Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 3: Ứng suất và Biến dạng

Chương III

Ứng suất và Biến dạng

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.2. Trạng thái ứng suất

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng

3.4. TT ứng suất phẳng – PP đồ thị

3.5. Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất – biến dạng

3.7. Thuyết bền

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

Chia vật bằng một mặt cắt

và khảo sát tính chất các

lực tiếp xúc truyền qua mặt

này do phần tách ra tác

động lên. Các lực tiếp xúc

này phân bố khắp mặt cắt

với chiều và giá trị thay đổi,

chúng được gọi là ứng lực

hay ứng suất tại một điểm.

Ứng suất - Stress

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

P

A

p_tb

Định nghĩa ứng suất trung bình tại C:

P dP

A dA

p  lim 

Ứng suất thực tại C:

A0

P

1

Ứng suất tại 1 điểm là

cường độ phân bố của nội

lực trên 1 đơn vị diện tích

ở điểm đó thuộc mặt cắt

của vật thể chịu lực cân

bằng. (đại lượng cơ học

đặc trưng cho mức độ chịu

đựng của vật liệu)

P



P

2

p

(A)

C

A

P

3

ΔA: diện tích nhỏ

: hợp lực của nội lực trên ΔA

P

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm

_zy



p

p_z _zk _zyj _zxi

(A)

Trong đó:

z

C

_z

_zx

 _z

- Ứng suất pháp

y

 ,

_{zx zy}- Ứng suất tiếp

x

_zy

τ nằm trên mặt

phẳng vuông góc

với trục z

Chỉ phương của ứng

suất tiếp

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1 Ứng suất

3.1.2. Phương pháp biểu thị các thành phần ứng suất

Tổng quát: Tách một phân tố tại C bằng 6 mặt vi phân trực giao

với các trục tọa độ.

p_z

Trên 3 mặt vi phân dương có các

p_x, p_y, p_z

vector ứng suất:

p_y

Mỗi vector trong chúng có ba

thành phần song song với ba

trục tọa độ:

p_x

p  , ,

_x

_xz

_yz

_zy



x

xy

p  , ,

_y

_z



y

yx

p  , ,

z

zx

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.1.2. Các thành phần ứng suất

Ứng suất tại một điểm được đặc trưng bởi chín thành phần ứng

suất và chúng được viết dưới dạng Tensor:

 _y







_x_xy

^xz

 _yz

z

T   _yx _y _yz

 _yx





x







_zy

_zx_zy_z



_xy

_zx

_z

_x

_xz

_yz

Mặt phẳng

vuông góc với

trục y

Phương của

ứng suất tiếp

y

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1. Ứng suất

3.1.2. Các thành phần ứng suất

* Nguyên lý đối ứng ứng suất tiếp

Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông

góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào

hoặc hướng ra cạnh chung đó.

_xy_yx;_xz_zx;_yz_zy

Khi đó tensor ứng suất là một tensor đối xứng, do đó trạng thái

ứng suất chỉ còn phụ thuộc 6 thông số:

  







x

xy

^xz

T 

 _y _yz

_z









Sym

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.2. Trạng thái ứng suất.

3.2.1. Trạng thái ứng suất tại một điểm

Nếu cho qua M những mặt cắt π khác nhau, thì tương ứng với

mỗi vị trí của π ta được 1 vector ứng suất. Tập hợp tất cả các

vector ứng suất này được gọi là trạng thái ứng suất tại M. Tập

hợp này không phải là một tập hợp vector độc lập.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

Ứng suất trên mặt nghiêng có pháp vector đơn vị n  n ,n ,n



_z



x

y

 







p_x

n_x

_x_xy

^xz

 

p     . n

(3.1a)

p  T .n

 

y

yx

y

yz

y







 





_zx_zy_z

p_z

n_z





 











p_x_x.n_x_xy.n_y_xz.n_z

Hay:

p  .n  .n  .n

y

yx

x

y

yz

z

(3.1b)

(3.2a)

p_x_zx.n_x_zy.n_y_z.n_z

Khi đó:

_n p.n  p_x.n_x p_y.n_y p_z.n_z

_n_x.n_x²_y.n_y²_z.n_z² 2_xy.n_x.n_y 2_yz.n_y.n_z 2_xz.n_x.n_z

(3.2b)

_n p²_n²

(3.3)

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.2.2. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính

n

p

Mặt chính: mặt cắt mà trên đó phương của trùng với phương của

Khi đó: - Phương của được gọi là phương chính

- Ứng suất được gọi là ứng suất chính

n

_n

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương

chính vuông góc nhau từng đôi một. Ứng với ba phương chính

ta có ba ứng suất chính:

Các ứng suất chính

này không phụ thuộc

việc chọn hệ trục tọa

độ

₁ ₂₃

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.2.3. Các trạng thái ứng suất

Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương

chính:

 0 0









1

T  0 ₂0









0 0 ₃



Trạng thái ứng suất khối: ba ứng suất chính đều khác không.

Trạng thái ứng suất phẳng: có một ứng suất chính bằng không.

Trạng thái ứng suất đơn: có hai ứng suất chính bằng không.

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng

Là trạng thái của điểm có vector ứng suất tổng luôn nằm trong

một mặt phẳng, với mọi mặt vi phân khảo sát.

 _y

_y

 _yz

_yz

z

 _yx

x

_zy

 _z

_xy

_x

_zx

_z

_xz

_zy

_yz

_y

y

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ

_vu

_u

n

_v

u

_uv

_v

n  cos; sin





_yz_y

u

z

_u

_vu

z

_u

 _z



_zy

ds

_uv

_yz

y

v

_y

y

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng:

_z _y_z _y

(3.7)

(3.8)

_u

_uv



cos2 _zysin2

2

_z _y

sin2 _zycos2

2

0

Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u (

)

90 

_z _y_z _y

_v



cos2 _zysin2

(3.9)

2

_z _y

(3.10)

Bất biến

của ứng

suất pháp

_vu 

sin2 _zycos2

2

_u_v_z _y const

Nhận xét:

_uv _vu

ĐL ĐƯ ƯST

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.3.2. Ứng suất chính – Phương chính

_uv 0

2_zy

Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không. Để tìm mặt chính:

_z _y

_uv

sin2₀_zycos2₀ 0

 tg2₀ 

(*)

2

_z _y











2_zy



2

    tan^1

/2 

(3.11)







0

_z _y













khác biệt nhau 90⁰ Hai phương chính

₀

 Hai trị số

_{Thay vào}

_u, ta thu được các ứng suất chính

_z _y

1

_max _1,3

 (_z _y)² 4_z²_y(**)

(3.12)

2

min

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị

d_uv

d

_z _y













 0

 

sin2  cos2

uv

zy

2

_z _y

 (_z _y)cos2  2_zysin 2  0  tg2 

2_zy

1

tg2  

So sánh với (*), ta được:

tg2₀



 Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với

mặt chính một góc 45⁰

  ₀ k

4

_{Thay vào}_uv

ta được:

1

_max  (_z _y)² 4_z²_y

(3.14)

2

min

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

** Hai trường hợp đặc biệt

a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

_z ;  _y 0; _zy



Thay vào (**) ta được:



 1

2 2

_max   ² 4 ²

(3.13)

min

b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

_z _y 0; _zy

Thay vào (**) ta được:

_max  hay ₁ ₃

min



4

₁

₂ 

4

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4.1. Cơ sở của phương pháp

_z _y_z _y

_u



cos2 _zysin2

2

_z _y

(3.15)

_uv

sin2 _zycos2

2

_z _y

_{qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho}_u²_v

Chuyển vế

2

Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

²









²



Trục hoành:

Trục tung:



_z _y

 

2







2

z

y

 

  

 

 

 

u

uv

zy



2



  2;0



_y



Tâm:





z

Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr

ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và

ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau

đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét.

²



 



z

y

R 

_z²_y

Bán kính:





2



Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối

ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr

_z, _y,_zy

Cho một phân tố ứng suất. Biết:

 , , ,

Tìm:

_min, các phương chính, ưs pháp, ưs tiếp tại

max

min

max

mặt nghiêng bất kì

O

-Dựng hệ trục tọa độ:

 













z

C

^y;0

-Xác định tâm C vòng tròn:

2







²



 

z

y

_z²_y

-Xác định bán kính R của vòng tròn:

R 

2



-Xác định điểm cực P:

P  ;



_zy



y

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Lê Dương Hùng Anh

Bài giảng Cơ học ứng dụng - Chương 3: Ứng suất và Biến dạng - Lê Dương Hùng Anh