Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chƣơng III: Ứng suất và biến dạng

CƠ ỨNG DỤNG

Chƣơng IV

Đặc trƣng hình học

của mặt cắt ngang

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm

4.2. Diện tích hình phẳng

4.3. Moment tĩnh diện tích

4.4. Moment quán tính diện tích

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản

4.6. Moment quán tính đối với hệ trục song song

4.7. Một số ví dụ

4.8. Moment quán tính của các mặt cắt định hình

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm

z

y

x

Thanh chịu uốn trong 2 trường hợp

Trường hợp nào chịu tải tốt hơn?

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N

Ứng suất

max:

_max 0,23.10⁸Pa

Tiết diện: 6x4

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N

Ứng suất

max:

_max 0,11.10⁸Pa

Tải: 2000N

Ứng suất

max:

_max 0,23.10⁸Pa

Tiết diện: 4x6

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N

Ứng suất

max:

_max 0,23.10⁸Pa

Tiết diện:

8x4 – 7,5x3,5

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.1. Khái niệm chung

Sức chịu đựng của 1 thanh không chỉ tùy thuộc vào vật liệu mà

còn tùy thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang, cũng như

phương của tải trọng đối với mặt cắt ngang.

Ta cần khảo sát những đặc trưng hình học

chính của mặt cắt ngang để tính toán độ

bền, độ cứng, độ ổn định và thiết kế mặt

cắt thanh cho hợp lý

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.2. Diện tích hình phẳng

Xét 1 hình phẳng biểu diễn bởi mặt

cắt ngang như trên hình.

y

dA

y

Ký hiệu diện tích toàn hình phẳng là

A

^{A }^dA

x

O

A

Nếu hình phẳng gồm nhiều hình có

x

diện tích đã biết ghép lại:

n

A  A



i

i1

Một hình phẳng có thể coi là tổ hợp các hình có diện tích

dương và các hình có diện tích âm

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.3. Moment tĩnh diện tích

4.3.1. Moment tĩnh đối với một trục

y

y₀

C

dA

y

x₀

x

^S^x^ ^{ydA; S}^y^^xdA

y_c

A

S_x,S_y:

Moment tĩnh của diện

tích mặt cắt ngang đối

với trục x, y [(chiều dài)³]

O

x_c

x

Khi moment tĩnh của diện tích đối với 1 trục bằng 0 thì trục đó

gọi là trục trung tâm.

Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt

S_y

S_x

A

Tọa độ trọng tâm mặt cắt:

x_C ; y_C

A

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.3. Moment tĩnh diện tích

Nhận xét: nếu mặt cắt có 2 trục đối xứng trọng tâm sẽ

nằm trên trục này vì moment tĩnh đối với trục bằng 0.

y

x

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.3. Moment tĩnh diện tích

4.3.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp

n

S  A y  A y ... A y  A y



x

1 1

2 2

n n

i i

i1

n

S  A x  A x ... A x  A x



y

1 1

2 2

n n

i i

i1

S_y

A x



i Ci

x_C 

A



i

A y

S_x

y_C 

A

i Ci

A



i

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.3. Moment tĩnh diện tích

4.3.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp

Chú ý:

- Chọn hệ trục tọa độ ban đầu hợp lý: nếu hình có trục đối

xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa

độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều

hình đơn giản càng tốt.

- Nếu hình bị khoét thì diện tích phần bị khoét mang giá trị

âm.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang

4.4.1. Moment quán tính đối với 1 trục

Moment quán tính của diện tích A

đối với các trục x,y:

y

dA

J_x y²dA  0



A

x

O

J_y x²dA  0



x

A

Thứ nguyên của moment quán tính là [(chiều dài)⁴], giá trị

của nó luôn luôn dương.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang

4.4.2. Moment quán tính độc cực

y

J_ ²dA  0



y

A

dA

² x² y²



 J_ J_x J_y

x

O

x

Thứ nguyên của moment quán tính độc cực là [chiều dài⁴],

giá trị của nó luôn luôn dương.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang

4.4.3. Moment quán tính ly tâm đối với hệ trục (x,y)

y

^{J }^xydA

xy

y

A

dA

Thứ nguyên của moment quán tính ly

tâm là [(chiều dài)⁴], giá trị của nó có



x

O

thể dương, âm hoặc bằng không.

x

Ta có thể chứng minh được rằng, dù gốc tọa độ đặt tại điểm

nào trên hình phẳng, thì ta luôn tìm được 2 đường vuông góc

nhau đi qua điểm đó sao cho J_xy= 0. Hai trục đó tạo thành hệ

trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán tính chính đi qua khối

tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính

trung tâm.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang

Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào

vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ

trục quán tính chính

J  xydA xy dA  0

 

xy

 

A/2

Nếu hình ghép:

J  J J  J

 

x

ix

y

iy

J  J



xy

ixy

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản

4.5.1. Moment quán tính hình chữ nhật

y

h/2

bh³

J_x y²dA  y²bdy 

dy

 

12

x

A

h/2

h

h/2

b³h

J_y x²dA  x²hdx 

 

12

A

h/2

b

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản

4.5.2. Moment quán tính hình tròn

y

dA  2d

R

 R⁴ D⁴

R

J_P ²dA  2 ³d  

d 

 



2 32

x

A

0

Do tính chất đối xứng, ta có:

J_x J_y

 J_P J_x J_y 2J_x 2J_x

J_P R⁴ D⁴

 J_x J_y  

2 4 64

D

 D⁴

J_P  0,1D⁴

32

Với D là đường kính

 J_x J_y 0,05D⁴

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chƣơng I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản

4.5.3. Moment quán tính hình vành khăn

y

 D⁴d⁴ D⁴

J_P   (1⁴)

d 

32 32 32

D

x

d

J_P D⁴

 J_x J_y  (1⁴)

2 64

 0,05D⁴(1⁴)

d

D

 

Với

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Lê Dương Hùng Anh