Giáo trình Toán cao cấp A2 - Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
48
CHÝÕNG III: TÍCH PHÂN ÐÝỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
I. TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI MỘT
1. Ðịnh nghĩa
Cho hꢀꢁꢂꢃậ∞ấꢂꢄꢅꢆꢂðịꢇꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửềꢂũꢈꢎꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
th ꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢐꢈầꢇ tꢑꢒꢂꢓꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂ
A = Ao < A1 < ……ꢂ≥ꢂồꢇꢂụꢂửềꢂÐặꢉꢂli lꢀꢂðộꢂꢕꢀꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ-1 vꢀꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ-1 lấꢒꢂ
mộꢉꢂðꢎểꢁꢂ∞ꢎꢂꢉꢑꢒꢂꢓờꢂꢎꢂụꢂữờꢂịꢂờꢂ…ꢂờꢂꢇềꢂ
(Hꢖꢇꢈꢂữềữấ
Lậꢐꢂꢉổꢇꢍꢂầꢂ
Nếꢌꢂꢗꢇꢂꢆꢘꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢈữꢌꢂꢈạꢇꢂỗꢂꢙꢈꢎꢂꢇꢂ sao cho max{ li } 0 vꢀꢂꢎꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢐꢈụꢂ
thuộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢆꢅꢆꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ-1 vꢀꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈọꢇꢂꢆꢅꢆꢂ∞ꢎờꢂꢉꢈꢖꢂỗꢂðýợꢆꢂꢍọꢎꢂꢝꢀꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂ
ðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂữꢂꢆủa f(M) trꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
vꢀꢂðýợꢆꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌꢂꢝꢀầꢂ
Vậꢒầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
49
Khi ðꢘꢂꢉꢏꢂꢇꢘꢎꢂꢃậ∞ấꢂꢝꢀꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửềꢂ
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
thuộꢆꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄꢒꢂꢛꢀꢂꢃꢂꢝꢀꢂꢈꢀꢁꢂꢉꢈꢠꢜꢂịꢂꢔꢎếꢇꢂꢃậꢄờꢒấꢂꢉꢈꢖꢂꢕꢑꢇꢍꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌꢂầ
Trong khꢚꢇꢍꢂꢍꢎꢏꢇꢂꢄꢒꢡờꢂꢃꢂꢝꢀꢂꢈꢀꢁꢂꢃậꢄờꢒờꢡꢂấꢂꢉꢈꢖꢂꢕꢑꢇꢍꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌꢂ
Ý nghĩa thực tế:
Xem 1 dꢟꢒꢂꢛậꢉꢂꢆꢈấꢉꢂꢈꢖꢇꢈꢂꢕạꢇꢍꢂỡꢂꢛꢀꢂꢆꢘꢂꢁậꢉꢂðộꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢝꢀꢂꢃậ∞ấꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂðꢎểꢁꢂ
M trꢋꢇꢂꢕꢟꢒờꢂꢉꢈꢖꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢆủꢏꢂꢕꢟꢒꢂꢛậꢉꢂꢆꢈấꢉꢂꢝꢀꢂầ
Tꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂữꢂꢆꢘꢂꢇꢈꢎềꢌꢂứꢇꢍꢂꢕụꢇꢍꢂꢉꢈực tếờꢂðýợꢆꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢔꢀꢒꢂởꢂꢁụꢆꢂỗề≤
2. Ðịnh lý tồn tại
Nếꢌꢂꢈꢀꢁꢂꢃậ∞ấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢕọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂ
3. Các tính chất
thꢖꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂữꢂꢉồꢇꢂꢉạꢎề
Tꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂữꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢈýớꢇꢍꢂꢆủꢏꢂꢆꢌꢇꢍờꢂꢇꢍꢈĩꢏꢂ
lꢀầ
Nếꢌꢂꢃờꢂꢍꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢛꢀꢂꢙꢂꢝꢀꢂꢈằꢇꢍꢂꢢốꢂꢉꢈꢖꢂꢙꢃựꢍꢂꢆũꢇꢍꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢛꢀꢂầꢂ
Nếꢌꢂꢃꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂồửꢂꢛꢀꢂũꢂꢝꢀꢂữꢂðꢎểꢁꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂ
thꢖầ
Nếꢌꢂꢃậ∞ấꢂ 0 khảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂồửꢂꢉꢈꢖꢂầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
50
Nếꢌꢂꢃꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢉꢊꢋꢇꢂồửꢂꢉꢈꢖꢂ cũꢇꢍꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂồửꢂ
vꢀầ
Lýu ý: Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢉꢊõꢇꢂꢉừꢇꢍꢂꢙꢈꢣꢆꢂậꢇꢍꢈĩꢏꢂꢝꢀꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢆꢘꢂꢉꢈểꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂữꢂꢢốꢂꢈữꢌꢂ
hạꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇấꢂꢛꢀꢂꢃậ∞ấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢉꢈꢖꢂðịꢇꢈꢂꢝꢓꢂꢉồꢇꢂꢉạꢎꢂꢛꢀꢂꢆꢅꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢆꢈấꢉꢂꢇꢋꢌꢂ
trꢋꢇꢂꢛẫꢇꢂðꢣꢇꢍề
4. Ðịnh lý (về giá trị trung bình)
Nếꢌꢂꢃậ∞ấꢂꢝꢎꢋꢟꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂồửꢂꢆꢘꢂðộꢂꢕꢀꢎꢂỡềꢂẩꢈꢎꢂðꢘꢂꢉồꢇꢂꢉạꢎꢂðꢎểꢁꢂ thuộꢆꢂꢆꢌꢇꢍ
AB thỏꢏꢂầꢂ
5. Công thức tính tích phân ýờng loại 1 trên mặt phẳng
a) Cung
có phýõng trình tham số :
Cho hꢀꢁꢂꢢốꢂꢃậꢄờꢒấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂ
tham sốꢂầ
, vꢀꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉrꢖꢇꢈꢂ
Chia [a,b] thꢀꢇꢈꢂꢇꢂðꢜạꢇꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁầ
a = to < t1< .…ꢂ≥ꢂꢉꢇꢂụꢂꢔꢂề
Khi ðꢘꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðýợꢆꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢉýõꢇꢍꢂứꢇꢍꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồꢙậꢄậꢉꢙấờꢂ
y(tk)), k= 0,1,2…ềờꢇềꢂꢤꢈꢠꢜꢂðịꢇꢈꢂꢝꢓꢂꢍꢎꢅꢂꢉꢊịꢂꢉꢊꢌꢇꢍꢂꢔꢖꢇꢈꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầꢂ
Lấꢒꢂðꢎểꢁꢂꢍꢎữꢏꢂ∞ꢙậꢄậꢉꢙấờꢂꢒậꢉꢙấấꢂꢉꢈꢖꢂꢆꢘꢂꢉổꢇꢍꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
51
Vếꢂꢐꢈảꢎꢂꢝꢀꢂꢉổꢇꢍꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢄꢅꢆꢂðịꢇꢈờꢂꢙꢈꢎꢂꢥꢌꢏꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇờꢂꢉꢏꢂðýợꢆầ
b) Cung
có phýõng trình: y = y(x), a x b :
Khi ðꢘꢂꢉừꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢉꢊꢋꢇờꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầꢂ
c) Cung AB có phýõng trình tọa ộ cực
Nếꢌꢂꢄꢠꢁꢂ lꢀꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốờꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầꢂ
Vậꢒꢂầꢂ
6. Công thức tính tích phân ýờng loại 1 trong không gian
Cho hꢀꢁꢂꢢốꢂꢃậꢄờꢒờꢂꢡấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂồửꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢍꢎꢏꢇềꢂũꢌꢇꢍꢂ
phýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂầ
cꢘꢂ
Hoꢀꢇꢂꢉꢜꢀꢇꢂꢉýõꢇꢍꢂꢉựꢂꢇꢈýꢂꢐꢈầꢇꢂỗềỏềꢏờꢂꢉꢏꢂꢆꢘầꢂ
7. Các thí dụ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
52
a) Thí dụ 1: Tꢞꢇꢈ
Vớꢎꢂũꢂꢝꢀꢂðýờꢇꢍꢂꢆꢅꢆꢂꢆạꢇꢈꢂꢉꢏꢁꢂꢍꢎꢅꢆꢂꢆꢘꢂðỉꢇꢈꢂẫậếờếấờꢂ
A(1,0), B(0,1)
(Hꢖꢇꢈꢂữềịấ
Ta cꢘꢂầꢂ
Trꢋꢇꢂ
Trꢋꢇꢂ
Trꢋꢇꢂ
: y=0, dl = dx nꢋꢇầꢂ
: x=0, dl = dy nꢋꢇầꢂ
: y= 1-x
Vậꢒꢂầꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
53
b) Thí dụ 2: Tꢞꢇꢈ
Vớꢎꢂũꢂꢝꢀꢂðýờꢇꢍꢂꢆꢜꢇꢍꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈầꢂ
Sửꢂꢕụꢇꢍꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢆựꢆầꢂ
Vậꢒầꢂ
c) Thí dụ 3: Tꢞꢇꢈ
0 t 3
Vớꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈầꢂꢄꢂụꢂꢏꢆꢜꢢꢉꢂờꢂꢒꢂụꢂꢏꢢꢎꢇꢉờꢂꢡụꢂꢔꢉꢂờꢂ
Xem t lꢀꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốờꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầꢂ
d) Thí dụ 4:
Tꢞꢇꢈ
vớꢎꢂðýờꢇꢍꢂỡꢂꢝꢀꢂꢐꢈầꢇꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢍꢘꢆꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢉꢈứꢂꢇꢈấꢉꢂꢆủꢏꢂꢍꢎꢏꢜꢂꢉꢌꢒếꢇꢂ
giữꢏꢂꢁặꢉꢂỳꢏꢊꢏꢔꢜꢝꢜꢎꢕꢂꢠꢝꢝꢎꢐꢉꢎꢆꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢡụꢂị- x2-2y2 vꢀꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢐꢏꢊꢏꢔꢜꢝꢎꢆꢂ
z = x2 từꢂðꢎểꢁꢂậếờữờếấꢂðếꢇꢂậữờếờữấ
Dꢑꢇꢍꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂꢉụꢂꢄꢂờꢂꢉꢈꢖꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
54
Vꢖꢂỡꢂꢇằꢁꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢍꢘꢆꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢉꢈứꢂꢇꢈấꢉờꢂꢇꢋꢇꢂꢉꢏꢂðýợꢆꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂꢢꢏꢌầꢂ
Do ðꢘꢂầ
Vậꢒầ
8. Ứng dụng của tích phân ýờng loại 1
a). Khối lýợng 1 cung:
Giảꢂꢢửꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢛậꢉꢂꢆꢈấꢉꢂꢆꢈꢎềꢌꢂꢕꢀꢎꢂỡꢂꢆꢘꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂðꢎểꢁꢂ∞ꢂꢉꢊꢋꢇꢂ
dꢟꢒꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢝꢀꢂ (M). Khi ðꢘꢂꢛớꢎꢂữꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢇꢈỏꢂồꢎồꢎ+1, cꢘꢂầꢂ
Vậꢒầ
Qua giớꢎꢂꢈạꢇꢂꢉꢏꢂðýợꢆꢂầ
b). Moment tĩnh (moment thu nhất), trọng tâm cung phẳng :
Cho 1 cung phẳꢇꢍꢂ
thuộꢆꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄꢒờꢂꢆꢘꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂ
ðꢎểꢁꢂ∞ậꢄờꢒấꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢕꢟꢒꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢝꢀꢂ (x,y). Theo ðịꢇꢈꢂꢇꢍꢈĩꢏꢂꢁꢜꢁꢠꢇꢉꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢆõꢂꢈọꢆờꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
55
ta cꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢁꢜꢁꢠꢇꢉꢂꢆủꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
lꢀꢂ∞ꢒꢂꢝꢀꢂầ
ðốꢎꢂꢛớꢎꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢄꢂꢝꢀꢂ∞ꢄꢂꢛꢀꢂðốꢎꢂꢛớꢎꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢒꢂ
Từꢂðꢘꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢆủꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðýợꢆꢂꢄꢅꢆꢂðịꢇꢈꢂꢔởꢎầ
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
cung AB), vꢀꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢢẽꢂꢝꢀꢂầ
lꢀꢂðồꢇꢍꢂꢆꢈấꢉờꢂ (x,y) = hằꢇꢍꢂꢢốꢂờꢂꢉꢈꢖꢂầꢂ∞ụꢂ .L (L lꢀꢂꢆꢈꢎềꢌꢂꢕꢀꢎꢂ
Cũꢇꢍꢂꢇꢈớꢂꢊằꢇꢍꢂầꢂꢙꢈꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
khꢚꢇꢍꢂꢆắꢉꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢄꢂꢛꢀꢂꢥꢌꢏꢒꢂꢥꢌꢏꢇꢈꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢄꢂꢉꢈꢖꢂ
diệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢁặꢉꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢄꢜꢏꢒꢂꢕꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂðꢘꢂꢉạꢜꢂꢊꢏꢂꢝꢀꢂầ
Từꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢉꢜạꢂðộꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁờꢂꢆꢘầ
Thí dụ 5: TꢖꢁꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢆủꢏꢂꢇửꢏꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢉꢟꢁꢂẫꢂꢔꢅꢇꢂꢙꢞꢇꢈꢂỞềꢂ
Giảꢎầ Xꢧꢉꢂꢇửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂồửꢂꢉꢟꢁꢂếềꢂắꢜꢂꢉꢞꢇꢈꢂðốꢎꢂꢄứꢇꢍꢂꢇꢋꢇꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂậꢄờꢒấꢂꢐꢈảꢎꢂ
nằꢁꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢒꢂậ
). Khi nửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂồửꢂꢥꢌꢏꢒꢂꢥꢌꢏꢇꢈꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢄꢂꢉꢏꢂðýợꢆꢂ
quảꢂꢆầꢌꢂꢆꢘꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢁặꢉꢂꢆầꢌꢂꢝꢀầꢂꢗꢂụꢂở R2, vꢀꢂðộꢂꢕꢀꢎꢂꢇửꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂồửꢂꢝꢀꢂỡꢂụꢂ
R. Vậꢒꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢆꢘꢂꢉꢌꢇꢍꢂðộꢂꢝꢀꢂầꢂ
c). Moment tĩnh (moment thứ nhất), trọng tâm cung trong không gian:
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
56
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
trong khꢚꢇꢍꢂꢍꢎꢏꢇꢂꢛớꢎꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍ riꢋꢇꢍꢂꢝꢀꢂ (x,y,z) thꢖꢂꢉýõꢇꢍꢂꢉựꢂ
trýờꢇꢍꢂꢈợꢐꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢛꢀꢂꢆꢅꢆꢂꢁꢜꢁꢠꢇꢉꢂꢉĩꢇꢈꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðốꢎꢂꢛớꢎꢂ
cꢅꢆꢂꢁặꢉꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢄếꢒờꢂꢄếꢡờꢂꢒếꢡꢂꢝꢀꢂầꢂ
Vꢀꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢆủꢏ cung
cꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂầ
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðồꢇꢍꢂꢆꢈấꢉꢂậ =hằꢇꢍꢂꢢốấꢂꢉꢈꢖꢂ
vꢀꢂầ
Thí dụ 6: Cho nửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢔằꢇꢍꢂꢉꢈꢧꢐꢂðặꢉꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢒ0z cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂ
trꢖꢇꢈꢂꢒ2 + z2 = 1, z 0. Biết khốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂꢝꢀꢂ (x,y,z) = 2 – z. Hꢨꢒꢂꢉꢖꢁꢂꢙꢈốꢎꢂ
lýợꢇꢍꢂꢛꢀꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢆủꢏꢂꢇửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂðꢘề
(Hꢖꢇꢈꢂữềĩấ
Do nửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢇằꢁꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢒꢡờꢂꢇꢋꢇꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢆꢘꢂꢄụꢂếề Ngoꢀꢎꢂꢊꢏꢂꢕꢜꢂ
ðốꢎꢂꢄứꢇꢍꢂꢛꢀꢂꢆꢘꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢔốꢂðốꢎꢂꢄứꢇꢍꢂðốꢎꢂꢥꢌꢏꢂꢉꢊụꢆꢂẫꢡꢂꢇꢋꢇꢂꢉꢊọꢇꢍꢂꢉꢟꢁꢂꢆꢘꢂ
y=0. Phýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂꢆủꢏꢂꢇửꢏꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢝꢀꢂầꢂꢄụếꢂờꢂꢒꢂụꢂꢆꢜꢢꢂꢉꢂờꢂꢡꢂụꢂꢢꢎꢇꢂꢉꢂờꢂếꢂ
t
Vậꢒầꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
57
d). Moment quán tính (moment thứ hai)
Ta cꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢁꢜꢁꢠꢇꢉꢂꢥꢌꢅꢇꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
vớꢎꢂꢆꢅꢆꢂꢉꢊụꢆꢂꢉꢜạꢂðộꢂꢝꢀꢂầꢂ
vớꢎꢂꢙꢈốꢎꢂꢝýợꢇꢍꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂ (x,y,z) ðốꢎꢂ
Tổꢇꢍꢂꢥꢌꢅꢉờꢂꢁꢜꢁꢠꢇꢉꢂꢥꢌꢅꢇꢂꢉꢞꢇꢈꢂðốꢎꢂꢛớꢎꢂðýờꢇꢍꢂꢉꢈẳꢇꢍꢂ ðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢔởꢎꢂầꢂ
Vớꢎꢂꢊậꢄờꢒờꢡấꢂầꢂꢙꢈꢜảꢇꢍꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢉừꢂðꢎểm M(x,y,z) ðếꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢉꢈẳꢇꢍꢂ
Khi cung
lꢀꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂꢆꢅꢆꢂꢙꢈꢅꢎꢂꢇꢎệꢁꢂꢛꢀꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢉýõꢇꢍꢂꢉựề
e). Diện tích mặt trụ
Cho mộꢉꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
trong khꢚꢇꢍꢂꢍꢎꢏꢇꢂꢛớꢎꢂꢡꢂ 0 cꢘꢂꢈꢖꢇꢈꢂꢆꢈꢎếꢌꢂꢛꢌꢚꢇꢍꢂꢍꢘꢆꢂꢄꢌốꢇꢍꢂ
mặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄếꢒꢂꢝꢀꢂꢆꢌꢇꢍ
Xem mặꢉꢂꢉꢊụꢂꢛớꢎꢂðýờꢇꢍꢂꢢꢎꢇꢈꢂꢢꢜꢇꢍꢂꢢꢜꢇꢍꢂꢉꢊụꢆꢂẫz,
ðýờꢇꢍꢂꢆꢈꢌẩꢇꢂũắꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂũắờꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢕýớꢎꢂꢔởꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửờꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂ
2 bꢋꢇꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðýờꢇꢍꢂꢉꢈẳꢇꢍꢂồũờꢂửắꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
58
(Hꢖꢇꢈꢂữềởꢂấ
Giảꢂꢢửꢂꢆꢌꢇꢍꢂũắꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢡꢂụꢂꢃậ∞ấờ∞ AB
Chia cung AB thꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢐꢈầꢇꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồụồꢜờꢂồ1, ……ờꢂồꢇꢂụꢂử
Khi ðꢘꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢆũꢇꢍꢂðýợꢆꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢉýõꢇꢍꢂứꢇꢍꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢇꢈỏờꢂꢛꢀꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢉꢈứꢂꢎꢂ
vớꢎꢂðꢅꢒꢂꢝꢀꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ+1 cꢘꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢍầꢇꢂðꢣng diệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢈꢖꢇꢈꢂꢆꢈữꢂꢇꢈậꢉꢂ
cꢘꢂðꢅꢒꢂꢝꢀꢂ i = AiAi+1 chiềꢌꢂꢆꢏꢜꢂꢃậ∞ꢙấờꢂꢛớꢎꢂ∞ꢙꢂ AiAi+1 lꢀꢂꢗꢎꢂụꢂ i x f(Mi).
Khi ðꢘꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢆꢘꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢍầꢇꢂðꢣꢇꢍꢂꢝꢀầ
Qua giớꢎꢂhạꢇờꢂꢉꢏꢂꢆꢘầ
Thí dụ 7: Tꢞꢇꢈꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈầꢇꢂꢁặꢉꢂꢉꢊụꢂꢄ2 + y2 = R2 nằꢁꢂꢍꢎữꢏꢂꢁặꢉꢂꢡụꢂếꢂꢛꢀꢂ
z=
ởꢂꢍꢘꢆꢂꢄꢂ 0 , y 0.
Giải: Do mặꢉꢂꢉꢊụꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢔởꢎꢂðýờꢇꢍꢂꢆꢜꢇꢍꢂꢡꢂụꢂ
, giớꢎꢂꢈạꢇꢂꢕýớꢎꢂꢔởꢎꢂꢩꢂ
vꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢄ2 + y2 = R2 trong mặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄꢒờꢂꢇꢋꢇꢂꢇꢘꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂầꢂꢪụꢂỞꢆꢜs
t, y = Rsin t , 0 t /2
Vậꢒꢂầꢂ
Ta cꢘầꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
59
II. TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI
1. Ðịnh nghĩa tích phân ýờng loại hai trong mặt phẳng
Cho 2 hꢀꢁꢂỳậꢄờꢒấờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢄꢅꢆꢂðịꢇꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
thuộꢆꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄꢒềꢂũꢈꢎꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
th ꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢐꢈầꢇꢂꢉꢑꢒꢂꢓꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồꢂụꢂồꢜꢂ≥ꢂồ1 < ……ꢂ≥ꢂồꢇꢂụꢂửờꢂꢛớꢎꢂồꢎậꢄꢎờꢒꢎấꢂꢤꢊꢋꢇꢂ
mỗꢎꢂꢆꢌꢇꢍ AiAi+1 lấꢒꢂꢁộꢉꢂðꢎểꢁꢂ∞ꢎꢂậꢄꢎờꢂꢒꢎấꢂꢉꢑꢒꢂꢓờꢂꢛꢀꢂꢎꢂụꢂữờꢂịꢂờꢂ…ꢂờꢂꢇꢂꢛꢀꢂðặꢉꢂxi = x i+1
xi , yi = yi+1 – yi
–
Lậꢐꢂꢉổꢇꢍꢂầꢂ
Nếꢌꢂꢗꢇꢂꢆꢘꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢈữꢌꢂꢈạꢇꢂỗꢂꢙꢈꢎꢂꢇꢂ sao cho max{ li } 0 vớꢎꢂli lꢀꢂðộꢂꢕꢀꢎꢂ
cung AiAi+1 vꢀꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂðꢜạꢇꢂồꢎồꢎ-1 vꢀꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈọꢇꢂꢆꢅꢆꢂ
Mi, thꢖꢂỗꢂðýợꢆꢂꢍọꢎꢂꢝꢀꢂꢉꢞꢆh phꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢆủꢏꢂꢃậ∞ấꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢛꢀꢂðýợꢆꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌꢂ
lꢀầꢂ
Vậꢒầ
2. Ðịnh lý
Nếu cꢅꢆꢂꢈꢀꢁꢂỳậꢄờꢒấꢂờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁộꢉꢂꢁꢎềꢇꢂꢁởꢂꢆꢈứꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢉꢊõꢇꢂꢉừꢇꢍꢂ
khꢣꢆꢂꢉꢈꢖꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂ
3. Tính chất
luꢚꢇꢂꢉồꢇꢂꢉạꢎề
a). Do khi ðổꢎꢂꢈýớꢇꢍꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
thꢀꢇꢈꢂ
thꢖꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢉổꢇꢍꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢆꢅꢆꢂxi = x i+1 – xi ,
yi = yi+1 – yi ðýợꢆꢂꢉꢈꢏꢒꢂꢔằꢇꢍꢂ- xi , -yi nꢋꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢔịꢂðổꢎꢂꢕấꢌềꢂꢤꢏꢂ
cꢘꢂầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
60
Do ðꢘꢂꢙꢈꢎꢂðýờꢇꢍꢂꢝấꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢝꢀꢂðýờꢇꢍꢂꢆꢜꢇꢍꢂꢙꢞꢇꢂũờꢂꢉꢏꢂꢥꢌꢒꢂýớꢆꢂꢈýớꢇꢍꢂꢕýõꢇꢍꢂꢉꢊꢋꢇꢂũꢂ
lꢀꢂꢈýớꢇꢍꢂꢁꢀꢂꢙꢈꢎꢂðꢎꢂꢕọꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂũꢂꢉꢈꢖꢂmiềꢇꢂꢔịꢂꢆꢈặꢇꢂꢔởꢎꢂũꢂꢇằꢁꢂꢐꢈꢞꢏꢂꢔꢋꢇꢂꢉꢊꢅꢎềꢂổýớꢇꢍꢂꢇꢍýợꢆꢂ
lạꢎꢂꢝꢀꢂꢈýớꢇꢍꢂꢟꢁềꢂꢤꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢈýớꢇꢍꢂꢕýõꢇꢍꢂðýợꢆꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌꢂꢝꢀꢂầ
(hꢖꢇꢈꢂịềữấ
b). Nếꢌꢂỳậꢄờꢒấờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
, vꢀꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
ðýợꢆꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂịꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
,
thꢖꢂỳờꢂẵꢂꢆũꢇꢍꢂꢙꢈảꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢉꢊꢋꢇꢂịꢂꢆꢌꢇꢍꢂðꢘꢂờꢂꢛꢀꢂꢉꢏꢂꢆꢘ :
4. Công thức tính tích phân ýờng loại 2 trên mặt phẳng
a). Cung AB có phýõng trình tham số :
Cho hꢀꢁꢂꢢốꢂỳậꢄờꢒấờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁꢎềꢇꢂꢁởꢂắꢂꢆꢈứꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂ
. Cung
cꢘꢂ
phýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂầꢂꢄụꢄậꢉấꢂờꢂꢒꢂụꢂꢒậꢉấꢂờꢂꢏ t b, t=a ứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂðꢎểꢁꢂồꢂꢛꢀꢂꢉꢂụꢂb ứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂ
ðꢎểꢁꢂửề
Từꢂðịꢇꢈꢂꢇꢍꢈĩꢏꢂꢆꢘꢂꢉꢈểꢂꢆꢜꢎꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂ
(giớꢎꢂꢈạꢇꢂꢆủꢏꢂịꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇấꢂꢢꢏꢌầ
lꢀꢂꢉổꢇꢍꢂꢆủꢏꢂịꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂꢔꢎệꢉꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
61
Chia [a,b] thꢀꢇꢈꢂꢇꢂðꢜạꢇꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂầꢂꢏꢂụꢂꢉꢜꢂ≥ꢂꢉ1 < ……ꢂ≥ꢂꢉꢇꢂụꢂꢔꢂềꢂẩꢈꢎꢂðꢘꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂ
ðýợꢆꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢉýõꢇꢍꢂứꢇꢍꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢔởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồꢙậꢄậꢉꢙấờꢂꢒậꢉꢙấấờꢂꢙụếờữờị…ềờꢇềꢂꢤꢈꢠꢜꢂ
ðịꢇꢈꢂꢝꢓꢂỡꢏꢍꢊꢏꢇꢍꢠꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂầꢂ
thỏꢏầ
Lấꢒꢂðꢎểꢁꢂꢍꢎữꢏꢂ∞ꢙậꢄậꢉꢙấờꢂꢒậꢉꢙấấꢂꢉꢈꢖꢂꢆꢘꢂầ
Týõꢇꢍꢂꢉựꢂꢆꢘầ
Nhýꢂꢛậꢒꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢉꢈꢚꢇꢍꢂꢥꢌꢏꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢄꢅꢆꢂ
ðịꢇꢈầ
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢒụꢒậꢄấờꢂꢏ t b thꢖꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂ
Chú ý : Cꢅꢆꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢛẫꢇꢂðꢣꢇꢍꢂꢙꢈꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
trõꢇꢂꢉừꢇꢍꢂꢙꢈꢣꢆề
5. Bài toán cõ học dẫn tới tích phân ýờng loại 2: công do một lực sinh ra trên
một cung
Xꢧꢉꢂꢔꢀꢎꢂtoꢅꢇꢂꢉꢖꢁꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢕꢜꢂꢝựꢆꢂ
sinh ra dọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
.
Nếꢌꢂꢝựꢆ
khꢚꢇꢍꢂðổꢎꢂꢉꢈꢖꢂꢆꢚꢇꢍꢂðýợꢆꢂꢔꢎếꢉꢂꢝꢀꢂầꢂ
Trong trýờꢇꢍꢂꢈợꢐꢂꢉổꢇꢍꢂꢥꢌꢅꢉờꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
B. Trꢋꢇꢂꢁỗꢎꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ-1 lấꢒꢂꢁộꢉꢂðꢎểꢁꢂ∞ꢎ
bởꢎꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồꢂụꢂồꢜꢂ≥ꢂồ1 < ……ꢂ≥ꢂồꢇꢂụꢂ
tꢑꢒꢂꢓờꢂꢛớꢎꢂꢎꢂụꢂữờꢂịꢂờꢂ…ꢂờꢂꢇềꢂỷếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
AiAi+1 khꢅꢂꢔꢧꢂꢉꢈꢖꢂꢆꢘꢂꢉꢈểꢂꢄấꢐꢂꢄỉꢂꢝꢀꢂðꢜạꢇꢂꢉꢈẳꢇꢍꢂồꢎồꢎ+1 vꢀꢂꢝựꢆꢂ
lꢀꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂðổꢎꢂꢄấꢐꢂꢄỉꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
62
bởꢎꢂ
. Khi ðꢘꢂꢆꢚꢇg sinh ra trꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồꢎồꢎ+1 ðýợꢆꢂꢄấꢐꢂꢄỉꢂꢔởꢎꢂ
. Khi ðꢘờꢂꢆꢘầꢂồꢎồꢎ+1 = xi + yi. vꢀꢂ≠ậ∞ꢎấꢂềꢂồꢎồꢎ-1 = P(x,y)
xi + Q(x,y).yi
Vꢀꢂꢇꢈýꢂꢛậꢒꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢢꢎꢇꢈꢂꢊꢏꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðýợꢆꢂꢄấꢐꢂꢄỉꢂꢔởꢎꢂꢉổꢇꢍꢂầꢂ
Nếꢌꢂꢗꢇꢂꢆꢘꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢈữꢌꢂꢈạꢇꢂỗꢂꢙꢈꢎꢂꢇꢂ sao cho max{ li } 0 vớꢎꢂli lꢀꢂðộꢂꢕꢀꢎꢂ
cung AiAi-1 vꢀꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈꢎꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂðꢜạꢇꢂồꢎồꢎ-1 vꢀꢂꢆꢅꢆꢈꢂꢆꢈọꢇꢂꢆꢅꢆꢂ∞ꢎờꢂ
thꢖꢂỗꢂðýợꢆꢂꢍọꢎꢂꢝꢀꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢆủꢏꢂꢃậ∞ấꢂꢉꢊꢋꢇꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢛꢀꢂðýợꢆꢂꢙꢓꢂꢈꢎệꢌ lꢀầꢂ
Vếꢂꢐꢈảꢎꢂꢆꢈꢞꢇꢈꢂꢝꢀꢂꢉổꢇꢍꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢆủꢏꢂꢆꢅꢆꢂꢈꢀꢁꢂꢢốꢂỳậꢄờꢒấờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢕọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂ
cung AB. Qua giớꢎꢂꢈạꢇꢂꢉꢏꢂðýợꢆꢂầ
Từꢂꢔꢀꢎꢂꢉꢜꢅꢇꢂꢇꢀꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢆꢦꢇꢂꢍọꢎꢂꢝꢀꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢕꢑꢂꢊằꢇꢍꢂꢆꢦꢇꢂꢇꢈꢎềꢌꢂ
bꢀꢎꢂꢉꢜꢅꢇꢂꢉꢈựꢆꢂꢉếꢂꢆũꢇꢍꢂꢕẫꢇꢂꢉớꢎꢂꢛꢎệꢆꢂꢉꢖꢁꢂꢍꢎớꢎꢂꢈạꢇꢂꢛꢀꢂꢕẫꢇꢂꢉớꢎꢂꢛꢎệꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂ
loạꢎꢂịề
6. Một số thí dụ tích phân ýờng loại 2
Thí dụ 1: Tꢞꢇꢈꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂầ
AB lꢀꢂðýờꢇꢍầꢂ
vớꢎꢂồậếờếấờꢂửậữờữấềꢂũꢌꢇꢍꢂ
a). Ðꢜạꢇꢂꢉꢈẳꢇꢍꢂồửꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢒꢂụꢂꢄờꢂếꢂ x 1.
b). Ðýờꢇꢍꢂỳꢏꢊꢏꢔꢜꢝꢂꢒꢂụꢂꢄ2.
Giải:
a). Vớꢎꢂồửꢂầꢂꢒꢂụꢂꢄờꢂếꢂ x 1 thꢖꢂầꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
63
b). Vớꢎꢂồửꢂầꢂꢒꢂụꢂꢄ2 , 0 x 1 thꢖꢂầ
Vꢞꢂꢕụꢂꢇꢀy cho thấꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂꢇꢘꢎꢂꢆꢈꢌꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂðầꢌꢂꢛꢀꢂ
cuốꢎꢂồờꢂửꢂꢁꢀꢂꢆꢦꢇꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂðýờꢇꢍꢂꢇốꢎꢂịꢂðꢎểꢁꢂðầꢌꢂꢛꢀꢂꢆꢌốꢎ
Thí dụ 2: Tꢞꢇꢈꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịầ
vớꢎꢂũꢂꢝꢀꢂꢛꢦꢇꢍꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢉꢟꢁꢂẫậếờếấꢂ
bꢅꢇꢂꢙꢞꢇꢈꢂữờꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂầꢂꢄụꢆꢜꢢꢉờꢂꢒụꢢꢎꢇꢉờꢂế t 2
Vậꢒầ
Thí dụ 3: Tꢞꢇꢈꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢢꢎꢇꢈꢂꢔởꢎꢂꢝựꢆꢂ
y = t2, 0 t 1
dọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
: x = t,
Ta cꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢢꢎꢇꢈꢂꢊꢏꢂầꢂ
7. Tích phân ýờng loại 2 trong không gian
Cho hꢀꢁꢂꢢốꢂỳậꢄờꢒờꢡấờꢂẵậꢄờꢒờꢡấờꢂỞậꢄờꢒờꢡấꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁꢎềꢇꢂꢁởꢂắꢂꢆꢈứꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂ
thꢖꢂꢉýõꢇꢍꢂꢉựꢂꢇꢈýꢂtrꢋꢇꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍờꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂðịꢇꢈꢂꢇꢍꢈĩꢏꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂꢈꢏꢎꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂ
khꢚꢇꢍꢂꢍꢎꢏꢇꢂầꢂ
,
Nếꢌꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂầꢂꢄụꢄậꢉấꢂờꢂꢒꢂụꢂꢒậꢉấꢂờꢂꢡụꢂꢡậꢉấờꢂꢏ t b, t=a ứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂðꢎểꢁꢂồꢂ
vꢀꢂꢉꢂụꢂꢔꢂứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂðꢎểꢁꢂửờꢂꢛꢀꢂꢆꢅꢆꢂðạꢜꢂꢈꢀꢁꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂậꢕꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢉꢊõꢇấꢂờꢂꢉꢈꢖꢂꢉꢏꢂꢆꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂ
thứꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂầꢂ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
64
Cꢚꢇꢍꢂꢢꢎꢇꢈꢂꢊꢏꢂꢕꢜꢂꢝựꢆꢂ
dọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
ðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢔởꢎầꢂ
Thí dụ 4: TꢞꢇꢈꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂꢆꢅꢆꢂꢈꢀꢁꢂỳꢂụꢡờꢂẵꢂụꢂꢄờꢂỞꢂụꢒꢂꢕọꢆꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂ
trꢖꢇꢈꢂầꢂꢄꢂụꢂꢆꢜꢢꢂꢉờꢂꢒꢂụꢂꢢꢎꢇꢂꢉờ z = 3t , 0 t 2
cꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂ
8. Liên hệ giữa 2 loại tích phân ýờng loại 1 và loại 2
Giảꢂꢢửꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốầꢂꢄụꢄậꢉấꢂờꢂꢒꢂụꢂꢒậꢉấꢂờꢂꢡụꢂꢡậꢉấờꢂꢏ t b, vớꢎꢂꢉꢂꢝꢀꢂ
ðộꢂꢕꢀꢎꢂꢆꢌꢇꢍềꢂỡꢣꢆꢂðꢘꢂꢛꢠꢆꢉõꢂầ l vectõꢂꢐꢈꢅꢐꢂꢉꢌꢒếꢇꢂ
ðõꢇꢂꢛịềꢂẩꢈꢎꢂðꢘꢂꢇếꢌꢂꢍọꢎꢂ , , lꢀꢂꢆꢅꢆꢂꢍꢘꢆꢂꢆủꢏꢂꢛꢂðốꢎꢂꢛớꢎꢂꢆꢅꢆꢂꢉꢊụꢆꢂꢉọꢏꢂðộꢂẫꢄờꢂẫꢒờꢂẫꢡꢂ
týõꢇꢍꢂứꢇꢍờꢂꢉꢈꢖầ
x’ậꢉấꢂụꢂꢆꢜs , y’ậꢉấꢂụꢂꢆꢜꢢ , z’ậꢉấꢂụꢂꢆꢜꢢꢂ
Vậꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂꢈꢏꢎꢂðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢔằꢇꢍꢂầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
65
9. Tích phân ýờng không phụ thuộc tham số của cung lấy tích phân.
Giảꢂꢢửꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢆꢘꢂphýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂꢊậꢉấꢂụꢂꢄậꢉấꢂꢎꢂựꢂꢒậꢉấꢂꢫꢂựꢂꢡậꢉấꢂꢡꢂờꢂꢏ t b, t=a
ứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂðꢎểꢁꢂồꢂꢛꢀꢂꢉꢂụꢂꢔꢂứꢇꢍꢂꢛớꢎꢂðꢎểꢁꢂửềꢂỷꢍꢜꢀꢎꢂꢊꢏꢂꢆꢘꢂꢈꢀꢁꢂꢢốꢂꢉꢂụ (s) liꢋꢇꢂꢈệꢂꢍꢎữꢏꢂꢈꢏꢎꢂ
tham sốꢂꢉờꢂꢢꢂꢛớꢎꢂ s , a= ( ), b= ( ). Lꢣꢆꢂðꢘꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂꢉꢈꢏꢁꢂ
sốꢂꢢꢂꢝꢀꢂầꢂỞậꢢấꢂụꢂr( (s) ).
Vậꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂꢈꢏꢎꢂꢆủꢏꢂꢛꢠꢆꢉõꢂ≠ꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂồửꢂðýợꢆꢂꢉꢞꢇꢈꢂꢔởꢎꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂầ
ðꢎềꢌꢂꢇꢀꢒꢂꢆꢈꢜꢂꢉꢈấꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢉꢈꢏꢁꢂꢢốꢂꢆủꢏꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢝấꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇềꢂ
III. CÔNG THỨC GREEN
1. Ðịnh Lý Green
Cho D lꢀꢂꢁꢎềꢇꢂðꢘꢇꢍꢂꢍꢎớꢎꢂꢇộꢎꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁặꢉꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢄꢒꢂꢛꢀꢂũꢂꢝꢀꢂðýờꢇꢍꢂꢆꢜꢇꢍꢂꢉꢊõꢇꢂꢉừꢇꢍꢂꢙꢈꢣꢆềꢂ
Cꢅꢆꢂꢈꢀꢁꢂỳậꢄờꢒấờꢂẵậꢄờꢒấꢂꢛꢀꢂꢆꢅꢆꢂðạꢜꢂꢈꢀꢁꢂꢊꢎꢋꢇꢍꢂꢆủꢏꢂꢆꢈꢣꢇꢍꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉụꢆꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢁꢎềꢇꢂꢁởꢂꢆꢈứꢏꢂ
D. Khi ðꢘꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂỨꢊꢠꢠꢇꢂꢢꢏꢌầ
Trong ðꢘꢂầꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂịꢂởꢂꢛếꢂꢉꢊꢅꢎꢂꢝấꢒꢂꢉꢈꢠꢜꢂꢈýớꢇꢍꢂꢕýõꢇꢍ
Chꢣꢂꢓꢂ: Chu tuyếꢇꢂũꢂꢆꢘꢂꢉꢈểꢂꢔꢏꢜꢂꢍồꢁꢂꢇꢈꢎềꢌꢂꢆꢈꢌꢂꢉꢌꢒếꢇꢂũữờꢂũịờꢂũĩờꢂ…ềꢂẩꢈꢎꢂðꢘꢂꢁꢎềꢇꢂắꢂ
gọꢎꢂꢝꢀꢂðꢏꢂꢝꢎꢋꢇờꢂꢛꢀꢂꢁỗꢎꢂꢁꢎềꢇꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢆꢈꢌꢂꢉꢌꢒếꢇꢂũꢎꢂꢍọꢎꢂꢝꢀꢂữꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂꢐꢈầꢇꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉꢈꢚꢇꢍềꢂ∞ꢎềꢇꢂắꢂ
gọꢎꢂꢝꢀꢂðõꢇꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢇếꢌꢂꢆꢈỉꢂꢆꢘꢂữꢂꢉꢈꢀꢇꢈꢂꢐꢈầꢇꢂꢝꢎꢋꢇꢂꢉꢈꢚꢇꢍề
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
66
(hꢖꢇꢈꢂĩềữꢏấầꢂðõꢇꢂꢝꢎꢋꢇ
(hꢖꢇꢈꢂĩềữꢔấầꢂðꢏꢂꢝꢎꢋꢇ
Thí dụ 1: Vớꢎꢂỳậꢄờꢒấꢂụꢂꢄꢂ– y ; Q(x,y) = x. Vớꢎꢂắꢂꢝꢀꢂꢈꢖꢇꢈꢂꢉꢊꢦꢇꢂꢉꢟꢁꢂẫậếờếấꢂꢔꢅꢇꢂꢙꢞꢇꢈꢂữềꢂ
Biꢋꢇꢂũꢂꢆꢘꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈầꢂꢄụꢆꢜꢢꢉờꢂꢒụꢢꢎꢇꢉờꢂếꢂ t 2 .
Khi ðꢘầ
vꢀầ
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
2. Ứng dụng Ðịnh Lý Green ể tính diện tích phẳng
Trong cꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂỨꢊꢠꢠꢇờꢂꢝấꢒꢂỳꢂụ-y, Q= x, ta cꢘꢂầꢂ
67
Vậꢒꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢁꢎềꢇꢂắꢂꢔꢎꢋꢇꢂũꢂꢝꢀꢂầꢂ
Thí dụ 2: Tꢞꢇꢈꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢈꢖꢇꢈꢂừꢝꢝꢎꢐꢢꢠꢂầꢂ
Ta biếꢉꢂꢔꢎꢋꢇꢂꢈꢖꢇꢈꢂừꢝꢝꢎꢐꢢꢠꢂꢝꢀꢂðýờꢇꢍꢂừꢝꢝꢎꢐꢂꢐꢈýõꢇꢍꢂꢉꢊꢖꢇꢈꢂầꢂꢄꢂụꢂꢏꢆꢜꢢꢉờꢂꢒụꢂꢔꢢꢎꢇꢉờꢂế t 2
Theo cꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂỨꢊꢠꢠꢇờꢂꢆꢘꢂầꢂ
Thí dụ 3: Tꢞꢇꢈꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢈꢖꢇꢈꢂꢐꢈẳꢇꢍꢂꢔằꢇꢍꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢉꢊꢜꢇꢍꢂꢉọꢏꢂðộꢂꢆựꢆề
Ta cꢘꢂầꢂꢄụꢂꢊậ ) cos ; y= r( ) sin
Nꢋꢇꢂầꢂꢕꢄụꢂꢕꢊ’ậ ) cos - r( ) sin d ; dy= dr’ậ ) sin - r( ) sin d
Khi ðꢘꢂꢉừꢂꢆꢚꢇꢍꢂꢉꢈứꢆꢂỨꢊꢠꢠꢇꢂꢕꢎệꢇꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢁꢎềꢇꢂắꢂꢝꢀꢂầꢂ
IV. ÐIỀU KIỆN ÐỂ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI 2 KHÔNG PHỤ
THUỘC ÐÝỜNG LẤY TÍCH PHÂN
Thꢞꢂꢕụꢂ≤ꢂꢆꢈꢜꢂꢉꢈấꢒꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂꢈꢏꢎꢂ
khꢚꢇꢍꢂꢇꢈữꢇꢍꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂ
cꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂồờꢂửꢂꢁꢀꢂꢆꢦꢇꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢇốꢎꢂịꢂðꢎểꢁꢂồờửềꢂÐịꢇꢈꢂꢝꢓꢂꢢꢏꢌꢂꢆꢈꢜꢂꢔꢎếꢉꢂðꢎềꢌꢂ
kiệꢇꢂðểꢂꢉꢞꢆꢈꢂꢐꢈꢟꢇꢂðýờꢇꢍꢂꢝꢜạꢎꢂꢈꢏꢎꢂꢆꢈỉꢂꢐꢈụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢂðꢎểꢁꢂðầꢌờꢂðꢎểꢁꢂꢆꢌốꢎꢂꢛꢀꢂꢙꢈꢚꢇꢍꢂ
phụꢂꢉꢈꢌộꢆꢂꢛꢀꢜꢂꢆꢅꢆꢂꢆꢌꢇꢍꢂꢇốꢎꢂịꢂðꢎểꢁꢂðꢘề
Sưu tầm và chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng
Tải về để xem bản đầy đủ
47 trang
29/04/2022
6080
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A2 - Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_a2_chuong_3_tich_phan_duong_va_tich.pdf
