc
cải tiến sự hiểu biết của sinh viên về lĩnh vực đồ họa và mong nhận được sự góp ý của
các đồng nghiệp và sinh viên để công việc biên soạn ngày càng được tốt hơn.
Trang 1
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Mục lục
CÁC ĐƯỜNG CƠ BẢN.....................................................................................6
1.1 Tổng quan .........................................................................................................6
1.3. Thuật toán vẽ đoạn thẳng..................................................................................9
1.3.2. Thuật toán Bresenham.............................................................................13
1.4. Thuật toán vẽ đường tròn................................................................................17
1.4.1. Thuật toán đơn giản.................................................................................17
1.4.2. Thuật toán MidPoint................................................................................18
1.4.4. Thuật toán vẽ Ellipse...............................................................................22
1.4.6. Vẽ đa giác................................................................................................25
1.4.7. Tổng kết chương 1...................................................................................28
1.4.8. Bài tập chương 1 .....................................................................................28
2.1. Tổng quan .......................................................................................................31
2.2. Các không gian màu .......................................................................................31
2.3. Các thuật toán tô màu .....................................................................................33
2.3.1. Tô đơn giản..............................................................................................33
2.3.2. Tô màu theo dòng quét (scan - line)........................................................38
2.4. Tổng kết chương 2..........................................................................................45
2.5. Bài tập chương 2.............................................................................................46
3.1. Tổng quan .......................................................................................................47
3.2. Phép tịnh tiến (translation)..............................................................................47
3.3. Phép biến đổi tỷ lệ ..........................................................................................48
3.4. Phép quay........................................................................................................49
3.5. Phép đối xứng.................................................................................................51
3.6. Phép biến dạng................................................................................................51
3.8. Một số tính chất của phép biến đổi affine ......................................................53
3.9. Hệ tọa độ thuần nhất.......................................................................................53
Tổng kết chương 3 ......................................................................................55
Bài tập chương 3 .........................................................................................55
Chương 4...........................................................................................................58
4.1. Tổng quan .......................................................................................................58
4.2. Các khái niệm về Windowing.........................................................................58
Trang 2
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
4.3. Các thuật toán Clipping ..................................................................................63
4.4. Phép biến đổi từ cửa sổ - đến – vùng quan sát ...............................................84
4.5. Tổng kết chương 4..........................................................................................86
4.6. Bài tập chương 4.............................................................................................86
5.1. Tổng quan .......................................................................................................88
5.2. Giới thiệu đồ họa 3 chiều................................................................................88
5.3. Biểu diễn đối tượng 3 chiều............................................................................90
5.4. Các phép biến đổi 3 chiều...............................................................................95
5.4.1. Hệ tọa độ bàn tay phải - bàn tay trái .......................................................95
5.4.2. Các phép biến đổi Affine cơ sở...............................................................95
5.5. Tổng kết chương 5..........................................................................................97
6.1. Tổng quan .......................................................................................................98
6.2. Các phép chiếu................................................................................................98
6.2.1. Các phép chiếu song song .....................................................................100
6.2.2. Các phép chiếu phối cảnh......................................................................105
6.3. Biến đổi hệ tọa độ quan sát (hệ quan sát).....................................................107
6.3.1. Xác định mặt phẳng quan sát ...............................................................108
6.3.2. Không gian quan sát..............................................................................112
6.3.3. Clipping.................................................................................................115
6.5. Cài đặt phần cứng .........................................................................................125
6.6. Lập trình xem ảnh ba chiều ..........................................................................126
6.8. Tổng kết chương 6........................................................................................130
6.9. Bài tập chương 6..........................................................................................131
Chương 7.........................................................................................................134
7.1. Tổng quan .....................................................................................................134
7.8. Loại bỏ các đường bị che khuất....................................................................154
7.9. Tổng kết chương 7........................................................................................156
Bài tập chương 7 .......................................................................................157
Trang 3
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
PHẦN TỔNG QUAN
1. Mục đích yêu cầu
Sau khi học xong môn này, sinh viên cần đạt được các yêu cầu sau:
- Hiểu thế nào là đồ họa trên máy tính.
- Thiết kế và cài đặt được các thuật toán vẽ các đường cơ bản như đường thẳng,
đường tròn,...
- Thiết kế và cài đặt được các thuật toán tô một hình.
- Sử dụng được các phép biến hình trong không gian 2 chiều, 3 chiều để làm thay
đổi một hình ảnh đã có sẳn.
- Có thể tạo một cửa sổ để cắt - dán một hình.
- Hiểu khái niệm về các tiếp cận để mô phỏng được một hình ảnh trong không
gian 3 chiều trên máy tính.
2. Đối tượng sử dụng
Môn kỹ thuật đồ họa được giảng dạy cho sinh viên năm thứ tư của các khoa sau:
- Chuyên ngành công nghệ thông tin.
- Chuyên ngành điện tử (viễn thông, tự động hóa,...)
- Chuyên ngành sư phạm (Toán tin, Lý tin )
3. Nội dung cốt lõi
Giáo trình Kỹ thuật đồ họa bao gồm 7 chương.
- Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
- Chương 2: Các thuật toán tô màu
- Chương 3: Phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều
- Chương 4: Tạo cửa sổ và cắt hình
- Chương 5: Đồ họa 3 chiều
- Chương 6: Quan sát ảnh 3 chiều
- Chương 7: Khử các mặt khuất và đường khuất
4. Kiến thức tiên quyết
- Kiến thức về hình học không gian và hình giải tích
- Kiến thức lập trình căn bản, lập trình đồ họa
- Kiến thức về cấu trúc dữ liệu, lập trình đệ qui
Trang 4
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
5. Danh mục tài liệu tham khảo
- Donald Hearn, M. Pauline Baker; Computer Graphics; Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey , 1986.
- F.S.Hill; Computer graphics ; 1990
- Vũ Mạnh Tường, Dương Anh Đức, Trần Đan Thư, Lý Quốc Ngọc. Giáo trình Nhập
môn đồ họa & xử lý ảnh.1995.
- VERA B.ANAND, người dịch TS Nguyễn Hữu Lộc. Đồ họa máy tính và Mô hình hóa
hình học. Nhà xuất bản Thành Phố Hồ Chí Minh - 2000.
- Foley, Van Darn, Feiner, Hughes, Phillips. Introduction à L'Infographie. 1995.
- Lê Tấn Hùng, Huỳnh Quyết Thắng. Kỹ thuật đồ họa. Nhà xuất bản khoa học và kỹ
thuật, Hà nội - 2000.
Trang 5
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Chương 1: GIỚI THIỆU THUẬT TOÁN VẼ VÀ TÔ
CÁC ĐƯỜNG CƠ BẢN
1.1 Tổng quan
• Mục tiêu của chương 1
Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau:
- Thế nào là hệ đồ họa
- Thiết kế và cài đặt được các thủ tục vẽ và tô các đường cơ bản như đường thẳng,
đường tròn, elip, và các đường cong khác.
• Kiến thức cơ bản cần thiết
Các kiến thức cơ bản cần thiết để học chương này bao gồm :
- Các khái niệm toán học về đường thẳng như : đường thẳng là gì : dạng tổng quát
phương trình đường thẳng, hệ số góc, tung độ dốc.
- Hiểu rõ hình dáng của đường thẳng phụ thuộc vào hệ số góc như thế nào.
- Phương trình tổng quát của đường tròn, ellippse ( không có tham số và có tham
số).
- Kĩ thuật lập trình: thiết lập thủ tục, hàm (lưu ý truyền qui chiếu và truyền giá
trị).
• Tài liệu tham khảo
Donald Hearn, M. Pauline Baker. Computer Graphics . Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey , 1986 (chapters 3, 55-76).
• Nội dung cốt lõi
Thiết lập thủ tục vẽ :
- Đường thẳng bằng giải thuật DDA
- Đường thẳng bằng giải thuật Bresenham
- Đường tròn bằng giải thuật đối xứng
- Đường tròn bằng giải thuật Bresenham
- Đường tròn bằng giải thuật MidPoint
- Ellippse
- Đa giác
Trang 6
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
1.2. Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn
Một hệ mềm đồ họa được mô tả bao gồm 3 miền như sau :
- Miền điều khiển : bao bọc toàn bộ hệ thống.
- Miền thực : nằm trong miền điều khiển. Khi một số nào đó thâm nhập vào miền
thực, nó sẽ được chuyển thành số thực dấu phẩy động, và khi có một số rời khỏi miền này
thì nó sẽ được chuyển thành số nguyên có dấu 16 bits.
- Miền hiển thị : nằm trong miền điều khiển nhưng phân biệt với miền thực. Chỉ có
số nguyên 16 bits mới nằm trong miền hiển thị.
Trong lĩnh vực kỹ thuật đồ họa, chúng ta phải hiểu được rằng thực chất của đồ họa
là làm thế nào để có thể mô tả và biến đổi được các đối tượng trong thế giới thực trên
máy tính. Bởi vì, các đối tượng trong thế giới thực được mô tả bằng tọa độ thực. Trong
khi đó, hệ tọa độ thiết bị lại sử dụng hệ tọa độ nguyên để hiển thị các hình ảnh. Đây
chính là vấn đề cơ bản cần giải quyết. Ngoài ra, còn có một khó khăn khác nữa là với các
thiết bị khác nhau thì có các định nghĩa khác nhau. Do đó, cần có một phương pháp
chuyển đổi tương ứng giữa các hệ tọa độ và đối tượng phải được định nghĩa bởi các thành
phần đơn giản như thế nào để có thể mô tả gần đúng với hình ảnh thực bên ngoài.
Hai mô hình cơ bản của ứng dụng đồ họa là dựa trên mẫu số hóa và dựa trên đặc
trưng hình học. Trong ứng dụng đồ họa dựa trên mẫu số hóa thì các đối tượng đồ họa
được tạo ra bởi lưới các pixel rời rạc. Các pixel này có thể đuợc tạo ra bằng các chương
trình vẽ, máy quét, ... Các pixel này mô tả tọa độ xác định vị trí và giá trị mẫu. Thuận lợi
của ứng dụng này là dể dàng thay đổi ảnh bằng cách thay đổi màu sắc hay vị trí của các
pixel, hoặc di chuyển vùng ảnh từ nơi này sang nơi khác. Tuy nhiên, điều bất lợi là không
thể xem xét đối tượng từ các góc nhìn khác nhau. Ứng dụng đồ họa dựa trên đặc trưng
hình học bao gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như đoạn thẳng, đa giác,.... Chúng được
lưu trữ bằng các mô hình và các thuộc tính. Ví dụ : đoạn thẳng được mô hình bằng hai
điểm đầu và cuối, có thuộc tính như màu sắc, độ dày. Người sử dụng không thao tác trực
tiếp trên các pixel mà thao tác trên các thành phần hình học của đối tượng.
a. Hệ tọa độ thế giới thực:
Một trong những hệ tọa độ thực thường được dùng để mô tả các đối tượng trong
thế giới thực là hệ tọa độ Descartes. Với hệ tọa độ này, mỗi điểm P được biểu diễn bằng
một cặp tọa độ (xp,yp) với xp, yp ∈R (xem hình 1.1).
Trang 7
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Y
P(xp,yp)
yp
O
xp
X
Hình 1.1 : Hệ tọa độ thực.
. Ox : gọi là trục hoành.
. Oy : gọi là trục tung.
. xp : hoành độ điểm P.
. yp : tung độ điểm P.
b. Hệ tọa độ thiết bị
Hệ tọa độ thiết bị (device coordinates) được dùng cho một thiết bị xuất cụ thể nào
đó, ví dụ như máy in, màn hình,..
Trong hệ tọa độ thiết bị thì các điểm cũng được mô tả bởi cặp tọa độ (x,y). Tuy
nhiên, khác với hệ tọa độ thực là x, y ∈ N. Điều này có nghĩa là các điểm trong hệ tọa độ
thực được định nghĩa liên tục, còn các điểm trong hệ tọa độ thiết bị là rời rạc. Ngoài ra,
các tọa độ x, y của hệ tọa độ thiết bị chỉ biểu diễn được trong một giới hạn nào đó của N.
Ví dụ : Độ phân giải của màn hình trong chế độ đồ họa là 640x480. Khi đó, x∈(0,640)
và y∈(0,480) (xem hình 1.2).
(0,0)
(640,0)
(0, 480)
(640,480)
Hình 1.2 : Hệ tọa độ trên màn hình.
Trang 8
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
c. Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates)
Do cách định nghĩa các hệ tọa độ thiết bị khác nhau nên một hình ảnh hiển thị
được trên thiết bị này là chính xác thì chưa chắc hiển thị chính xác trên thíết bị khác.
Người ta xây dựng một hệ tọa độ thiết bị chuẩn đại diện chung cho tất cả các thiết bị để
có thể mô tả các hình ảnh mà không phụ thuộc vào bất kỳ thiết bị nào.
Trong hệ tọa độ chuẩn, các tọa độ x, y sẽ được gán các giá trị trong đoạn từ [0,1].
Như vậy, vùng không gian của hệ tọa độ chuẩn chính là hình vuông đơn vị có góc trái
dưới (0, 0) và góc phải trên là (1, 1).
Quá trình mô tả các đối tượng thực như sau (xem hình 1.3):
màn hình
Ảnh định nghĩa
trên tọa độ thế
giới thực.
máy in
Tọa độ chuẩn hóa
Tọa độ thiết bị
thiết bị
khác
Hình 1.3 : Hệ tọa độ trên màn hình.
1.3. Thuật toán vẽ đoạn thẳng
Xét đoạn thẳng có hệ số góc 0<m<=1 và Δx>0. Với các đoạn thẳng dạng này, nếu
(xi, yi) là điểm đã được xác định ở bước thứ i thì điểm kế tiếp (xi+1, yi+1) ở bước thứ i+1 sẽ
là một trong hai điểm sau (xem hình vẽ 1.4) :
xi+1= xi + 1
yi+1= yi + 1
yi
Trang 9
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
(xi+4,yi+3)
(xi+2,yi+2)
(xi+3,yi+2)
(xi+1,yi+1)
(xi,yi)
Hình 1.4 : Các điểm vẽ gần với điểm muốn vẽ.
Vấn đề đặt ra là chọn điểm vẽ như thế nào để đường thẳng được vẽ gần với đường
thẳng muốn vẽ nhất và đạt được tối ưu hóa về mặt tốc độ ?
1.3.1. Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer)
Là thuật toán tính toán các điểm vẽ dọc theo đường thẳng dựa vào hệ số góc của
phương trình đường thẳng y=mx+b.
Δy
Trong đó, m=
, Δy = yi+1 - yi , Δx = xi+1 - xi
Δx
Nhận thấy trong hình vẽ 1.4 thì tọa độ của điểm x sẽ tăng 1 đơn vị trên mỗi điểm
vẽ, còn việc quyết định chọn yi +1 là yi +1 hay yi sẽ phụ thuộc vào giá trị sau khi làm tròn
của tung độ y. Tuy nhiên, nếu tính trực tiếp giá trị thực của y ở mỗi bước từ phương trình
y=mx+b thì cần một phép toán nhân và một phép toán cộng số thực.
yi +1 = mxi +1 + b = m(xi + 1) + b = mxi + b + m
Để cải thiện tốc độ, người ta khử phép nhân trên số thực.
Ta có :
yi = mxi + b
i +1 = yi + m → int(yi +1)
⇒
y
• Tóm lại khi 0<m<=1 :
xi +1 = xi + 1
yi +1 = yi + m → int(yi +1)
• Trường hợp m>1: chọn bước tăng trên trục y một đơn vị.
xi +1 = xi + 1/m → int(xi +1)
yi +1 = yi + 1
Trang 10
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Hai trường hợp này dùng để vẽ một điểm bắt đầu từ bên trái đến điểm cuối cùng bên phải
của đường thẳng (xem hình 1.5). Nếu điểm bắt đầu từ bên phải đến điểm cuối cùng bên
trái thì xét ngược lại :
• 0<m<=1:
xi +1 := xi - 1
yi +1:= yi - m → int(yi+1)
• m>1:
xi +1:= xi – 1/m → int(xi+1)
yi +1:= yi – 1
Hình 1.5 : Hai dạng đường thẳng có 0<m<1 và m>1.
Tương tự, có thể tính toán các điểm vẽ cho trường hợp m<0: khi |m|<=1 hoặc |m|>1 (sinh
viên tự tìm hiểu thêm).
Trang 11
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Lưu đồ thuật toán DDA
Begin
dx=x2-x1
dy=y2-y1
Yes
No
abs(dx)>abs(dy)
step=abs(dx)
step=abs(dy)
x_inc=dx/step
y_inc=dy/step
x=x1;y= y1
putpixel(x1,y1,c)
No
k<=step
Yes
x = x+x_inc
y = y+y_inc
putpixel(round(x),round(y),c)
End
Trang 12
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Cài đặt minh họa thuật toán DDA
Procedure DDA ( x1, y1, x2, y2, color : integer );
Var dx, dy, step : integer;
X_inc, y_inc , x, y : real ;
Begin
dx:=x2-x1;
dy:=y2-y1;
if abs(dx)>abs(dy) then steps:=abs(dx)
else steps:=abs(dy);
x_inc:=dx/steps;
y_inc:=dy/steps;
x:=x1;
y:=y1;
putpixel(round(x),round(y), color);
for k:=1 to steps do
begin
x:=x+x_inc;
y:=y+y_inc;
putpixel(round(x),round(y), color);
end;
end;
1.3.2. Thuật toán Bresenham
P2
yi+1
yi+1
d2
d1
yi
P1
xi+1 = xi+1
xi
Hình 1.6 : Dạng đường thẳng có 0<=m<=1.
Trang 13
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Gọi (xi +1,yi +1) là điểm thuộc đoạn thẳng (xem hình 1.6). Ta có y:= m(xi +1)+b.
Đặt d1 = yi +1 - yi
d2 = (yi +1) - yi +1
Việc chọn điểm (xi +1, yi +1) là P1 hay P2 phụ thuộc vào việc so sánh d1 và d2 hay dấu của
d1-d2.
- Nếu d1-d2<0 : chọn điểm P1, tức là yi +1= yi
- Nếu d1-d2 ≥0 : chọn điểm P2, tức là yi +1= yi +1
Xét Pi = Δx (d1 - d2)
Ta có : d1 - d2 = 2 yi+1 - 2yi - 1
= 2m(xi+1) + 2b - 2yi - 1
⇒
Pi = Δx (d1 - d2) = Δx[2m(xi+1) + 2b - 2yi - 1]
Δy
= Δx[2
(xi+1) + 2b - 2yi - 1]
Δx
= 2Δy(xi+1) - 2Δx.yi + Δx(2b - 1)
= 2Δy.xi - 2Δx.yi + 2Δy + Δx(2b - 1)
Vậy C = 2Δy + Δx(2b - 1) = Const
Pi = 2Δy.xi - 2Δx.yi + C
⇒
Nhận xét rằng nếu tại bước thứ i ta xác định được dấu của Pi thì xem như ta xác định
được điểm cần chọn ở bước (i+1). Ta có :
P
i +1 - Pi = (2Δy.xi+1 - 2Δx.yi+1 + C) - (2Δy.xi - 2Δx.yi + C )
⇔ Pi +1 = Pi + 2Δy - 2Δx ( yi+1 - .yi )
- Nếu Pi < 0 : chọn điểm P1, tức là yi +1= yi và Pi +1 = Pi + 2Δy.
- Nếu Pi ≥ 0 : chọn điểm P2, tức là yi +1= yi +1 và Pi +1 = Pi + 2Δy - 2Δx
- Giá trị P0 được tính từ điểm vẽ đầu tiên (x0 ,y0 ) theo công thức :
P0 = 2Δy.x0 - 2Δx.y0 + C
Do (x0 ,y0 ) là điểm nguyên thuộc về đoạn thẳng nên ta có :
Δy
y0 = m .x0 + b =
.x0 + b
Δx
Thế vào phương trình trên ta được :
P0 = 2Δy - Δx
Trang 14
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Lưu đồ thuật toán Bresenham
Begin
dx = x2-x1; dy = y2 - y1;
P = 2dy-dx; c1 = 2dy; c2 = 2(dy-dx);
x = x1; y = y1;
putpixel (x,y,color);
No
x < x2
Yes
No
P < 0
Yes
P = P + c1
P = P + c2
y = y + 1
x = x +1
putpixel(x,y,color)
End
Trang 15
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Cài đặt minh họa thuật toán Bresenham
Procedure Bres_Line (x1,y1,x2,y2 : integer);
Var dx, dy, x, y, P, const1, const2 : integer;
Begin
dx : = x2 - x1; dy : = y2 - y1;
P : = 2*dy - dx;
Const1 : = 2*dy ; const2 : = 2*(dy - dx) ;
x:= x1; y:=y1;
Putpixel ( x, y, Color);
while (x < x-2 ) do
begin
x : = x +1 ;
if (P < 0) then P : = P + const1
else
begin
y : = y+1 ;
P : = P + const2
end ;
putpixel (x, y, color) ;
end ;
End ;
Nhận xét :
Thuật toán Bresenham chỉ thao tác trên số nguyên và chỉ tính toán trên phép cộng
và phép nhân 2 (phép dịch bit). Điều này là một cải tiến làm tăng tốc độ đáng kể so với
thuật toán DDA.
Ý tưởng chính của thuật toán này là ở chổ xét dấu Pi để quyết định điểm kế tiếp,
và sử dụng công thức truy hồi Pi +1 - Pi để tính Pi bằng các phép toán đơn giản trên số
nguyên.
Tuy nhiên, việc xây dựng trường hợp tổng quát cho thuật toán Bresenham có phức
tạp hơn thuật toán DDA.
Trang 16
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
1.4. Thuật toán vẽ đường tròn
Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình đường tròn bán kính R có dạng:
Với tâm O(0,0) :
x2 + y2 = R2
Với tâm C(xc,yc): (x - xc )2 + (y - yc )2 = R2
Trong hệ tọa độ cực :
x = xc + R.cosθ
y = yc + Y.sinθ
với θ ∈ [0, 2π].
Do tính đối xứng của đường tròn C (xem hình 1.7) nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn,
sau đó lấy đối xứng qua 2 trục tọa độ và 2 đường phân giác thì ta vẽ được cả đường tròn.
y
(-x,y)
(x,y)
(-y,x)
(y,x)
R 2
x
2
(-y,-x)
(y,-x)
(-x,-y)
(x,-y)
Hình 1.7 : Đường tròn với các điểm đối xứng.
1.4.1. Thuật toán đơn giản
Cho x = 0, 1, 2, ..., int( R 2 ) với R>1.
2
- Tại mỗi giá trị x, tính int(y = R2 − x2 ).
- Vẽ điểm (x,y) cùng 7 điểm đối xứng của nó.
Cài đặt minh họa thuật toán đơn giản.
Trang 17
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Procedure Circle (xc, yc, R : integer) ;
Var x, y : integer ;
Procedure DOIXUNG ;
Begin
putpixel (xc + x , yc +y, color) ;
putpixel (xc - x , yc + y, color) ;
putpixel (xc + x , yc - y, color) ;
putpixel (xc - x , yc- y, color) ;
putpixel (xc + y , yc + x, color) ;
putpixel (xc - y , yc + x, color) ;
putpixel (xc + y , yc - x, color) ;
putpixel (xc - y , yc - x, color) ;
End ;
Begin
For x : = 0 to round(R*Sqrt(2)/2) do
Begin
y : = round(Sqrt(R*R - x*x)) ;
DOIXUNG;
End ;
End ;
1.4.2. Thuật toán xét điểm giữa (MidPoint)
Do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối
xứng là vẽ được cả đường tròn. Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi-1
bằng cách so sánh điểm thực Q(xi+1,y) với điểm giữa MidPoind là trung điểm của S1 và
S2. Chọn điểm bắt đầu để vẽ là (0,R). Giả sử (xi, yi) là điểm nguyên đã tìm được ở bước
thứ i (xem hình 1.8), thì điểm (xi+1, yi+1) ở bước i+1 là sự lựa chọn giữa S1 và S2.
xi+1= xi + 1
yi+1=
yi - 1
yi
Trang 18
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
(xi,yi)
S1
Q(xi+1,y)
yi
yi+1
MidPoint
yi - 1
S2
Hình 1.8 : Đường tròn với điểm Q(xi+1, y) và điểm MidPoint.
Đặt F(x,y) = x2 + y2 - R2 , ta có :
. F(x,y) < 0 , nếu điểm (x,y) nằm trong đường tròn.
. F(x,y) = 0 , nếu điểm (x,y) nằm trên đường tròn.
. F(x,y) > 0 , nếu điểm (x,y) nằm ngoài đường tròn.
Xét Pi = F(MidPoint) = F(xi +1, yi - 1/2). Ta có :
- Nếu Pi < 0 : điểm MidPoint nằm trong đường tròn. Khi đó, điểm thực Q gần với điểm
S1 hơn nên ta chọn yi+1 = yi .
- Nếu Pi >= 0 : điểm MidPoint nằm ngòai đường tròn. Khi đó, điểm thực Q gần với điểm
S2 hơn nên ta chọn yi+1 = yi - 1.
Mặt khác :
Pi+1 - Pi = F(xi+1 +1, yi+1 - 1/2) - F(xi + 1, yi - 1/2)
= [(xi+1 +1)2 + (yi+1 - 1/2)2 - R2 ] - [(xi +1)2 + (yi - 1/2)2 - R2 ]
= 2xi + 3 + ((yi+1)2 + (yi)2 ) - (yi+1 - yi)
Vậy :
- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi. Khi đó Pi+1 = Pi + 2xi +3
- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1. Khi đó Pi+1 = Pi + 2xi - 2yi +5.
- Pi ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là:
5
P0 = F(x0 + 1, y0 - 1/2) = F(1, R - 1/2) = -R
4
Trang 19
Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản
Lưu đồ thuật toán MidPoint vẽ đường tròn
Begin
P = 5/4 - R;
x=0 ; y= R;
Putpixel(x,y,c);
No
x < y
Yes
No
P < 0
Yes
P = P + 2*x + 3
P = P + 2*(x-y)+5
y = y - 1
x = x +1
putpixel(x,y,color)
End
Trang 20
Tải về để xem bản đầy đủ
159 trang
21840
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Kỹ thuật đồ họa", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_ky_thuat_do_hoa.pdf
