Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt - Nguyễn Bốn (Phần 1)
§¹i häc §µ N½ng
Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa
Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh
PGS, TS. NguyÔn Bèn
C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh
truyÒn nhiÖt
- §µ N½ng - 2001 -
2
Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt
1.1. §Þnh luËt Fourier
1.1.1. ThiÕt lËp
TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt
dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é
T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù
do trung b×nh λ .
z
T
T
λ
λ
1
2
y
* V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi
x
mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh
ωc¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau.
O
r
H1. §Ó chøng minh
®Þnh luËt Fourier
Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë
T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng:
1
d2n = no ω dS dτ
6
* L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ:
i
1
d2E1 = E 1 d2n = no ω dS dτ kT1
2
6
i
1
d2E2 = E 2 d2n = no ω dS dτ kT2
2
6
Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc:
1
ik
δ2Q = (E 1 - E 2)d2n = no ω dSdτ (T1 - T2)
6
2
dT
dx
⎛
⎜
⎞
⎟
λ
V× T1 - T2 = -
. 2 nªn
⎝
⎠
i
dT
δ2Q = - no k ϖ λ
dS dτ
6
dx
iR
i
i
R
N
1
µ
N
1
Do no k = no
= (no ) ( ) = ρco nªn
2µ
6
6
3
3
3
1
dT
dx
dT
dx
δ2Q = - ( ρco ω λ )
dS dτ = - λ
dS dτ
3
2
∂T
∂x
δ Q
⎛
⎝
⎞
⎟
hay
= q = - λ ⎜
⎠
dSdτ
* Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT
r
r
gradT
hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ q = - λ
1.1.2. Ph¸t biÓu:
Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é:
r
r
q
gradT
BiÓu thøc vect¬: = - λ
D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W]
1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt
HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT|
[W/mK]
Theo chøng minh trªn ta cã:
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
kT
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
1
p
8kT
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
λ = ρω λ cv =
Cv
⎜
2
2.πd p
3
3 RT
πm
k3T
cv
d2 π3m
2
=
cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑
3
hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m.
§Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ.
1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
z
1.2.1. §Þnh nghÜa:
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ
dV
ρ
C
ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét
q
λ
λ
q
ω
ph©n tè dv bªn trong vËt.
q
V
ω
y
1.2.2. ThiÕt lËp
x
LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ:
O
H2. CBN cho dV
4
[L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]=
[BiÕn thiªn entanpy cña dV]
Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng:
∂t
∂τ
r
q
qvdVdτ - div dVdτ = ρdV.cp
dτ
∂t
∂τ
qv
r
1
hay
=
-
div q , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ:
ρcp ρcp
r
r
r
r
r
gradt
r
q = q λ + q ω = - λ
+ ρωcpt,
r
r
gradt
do ®ã: divq = div (ρcp ωt- λ
), coi (ρ, cp) = const ta cã :
r
r
r
gradt
divq = ρcp div (tω) - div (λ
)
r
r
r
r
r
r
gradλ
gradt
gradt gradt
= ρcp (tdiv ω + ω
) - λdiv (
)-
.
r
r
r
r
r
2
gradλ
gradt
gradt
= ρcp (tdiv ω + ω
) - λ∇ t -
.
VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
∂t
∂τ
r
r
qv
r
r
r
λ
cpρ
2
gradt
gradt grad
=
- tdiv ω - ω.
+
∇ t + (
λ)/ρcp
ρcp
∂t
∂τ
∂t
∂τ
r
dt
r
dt dx dt dy dt dz
gradt
do
+ ω.
=
+
.
+
.
+
.
=
dx dτ dy dτ dz dτ
dτ
, sÏ lµ:
λ
ρCp
nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a =
qv
1
r
r
dt
r
= a∇2t +
r
+
gradt gradt
λ) - tdivω, víi:
ρcp
ρcp
dτ
r
r
r
grad
gradλ
gradt
vµ
λ,
lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬
gradt
.
∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng:
∂ t ∂2t ∂2t
2
⎧
+
+
(t
⎪
⎪
(trong täa ®é vu«ng gãc (xyz))
∂x2 ∂y2 ∂z2
2
∂2t ∂2t
r2 ∂ϕ 2 ∂z2
⎪
⎪
∂ t 1 ∂t
1
∇2t =
+ ⋅
+
⋅
+
(
⎨
⎪
⎪
⎪
∂r2
(trong täa ®é trô (rϕz))
r ∂r
2
∂ t 2 ∂t
∂2t
cosθ ∂t
∂2t
+
+
+
+
r2∂θ 2 r2 sinθ
r2 sin2 θ∂ϕ 2
2
(trong täa ®é cÇu (rθϕ))
⎪
⎩
r ∂r
∂θ
∂r
1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
r
* Víi vËt r¾n, ω = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
5
r
∂t
∂τ
r
qv
1
= a∇2t +
+
gradλ
gradt
.
ρcp
ρcp
∂t
∂τ
qv
* VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ:
= a∇2t +
ρcp
∂t
∂τ
* VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt
= 0, ph−¬ng tr×nh lµ:
qv
a∇2t +
= 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0.
λ
1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T)
1.3.1. §Þnh nghÜa:
§K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt
nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh.
1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T:
Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau:
1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c
®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ.
2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo
nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V).
3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i
mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V.
4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n
b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt:
t = t(M, τ) hoÆc
∀M (x, y, z) ∈ V
∀τ ∈ ∆τ xÐt
r
gradt
= f(M, τ, t)
1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB)
T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n
bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y:
1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈
W1 ë mäi thêi ®iÓm:
6
t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ
∂t
∂n
2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,
τ
) = -
λ
,
∂t
∂n
−1
λ
tøc cho biÕt
=
q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ.
∂t
∂n
Khi
= q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ
biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp
tuyÕn n»m ngang.
3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶
nhiÖt ra chÊt láng theo luËt:
-λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt
gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ.
4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n
kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt
cã d¹ng :
∂t(M4 )
∂n
∂t4 (M4 )
∂n
-λ
= λ4
vµ t(M4) = t4 (M4)
5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng,
do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi
chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc
®ang biÕn d¹ng:
t
dx
5
dτ
dx5
∂t'
∂n
∂t(M5 )
∂n
∂t '
∂n
∂t
∂x
-λ
-λ
= rcρ
- λ'
(M5),
-λ
dτ
dx5
-rcρ
dx5
x
x
dτ
víi rc = nhiÖt chuyÓn pha;
dτ
0
x5
H3. CBN trªn biªn W5
= vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng
riªng pha míi.
1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB
D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W,
7
tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y:
§−êng cong
W C¸ch cho §KB
ý nghÜa h×nh häc
t(M,τ)
w
t
t(M) ®i qua mét ®iÓm cè
1
2
tw = const
M
®Þnh Mo ∈W
o
V
x
t
∂tw
= 0
∂n
t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch
nhiÖt
q = 0
V
β
= 0x
W
∂tw
∂n
C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i
W song song, gãc β = const
= const
β
= const
V
x
W
C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i
∂tw
∂n
R
tf
tf − tw
λ / α
λ
W3 qua ®iÓm R( , tf)
α
=
3
4
5
λ
α
V
x
W
∂tow
λ ∂x
tW = t4W
λ4
∂tw
∂n
γ
V
o
t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi
=
t¹i W4 vµ γ = const
V
x
∂tw
∂n
dx5
W5 di chuyÓn víi tèc ®é
-λ
= re ρ
δt'w
dτ
dx5
dx5
ω =
dτ
- λ
V
dτ
x
δn
H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB
1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt
M« h×nh to¸n häc cña mét bµi
to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng
8
tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh
vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m«
t¶ c¸c §K§T nh− sau:
t (M, )
τ
W5
w1
W
1
dx
dτ
ρ,c,λ,qv
qv
rcf
∂t
∂τ
= a∇2t +
vµ
∂w2
-1
q(M, )
τ
∂x
ρc
(t) =
M
W
2
qv
∂
∂
c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T.
t
∂
= a∇2t +
∂
∂
∂τ
ρ
c
Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn
nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i
hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ)
tho¶ m·n hÖ (t).
W
4
W
3
H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN
9
Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch
2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm:
2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch
ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn
tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng
c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè.
C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng
thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶
c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN
- §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ
thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const,
còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0.
α
λ
- VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - t(0,τ) lµ TN
qv
−α
λ
tτ = a∇2t + , tx (L, τ) =
[t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN
ρc
NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do,
nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt.
2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm
NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt
n
(tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = C t còng lµ
∑
i
i
i=1
nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const
2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸
- §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c
biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø
nguyªn.
- Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch
10
gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i
l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸
c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt.
- VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m«
h×nh:
⎧
∂t
∂τ
t(x,0) = t
∂2 t
t − tf
to − tf
⎧
⎪
⎪
⎪
= a
(TN) (FT)
θ =
⎪
⎪
∂x2
(DKD)
⎪
⎨
o
x
δ
(t)
§æi biÕn X =
⎨
tx (0,τ) = 0
(TN) (Wo )
⎪
⎪
⎪
⎪
− α
aτ
t (δ,τ) =
[t(δ,τ) − tf ] (0TN) (W3 )
⎪
⎩
x
F =
δ2
⎪
λ
⎩
αδ
λ
vµ ®Æt B =
∂θ
∂F
∂t ∂θ ∂F
∂τ ∂θ ∂F ∂τ
∂t
a
th× do
=
. . = (to - tf)
.
2
δ
∂θ
∂t
∂θ
∂t
to − tf
∂X
∂x
= .
.
=
.
∂x ∂θ ∂X
∂X
∂θ
δ
∂2t
∂
∂2θ
∂X 2
∂t
∂X
∂
to − tf
to − tf
=
(
) =
. (
.
)
=
∂x2
∂x
2
∂x
∂X
∂X ∂x
δ
δ
to − tf
δ
− α
λ
tx (δ, τ) =
θx (1, F) =
[t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ
−αδ
λ
θx (l, F) =
θ [1, F] = Bθ(1,F)
a
δ2
∂2θ
∂X 2
∂θ
∂2t
to − tf
∂t
∂τ
= (to- tf)
= a
= a
.
cã d¹ng ®¬n gi¶n
δ2
∂F
∂x2
∂θ
∂F
∂2θ
∂X 2
h¬n lµ
=
. Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n
kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ:
11
∂θ ∂2θ
=
⎧
⎪
∂F ∂X 2
⎪
⎪
θ(X ,0) =1
⎨
(θ)
⎪
θx (0, F) = 0
(TN)
⎪
⎪
θx (1, F) = −Bθ(1, F) (TN)
⎩
Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt.
2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier
2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier
Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa
®é víi mét hµm cña thêi gian.
Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ
hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng.
Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn
nhÊt.
2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt
C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn
Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm
tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm.
§ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn.
2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3)
1. Ph¸t biÓu bµi to¸n:
Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt
t
t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ)
2. M« h×nh TH:
to
t = at
⎧
⎪
τ
xx
a
λ
α
t(x,0) = to
tx (0,τ) = 0
tf
⎪
⎪
q = 0
W2
t(x, )
τ
(t)
⎨
⎪
⎪
W3
− α
λ
x
tx (δ,τ) =
[t(δ,τ) − tf ]
⎪
⎩
δ
O
B»ng c¸ch ®æi biÕn:
H6. Bµi to¸n (2.2.2)
12
t − tf
to − tf
x
aτ
αδ
λ
θ =
, X = , F = , B =
sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
δ
δ2
(θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸:
θ = θ
⎧
F
xx
⎪
θ(x,0) =1
⎪
(θ)
⎨
θx (0, F) = 0
⎪
⎪
θx (1, F) = −Bθ(1, F)
⎩
3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F).
X"(X)
F"(F)
Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay
=
= -k2
X(X)
F(F)
(do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng:
2
⎧
⎪
⎪
⎩
X"(X) +k X(X) = 0 → X(X) = c sin kX + c cos kX
1
2
⎨
2
−k2F
F'(F) +k F(F) = 0 → F(F) = e
2
F
NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX)e−k
4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T
2
F
θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0)e−k = 0 →
2
F
c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX e−k
2
cotgk
F
θx(1,F) = (-kc2sin0)e−k =
k
B
2
cosk
F
-Bθ (1,F)= -Bc2 coske−k →
sin k
k
k
π
2π
3π
4π
= cotgk = , ph−¬ng tr×nh nµy cã
O
k1
k4
k5
k2
k3
B
v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c
k
nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã
H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k =
B
2
i
−k
F
d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX.e ,
2
F
i
∞
nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = c cosk Xe−k
∑
i
i
i=1
- §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑c cosk X=1 → cosk X ∞ c cosk X =
∑
i
i
i
i
i
1
1
1
sinki
ki
coski XdX
cos k X c cos k XdX
i i i
coskiX →
=
=
=
∑
∫
∫
0
0
13
1
4sin ki
2ki + sin 2ki
→ ci =
4ki
cos2 k XdX
ci
= ci
i
∫
2ki + sin 2ki
0
VËy nghiÖm bµi to¸n lµ:
∞
2
F
i
sin ki
θ(X,F) = 4
cos(kiX)e−k
∑
2ki + sin 2ki
i=1
* §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng:
t
θ
F=0
F = 0
to
1
1
τ
= 0
2
2
3
4
3
4
5
6
5
τ ∞
=
R
x
tf
∞
F =
x
δ
O
1
H8. Ph©n bè θ(X,F)
H9. Ph©n bè t(x, τ)
2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh
2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§
§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn
®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0
2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§
Gåm c¸c b−íc sau:
θ
1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn
®Þnh, theo ph−¬ng tr×nhθ F = 0 = θxx
2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc
bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt.
3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau
®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v
2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1)
1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ
14
t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ)
* M« h×nh TH:
t
t = at
⎧
τ
xx
⎪
⎪
⎨
W'
t(x,0) = t
1
o
(t)
t(0,τ) = 2to
t(δ,τ) = to
⎪
2to
to
⎪
⎩
λ
a,
t − to
to
⎧
⎪
⎪
⎪
θ =
W
1
t(x, )
τ
x
δ
x
ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt X =
⎨
⎪
⎪
δ
O
aτ
F =
δ2
H10. Bµi to¸n (2.3.3)
⎪
⎩
bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau:
θ = θ
⎧
F
xx
⎪
⎪
⎨
θ(X,0) = 0
(θ)
. Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt
θ(0,F) =1
⎪
⎪
⎩
θ(1, F) = 0 (0TN)
nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§
2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh:
⎧θ = 0 = θxx → θ = c1X + c2
⎪
(θ ) θ(1) = 0 = c + c
→ θ =1− X
⎨
1
2
⎪
θ(0) =1= c2
⎩
3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n
(θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau:
⎧vF = θF = θxx = vxx − θxx = vxx
⎪
v(x,0) = θ(X,0) − θ(X) = X −1
⎪
⎨
(v)
v(1,F) = θ(1,F) − θ(1) = 0 − 0 = 0
v(0,F) = θ(0,F) − θ(0) =1−1= 0 (TN)
⎪
⎪
⎩
4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù
nh− bµi to¸n 2.2.2:
- T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ:
15
2
F
v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx)e−k
2
F
- Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 e−k = 0 → c2 = 0
2
→ v(X,F) = c1sinkXe−k
F
2
F
Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sinke−k = 0 → sin k = 0 → k = nπ
∞
2
→ v(X,F) = c sin(nπX) e(nπ)
F
∑
n
n=1
- Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∞ c sin(nπX)→
∑
n
x=1
1
1
∞
1
cn
− 2
nπ
(X −1)sin(nπX)dX = sin(nπX) c sin(nπX)dX → - = → c =
→
∑
∫
∫
0
n
n
n=1
0
nπ
2
2
2
sin(nπX)
F
nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = -
e(nπ) . Do ®ã,
∑
π
n
nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F)
2
∞
sin(nπX)
θ(X,F) = (1-X) -
exp (-n2π2F)
∑
n=1
π
n
* Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng:
θ
t
2to
1
2
1
2
1
τ= 0
to
x
x
O
F = 0
1
δ
O
H11. Ph©n bè θ(X,F)
2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
2.4.1. Ph¹m vi sö dông:
H12. Ph©n bè t(x, τ)
Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi:
- Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh
θ
- hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh nh−ng kh«ng t×m ®−îc
- Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn.
16
2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS
Gåm c¸c b−íc sau:
1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c
§KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ).
2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K
biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong
®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao:
1 φ (X)φ (X)dX
0 khi m ≠ n
c khi m = n
⎧
⎨
⎩
∫
=
n
m
0
∞
A (F)φ (X)
∑
3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) =
n
n
n=1
vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F)
nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X):
1
1 φ (X)φ (X)dX
∞
θ(X,F)φm (X)dX
A (F)
∑
=
= cAn(F) tøc cã quan
∫
n
m
n
∫
n=1
0
0
1 θ(x,F)φ (X)dX
1
∫
hÖ An(F) =
n
0
c
d
4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh An(F),
dF
t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
∞ φ (X)A (F)
∑
5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) =
n
n
n=1
2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20)
1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã
t
δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0,
to
τ) = - .
δ
to
λ
q =
δ
t
to
q = 0
(tx = - )
T×m t(x, τ)
x = 0
δ
x
a,
t( ,0)
to=
λ
x
δ
O
17
t = at
⎧
⎪
τ
xx
t(x,0) = to
tx (0,τ) = −
tx (δ,τ) = 0
⎪
⎪
* M« h×nh TH: (t)
⎨
⎪
⎪
to
δ
⎪
⎩
x
t − to
aτ
δ
chuÈn ho¸ víi θ =
, X = , F =
, sÏ cã:
2
δ
to
θ = θ
⎧
F
xx
⎪
θx (1, F) = 0
(TN)
⎪
⎪
δ
⎨
(θ)
θx (0, F) = tx (0,τ ) = −1 (0TN)
⎪
to
θ(X ,0) = 0
⎪
⎪
⎩
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS:
1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ):
v = v
⎧
F
xx
⎪
⎪
⎨
v (1,F) = 0
x
(v)
(TN)
vx (0,F) = 0
v(X,0) = 0
⎪
⎪
⎩
2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng
c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã
X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX
v (0,F) = 0 → X (0) = 0 = c → X(x) = c coskX
⎧
⎨
⎩
x
x
1
2
vx (1,F) = 0 → Xx (1) = 0 = −kc2 sin k → k = nπ
Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) =
cos(nπX).
3) §Ó θ(X,F) = A (F)φ (X)= ∞ A (F)cos(nπX) lµ nghiÖm bµi to¸n
∞
∑
∑
n=1
n
n
n
n=1
(θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña
hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi
cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]:
18
A (F), khi n = 0
⎧
⎪
⎨
o
1 θ(X,F)cos(nπX)dX = A (F)1 cos2 (nπX)dX =
∫
∫
0
1
n
0
An (F),∀n ≠ 0
⎪
⎩2
Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ:
1
⎧
A (F) = θ(X,F)dX
∫
o
⎪
⎨
⎪
⎩
0
1
(A )
n
A (F) = 2 θ(X,F)cos(nπX)dX,∀n ≠ 0
∫
n
0
4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh
d
An(F) theo hÖ (An):
dF
1
1
dAo (F)
dF
1
- Khi n=0,
= θ dX = θ dX =θ = θ (1,F) - θ (0,F) = 0 -
∫ ∫
0 0
x
x
x
F
xx
0
(-1) = 1 → Ao(F) = F + c1
1
§iÒu kiÖn ®Çu cho A (0) = θ(X,0)dX = 0 = c ⇒ A (F) = F
∫
o
1
o
0
= 21 θ cos(nπX)dX = 21 θ cos(nπX)dX ,
dAn (F)
dF
- khi ∀n ≠ 0, cã:
∫
∫
0
F
xx
0
1
(ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 {[θx cos(nπX)]|10 + nπ θx sin(nπX )dX }=
∫
0
1
2{1+2π [θsin(nπX) |10 - nπ
θcos(nπX)dX]}
∫
0
An (F)
= 2{1-n2π2
} → ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ:
2
A'n = 2 - n2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) =
1
2
2
−(nπ)
F
+ c1 e
. §iÒu kiÖn ban ®Çu cho A (0) = 2 θ(X,0)cos(nπX)dX →
∫
0
n
(nπ)2
2
2
n2π2
2
2
2
F
e−(nπ)
+ c1 = 0 → c1 = -
, do ®ã: An(F) =
-
(nπ)2
n2π2 n2π2
5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) +
∞
∞
∞
2
cos(nπX)
2
2
cos(nπX)
A (F)cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F +
-
.
∑
∑
∑
n
2
n=1
n=1
π
n2
π
n2
n=1
19
∞
2cos(nπX)
π2n2
1
1
exp(-n2π2F) hay, do tæng
= X2 - X + , cã:
∑
n=1
2
3
∞
1
1
2
π2
cos(nπX)
θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) -
exp(-n2π2F)
∑
2
3
n2
n=1
* Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng:
θ
t
q=0
q=0
1
3
3
2
1
2
1
to
x
τ
=0
x
F=0
O
1
O
1
δ
H14. Ph©n bè θ(X,F)
H15. Ph©n bè t(x,τ)
Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng:
∞
2
n2π a
δ
cos(nπx / δ)
1
1
3
aτ 2
t(x,τ) = to(
x2- x+ ) + to[ - ∑
exp (-
τ)]
n2
2
2
2
2
2δ
δ
4
δ
π
n=1
2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu
C¸c bµi to¸n nhiÒu chiÒu kh«ng æn ®Þnh cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng
ph¸p t¸ch biÕn lÆp, hoÆc ph−¬ng ph¸p quy vÒ nhiÒu bµi to¸n kh«ng æn
®Þnh mét chiÒu.
2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp
2.5.1.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp gåm c¸c b−íc:
1. T¸ch riªng biÕn thêi gian t×m hµm thêi gian F(F)
2. LÇn l−ît t¸ch c¸c biÕn to¹ ®é vµ t×m c¸c nghiÖm riªng theo tõng
to¹ ®é.
3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T vµ biÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n
z
ë d¹ng tÝch c¸c nghiÖm thu ®−îc.
2.5.1.2. VÝ dô: Bµi to¸n trô v«
h¹n biªn W1 víi ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t
t(ρ,ϕ,0)
= g(ρ,ϕ)
* Ph¸t biÓu BT: Cho trô l=∞ cã a, t
(R, ϕ,τ) = t1 vµ §K§ bÊt kú t(ρ,ϕ,0) =
g(ρ,ϕ). T×m tr−êng nhiÖt ®é t(ρ,ϕ,τ).
t1
t
a
ρ
ϕ
R
O
H16. Bµi to¸n trô tæng qu¸t
20
Tải về để xem bản đầy đủ
64 trang
17260
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt - Nguyễn Bốn (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_cac_phuong_phap_tinh_truyen_nhiet_nguyen_bon_phan.pdf
