Bài giảng môn Cơ lý thuyết - Phần 2: Cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi - Chương 2: Ứng suất và biến dạng

Chöông 2

ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

1. ÖÙNG SUAÁT:

1.1. Khaùi nieäm:

Chia vaät baèng moät maët caét vaø khaûo saùt tính chaát cuûa caùc löïc tieáp xuùc truyeàn qua maët naøy

do phaàn taùch ra taùc ñoäng leân. Caùc löïc tieáp xuùc phaân boá khaép maët caét vôùi chieàu vaø giaù trò

^{thay ñoåi, chuùng ñöôïc goïi laø}^{öùng löïc (hay öùng suaát)}

t

taïi moät ñieåm.

F

dA

1



t



_z

M



k

z



i



j



2

F

x

y



3

Hình 2.1

F

Xeùt moät ñieåm M treân maët caét vaø moät phaân toá dieän tích chung quanh M: dA. Neáu goïi öùng



dP

löïc treân dA laø

thì öùng suaát taïi M treân maët phaúng vuoâng goùc oz laø:

t

i



t 

i

(2.1)

khi dA  0

dA

Choïn heä truïc Cartesian nhö hình 5.1, vôùi oz vuoâng goùc vôùi maët caét; caùc vector ñôn vò treân

0x, 0y, 0z laàn löôït laø:

68

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

Theá thì öùng suaát cuûa moät 1 ñieåm M treân maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc oz laø:

(2.2)

z

xy

zx

Vôùi:

_z: öùng suaát phaùp



   .j   .i

_zy, _zx: Caùc öùng suaát tieáp (

).

zy

zx

Chæ soá z nguï yù  naèm treân maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc z vaø chæ soá thöù hai (x, y) chæ

phöông song song cuûa .

Qui öôùc daáu cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö sau:

 ÖÙng suaát phaùp _zxem laø döông khi vector bieåu dieãn noù cuøng chieàu vôùi phaùp tuyeán

ngoaøi cuûa maët caét.

 ÖÙng suaát tieáp : _zy, _zxla döông khi vector bieåu dieãn noù cuøng chieàu vôùi 0y, 0x.

1.2. Caùc thaønh phaàn öùng suaát:

Taùch moät phaân toá taïi M baèng 6 maët vi phaân tröïc giao vôí caùc truïc toaï ñoä (hình 2.2a).

  

t_x, t_yt_z

Treân 3 maët vi phaân döông coù caùc vector öùng suaát :

.

z



t_z



_z

n_z

dz



t_y

_zx

_zy



_yz

n_y

_xz

_y



y

n_x

M  0

y

_yx

dy

0  M



_xy

dx

t_x

_x

x

Hình 2.2

a)

b)

Moãi vector trong chuùng coù 3 thaønh phaàn song song vôùi 3 truïc toaï ñoä:

_x

_xz  _yx

_yz  _zx

_z _(2.3)

x

xy

y

z

zy

69

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

Baây giôø ta hình dung raèng caùc maët vi phaân voâ cuøng beù vaø taát caû taäp trung quanh 0  M.

Luùc ñoù, caùc thaønh phaàn öùng suaát: _i,_ij(i, j  x,y,z) laø caùc thaønh phaàn cuûa 3 vector

öùng suaát taùc ñoäng taïi cuøng moät ñieåm treân 3 maët phaúng vi phaân tröïc giao töøng ñoâi moät.

Nhö vaäy, ta coù moät khaùi nieäm: öùng suaát taïi 1 ñieåm ñöôïc ñaëc tröng bôûi 9 thaønh phaàn vaø

chuùng ñöôïc vieát döôùi daïng 1 tensor.





^xz

_yz



_x_xy

T    



(2.4)





yx

y



_zx_zy_z





2. TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT:

2.1. Traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm:

Neáu cho qua M nhöõng maët caét  khaùc nhau, thì töông öùng vôùi moãi vò trí cuûa  ta ñöôïc 1



t

vector öùng suaát

thaùi öùng suaát taïi M.

. Taäp hôïp taát caû moïi cuûa taát caû caùc maët qua M ñöôïc goïi laø traïng

Taäp hôïp ñoù khoâng laø moät taäp hôïp caùc vector ñoäc laäp. Thöïc vaäy ñeå khaûo saùt traïng thaùi öùng

suaát taïi moät ñieåm M cuûa moâi tröôøng lieân tuïc, ta ñöa vaøo caùc truïc 0x, 0y, 0z vôùi 0M cuûa

moät heä toaï ñoä cartesian vaø taùch ra moät phaân toá töù dieän 0ABC, (hình 2.3a).

z



z^'

p_z

p

y^'

C

y

_n

_n

_x

_xy

p_y

B

dA_z

dA_y

0^'







B

n



_xz

_yx

_y

_zx



x^'

dA

0

_zy



A

_yz

A

_z

b)

dA_z

x

Hình 2.3

a)



Goïi:

n



n_x, n_y, n_z



laø phaùp tuyeán ñôn vò cuûa maët phaúng nghieâng

70

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

Vaø:

 dA laø dieän tích cuûa tam giaùc ABC

 dA_xlaø dieän tích cuûa tam giaùc 0BC  dA_x= dA.n_x

 dA_ylaø dieän tích cuûa tam giaùc 0AC  dA_y= dA.n_y

 dA_zlaø dieän tích cuûa tam giaùc 0AB  dA_x= dA.n_z



laø öùng suaát treân caùc maët 0BC, 0AC, 0AB, ABC.

t_x, t_y, t_z& p



p_x,p_y,p_z



i, j,klaø vector ñôn vò treân caùc truïc toaï ñoä.

Theá thì:







x

xz

^x

t_y 



^xy





(2.5)

_yx.i  _y. j  _yz.k





t_z  _zx.i  _zy. j  _z.k







2.1.1. Ñieàu kieän vector toång baèng khoâng (vector chính baèng khoâng):

Töø ñieàu kieän caân baèng cuûa phaân toá:

x

y

z

 ^z

 t_x.n_xt _y.n_y t_z.n_z p  0

(2.6)



 



Chieáu xuoáng caùc truïc:

x

yx

y

zx

z









p   .n  .n   .n

y xy x y zy

p_z _xz.n_x _yz.n_y _z.n_z

(2.7)

(2.8)

y

z

p_j _ijn_i

Vaø:

_n_xn_x² _y.n_y²_z.n_z² 2_xyn_x.n_y 2_xz.n_xn_z 2 _yzn_yn_z_ijn_in_j

(2.9)

71

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

2.1.2. Ñieàu kieän moment toång baèng 0 (vector moment chính baèng khoâng):

Töø ñieàu kieän caân baèng cuûa phaân toá:

Goïi 0^/: troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.

Döïng heä truïc toaï ñoä 0^/x^/y^/z^/// 0 xy z.

  



0C

3

0C

3

0B

3

0B

3

0A

3

0B

3



m(t , t , t ,p)/   .dA .   .dA .  0

0^'x^'

_



x

y

z

zy

z

yz

y



^

  



m(t , t , t ,p)/   .dA .   .dA .

 0 _(2.10)

0^'y^'

x

y

z

zx

z

xz

x



  



m(t , t , t ,p)/   .dA .   .dA .  0

0^'z^'

__

x

y

z

yx

y

xy

x

Vì:

0C

3

0B

3

0A

3

dA_z.

 dA_y.

 dA_x.

 dV: theåtích töù dieän

(2.11)

(2.12)

Neân:

_zy _yz; _zx _xz; _yx _xy

Töø keát quaû naøy ta ruùt ra 2 heä luaän:

a.) Treân 2 maët vi phaân tröïc giao, caùc thaønh phaàn öùng suaát tieáp vuoâng goùc vôùi caïnh chung

thì baèng nhau vaø coù chieàu cuøng höôùng vaøo hay höôùng ra caïnh chung. Ñaây laø nguyeân lyù

töông hoã cuûa öùng suaát tieáp.

b.) Tensor öùng suaát laø moät tensor ñoái xöùng; do ñoù traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm cuûa

moâi tröôøng lieân tuïc chæ coøn phuï thuoäc 6 thoâng soá vaø ñöôïc ñaëc tröng bôûi tensor öùng suaát

T_.





















x

xy

xz

T 



_y_xz

(2.13)

ñx

_z

72

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

2.2. Phöông chính vaø öùng suaát chính:



n

Neáu coù moät maët caét maø treân ñoù phöông cuûa truøng vôùi phöông phaùp tuyeán

thì maët ñoù

p

ñöôïc goïi laø maët chính. Luùc ñoù caùc thaønh phaàn öùng suaát tieáp baèng khoâng: _n= 0 vaø thaønh

phaàn öùng suaát phaùp : _nñöôïc goïi laø öùng suaát chính.



p  _n.n

(2.14)

Phöông chính cuûa maët chính ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

p   .n ; p   .n ; p   .n ;

z

Töø (5.14):

(2.15)

x

n

x

y

n

y

z

n

Töø (5.15) vaø (5.8):

















_x _n.n_x _yx.n_y _zx.n_z 0

 .n  _y _n.n_y _zy.n_z 0

_xz.n_x _yz.n_y _z _n.n_z 0





xy

x

(2.16)



n_x,n_y,n_z

Trong ñoù

laø 3 aån soá phaûi tìm.



n² n² n²1

n ,n ,n

. Ñieàu naøy chöùng toû

Vì

n

laø phaùp tuyeát ñôn vò, neân :

x

y

z

x

y

z

Khoâng theå ñoàng thôøi baèng khoâng vaø nhö vaäy ñònh thöùc cuûa heä phöông trình thuaàn nhaát

(2.10):



_x _n

_xy

_xz





_yx

_y _n

_yz

_zx

_zy

_z _n



 0

(2.17)

(2.18)





Khai trieån:

Vôùi:

n

1

n

2

n

3

I₁ _x_y_z

(2.19)

73

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

x

yx

y

zy

z

xz

I₂ 



_xy_y_yz_z_zx_x



(2.20)

 _x_y _y._z _z._x ²_xy ²_yz ²_xz

_x_yx_zx

I₃ _xy_y_zy _x_y_z 2_xy._yz._zx _x.²_yz _y.²_xz _z.²_xy

(2.21)

_xz_yz_z

I₁, I₂, I₃: ñöôïc goïi laø 3 baát bieán (khoâng phuï thuoäc heä toaï ñoä) cuûa tensor öùng suaát.

Xeùt 1 maët nghieâng so vôùi 3 phöông chính 1, 2, 3. Phaùp tuyeán cuûa maët nghieâng laø x. ÖÙng

suaát phaùp cuûa maët nghieâng:

_x ₁.n²_x1 ₂.n²_x2 ₃n²_x3

(2.22)



n²_x1 n²_x2 n²_x31



n

_x n_x1 n_x2 n_x3

Vôùi

: phaùp tuyeán ñôn vò



2

y

x

₁

_x



n_y

n_x



n_z

z

₂

₃

1

Hình 2.4

-Töông töï xeùt 1 maët nghieâng caùc phaùp tuyeán ñôn vò:



n_y



n_y1 n_y2 n_y3



 n_x(n²_y1 n²_y2 n²_y31)

(2.23)

(2.24)

_y ₁.n²_y1 ₂.n²_y2 ₃.n²_y3



n

_zn_z1,n_z2,n_z3

-Vaø maët nghieâng coù phaùp tuyeán ñôn vò

vuoâng goùc vôùi 2 maët treân

74

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

(2.25)

(2.26)

z1

z2

z3

_z ₁.n²_z1 ₂.n_z²₂ ₃.n²_z3

Do ñoù:

_x _y _z ₁(n²_x1 n²_y1.n²_z1)  ₂(n²_x2 n²_y2.n²_z2)  ₃(n²_x3 n²_y3.n_z²₃)

  

(2.27)

n_x,n_y,n_z

Vì

laø 3 phaùp tuyeán ñôn vò vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät, neân:

n²_x1 n²_y1 n²_z11; n²_x2 n²_y2 n²_z21; n²_x3 n²_y3 n_z²₃1

(2.28)

(2.29)

Vaø do (x, y, z) laø 1 heä toaï ñoä vuoâng goùc baát kyø, neân:

_x _y _z ₁ ₂ ₃ const



I₁

Phöông trình (2.18) coù 3 nghieäm soá, coù theå xaûy ra 2 tröôøng hôïp: hoaëc caû 3 nghieäm ñeàu

thöïc hay 1 nghieäm thöïc vaø 2 nghieäm phöùc lieân hieäp.

Xeùt tröôøng hôïp coù 3 nghieäm thöïc:

nghieäm ñoù:

. Caùc phaùp tuyeán ñôn vò töông öùng vôùi 3

₁,₂,₃

₁

_z1 

_z2 

_z3

(2.30)

x1

y1

2

x2

y2

3

x3

y3

Töø (5.16):





_x ₁.n_x1 _yx.n_y1 _zx.n_z1 0









 .n 

_y ₁



.n_y1 _zy.n_z1 0

xy

x1

(5.31)





_xz.n_x1 _yz.n_y1



_z ₁



.n_z1 0

n

Nhaân phöông trình thöù nhaát vôùi

, phöông trình thöù 2 vôùi _y2vaø phöông trình thöù 3 vôùi

n_x2

n

_z2roài coäng laïi:

[



_x ₁



n_x1 _yz.n_y1 _zx.n_z1]n_x2[_xy.n_x1



_y ₁.n_y1



(2.32)

 _zy.n_z1].n_y2[_xz.n_x1 _yz.n_y1



_z ₁.n_z1].n_z2 0



Töông töï:

75

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

[



_x ₂



n_x2 _yz.n_y2 _zx.n_z2]n_x1[_xy.n_x2



_y ₂.n_y2 _zy.n_z2].n_y1



(2.33)

[_xz.n_x2 _yz.n_y2



_z ₂.n_z2].n_z1 0



Tröø (5.33) vôùi (5.32)



_x ₂



n_x1.n_x2 n_y1.n_y2 n_z1.n_z2 0

₁& ₂.

(2.34)

Vaäy:

(2.35)

x1

x2

y1

y2

z1

z2

Ñieàu naøy chöùng toû n₁n₂ ₁₂

Vaäy: caùc phöông chính vuoâng goùc vôí nhau töøng ñoâi moät.

Ta coù theå chöùng minh tröôøng hôïp 1 nghieäm thöïc, 2 nghieäm phöùc lieân hieäp laø khoâng toàn

taïi! (töï chöùng minh).

Toùm laïi, taïi moãi ñieåm cuûa vaät theå ñaøn hoài ta luoân tìm ñöôïc 3 phöông chính. Treân caùc maët

chính caùc öùng suaát luoân truøng vôùi phaùp tuyeán cuûa maët chính, goïi laø caùc öùng suaát chính;

qui öôùc ₁ ₂ ₃.Caùc öùng suaát chính khoâng phuï thuoäc vieäc choïn truïc toaï ñoä.

  

₁, ₂, 



₃vaøo vò trí _ncuûa heä phöông

n₁, n₂, n₃

Ñeå tìm 3 phöông chính

ta laàn löôït thay



trình (5.16). Moãi laàn thay _ita seõ tìm ñöôïc phöông chính thöù i:

_i

_zi

xi

yi

n² n² n²1.

baèng caùch keát hôïp vôùi phöông trình:

(2.36)

xi

yi

zi

2.3. Caùc traïng thaùi öùng suaát:

Neáu choïn caùc phöông chính laøm heä truïc toaï ñoä, tensor öùng suaát coù daïng:

 0 0









1



T  0  0

(2.37)





2



0 0 ₃





76

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

Khi ₁,₂,₃ñeàu khaùc khoâng thì ta goïi traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm laø traïng thaùi öùng

suaát khoái, (hình 2.5a).

Khi coù 1 trong 3 öùng suaát chính baèng 0 thì ta coù traïng thaùi öùng suaát phaúng, (hình 2.5b).

Khi coù 2 trong 3 öùng suaát chính baèng 0 thì ta coù traïng thaùi öùng suaát ñôn, (hình 2.5c).

₂

₁

₃

a)

b)

c)

₂

Hình 2.5

2.4. Töông quan giöõa noäi löïc vaø öùng suaát:



t_z



_zx,_zy,_z



Goïi

laø öùng suaát taïi 1 ñieåm baát kyø treân maët caét (xem hình ): K(x,y). Laáy 1

phaân toá dieän tích dA chung quanh A. Saùu thaønh phaàn noäi löïc laø do aûnh höôûng cuûa 3 thaønh

phaàn öùng suaát treân toaøn boä maët caét gaây neân:

y

_zy

_zx

x

M_z

M_x

_z

z

K

_z

_zx

x

z

_zy

dA

M_y

y

Hình 2.6

b)

a)





^{N }^{ .dA ; Q   .dA ; Q   .dA}



z

y

zy

x

zx

A



(2.38)

^{M  }^{y. .dA ; M    x. .dA}







x

z

y

z

A

^{M  }^{( x   .y)dA}

z

zy

zx





A

(daáu +, - cho maët caét thuoäc phaàn vaät beân traùi, phaûi).

77

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

2.5. Phöông trình vi phaân caân baèng:

Xeùt moät phaân toá coù kích thöôùc vi phaân dx, dy, dz. Goïi X, Y, Z laø caùc thaønh phaàn hình

chieáu cuûa löïc theå tích treân moät ñôn vò khoái löôïng cuûa phaân toá vaø  khoái löôïng rieâng.

_z

_zx

z

_z1

 dz

_zx



dz

z

_yx

dz

_yx



dy

y

_zy

_zy



dz

_y

z

₁

dy

y

y

₁

_xy

₃

_xy



dx

dy

x

dx

_yz

_x

_x

 dx

_yz

dy

₂

x

x

y

_xz

_xz

dx

x

Hình 2.7

Phöông trình vi phaân caân baèng theo x, y, z:

xy

xz

   X  0

x









x y z

  

x y z

yx

y

   Y  0

yz

(2.39)

_zy

   Z  0

x y z

_zx

_z

3. TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT PHAÚNG:

3.1. Ñònh nghóa vaø caùch bieåu dieãn:

Ña soá baøi toaùn thöôøng gaëp laø nhöõng baøi toaùn ñaõ xaùc ñònh moät maët chính vaø treân maët

chính ñoù öùng suaát baèng khoâng, luùc ñoù ta coù traïng thaùi öùng suaát phaúng. Vaäy traïng thaùi öùng

suaát phaúng khi, taïi 1 ñieåm, vector öùng suaát (toång) luoân naèm trong cuøng moät maët phaúng,

vôùi moïi maët vi phaân khaûo saùt. Tensor cuûa traïng thaùi öùng suaát phaúng:

78

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

  0

x













xy



T    0





(2.40)

yx

y



0 0 0



Hay













1

T  0  0

(2.41)





2



0 0 0



Traïng thaùi öùng suaát phaúng cuûa moät phaân toá coù theå ñöôïc bieåu dieãn: (hình2.8 )

y

_yx

_y

₂

_xy

_x

₁

x

a)

b)

₂

c)

z

Hình 2.8

3.2. ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng baát kyø:

Goïi

  (x,n)

Ñieàu kieän caân baèng:

x

yx



p   .cos   .sin

y xy y

p_z 0

(2.42)







p



p_x,p_y



hay p ,





(2.43)

79

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

y

_y

n

_yx

P



y

_xy

_x



_x

_xy

P

 ^x

x

0

_yx

_y

t

Hình 2.9

Chieáu p_x, p_yleân phöông phaùp tuyeán n vaø tieáp tuyeán t cuûa maët nghieâng:

  p_x.cos p_y.sin  _x.cos² _y.sin² 2_xysincos

(2.44)

(2.45)

_x _y_x _y

 



cos2  _xy.sin2

2

_x 

  p_xsin  p_y.cos 

^ysin2  _xycos2

(2.46)

2

3.2.1. Ñieàu kieän xaùc ñònh phöông chính:

2_xy

  0  tg2 

_x _y

(2.47)

(2.48)



_x _y2

xy

   .arctg











2

3.2.2. Caùc öùng suaát chính:

_i 0

Ta coù moät öùng suaát chính:

Hai öùng suaát chính coøn laïi ñöôïc xaùc ñònh:

1

1 tg²2

 tg2

1 tg²2

(2.49)

cos2 

; sin2 

80

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

_x _y

  



²

x

^y

 ²_xy

 _j,k



(2.50)





2





Caùc öùng suaát chính: ₁= max[_i, _j, _k]; ₃= min[_i, _j, _k].

3.3. Voøng troøn Mohr öùng suaát cho traïng thaùi öùng suaát phaúng:



3.3.1. Voøng troøn Mohr:

a)

a

G

2

c

0

A

M

P

N

D



B

H

_xy





_y

(_x _y)/ 2

_x





n_max

b)



n₃

E

₃



₁

n₁

₂

_max

0

₁

c

J

A

N

M



B

P

D



^minF



n_min

₁

₂

Hình 2.10

81

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

Töø 2 coâng thöùc (5.45) vaø (5.46) ta coù:

_x 

  



²



²

x

^y



^y

 

 ²

 ²_xy



(2.52)

(2.53)



2









2

I

2

I

 

2

 



²



 ²

 I₂ const

1

¹

 

 





Töø (2.52) vaø (2.53) ta thaáy raèng:

Neáu choïn heä truïc toaï ñoä phaúng vuoâng goùc (, ) thì ta coù theå bieåu dieãn traïng thaùi öùng

suaát phaúng cuûa 1 ñieåm baèng 1 ñöôøng troøn, goïi laø voøng troøn Mohr öùng suaát.

Trong coâng thöùc (2.45 ) vaø (2.46 ), cho  bieán thieân töø 0 tôùi 2, ta khaûo saùt söï bieán thieân

cuûa _a,_a, tìm ñöôïc caùc maët caét nôi _ahoaëc _añaït cöïc trò. Tuy nhieân phöông phaùp giaûn

tieän khaûo saùt _a,_atheo  ñöôïc aùp duïng nhôø vieäc döïng moät voøng troøn (goïi laø voøng troøn

Mohr öùng suaát) theo trình töï sau, (hình 2.10.a).

- Laäp heä truïc toaï ñoä saùt (, -) coù truïc  song song vôùi truïc x treân hình;

- Töø goác toaï ñoä ñaët caùc ñoaïn 0M = _yvaø 0N = _x;

- Chia ñoâi ñoaïn MN, ta ñöôïc ñieåm C;

- Xaùc ñònh vò trí ñieåm P coù toaï ñoä P (_y, -_xy). Ñieåm P ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc cuûa voøng

troøn.

- Laáy ñieåm C laøm taâm, veõ voøng troøn baùn kính R baèng ñoaïn CP.

Ñeå tìm öùng suaát treân maët caét xaùc ñònh bôûi goùc . Thoûa maõn ñieàu kieän (2.45) vaø (2.46) ta

laøm nhö sau: Töø P keû ñöôøng song song vôùi truïc hoaønh, caét voøng troøn taïi ñieåm D. Deã daøng

nhaän thaáy DN song song vôùi PM. Töø P keû tia P_ahôïp vôùi truïc  goùc . Giao cuûa P_avôùi

voøng troøn ta kí hieäu laø G. Toaï ñoä G treân truïc hoaønh vaø truïc tung laàn löôït cho ta caùc giaù trò

_,_. Sau ñaây ta seõ chöùng minh ñieàu nhaän ñònh treân. Töø G keû GH vuoâng goùc vôùi truïc

hoaønh, caét truïc hoaønh taïi ñieåm H. Ta caàn chöùng minh OH = _avaø GH = _a. Kyù hieääu goùc

<DCB = . Töø caùch döïng voøng troøn ta coù 1 soá heä thöùc sau:

(2.54)



 

82

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

MN  _x _y;

MC  CN  MN / 2  (_x _y) / 2;

OC  OM  CM  _y (_x _y) / 2  (_x _y) / 2;

(2.55)

(2.56)

R  CM² MP²



(_x _y) / 2 ² ²_xy



1

2



4²_xy (_x _y)²

Vaäy ta seõ coù:

CH  R.cos( GCD  DCB)  R.cos(2 )

 R.cos2.cos  R.sin2.sin

(2.57)

(2.58)

Ñeà yù CD = R, vaäy töø tam giaùc CDN ta coù:

x

y

R.sin  DN  _xy

Neân bieåu thöùc (j) coù daïng:

_x 

CH 

suy ra:

^y.cos2  _xy.sin2

(2.59)

(2.60)

2

_x _y_x 

OH  OC  CH 



^y.cos2  _xy.sin2

2

So saùnh bieåu thöùc cuoái vôùi bieåu thöùc (5.45 ), ta nhaän thaáy hoaønh ñoä ñieåm G cho ta giaù trò

öùng suaát phaùp _a.

Töông töï ta coù:

 R.sin2.cos  R.cos2.sin

_x 

(2.61)



^y.sin2  _xy.cos2

2

So saùnh bieåu thöùc GH vöøa thu ñöôïc vôùi bieåu thöùc (2.46 ) ta thaáy GH = _a.

83

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

3.3.2. Caùc nhaän xeùt ruùt ra töø ñaëc ñieåm cuûa voøng troøn voøng Mohr öùng suaát:

3.3.2.1 Giao cuûa voøng troøn vôùi truïc hoaønh (ñieåm A vaø ñieåm B) laø nôi coù öùng suaát tieáp

baèng khoâng. Vaäy 0A, 0B laàn löôït cho ta 2 giaù trò öùng suaát chính coøn laïi. Ngoaøi ra, ta coøn

nhaän thaáy trong moïi giaù trò öùng suaát phaùp thì 0A cho ta giaù trò nhoû nhaát vaø 0B cho ta giaù

trò lôùn nhaát.

(2.62)

min

3

max

1

(öùng suaát chính thöù 2 baèng 0, treân maët vuoâng goùc truïc z).

3.3.2.2. Phöông cuûa phaùp tuyeán maët caét so vôùi truïc x treân hình 2.9, truøng vôùi phöông tia P_a

treân hình 2.10a. Vì vaäy tia PB, PA laàn löôït laø phöông phaùp tuyeán maët chính thöù nhaát vaø

 

maët chính thöù ba (kyù hieäu

treân hình 2.10b ).

n₁, n₃



Ñeå yù goùc <APB chaén cung nöûa voøng troøn, vì vaäy

, vaäy 2 maët chính vuoâng goùc

n₁ n₃

nhau, ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi maët chính thöù 2 laø maët coù truïc z laøm phaùp tuyeán. Ñieàu naøy

hoaøn toaøn phuø hôïp vôùi keát luaän ruùt ta ôû muïc öùng suaát chính ñoái vôùi tröôøng hôïp traïng thaùi

öùng suaát toång quaùt.

Töø hình veõ ta suy ra giaù trò 2 öùng suaát chính coøn laïi:

_x _y

2

_x _y



1

2

1

2

_max 0B  0C  R 

_min 0A  0C  R 





4²_xy



_x _y





(2.63)

(2.64)





2



_x _y







2

xy

tg₁











MB _max _y

_xy

MB _y _min

PM

tg₂   

3.3.2.3. Ñieåm treân voøng troøn cho giaù trò öùng suaát tieáp lôùn nhaát laø ñieåm giao ñöôøng troøn

vôùi ñöôøng kính song song truïc tung, töùc taïi caùc ñieåm E, F. Ta coù:

2

_max _min R  4²_xy



_x _y



(2.65)

2

84

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

3.3.2.4. Phöông cuûa vector phaùp tuyeán cuûa maët nghieâng cho trò öùng suaát tieáp lôùn nhaát laø



phöông PE vaø PF (kyù hieäu

n

_max,n_mintreân hình 2.10b). Ñeå yù goùc < EPF chaén nöûa cung voøng

n_max n_min

troøn, vaäy

Ngoaøi ra:

hay caùc maët chöùa öùng suaát tieáp lôùn nhaát vuoâng goùc nhau.

R  _xy



EJ R  JC R  PM

tg_max







PJ

MC

(_x _y)/2 _(2.67)

R  _xy

(_x _y)/2

 JF

PJ

R  JC

MC



tg_min

 





3.3.2.5. Goùc ôû taâm chaén cung AE laø 90⁰, vaäy caùc phaùp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau goùc 45⁰.

Töø ñaây suy ra maët chính vaø maët chöùa öùng suaát tieáp cöïc trò hôïp vôùi nhau goùc 45⁰.

3.3.2.6. Töø caùc bieåu thöùc (2. 63) ta suy ra:

(2.68)

max

min

x

y

töùc toång öùng suaát phaùp treân 2 maët vuoâng goùc nhau laø moät haèng soá.

3.3.2.7. Töø hình 2.10b ta coù:

_max (_max _min)/2

(2.69)

3.4. Caùc traïng thaùi öùng suaát phaúng ñaëc bieät:

 ,  0

3.4.1. Neáu

(neùn):

1

2

Voøng troøn Mohr naèm hoaøn toaøn phía traùi truïc - (hình 2.11.a); ñieàu naøy laø lyù töôûng cho

vaät lieäu chòu keùo keùm (ñaù, beâtoâng,…).

 

₂

E

F

₂



₁



₂

₁

₂

₁

a)

b)

Hình 2.11

85

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

3.4.2. Neáu

:

₁ 0 (keùo) & ₂ 0 (neùn)

Voøng troøn caét truïc - ôû 2 ñieåm E, F treân ño  = 0ù (hình 2.11.b).

3.4.3. Neáu ₁ 0 & ₂ 0

:

Ta coù traïng thaùi keùo thuaàn tuùy, (hình 2.12.a).

3.4.4. Neáu

:

₂ 0 & ₁ 0

Ta coù traïng thaùi neùn thuaàn tuùy, (hình 2.12.b).

  

3.4.5. Neáu

:

1

2

Voøng troøn coù taâm ñaët ôû goác toaï ñoä vaø ta coù traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh. Luùc naøy moïi

maët ñeàu chòu moät öùng suaát ñôn, (hình 2.12c).

3.4.6. Neáu

:

₁ ₂ 0

Voøng troøn coù taâm ñaët ôû goác toaï ñoä vaø ta coù traïng thaùi öùng suaát tröôït thuaàn tuùy. Treân caùc

maët nghieâng 1 goùc 45⁰so vôùi phöông chính (E, F), caùc öùng suaát phaùp  = 0

vaø öùng suaát tieáp

(hình 2.12.d).

1

₂

₁



 

₂

 

E



0

₁

₂

₁

F

d)

a)

b)

c)

Hình 2.12

86

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Giaùo Trình CÔ

CHÖÔNG 2: ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG

4. BIEÁN DAÏNG:

4.1. Chuyeån ñoäng, chuyeån vò vaø bieán daïng:

Khaûo saùt moät vaät theå ñaøn hoài chòu löïc. Goïi  laø hình thaùi ban ñaàu trong heä toaï ñoä 0xyz

luùc chöa chòu löïc, vaø ^/laø hình thaùi cuûa vaät khi chòu löïc (hình 2.13).

ds^'

^'

Q

ds

Q^'

P

P^'



r ^'

0

Hình 2.13



_.

Goïi P laø 1 ñieåm baát kyø trong  ñöôïc xaùc ñònh bôûi vector



r^'

x^', y^', z^'



.

Sau khi taùc duïng löïc P coù vò trí P^/trong ^/ñöôïc xaùc ñònh bôûi



Ta goïi chuyeån ñoäng, hay söï thay ñoåi vò trí cuûa moâi tröôøng lieân tuïc laø pheùp bieán ñoåi ñieåm.

Töông quan giöõa P vaø P^/laø quan heä 1-1 giöõa caùc ñieåm cuûa mieàn  vaø ^/.

Ta goïi chuyeån vò cuûa ñieåm P laø vector:



  

u  PP^/ r^' r  u



u, v, w



(2.70)

Caùc thaønh phaàn cuûa vector chuyeån vò u :



x^' x, y^' y, z^' z



Taäp hôïp caùc vector taïo thaønh tröôøng chuyeån vò.

Khi moâi tröôøng thay ñoåi hình thaùi, moãi phaân toá theå tích bò thay ñoåi hình daïng, noùi ngaén

goïn laø noù bò bieán daïng; söï bieán daïng naøy thay ñoåi töø ñieåm naøy sang ñieåm khaùc. Ñeå khaûo

saùt bieán daïng taïi 1 ñieåm, ta khaûo saùt caùch vaän ñoäng cuûa moät phaàn töû thaúng ds noái ñieåm

P(x, y, z) vôùi Q(x+dx, y+dy, z+ dz).

87

TS. Vuõ Coâng Hoøa

Bài giảng môn Cơ lý thuyết - Phần 2: Cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi - Chương 2: Ứng suất và biến dạng - Nguyễn Công Hòa