Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 2: Động học - Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

Phần 3: ĐỘNG LỰC HỌC

ꢀ Vấn đề chính cần giải quyết là:

• Lập phương trình vi phân chuyển động

• Xác định vận tốc và gia tốc khi có lực tác động vào hệ

Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

Chương 11: Nguyên lý D’Alembert

Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học

Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Chương 14: Phương trình tổng quát động lực học và

phương trình Lagrange II

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

NỘI DUNG

1. Khái niệm cơ bản động lực học

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất

điểm

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

1

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

1. Khái niệm cơ bản động lực học

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

1. Khái niệm cơ bản động lực học

Nhắc lại một số công thức động học

JG

G

JJG

JG

dV

ds

Gia tốc:

W =

Vận tốc:

V =

dt

Quan hệ giữa gia tốc và vận tốc

Nếu gia tốc là hằng số:

Wdz = vdv

V =V₀+W_Ct

1

s = s₀+V₀t + W_Ct²

2

V ²=V₀²+ 2W_C(s − s₀)

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

2

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

1. Khái niệm cơ bản động lực học

Động Lực Học

Tĩnh học

Động học

JG

JJG

F = mW

Lực

Moment

Vận tốc

gia tốc

Định luật

Newton II

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

JG

JJG

Định luật Newton II

F = mW

∑

=

Mô hình vật thể tự do

Mô hình động học

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

3

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Tiến sĩ John Paul Stapp thí nghiệm tác động của lực G lên cơ thể

Vận tốc không đổi

Tăng tốc

Giảm tốc

W = 46,2g = 453,2m / s²

W = 0

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Định luật Newton II trong hệ trục tọa độ Descarte

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

4

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Ví dụ: Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban

đầu V₀=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:

1. Bỏ qua lực cản không khí.

2. Lực cản không khí là F_D=0,01V²(N)

Giải

z

1. Bỏ qua lực cản không khí

Phân tích các lực tác động lên quả đạn

P = m_Cg =10×9,81= 98,1(N)

C

W

_C

Định luật Newton II

JJG

JJJG

(1)

P = m_CW_C

C

P

C

O

Chiếu (1) lên Oz:

−P = m_CW_C

C

⇔ W_C= −g = −9,81(m / s²)

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

*Bài toán động học:

Tại z₀= 0 : V₀= 50 m/s

z_max= h : V = 0 m/s

Điều kiện ban đầu:

Do quả đại bác chuyển động với gia tốc là hằng số nên:

V_m²_ax=V₀²+ 2W_C(z_max− z₀) ⇔ 0 = 50²+ 2(−9,81)(h − 0)

P

⇔ h =127(m)

D

z

2. Lực cản không khí là F_D=0,01V²(N)

Phân tích các lực tác động lên quả đạn

P = 0,01V_C²(N)

P = 98,1(N)

C

D

JJG J JG

JJJG

(2)

W_C

Định luật Newton II

P + P = m_CW_C

C

D

Chiếu (2) lên Oz:

⇔ −m_Cg − 0,01V_C²= m_CW_C⇔ W_C= −0,001V_C²−9,81

−P − P = m_CW_C

C

D

P

C

O

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

5

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

*Bài toán động học:

Tại z₀= 0 : V₀= 50 m/s

z_max= h : V = 0 m/s

Điều kiện ban đầu:

Do gia tốc không phải là hằng số nên ta sử dụng quan hệ giữa gia

tốc và vận tốc:

⇔ (−0,001V_C²−9,81)dz =V_CdV_C

W_Cdz =V_CdV_C

V_C

⇔ dz =

dV_C

−0,001V_C²−9,81

0

^hdz = −

dV_C

V_C

2

⇔

∫

⁵⁰0,001V_C+ 9,81

0

⇔ h = −500ln(V_C²+ 9810) ⁰

50

⇔ h =114(m)

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Ví dụ: Cho quả đại bác bắn nghiêng với phương ngang một góc α và

vận tốc ban đầu V₀. Tính phương trình chuyển động của đạn (bỏ qua

ma sát không khí)

Giải

Phân tích các lực tác động lên quả đạn

Chỉ có trọng lực tác động lên quả đạn

ꢀꢀ

m x = 0

⎧

⎪

⎨

^Cꢀꢀ

P

Định luật Newton II trong hệ

trục tọa độ Descarte

C

m y = 0

^Cꢀꢀ

⎪

m_Cz = −m_Cg

*Bài toán động học

Điều kiện ban đầu:

⎩

ꢀ

x = 0; x = 0

⎧

⎪

⎨

ꢀ⁰

y = 0; y =V cosα

ꢀ⁰

0

⎪

z = 0; z₀=V₀sinα

⎩

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

6

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Lấy tích phân ba phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu ta được:

⎧

z

⎪

⎨

⎪

⎩

x = 0

V₀

y = (V cosα)t

0

1

2

z = (V₀sinα)t − gt

2

y

Quỹ đạo của đạn là:

g

y²+ y tanα

x

z = −

2V₀²cos²α

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

μ_k= 0,3

Ví dụ: Cho thùng hàng nặng 50kg. Hệ số ma sát động

Tính vận tốc của thùng tại thời điểm 3s

tính từ lúc bắt đầu kéo thùng.

Giải

Phân tích các lực tác động lên thùng

P

C

T

30⁰

C

Khi giải phóng liên kết ta có:

y

P = m_Cg = 50×9,81= 490,5(N)

C

JJJG

W_C

F_ms

T = 400(N)

F_ms= μ_kN_C= 0,3N_C

N_C

x

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

7

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

P

T

Định luật Newton II:

JG

JJJG

30⁰

JJG

F = m W

∑

C

JJG JG JJJG JJJG

JJJG

y

(1)

⇔ P +T + N_C+ F_ms= m_CW_C

C

W

Một phương trình vector trong 2 chiều ta

có 2 phương trình chiếu.

F_ms

x

N

Chiếu lên 2 phương Ox, Oy ta được:

N_C− P +T sin30⁰= 0 (3)

T cos30⁰− F_ms= m_CW_C

Oy:

Ox:

C

⇔ T cos30⁰− μ_kN_C= m_CW_C

(2)

N_C= 290,5(N)

⎧

⎨

Từ (2) và (3) ta tính được

W_C= 5,19(m / s²)

⎩

*Bài toán động học: Vì gia tốc là hằng số nên ta có

V =V₀+W_Ct = 0 + 5,19×3 =15,6(m / s)

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm

Định luật Newton II

JJG

JG

JJG

F +

f = m W

∑ ∑

i

i i

+ F_ilà ngoại lực tác động vào vật thứ i

+ f_ilà nội lực tác động qua lại giữa vật i

với các vật khác

Mô hình vật thể tự do

Mô hình động học

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

8

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7

23/4/2009

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm

Ví dụ: Cho tải A và tải B có khối lượng lần lượt là 100kg và 20kg. Tính

vận tốc của tải B tại thời điểm 2s (Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây

và ròng rọc không đáng kể)

Giải

*Xét ròng rọc C ta có:

C

*Xét tải A ta có:

A

W_A

JJG

JJJG

A

F = m W

∑

A

(1)

(2)

⇔

981− 2T =

100

W

_A

*Xét tải B ta có:

JJG

JJJG

B

F = m W

∑

B

W_B

⇔196,2 −T = m_BW_B

CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động

3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm

*Bài toán động học: Quan hệ chuyển động giữa tải A và tải B

2s_A

+

s_B

=

l

Lấy đạo hàm 2 lần biểu thức trên ta được

(3)

2W_A= −W_B

T = 327(N)

⎧

⎪

Từ (1), (2) và (3) ta giải được:

W = 3, 27(m / s)

⎨

⎪

A

W_B= −6,54(m / s)

⎩

Tải A sẽ chuyển động tăng tốc đi xuống, tải B

chuyển động tăng tốc đi lên

V_B=V₀+W_Bt ⇒V_B= 0 + (−6,54)(2)

⇒V_B= −13,1(m / s)

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

9

Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 2: Động học - Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động - Nguyễn Duy Khương