Bài giảng môn Cơ lý thuyết - Chương 2: Thu gọn hệ lực phương trình cân bằng của hệ lực - Nguyễn Công Hòa
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
Chöông 2
Thu Goïn Heä Löïc
Phöông Trình Caân Baèng Cuûa Heä Löïc
Noäi dung:
Chöông naøy ñöa ra caùc daïng thu goïn töông ñöông cuûa heä löïc, nhöõng ñieàu kieän caân
baèng cuûa heä löïc laøm cô sôû ñeå ñaùnh giaù taùc duïng cuûa chuùng vaø giaûi baøi toaùn caân baèng
cuûa vaät raén, heä vaät raén.
1. HAI ÑAÏI LÖÔÏNG ÑAËC TRÖNG CUÛA HEÄ LÖÏC:
1.1. Vector chính cuûa heä löïc:
Ñònh nghóa:
Vector chính cuûa heä löïc laø vector töï do (
(F k ) : ’ = F k
Phöông phaùp xaùc ñònh:
R
’) baèng toång caùc vector löïc thuoäc heä:
R
(2.1)
F1
F2
a. Hình hoïc: Vectô ñoùng kín ña giaùc löïc.
b. Giaûi tích :
R’
Fn
R'(X’,Y’,Z’) X’= Fkx ; Y’= Fky ; Z’= Fkz
(2.2)
1.2. Vector moment chính cuûa heä löïc ñoái vôùi moät taâm:
2.1 Ñònh nghóa:
Vector moment chính cuûa heä löïc ñoái vôùi taâm O ( M o) cuûa heä löïc baèng toång caùc vector
moment cuûa löïc thuoäc heä laáy cuøng ñoái vôùi taâm ñoù.
M 0 = m O F k
( )
(2.3)
Phöông phaùp xaùc ñònh:
Duøng (1.2) chuùng ta nhaän ñöôïc:
M
o = (Zkyk – Ykzk) i + (Xkzk – Zkxk) j +(Ykxk – Xkyk) k
(2.4)
Trong ñoù löïc
F (Xk ,Yk ,Zk), baùn kính ñieåm ñaët löïc thöù k laø r k(xk ,yk ,zk)
13
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
2. ÑÒNH LÍ TÖÔNG ÑÖÔNG CÔ BAÛN:
Ñònh lyù :
R' R'
1
2
(Fk ) (Pi )
1
2
M1/ O R2 / O
Nhaän xeùt:
Töø ñònh lyù naøy ta thaáy heä löïc töông ñöông toái giaûn nhaát laø heä löïc chæ goàm moät vector
löïc baèng vector chính vaø moät vector moment baèng vector moment chính cuûa heä löïc ñoái
vôùi moät taâm cuøng ñaët taïi taâm ñoù (keå caû caùc tröôøng hôïp caùc thaønh phaàn ñoù baèng 0).
3. CAÙC HEÄ QUAÛ:
3.1. Vector moment ngaãu löïc:
Heä löïc ( F k ) coù
Chuùng ta nhaän thaáy ñaây chæ coù theå laø heä goàm hai löïc cuøng phöông, ngöôïc chieàu, cuøng
ñoä lôùn nhöng khoâng cuøng giaù (ñöôïc goïi laø ngaãu): (F k ) ( ’ ).
Chuùng ta seõ chöùng toû moment chính cuûa ngaãu khoâng phuï thuoäc taâm laáy moment:
R M
’= 0 vaø 0 0 ( O tuøy yù xaùc ñònh ):
F F
,
Coù : M o
=
=
=
=
m O
OA
OA
OA
(
F
) + m O
(
F
’)
F
F
F
d
F
F
+
+
+
OB
OA
’
A
B
’+ AB
F
’
MO
(
F
F F F
’) + AB ’ = AB ’
O
F
’
Hình 2.3
Ñieàu naøy chöùng toû vector moment chính cuûa ngaãu khoâng phuï thuoäc taâm laáy moment.
Hai ngaãu ( ’) vaø (F 1 1’) coù vector moment chính baèng nhau seõ töông
’= 0).
F
,
F
, F
ñöông nhau (vì
R
3.2. Ñònh lyù thu goïn:
Heä löïc (
F
k ) khi thu goïn veà moät taâm (O) töông ñöông vôùi moät löïc baèng vector chính
’) vaø moät ngaãu baèng vector moment chính cuûa heä laáy cuøng vôùi taâm ñoù :
k) ( R 0’, M 0 ).
0’= F k vaø
cuûa heä löïc (
R
(
F
vôùi
R
M F
0 = m O ( k ).
3.3. Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
3.3.1 0 0 ( k ) R
(hôïp löïc coù giaù vôùi ’ vaø giaù thoûa m O (R ) = m O (F k) ).
R
’
M
F
.
R
R
=
R
14
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
a) Heä löïc song song: ( k Oz
Neáu ’ 0 seõ coù hôïp löïc : ( F k ) R
b) Heä löïc phaúng: ( k Oxy )
Neáu ’ 0 ( F k ) R (coù hôïp löïc) do ta laáy ñieåm A Oxy laøm taâm thu goïn
M A
Oxy M A
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
F
)
R
.
F
R
R
.
c) Hôïp löïc cuûa heä löïc phaúng song song:
Cho heä löïc phaân boá nhö hình 2.4:
Xeùt phaân toá xk, heä löïc phaân boá treân ñoä daøi
naøy töông ñöông:
R
F
F k
q(x)
d
Fk = q(x’k).xk ñaët taïi x’k. .
lq(x)dx
.
Hôïp löïc R = F = F =
k
x
o
x’k
Hình 2.4
O
l
Tìm töø M 0 = m O
(
F k
lq(x)xdx R d = M o
) =
xk
o
lq(x)xdx
Mo
R
o
d
(2.5)
lq(x)dx
R I
F
o
q0
x
Heä löïc phaân boá ñeàu (hình 2.5):
O
I
l
l2
2
qol
Hình 2.5
qo
l
2
Hôïp löïc R I ; R =qol ; OI =
(2.6)
(2.7)
R I
q0
F
Heä löïc phaân boá tuyeán tính (hình 2.6):
x
qo
l
qol
2
2
3
Coù ngay q(x) = x RI
; OI =
l
O
I
l
Hình 2.6
Nhaän xeùt:
Caùc hôïp löïc coù cöôøng ñoä baèng dieän tích phaân boá, ñi qua troïng taâm cuûa bieåu ñoà dieän
tích.
3.3.2.
R
’ = 0,
M
o 0 (
F
k ) ngaãu (
Q
,
Q
’) coù moment baèng moment chính cuûa
heä löïc ñoái vôùi taâm O.
Chuù yù:
Khi
laáy moment.
3.3.3. ’ = 0, M o = 0 (F k ) 0
3.4. Heä ba löïc caân baèng:
R
’ = 0, (
F
k ) ngaãu (
Q
Q
, ’) neân moment chính cuûa heä khoâng phuï thuoäc taâm
R
(2.8)
15
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
Heä ba löïc caân baèng thì ñoàng phaúng. Neáu caùc löïc khoâng song song vôùi nhau thì coøn phaûi
ñoàng quy.
4 ÑIEÀU KIEÄN CAÂN BAÈNG CUÛA HEÄ LÖÏC:
Töø (2.8) chuùng ta nhaän ñöôïc nhöõng ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc:
4.1. Heä löïc toång quaùt (khoâng gian):
R’x = Fkx = 0
R’y = Fky = 0
R’z = Fkz = 0
(2.9)
0 (F k )
M ox = m x
M oy = m y
M oz = m z
(
F k ) = 0
F k ) = 0
F k ) = 0
(
(
Vôùi caùc heä löïc ñaëc bieät moät soá phöông trình coù theå töï thoûa maõn neân soá ñieàu kieän giaûm
ñi.
4.2. Heä löïc song song ( F k // Oz ):
Fkz = 0
0 ( F k )
M
M
x = m x
(
F k ) = 0
F k ) = 0
(2.10)
y = m y
(
Do 3 phöông trình coøn laïi töï thoûa maõn.
4.3. Heä löïc ñoàng quy (F ok ), caùc löïc ñi qua O:
Fkx = 0
0 ( F k ) Fky = 0
Fkz = 0
(2.11)
Do
4.4. Heä löïc phaúng (F k ),
Vôùi ñieåm A tuøy yù thuoäc maët phaúng löïc Oxy:
m A
k ) = m Az ). dk Fk
Vector moment cuûa caùc löïc naøy ñeàu cuøng phöông neân ta coù theå quy öôùc thay theá m A
k) bôûi giaù trò ñaïi soá:
m A
k ) = m Az k ) =
M
0 = m 0
(
F
k ) = 0 töï thoûa maõn.
F
k Oxy:
(
F
(
F
k
=
k
.
(
F
(
F
(
F
dk Fk
(2.12)
Ta laáy daáu (+) hoaëc (-) theo quy taéc moment cuûa löïc ñoái vôùi truïc (hình 2.7).
z
z
16
m A F k
( )
k
O
A
y
y
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
Ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc phaúng coù 3 daïng:
4.4.1 Daïng 1:
Fkx = 0
0 ( F k ) Fky = 0
(2.13)
m A F k ) = M
( A = 0
vôùi A tuøy yù thuoäc maët phaúng löïc.
'
R 0
Ñieàu naøy hieån nhieân do (2.12)
MA 0
4.4.2 Daïng 2:
Fkx = 0
0 ( F k ) M A = m A (
F k ) = 0
(2.14)
M B = m B
(
F
)
k ) = 0
(vôùi AB Ox
4.4.3 Daïng 3:
M A = m A F k ) = 0
(
0 (
F
k ) M B = m B
M C = m C
(
(
F
F
k ) = 0
k ) = 0
(2.15)
Söû duïng phöông phaùp chöùng minh treân: neáu
R R
’A 0 thì ’phaûi coù giaù chöùa ñoaïn AB
vaø AC, do A,B,C khoâng thaúng haøng neân khoâng theå xaûy ra tröôøng hôïp treân.
5. BAØI TOAÙN CAÂN BAÈNG CUÛA VAÄT RAÉN:
5.1. Moâ hình baøi toaùn:
17
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
Moät vaät raén khoâng töï do (chòu lieân keát) chòu taùc duïng cuûa löïc (löïc hoaït ñoäng) ñang caân
baèng.
Nhöõng yeâu caàu ñöôïc ñaët ra laø:
Xaùc ñònh caùc phaûn löïc lieân keát.
Tìm ñieàu kieän caân baèng.
Tìm caùc yeâu caàu cuûa löïc hoaït ñoäng vaø caùc yeáu toá hình hoïc ñeå vaät khaûo saùt ñöôïc caân
baèng.
5.2. Phöông phaùp giaûi:
Choïn vaät khaûo saùt:
Xem xeùt kó moâ hình baøi toaùn (hình veõ), chuùng ta choïn vaät raén naøo (coù theå laø chaát ñieåm)
chòu taùc ñoäng cuûa taát caû caùc löïc hoaït ñoäng.
2.2 Ñaët löïc:
Löïc ôû ñaây bao goàm caùc löïc hoaït ñoäng vaø phaûn löïc lieân keát.
Xem xeùt kó moâ hình vaät khaûo saùt, xaùc ñònh ñaày ñuû caùc lieân keát, so saùnh vôùi caùc moâ
hình maãu ñeå thay theá heát caùc lieân keát baèng caùc phaûn löïc töông öùng.
Laäp phöông trình caân baèng:
a) Phaân tích caùc löïc ñaët vaøo vaät khaûo saùt (keå caû phaûn löïc) theo ba phöông cuûa truïc toaï
ñoä.
b) Laäp caùc phöông trình caân baèng töø ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc (keå caû caùc phaûn
löïc):
Fkx = 0 ;
Mox mx (Fk ) 0
;
Fky = 0 ; vaø
Fkz = 0 ;
Moy my (Fk ) 0
;
Moz mz (Fk ) 0
;
c) Vôùi löu yù caùc ngaãu toàn taïi trong heä löïc ñaët vaøo vaät khoâng xuaát hieän trong caùc
phöông trình hình chieáu baûo ñaûm vectô chính baèng khoâng.
Chuù yù:
Neáu
F m (F ) = Fd trong ñoù d laø ñoaïn vuoâng goùc chung giöõa vaø F .
Caùc löïc thaønh phaàn:
F kx vuoâng goùc vôùi truïc y,z ; F ky vuoâng goùc vôùi truïc x,z ; F kz vuoâng goùc vôùi truïc
x,y.
Duøng (1.4) vaø (2.4) chuùng ta nhaän ñöôïc:
M
Ox = (Fkzyk - Fkyzk) = 0 ;
M
Oy = (Fkxzk - Fkzxk) = 0 ;
M
Oz = (Fkyxk - Fkxyk) = 0 .
18
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
ÔÛ ñaây (xk,yk,zk) laø toïa ñoä ñieåm ñaët cuûa löïc F k
.
d) Tröôøng hôïp heä löïc phaúng ( F k Oxy): duøng (2.12) laäp phöông trình caân baèng ngaãu
löïc.
5.3. Ñaùnh giaù baøi toaùn:
3.1 Neáu soá phöông trình caân baèng ñoäc laäp laäp ñöôïc (r) baèng soá aån soá (s) (soá
thaønh phaàn phaûn löïc), baøi toaùn coù nghieäm duy nhaát (ñöôïc goïi laø baøi toaùn
tónh ñònh).
3.2 Neáu r > s coù hai khaû naêng xaûy ra:
a) Seõ dö ra moät soá phöông trình (= r – s) khoâng chöùa aån soá (phaûn löïc). Ñaây chính laø caùc
ñieàu kieän raøng buoäc caùc löïc hoaït ñoäng vaø nhöõng ñaïi löôïng hình hoïc trong baøi toaùn.
Nhöõng ñieàu kieän naøy ñöôïc goïi laø ñieàu kieän caân baèng.
b) Trong heä phöông trình laäp ñöôïc toàn taïi caùc phöông trình maâu thuaãn vôùi nhau. Chuùng
ta xem xeùt laïi moâ hình baøi toaùn:
Ñaët phaûn löïc ñuùng chöa?
Moâ hình baøi toaùn coù toàn taïi trong thöïc teá khoâng?
3.3 Neáu r < s:
Baøi toaùn thuoäc loaïi sieâu tónh, chuùng seõ ñöôïc giaûi quyeát trong moân hoïc sau.
5.4. Giaûi phöông trình vaø bieän luaän:
Theo nguyeân taéc:
Phaûn löïc töïa moät chieàu vaø söùc caêng daây luoân luoân döông.
Caùc phaûn löïc khaùc coù chieàu ñuùng nhö ñaõ choïn neáu keát quaû döông. Ngöôïc chieàu ñaõ
choïn neáu keát quaû aâm.
19
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
6. BAØI TOAÙN CAÂN BAÈNG CUÛA VAÄT RAÉN CHÆ KEÅ ÑEÁN MA SAÙT TRÖÔÏT:
Fk
6.1. Moâ hình baøi toaùn:
Fms2
A2
Vaät raén S caân baèng:
N 2
N 1
A1
a) Heä löïc caân baèng ( F k ,
F mi).
(bao goàm caû caùc thaønh phaàn ma saùt).
b) Ñieàu kieän khoâng tröôït:
Fms1
Xu höôùng
FI fiNI (I = 1,2, …).
Hình 2.8
6.2. Phöông phaùp giaûi:
Söû duïng ñieàu kieän caân baèng giaûi tích:
Duøng ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc vaø ñieàu kieän khoâng tröôït chuùng ta thu ñöôïc moät
heä hoãn hôïp goàm caùc phöông trình vaø baát phöông trình. Nghieäm thu ñöôïc töø heä naøy seõ
laø caùc baát ñaúng thöùc neân vaät khaûo saùt caân baèng naèm trong moät mieàn naøo ñoù (khoâng
phaûi moät vò trí nhö tröôùc).
Sau khi tìm ñöôïc mieàn caân baèng, chuùng ta môùi giaûi caùc phaûn löïc aån.
Trong nhieàu tröôøng hôïp, chuùng ta khaûo saùt vaät raén caân baèng ôû traïng thaùi tôùi haïn (saép
tröôït). Luùc naøy ( FI = fiNI ) ñieàu kieän caân baèng cuûa vaät raén luùc naøy laø moät heä phöông
trình. Nghieäm nhaän ñöôïc laø moät gía trò chæ bieân cuûa mieàn caân baèng, coù theå bieän luaän
döïa vaøo thöïc teá ñeå suy ra mieàn caân baèng.
n
Ñieàu kieän caân baèng hình hoïc:
N
Ñaët phaûn löïc töïa toång hôïp laø R (Fm , N)
.
R
N*
R*
Goïi goùc nghieâng giöõa
R
vaø phaùp tuyeán
n
laø .
Do Fm fN neân:
Fm
tg =
f.
N
A
ÔÛ traïng thaùi tôùi haïn, vector phaûn löïc toång
F*m
hôïp R* taïo vôùi
n
moät goùc (phöông thay
Fm
ñoåi trong khoâng gian). Ñaët:
Hình 2.9
20
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
Fm*
tg =
= f.
N*
Ñieàu kieän khoâng tröôït (caân baèng): .
n
Hình noùn coù ñænh laø ñieåm töïa, truïc laø phaùp tuyeán
(ra khoûi maët töïa), goùc ôû ñænh 2 goïi laø noùn ma saùt.
Chuùng ta coù ñieàu kieän caân baèng:
- Phaûn löïc toaøn phaàn
R
naèm trong noùn ma saùt.
- Khi
R
naèm treân bieân cuûa noùn ma saùt, vaät ôû traïng thaùi tôùi haïn.
6.3. Ví duï :
Taûi A troïng löôïng Q ñaët treân maët nghieâng nhö hình veõ. Bieát heä soá ma saùt tröôït giöõa A
vaø maët nghieâng laø f. Tìm ñieàu kieän cuûa goùc nghieâng ñeå taûi caân baèng.
Giaûi:
Giaû söû taûi A ñang caân baèng öùng vôùi goùc nghieâng nhö hình veõ.
Heä löïc ñaët vaøo A:
F
Q, NA ,Fm 0
.
k
x
Phöông trình caân baèng:
N
F F Qsin 0 (1)
kx
m
F
A
F N Qcos 0 (2)
ky
A
Ñieàu kieän khoâng tröôït: Fm fNA
(3)
Q
Giaûi heä phöông trình:
Hình 2.10
Fm = Qsin ; NA = Qcos .
(3) Qsin fQcos tg f.
Ñaët f = tg ñieàu kieän caân baèng: tg tg .
Töø keát quaû treân, chuùng ta coù theå suy ra phöông phaùp xaùc ñònh heä soá ma saùt tröôït
baèng thöïc nghieäm: taêng goùc töø töø khi A baét ñaàu chuyeån ñoäng, tan cuûa goùc nghieâng
taïi vò trí ñoù baèng heä soá ma saùt.
21
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
§7. MOÂ HÌNH BAØI TOAÙN CAÂN BAÈNG COÙ KEÅ ÑEÁN MA SAÙT LAÊN:
7.1. Moâ hình baøi toaùn vaø phöông phaùp giaûi:
Vaät raén S caân baèng chòu taùc duïng cuûa heä löïc
F
F , N,Fm ,ngM
0
.
k
k
Phöông trình caân baèng: laäp caùc phöông trình caân baèng töø
F
0
.
k
Caùc ñieàu kieän (ma saùt):
Fn
Fk
Xu höôùng tröôït
- Khoâng tröôït Fm fN.
Xu
höôùng
laên
- Khoâng laên M kN.
N
S
Ml
Bieän luaän caùc khaû naêng:
Fms
- Ñieàu kieän vaät khoâng laên vaø khoâng tröôït.
Hình 2.11
- Ñieàu kieän vaät laên khoâng tröôït.
- Ñieàu kieän vaät tröôït khoâng laên.
7.2. Ví duï :
Con laên ñoàng chaát baùn kính R, troïng löôïng P chòu taùc duïng cuûa löïc Q nhö hình veõ. Bieát
heä soá ma saùt tröôït vaø laên giöõa con laên vaø maët ñöôøng töông öùng laø f, k. Tìm giaù trò cuûa
Q ñeå con laên caân baèng.
y
Giaûi:
x
Trong caùc baøi toaùn loaïi naøy, ta khoâng aùp
duïng ñöôïc caùc phöông trình caân baèng tôùi
haïn, bôûi vì caùc ñieàu kieän laên vaø tröôït laø
ñoäc laäp, khoâng baét buoäc cuøng ñaït tôùi ñieàu
kieän tôùi haïn.
Q
Xu
höôùng
laên
R
O
I
h
M
P
Fm
- Vaät khaûo saùt: con laên.
N
- Ñaët löïc: F P,Q, N,Fm ,M 0
.
Hình 2.12
k
- Phöông trình caân baèng:
F Q F 0
kx
m
F N P 0
ky
m M Qh 0
I
22
Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát
Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012-2013
- Giaûi heä phöông trình:
Giaûi 3 phöông trình ñaàu chuùng ta nhaän ñöôïc: N = P ; Fm = Q ; M = Qh.
Khoâng tröôït: Q fP.
Khoâng laên: Qh kP Q Pk/h.
Q
k
Ñeå con laên caân baèng (khoâng laên, khoâng tröôït): min(f, )
.
P
h
k
h
Chuù yù: giaû söû
< f, chuùng ta coù caùc tröôøng hôïp:
k Q
f : vaät laên khoâng tröôït.
h
P
k
h
Q
f : vaät vöøa tröôït vöøa laên.
P
23
11 trang
23640
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng môn Cơ lý thuyết - Chương 2: Thu gọn hệ lực phương trình cân bằng của hệ lực - Nguyễn Công Hòa", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_mon_co_ly_thuyet_chuong_2_thu_gon_he_luc_phuong_tr.pdf
