Bài giảng Truyền nhiệt - Chương 2: Dẫn nhiệt ổn định một chiều - Võ Kiến Quốc
Chöông II
DAÃN NHIEÄT
Monday, May 09, 2022
OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU
A.
Ta laàn löôït khaûo saùt trong ba heä toïa ñoä töông öùng vôùi caùc tröôøng hôïp trong vaùch phaúng, trong vaät hình
truï vaø vaät hình caàu.
PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT
I. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ VUOÂNG GOÙC
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch phaúng roäng so vôùi chieàu daøy, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu
Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông vuoâng goùc vaùch
Maët ñaúng nhieät song song beà maët vaùch
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
Choïn truïc toïa ñoä vuoâng goùc maët ñaúng nhieät
Phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho phaàn töû khaûo saùt nhö sau
nhieät löôïng
nhieät löôïng
daãn ra taïi x x
daãn vaøo taïi x
nhieät löôïng
phaùt sinh trong V
bieán thieân
naêng löôïng trong V
EV
(2-1)
Qx Qxx QV
Vôùi
EV E E
mC
t t CFx t t
Q
qv V qv Fx
V
Theá vaøo phöông trình 2-1, ta coù:
t t
Qx Qxx qv F x C F x
Chia phöông trình treân cho F x, ta ñöôïc
Qxx Qx
t
t
1
F
(2-2)
(2-3)
qv C
x
x 0
0
Laáy giôùi haïn
Trong ñoù
1
t
x
t
F
q C
v
F x
Qxx Qx Qx
x
t
x
lim
F
x0
x
x
Vôùi dieän tích F const, phöông trình 2-3 ñöôïc vieát laïi
x
t
x
t
(2-4)
q C
v
II/ TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ TRUÏ
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch truï coù chieàu daøi lôùn so vôùi baùn kính, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu
Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính
Maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët truï ñoàng taâm
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
Choïn truïc toïa ñoä truøng vôùi truïc oáng
Phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho phaàn töû khaûo saùt nhö sau
nhieät löôïng
daãn vaøo taïi r
nhieät löôïng
daãn ra taïi r r
nhieät löôïng
phaùt sinh trong V
bieán thieân
naêng löôïng trong V
EV
Qr Qrr QV
(2-5)
Vôùi
EV E E
mC
t t CFr t t
Q
qv V qv Fr
V
Theá vaøo phöông trình 2-5, ta coù:
t
t
Qr Qrr qv Fr CFr
Chia phöông trình treân cho , laáy giôùi haïn vaø söû duïng ñònh luaät Fourier
Qrr Qr
r
t
t
1
F
(2-6)
(2-7)
qv C
1
t
t
F
q C
v
F r
r
Vôùi dieän tích F 2 rL, phöông trình 2-7 ñöôïc vieát laïi
1
r r
t
r
t
r q C
(2-8)
v
II. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ CAÀU
Xeùt tröôøng hôïp daãn nhieät qua vaùch caàu, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu treân beà maët
Nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính
Maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët caàu ñoàng taâm
Xeùt phaàn töû vaùch nhö sau
Thöïc hieän töông töï nhö phaàn vaùch truï, vôùi löu yù dieän tích F 4 r2 theá vaøo 2-7, phöông trình
daãn nhieät
1
t
r
t
r2 q C
(2-9)
v
r2
r
III. TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT
CHO TRÖÔØNG MOÄT CHIEÀU
Töø caùc phöông trình 2-4, 2-8 vaø 2-9, ta coù daïng toång quaùt cho tröôøng moät chieàu nhö sau:
1
t
r
t
rn q C
(2-10)
v
rn
r
i.
Toïa ñoä vuoâng goùc
n 0
x r
ii.
Toïa ñoä truï
Toïa ñoä caàu
n 1
n 2
iii.
Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät const
qv
1
t
r
1 t
a
(2-11)
(2-12)
(2-13)
rn
rn
r
i.
ii.
Tröôøng hôïp daãn nhieät oån ñònh
t
1 d
dt
dr
qv
0
rn dr
rn
0
Tröôøng hôïp khoâng coù nguoàn nhieät beân trong
1
t
r
1 t
qv 0
rn r
rn
a
0
iii.
Tröôøng hôïp daãn nhieät oån ñònh
khoâng coù nguoàn nhieät beân trong
t
0
(2-14)
d
dr
dt
dr
rn
q 0
v
B. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN - ÑIEÀU KIEÄN BAN ÑAÀU
Giaûi phöông trình vi phaân ta ñöôïc nghieäm toång quaùt, ñoái vôùi töøng tröôøng hôïp cuï theå seõ coù töông öùng
ñieàu kieän bieân, keát hôïp laïi seõ xaùc ñònh ñöôïc phöông trình rieâng töông öùng.
I. ÑIEÀU KIEÄN BAN ÑAÀU
Laø haøm phaân boá nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm baét ñaàu khaûo saùt, toång quaùt
(2-15)
t
x,y,z,0
t
x,y,z
II. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN THEO NHIEÄT ÑOÄ
Nhieät ñoä beà maët raát deã xaùc ñònh, do vaäy ñieàu kieän bieân nhieät coù theå cho theo nhieät ñoä beà maët
Ví duï cho tröôøng hôïp vaùch phaúng coù chieàu daøy
t
t
0 ,
,
t 1
t 2
(2-16
III. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN MAÄT ÑOÄ DOØNG NHIEÄT
Khi bieát ñaày ñuû thoâng tin veà töông taùc naêng löôïng ôû beà maët xaùc ñònh ñöôïc maät ñoä doøng nhieät
ñöôïc söû duïng laøm ñieàu kieän bieân
doøng nhieät trao ñoåi
taïi beà maët vò trí x
t
x
(2-17)
q
Löu yù:
Chieàu höôùng doøng nhieät daãn trong vaùch vaø doøng nhieät treân beà maët
Ñieàu kieän bieân:
t
t
0,
x
q0
q
vaø
x
,
Tröôøng hôïp beà maët ñöôïc caùch nhieät toát
t 0,
t ,
0
hoaëc
0
(2-18)
x
x
t 0,
o
0
vaø
t , 60 C
x
Tröôøng hôïp ñoái xöùng nhieät
t 2,
0 (2-19)
x
IV. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN ÑOÁI LÖU
nhieät löôïng daãn
ñeán beà maët
nhieät löôïng ñoái löu
treân beà maët
t
0,
x
(2-20.a)
(2-20.b)
1
2
tf1 t
0,
vaø
t ,
t
,
tf2
x
Ví duï
V. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN BÖÙC XAÏ
nhieät löôïng böùc xaï
treân beà maët
nhieät löôïng daãn
ñeán beà maët
t 0,
Ts4urr,1 T4
0,
(2-21.a)
(2-21.b)
1
x
vaø
t 0,
2
T4
Ts4urr,2
,
x
Ví duï
VI. ÑIEÀU KIEÄN TIEÁP XUÙC
Tröôøng hôïp tieáp xuùc lyù töôûng giöõa hai vaùch
tA xo , tB xo ,
(2-22.a)
(2-22.b)
vaø
tA xo ,
tB xo ,
A
B
x
x
VII. ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN SUY ROÄNG
nhieät löôïng daãn
ñeán beà maët
toång nhieät löôïng trao ñoåi
baèng taát caû caùc caùch treân beà maët
C.
MOÄT SOÁ VÍ DUÏ
D. DAÃN NHIEÄT OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU
KHOÂNG COÙ NGUOÀN NHIEÄT BEÂN TRONG
I. PHÖÔNG TRÌNH DAÃN NHIEÄT
Töø phöông trình 2-10
1
t
r
t
rn
q C
v
rn
r
q 0
v
Vôùi ñieàu kieän
Ta ñöôïc
t
0
(2-23)
(2-24)
r
t
r
rn
0
Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät
const
r
t
rn
0
r
i.
Toïa ñoä vuoâng goùc
n 0
x r
ii.
Toïa ñoä truï
Toïa ñoä caàu
iii.
II. DAÃN NHIEÄT QUA VAÙCH PHAÚNG
1. Vaùch Phaúng Moät Lôùp
Xeùt vaùch phaúng ñoàng chaát, ñaúng höôùng, maät ñoä doøng nhieät ñoàng ñeàu treân beà maët
Chieàu daøy , m
Heä soá daãn nhieät , W/(m.K)
Nhieät ñoä beà maët hai beân vaùch ñöôïc duy trì khoâng ñoåi
t1, t2
Vaùch coù chieàu roäng raát lôùn so vôùi chieàu daøy, nhö vaäy
nhieät ñoä chæ bieán thieân theo phöông vuoâng goác vôùi maët
phaúng
R
daãn nhieät oån ñònh moät chieàu
Phöông trình 2-24 ñöôïc vieát laïi nhö sau:
d2t
(2-25)
(2-26)
0
dx2
t
t1
t2
x0
Ñieàu kieän bieân
t
x
Tích phaân phöông trình 2-25 ta ñöôïc nghieäm:
Theá ñieàu kieän bieân 2-26, haèng soá C1, C2 tìm töø heä sau
t C1 x C2
t2 t1
C
t C 0 C
1
1
1
2
t C C
2
1
2
C t
2
1
Theá vaøo phöông trình tröôøng nhieät ñoä
t1 t
2 x
(2-27)
(2-28)
t t1
Theo ñònh luaät Fourier:
dt
dx
qF
Vaäy maät ñoä doøng nhieät truyeàn qua vaùch phaúng:
W m2
qF
t1 t2
Nhieät löôïng daãn qua vaùch coù dieän tích F
W
(2-29)
(2-30)
Q FqF F
t1 t2
Phöông trình treân ñöôïc theå hieän laïi ñoàng daïng ñònh luaät Ohm:
W
t1 t2
(F)
t1 t2
R
Q
F
Nhieät trôû daãn nhieät qua1 lôùp vaùch phaúng,
K W
R
Hình döôùi cho ta thaáy söï töông ñöông cuûa caùc ñaïi löôïng trong hai coâng thöùc:
Phöông trình 2-27 cuõng coù theå vieát laïi:
qF
t t1 x
(2-31)
Nhaän xeùt:
Khi heä soá daãn nhieät laø haèng soá, phaân boá nhieät ñoä trong vaùch laø haøm tuyeán tính
Do dieän tích caùc maët ñeàu gioáng nhau, nhieät trôû R coù theå tính töông öùng cho
2 vaø coâng thöùc 2-30 chính laø maät ñoä doøng nhieät qF
2. Daãn Nhieät Qua Vaùch Phaúng Nhieàu Lôùp
Giaû söû ta coù vaùch phaúng goàm 3 lôùp nhö hình beân döôùi
Ta tính cho moät ñôn vò dieän tích, caùc vaùch tieáp xuùc lyù töôûng
Lôùp VL VL VL
1
2
3
q
q
q
1
2
3
t1
t2
1
t3
t4 q
3
2 R3
R1 R2
1
2
3
Maät ñoä doøng nhieät daãn qua caùc lôùp:
t1 t2
R1
t2 t3
R2
t3 t4
R3
q1
q
2
q
3
ÔÛ cheá ñoä daãn nhieät oån ñònh, doøng nhieät qua caùc beà maët ñaúng nhieät baát kyø cuûa caùc vaùch phaúng phaûi
baèng nhau:
q
x
0 hay q1 q2 q3 qF
(2-32)
Töø sô ñoà maïng nhieät ta coù
t1 t2
t1 t3
R1 R2 R2 R3
t2 t4
q
R1
(2-33)
t1 t2 t2 t3 t3 t4
t1 t4
R1 R2 R3
R1
R2
R3
Maät ñoä doøng nhieät:
W m2
(2-34)
(2-35)
t1 t4
R1 R2 R3
t1 t4
qF
1 2 3
1 2 3
Töông töï, tröôøng hôïp vaùch coù n lôùp:
W m2
t1 t
n1
qF
n
i
i1
i
Nhieät ñoä taïi vò trí tieáp xuùc (lyù töôûng) giöõa caùc lôùp:
k
i
(2-36)
t
t q
k1
1
F
i1
i
2. Trao Ñoåi Nhieät Giöõa Hai Löu Chaát
Qua Vaùch Phaúng
Tröôøng hôïp naøy coù trao ñoåi nhieät ñoái löu cuûa löu chaát
Ta vieát phöông trình tính nhieät löôïng trao ñoåi ñoái löu theo Newton ñoàng daïng ñònh luaät Ohm nhö sau:
Q F
tw tf ,W
(2-37)
tw tf
1 (F)
tw tf
R
1
F
Nhieät trôû ñoái löu cuûa vaùch phaúng, K W
R
Xeùt hai löu chaát trao ñoåi nhieät qua vaùch phaúng 2 lôùp nhö hình sau:
Heä phöông trình trao ñoåi nhieät
tf1 t1
1 (1 F)
t1 t2
tf1 t1
R1
Q1 1 F
tf1 t1
(2-38)
Q1 1 F
1
t1 t2
R1
t1 t2
t2 t3
t3 tf2
1 (1 F)
2
t2 t3
t2 t3
Q2 2 F
2 (2 F)
t3 tf2
1 (2 F)
R2
t3 tf2
R2
Q2 2 F
Trong tröôøng hôïp daãn nhieät oån ñònh, ta coù
(2-39)
Q1 Q1 Q1 Q2 Q
Töø sô ñoà maïng nhieät ta coù:
tf1 t1
R1
tf1 t2
tf1 t3
Q
R1 R1 R1 R1 R2
(2-40)
t1 tf2
t2 tf2
t3 tf2
R2
R1 R2 R2 R2 R2
tf1 t1 t1 t2 t2 t3 t3 tf2
R1
R1
R2
R2
tf1 tf2
R1 R1 R2 R2
tf1 tf2
W
(2-41)
Q
1
1
2
1
1 F 1 F 2 F 2 F
Khi tính maät ñoä doøng nhieät, coù khaùi nieäm heä soá truyeàn nhieät nhö sau:
Q
qF
F
tf1 tf2
,W m2
1 1 2
1
(2-42)
(2-43)
1 1 2 2
kF tf1 tf2
1
vôùi
W (m2.K)
kF
1 1 2
1 1 2 2
1
goïi laø heä soá truyeàn nhieät qua vaùch phaúng
Tröôøng hôïp vaùch n lôùp
W (m2 .K)
(2-44)
(2-45)
1
kF
1
1
i
1
i 2
qF
1
t1 tf1
nhieät ñoä
k
i
t
t q
k1
1
F
i1
i
3. Daãn Nhieät Qua Vaùch Phöùc Hôïp
Tröôøng hôïp naøy vaùch goàm toå hôïp nhieàu vaät lieäu khaùc nhau.
Nhieät löôïng truyeàn qua caùc lôùp vaùch:
t
Q
(2-46)
R
vôùi toång nhieät trôû
R
tính töông öùng nhö maïch ñieän trôû.
Ví duï tính toång nhieät trôû cho lôùp vaùch phöùc hôïp sau:
4. Nhieät Trôû Tieáp Xuùc
(2-47)
III. DAÃN NHIEÄT QUA VAÙCH TRUÏ
1. Tröôøng Hôïp Vaùch Truï Moät Lôùp
Xeùt vaùch truï 1 lôùp nhö hình beân döôùi
Ñöôøng kính trong d1 2.r , m
1
Ñöôøng kính ngoaøi d2 2.r2 , m
Chieàu daøi L, m
Heä soá daãn nhieät , W (m.K)
Nhieät ñoä beà maët vaùch phía trong vaø phía ngoaøi laø t1 vaø
t2.
Phöông trình 2-24 ñöôïc vieát laïi nhö sau
d
dr
dt
dr
(2-48)
(2-49)
r
0
Ñieàu kieän bieân
t
t
r
1 t1
r2 t2
Tích phaân phöông trình 2-48 ta ñöôïc nghieäm:
dt C1
(2-50)
dr
r
t C1 ln r C2
Theá ñieàu kieän bieân 2-49, haèng soá C1, C2 tìm töø heä sau
t2 t1
t C lnr1 C2
C1
1
1
ln
r2 r1
t2 t1
t C ln r2 C2
2
1
C2 t1
lnr1
ln
r2 r1
Theá vaøo phöông trình tröôøng nhieät ñoä
ln
r r1
(2-51)
(2-52)
t
r
t1
t2 t1
ln
r2 r1
Theo ñònh luaät Fourier:
dt
C1
r
Qcylinder F
2.rL
dr
t1 t2
2L
, W
ln
r2 r1
Coù theå tìm nhieät löôïng truyeàn qua vaùch truï nhö sau
nhieät löôïng
daãn vaøo vaùch
nhieät löôïng
daãn ra vaùch
bieán thieân naêng löôïng
trong vaùch
dE
d
hay
(2-53)
(2-54)
Qvaøo Qra
dE
d
Daãn nhieät oån ñònh
0
vaø
Qvaøo Qra Qcylinder const
Nhieät daãn qua cylinder xaùc ñònh nhö sau
dt
dr
Qcylinder F
dr
F
hay
vôùi
Qcylinder dt
, laáy tích phaân phöông trình treân
F 2.r L
r2
t2
Q
dt
dr
cylinder
(2-55)
2 L r
r1
t1
Ta ñöôïc cuøng keát quaû nhö phöông trình 2-52
t1 t2
r2 r1 , W
Qcylinder 2 L
ln
Phöông trình treân coù theå vieát ôû daïng maïng nhieät trôû
t1 t2
Rcyl
, W
(2-56)
(2-57)
Qcylinder
Vôùi nhieät trôû Rcyl
ln
r2 r1 ,
2L
K W
Rcyl
Löu yù:
Nhieät löôïng truyeàn qua taïi hai beà maët baèng nhau
Q2 Q1
Nhöng maät ñoä doøng nhieät khaùc nhau treân hai beà maët:
Q1
Q2
2.r2 L
q1
q2
2.r L
1
q1 q2
Ñeå thuaän tieän trong tính toaùn, ngöôøi ta thöôøng tính nhieät löôïng daãn qua öùng vôùi m chieàu daøi
oáng:
W mdaøi
(2-58)
t1 t2
t1 t2
R
Q
L
q
1
ln d2 d1
2
ln
d2 d1
2
Nhieät trôû qua 1 lôùp vaùch truï öùng vôùi 1m chieàu daøi oáng,
(m.K) W
R
Löu yù:
Trong tröôøng hôïp
, coù theå söû duïng coâng thöùc vaùch phaúng ñeå tính toaùn
d2 d1 2
Dieän tích vaùch laáy theo ñöôøng kính trung bình
F L .dtb
dtb 0,5
d1 d2
0,5 d2 d1
Nhieät löôïng daãn qua vaùch truï coù chieàu daøi L laø:
Q Lq F qF
Maät ñoä doøng nhieät tính cho moät ñôn vò dieän tích:
W m2
(2-59)
qF t
Maät ñoä doøng nhieät tính cho moät ñôn vò chieàu daøi:
F
L
W mdaøi
(2-60)
(2-61)
q qF .dtb qF .dtb t
Nhieät trôû
W
t1 t2
R
t1 t2
Q
.dtb L
2. Daãn Nhieät Qua Vaùch Truï Nhieàu Lôùp
Xeùt vaùch truï 3 lôùp nhö hình döôùi ñaây
Ta coù phöông trình daãn nhieät trong tröôøng hôïp oån ñònh
t1 t2
t1 t3
t2 t4
Q
R
R R
R R
1
1
2
2
3
t1 t2 t2 t3 t3 t4
t1 t4
R R R
R
R
R
1
2
3
1
2
3
t1 t4
1
d2
1
d3
1
d4
ln
ln
ln
2.1 L
d1 22 L
d2 23 L
d3
(2-62)
2L
t1 t4
1
d2
1
d3
1
d4
d3
ln
ln
ln
1
d1 2
d2 3
Tải về để xem bản đầy đủ
29 trang
75540
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Truyền nhiệt - Chương 2: Dẫn nhiệt ổn định một chiều - Võ Kiến Quốc", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truyen_nhiet_chuong_2_dan_nhiet_on_dinh_mot_chieu.doc
