Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Moân hoïc

CÔ SÔÛ TÖÏ ÑOÄNG

Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hoàng

Bộ môn điều khiển tự động

Khoa Điện – Điện Tử

Đại học Bách Khoa TPHCM

Email: [email protected]

Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Giảng viên: HTHoàng, NVHảo, NĐHoàng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí

9 September 2011

1

Chöông 7

MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC

HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC

9 September 2011

2

Noäi dung chöông 7



Khaùi nieäm

 Pheùp bieán ñoåi Z

 Haøm truyeàn

 Phöông trình traïng thaùi

9 September 2011

3

Khaùi nieäm

9 September 2011

4

Heä thoáng ñieàu khieån duøng maùy tính soá

u_R(t)

u(kT)

r(kT)

y(t)

Maùy tính soá

D/A

Ñoái töôïng

c_ht(kT)

A/D

Caûm bieán

 “Maùy tính soá” = thieát bò tính toaùn döïa treân cô sôû kyõ thuaät vi xöû

lyù (vi xöû lyù, vi ñieàu khieån, maùy tính PC, DSP,…).

 Öu ñieåm cuûa heä thoáng ñieàu khieån soá:

 Linh hoaït

 Deã daøng aùp duïng caùc thuaät toaùn ñieàu khieån phöùc taïp

 Maùy tính soá coù theå ñieàu khieån nhieàu ñoái töôïng cuøng moät luùc

9 September 2011

5

Heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc

u_R(t)

u(kT)

r(kT)

y(t)

Xöû lyù rôøi raïc

Khaâu giöõ

Ñoái töôïng

c_ht(kT)

Laáy maãu

Caûm bieán

 Heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc laø heä thoáng ñieàu khieån trong ñoù coù

tín hieäu taïi moät hoaëc nhieàu ñieåm laø (caùc) chuoãi xung.

9 September 2011

6

Laáy maãu döõ lieäu

 Laáy maãu laø bieán ñoåi tín hieäu lieân tuïc theo thôøi gian thaønh tín hieäu

rôøi raïc theo thôøi gian.

x^*(t)

x(t)

T

 Bieåu thöùc toaùn hoïc moâ taû quaù

trình laáy maãu:

x(t)



X ^*(s)  x(kT)e^kTs

t



k 0

0

x^*(t)

 Ñònh lyù Shannon

1

f   2 f_c

0

T

 Neáu coù theå boû qua ñöôïc sai soá löôïng töû hoùa thì caùc khaâu chuyeån

ñoåi A/D chính laø caùc khaâu laáy maãu.

9 September 2011

7

Khaâu giöõ döõ lieäu

 Khaâu giöõ döõ lieäu laø khaâu chuyeån tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian

thaønh tín hieäu lieân tuïc theo thôøi gian

x^*(t)

x_R(t)

 Khaâu giöõ baäc 0 (ZOH): giöõ tín

hieäu baèng haèng soá trong thôøi

gian giöõa hai laàn laáy maãu.

ZOH

x^*

(

t

)

t

0

 Haøm truyeàn khaâu giöõ baäc 0.

x_R(t)

1 e^Ts

G_ZOH(s) 

s

0

 Neáu coù theå boû qua ñöôïc sai soá löôïng töû hoùa thì caùc khaâu chuyeån

ñoåi D/A chính laø caùc khaâu giöõ baäc 0 (ZOH).

9 September 2011

8

Pheùp bieán ñoåi Z

9 September 2011

9

Ñònh nghóa pheùp bieán ñoåi Z



Cho

x

(

k

)

laø chuoãi tín hieäu rôøi raïc, bieán ñoåi Z cuûa

x

(

k

)

laø:



X

(

z

)



Z



x

(

k

)





x

(

k

)

z

^k



k 

Trong ñoù:

z  e^Ts



(s laø bieán Laplace)

Z

 X(z) : bieán ñoåi Z cuûa chuoãi x(k). Kyù hieäu:

x(k) X (z)

 Neáu x(k) = 0,  k < 0:



X

(

z

)



Z



x

(

k

)





x

(

k

)

z

^k



k 0

 Mieàn hoäi tuï (Region Of Convergence – ROC)

ROC laø taäp hôïp taát caû caùc giaù trò z sao cho X(z) höõu haïn.

9 September 2011

10

YÙ nghóa cuûa pheùp bieán ñoåi Z

 Giaû söû x(t) laø tín hieäu lieân tuïc trong mieàn thôøi gian, laáy maãu x(t)

vôùi chu kyø laáy maãu T ta ñöôïc chuoåi rôøi raïc x(k) = x(kT).

 Bieåu thöùc laáy maãu tín hieäu x(t)



X

^*

(

s

)



x

(

k

T

)

e

^kTs



k 0

 Bieåu thöùc bieán ñoåi Z chuoãi x(k) = x(kT).



X (z)  x(k)z^k



k0

z  e^Ts

 Do

neân veá phaûi cuûa hai bieåu thöùc laáy maãu vaø bieán ñoåi Z

laø nhö nhau, do ñoù baûn chaát cuûa vieäc bieán ñoåi Z moät tín hieäu

chính laø rôøi raïc hoùa tín hieäu ñoù .

9 September 2011

11

Tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Z

Cho x(k) vaø y(k) laø hai chuoãi tín hieäu rôøi raïc coù bieán ñoåi Z laø:

Z

y(k)

 

 Y(z)

Z



x(k)  X (z)



 Tính tuyeán tính:

Z



ax(k)  by(k)



 aX (z)  bY(z)



x(k  k₀)



 z^
k⁰X (z)

 Tính dôøi trong mieàn thôøi gian:

 Tæ leä trong mieàn Z:

k

1





Z a x(k)  X (a z)

dX (z)

 Ñaïo haøm trong mieàn Z:

 Ñònh lyù giaù trò ñaàu:

 Ñònh lyù giaù trò cuoái:

Z



kx(k)  z



dz

x(0)  lim X (z)

z

x()  lim(1 z^1)X (z)

z1

9 September 2011

12

Bieán ñoåi Z cuûa caùc haøm cô baûn

 Haøm dirac:

(k)

1

1 neáu

k



0

0 neáu k  0



 (k) 





k

0

Z



 (k)



1

 Haøm naác ñôn vò:

u

(

k

)

1

1 neáu k  0

0 neáu k  0







u(k) 

k

0

z

Z



u(k) 



z 1

9 September 2011

13

Bieán ñoåi Z cuûa caùc haøm cô baûn

r(k)

 Haøm doác ñôn vò:

1

kT neáu k  0





0 neáu k  0



k

r(k) 

0

Tz

Z



u(k)







z 1 ²



 Haøm muõ:

x

(

k

)

-akT



1

e

neáu k  0

x(k) 





k

0 neáu k  0

0

z

Z



x(k) 



z  e^aT

9 September 2011

14

Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc

9 September 2011

15

Tính haøm truyeàn töø phöông trình sai phaân

u(k)

y(k)

Heä rôøi raïc

 Quan heä vaøo ra cuûa heä rôøi raïc coù theå moâ taû baèng phöông trình

sai phaân

a₀y(k  n)  a₁y(k  n 1) ... a_n

1y(k 1)  a_ny(k) 

b₀u(k  m)  b u(k  m 1) ... b_m1u(k 1)  b_mu(k)

1

trong ñoù

n

>

m

,

n

goïi laø baäc cuûa heä thoáng rôøi raïc

 Bieán ñoåi Z hai veá phöông trình treân ta ñöôïc:

a₀zⁿY(z)  a₁z^n1Y(z) ... a_n1zY(z)  a_nY(z) 

b₀z^mU(z)  b z^m
1U(z) ... b_m1zU(z)  b_mU(z)

1

9 September 2011

16

Tính haøm truyeàn töø phöông trình sai phaân

 Laäp tæ soá Y(z)/U(z) , ta ñöôïc haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc:

Y(z) b₀z^m b z^m1... b_m1z  b_m

1

G(z)



U(z) a₀zⁿ a₁z^n1... a_n1z  a_n

 Haøm truyeàn treân coù theå bieán ñoåi töông ñöông veà daïng:

Y(z) z^(nm)[b₀ b z^1... b_m1z^m1 b_mz^m]

U(z)

1

G(z) 



a₀ a₁z^1... a_n1z^n1 a_nz^n

9 September 2011

17

Tính haøm truyeàn töø phöông trình sai phaân - Thí duï



Tính haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân:

y(k  3)  2y(k  2) 5y(k 1)  3y(k)  2u(k  2)  u(k)

 Giaûi: Bieán ñoåi Z hai veá phöông trình sai phaân ta ñöôïc:

z³Y(z)  2z²Y(z) 5zY(z)  3Y(z)  2z²U(z) U(z)

Y(z)

2z²1

U(z) z³ 2z²5z  3





G

(

z

)



G(z) 



Y(z)

z^1(2  z^2)



U(z) 1 2z^15z^2 3z^3

9 September 2011

18

Tính haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái



Caáu hình thöôøng gaëp cuûa caùc heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc:

R(s)

Y(s)

+

G_C(z)

ZOH

G(s)



T

H

(

s

)

G

_k

(

z

)



Y(z)

G_C(z)G(z)

 Haøm truyeàn kín cuûa heä thoáng:



R(z) 1 G_C(z)GH(z)

trong ñoù:

: haøm truyeàn cuûa boä ñieàu khieån, tính töø phöông trình sai phaân

G

_C

(

z

)









G(s)H(s)

 

G(s)

GH(z)  (1 z^1)

Z

_

G

(

z

)



(

1

z

^1

)

Z

_{ }

s



s

 

9 September 2011

19

Tính haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái. Thí duï 1



Tính haøm truyeàn kín cuûa heä thoáng:

R(s)

Y(s)

+

ZOH

G(s)



T



0.5

3

G(s) 

s  2









G(s)

3

 

G(z)  (1 z^1)Z

 (1 z^1)

 (1 z^1)Z

Giaûi:

 





s

(

s



2)

 

3 z(1 e^20.5)



2



0.5

2

(z 1)(z  e )

0.948

z(1 e^aT)







a

G

(

z

)



Z











z  0.368

(z 1)(z  e^aT)

s(s  a)

9 September 2011

20

Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Huỳnh Thái Hoàng