Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 2 - Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

Bài tập: 2, 3, 7, 13 + bài thêm.

1

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

I. Khái niệm chung

 Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.

Luật

Hệ phương trình vi tích

Mạch phi tuyến

(quy luật, tính chất)

phân phi tuyến

t = t₀:

Thay đổi kết cấu

thông số của mạch

K

Luật

Hệ phương trình vi tích

Mạch phi tuyến mới

(Quy luật, tính chất mới)

phân phi tuyến mới

Quá trình cũ

Quá trình mới

t

-

+

0

Quá trình mới

xác lập

Quá trình quá độ

Thời gian quá độ

 Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành.

 Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0⁺.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

2

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

3

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

 Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến

ít) có phương trình mô tả dạng:

f(x, x’, x’’, …, t) = μ.φ(x, x’, …)

(*)

trong đó: f(x, x’, x’’, …) là những số hạng tuyến tính.

μ.φ(x, x’, …) là số hạng phi tuyến (ít  đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).

 Phương pháp:

 Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, …, t) = 0  x₀(t).

 Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh

được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu):

x(t) = x₀(t) + μ.x₁(t) + μ².x₂(t) + …

 Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh.

4

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

Ψ(i)

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

Ví dụ 4.1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng quá độ với 1 hàm

E = 24V

R=50Ω

hiệu chỉnh trong cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc

tính cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i³, R = 50Ω.

Giải:

 i

2

 Lập phương trình mạch:

50.i  .  24  2.i'50.i  24 11,25.i .i' (*) ( 11,25)

i t

i'  i₀^' .i₁^'

i² i₀² ².i₁² 2..i₀.i₁

 Đặt nghiệm gần đúng với 1 hàm hiệu chỉnh: i(t) = i₀(t) + μ.i₁(t) 

 Thay vào (*):

2.i₀^' 2..i^'50.i₀50..i  24  .(i₀² ².i² 2..i₀.i₁)(i₀^' .i₁^')

1

 (2.i₀^'50.i₀ 24)  .(2.i^'50.i i².i^')  ².(...)  ³.(...)  0

1

0 0

 Cân bằng theo bậc của μ:

 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến)

 μ bậc 1:

2 '

0 0

2.i^'50.i i .i  0

2.i₀^'50.i₀24  0

1

5

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

Ψ(i)

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

 Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2.i₀^'50.i₀24  0

E = 24V

R=50Ω

 Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)

 Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0  p = -25

i₀² I₀².(1 2.e^.t e^2..t)

i₀^'.I_o.e^.t

 Nghiệm là : i₀(t) = 0,48.(1 – e^-25.t) (A) = I₀.(1 – e^-α.t) (A) 

 Xét phương trình μ bậc 1:2.i^'50.i i².i^' 0

1

0 0

'

1

3

.t

2..t

3..t

 Thay vào ta có:

2.i 50.i .I₀.(e 2.e e )

1

2

1

2(p ).I₁(p) .I₀³.(





)

 Chuyển sang miền ảnh Laplace:

p  p  2. p 3.

.I₀³





1

2

1

 I₁(p) 

.









2 (p )²(p  2.).(p ) (p 3.).(p )





 Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide):

25.t

50.t



^75.t



i (t)  0,0555. (25.t 1,5).e  2.e 0,5.e

1



 Vậy nghiệm của bài toán là:

25.t

50.t



^75.t



i(t)  0,48.(1e )0,625. (25.t 1,5).e  2.e 0,5.e



6

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình

C

R

điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ u_C(q) =q.1/C₀+ αq³(α>0)

Giải:

1

3

 Rq' q  q³ q³(*)

 Lập phương trình: u + u = 0

 q q  Rq'  0

C₀

C

R

C₀

'

 Đặt nghiệm với 1 hàm hiệu chỉnh: q(t) = q (t) + μ.q (t)

 q'  q₀ .q₁

0

1

3

R q^' q^' q  q   q  q

 Thay vào (*):



₁ 

₁



₁

0

C₀

 Cân bằng theo bậc của μ:

1

'

 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến):

2.q₀ .q₀ 0

C₀

1

R.q^' q  q³

 μ bậc 1:

1

0

C₀

7

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình

C

R

điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ u_C(q) =q.1/C₀+ αq³(α>0)

Giải:

1

2q₀^' q₀ 0

 Xét phương trình tuyến tính suy biến:

C₀

1

 q_{0 td} Ae^t

 

 Phương trình đặc trưng:

Rp   0  p  

C₀

RC₀

 Nghiệm quá độ: q_{0 qd} q_{0 xl} q_{0 td} Ae^t

q_{0 qd} Q₀.e^t

Sơ kiện

q(0) = Q₀

Q₀³

1

 Xét phương trình μ bậc 1:q₁^' q₁ e^3t

Laplace

(p  )Q (p) 

1

R p 3

R

Q₀³

q₁(t) 

C₀Q₀³

e^te^3t

Hevixaide





 Q (p) 

1

2R

R(p 3)(p  )

C₀Q₀³

 q'  q₀^' .q₁^' Q₀e^t

e^t

e^t

8

Cơ sở kỹ thuật điện 2

2

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

9

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

III. Phương pháp sai phân liên tiếp

 Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời

gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.

 Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi

phân của chúng.

 Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và

dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng:

Δt

t

 Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt.

t₀= 0 ; t₁= Δt ; t₂= 2.Δt ; … ; t_k= k.Δt

 Sai phân hóa:

dx x

 

dt t

d²x

dt²

x_k1 x_k

x_k2 2.x_k1 x_k



h

h²

 Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân  thu được một hệ

sai phân liên hệ trị x_kở các bước thời gian liên tiếp  biết x_k tính được giá trị x_k+1

10

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

Ψ(i)

IV. Phương pháp sai phân liên tiếp

Ví dụ 4.3: Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng nguồn

hằng E = 24V vào mạch gồm cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i³, mắc

nối tiếp với điện trở R = 60Ω.

E = 24V

R=60Ω

 i

i t

60.i  .  24  60.i (1,758,4.i²).i'  24

 Lập phương trình mạch:

i_k1i_k

2

 Sai phân hóa phương trình mạch:

60.i_k(1,758,4.i_k).

 24

h

(2460.i_k).h

1,758,4.i_k²

 i_k1

i_k

 Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến:

1

1,75.i'60i  24 1,75.p 60  0  p  34,3  

 0,03s  h  .3. 10ms

10

| p |

24

 Nghiệm xác lập:

i_xl  0,4(A)

60

t(ms) 0

10

20

30

40

50

60

70

80

 Bảng kết quả:

i(A)

0 0,14 0,24 0,32 0,37 0,4 0,4 0,4 0,4

11

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

IV. Phương pháp sai phân liên tiếp

Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R₁= 30Ω, R₂= 40Ω, C = 100μF,

E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i³.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)

Giải:

R R

E

1 2

 Biến đổi mạch:

R 

17,14

E₁₂

R₂ 22,86V

12

R  R₂

1

 Lập phương trình mạch:

u_R12u_Lu_C E₁₂

 di 1

di 1

 R i  .  idt  R i  1,758,4i² idt  E





12

_{i dt C}

_{dt C}

i

R i'16,8i(i')² (1,758,4i²)i''  0

 Đạo hàm 2 vế của phương trình:

12

C

i

17,14i'16,8i(i')²(1,758,4i²)i''

 0

10^4

12

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

IV. Phương pháp sai phân liên tiếp

Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R₁= 30Ω, R₂= 40Ω, C = 100μF,

E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i³.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)

Giải:

 Sai phân hóa:

i_k1i_k

i_k1i

i_k22i_k1i_ki_k

17,14

16,8i_k(

^k)²(1,758,4i_k²)



 0

h

h²

10^4

h²i_k17,14.10^4h(i_k1i_k) 16,8.10^4i_k(i_k1i_k)²

10^4(1,758,4i_k²)

 i_k2 2i_k1i_k

i₁i₀i₁i(0)

i'(0) 



 i₁ i(0)  hi'(0)

 Tính sơ kiện: i₀= i(0) = 0 ; u_C(0) = 0

Phương trình mạch ở chế độ mới:

h

R i  1,758,4i²i'(t) u (t)  E

17,14i(0)[1,758,4i²(0)]i'(0)u_C(0)  22,86





12

C

12

i'(0) 13,06(A/ s)

i  i(0) hi'(0) 13.06h

1

13

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

IV. Phương pháp sai phân liên tiếp

Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R₁= 30Ω, R₂= 40Ω, C = 100μF,

E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i³.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)

Giải:

 Phương trình sai phân:

h²i_k17,14.10^4h(i_k1i_k) 16,8.10^4i_k(i_k1i_k)²

 i_k2 2i_k1i_k

i₀ 0

10^4(1,758,4i_k²)

 Bảng kết quả:

i₁13.06h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t(ms)

i(A)

0 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084

14

Cơ sở kỹ thuật điện 2

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

15

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm

 Nội dung:

 Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân)

thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao

động phi tuyến:

..

.

x₀².x  . f (x, x)  0

 Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên

dao động rất gần với điều hòa  được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có

biên độ và góc pha biến thiên.

x(t)  A(t).cos[₀t (t)]  B(t).cos₀t C(t)sin₀t

 Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên

.

dA(t)

d(t)

dt

 A(t)

chậm:

và

đủ nhỏ  gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có

(t)

dt

thể bỏ qua.

16

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm

 Nội dung:

 Do nghiệm của bài toán rất gần với điều hòa  có thể coi nghiệm x(t) chuyển dần từ

nghiệm dao động điều hòa x₀(t) của phương trình dao động tuyến tính suy biến:

x₀(t) = A₀.cos(ω₀t + θ₀)

 Nghiệm x(t) của bài toán sẽ có dạng:

t

.

 ^.





 

 





^{x(t)  A }^{A(t)dt .cos  t   (t)dt  A(t).cos (t)}

0



 



 Vậy ta có:

.

Bỏ qua những số

hạng nhỏ

x  A.cos  A.(₀).sin

..

x  A.cos  A.(₀).sin  .A.sin (₀). A.sin (₀)².A.cos

x  ₀.A.sin

..

.

..

.

..

.

Bỏ qua những số

hạng nhỏ

x  2.₀. A.sin (₀² 2.₀.).A.cos

17

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm

..

.

x x  .(1 x²).x  0

Ví dụ 4.5: Cho phương trình Vanderpol

(*)

.

x(0)  0

x x  .(1 x²).x  0

Sơ kiện x(0) = X₀và

..

.

 Phân tích phương trình:

tuyến tính phi tuyến

..

 Xét phương trình tuyến tính:

 đa thức đặc trưng p²+ 1 = 0  p = ± j

x x  0

 Nghiệm: x₀(t) = A₀.cos(t + φ₀)  dx₀/dt = -A₀.sin(t + φ₀)

X  A .cos







0

Xét tại t = 0:

 x₀(t) = X₀.cos(t)

0  A .sin₀

0

t

.

 ^.



 

 





^{x(t)  X }^{Adt .cos t   dt  A(t).cos (t)}

 Nghiệm của phương trình (*) là:



0



 



18

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến

V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm

Ví dụ 4.5:

 Thay vào phương trình (*):

.

2. A.sin (1 2.).A.cos  A.cos  .(1 A².cos² ).A.sin  0

 Biến đổi lượng giác:

.A³

.

2. A.sin 2. .A.cos  .A.sin 

sin 

.sin 2

4

 Cân bằng các điều hòa cùng cấp:

3

.A³

.







1 .A











A  

 .A

2. A 

 .A







2 4

4











.

2. .A  0

  0 do A  0





 Vậy nghiệm là:

t

3









1 .A

x(t)  X 

 .A dt cost











0



2 4





0



19

Cơ sở kỹ thuật điện 2

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

20

Cơ sở kỹ thuật điện 2

Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 2 - Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến - Nguyễn Việt Sơn