Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Động lực học - Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ - Nguyễn Duy Khương
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
NỘI DUNG
1. Khái niệm cơ bản
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Liên kết và cơ hệ không tự do
Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không phụ
thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển động.
Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những
hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay
vật rắn thuộc hệ và thời gian. Người ta gọi đó là những phương trình
liên kết và viết dưới dạng:
JG JJG
k = 1, 2,3...
j = 1, 2,3...
⎧
⎨
⎩
f j r ,V ,t ≥ 0
(
k
k
Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự
của các hệ thức biểu thị các liên kết.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
1
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ
1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên
kết đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const với MN là khoảng
cách của cặp điểm M, N bất kì thuộc vật.
N
M
2- Hệ tay quay thanh truyền như hình
A
y
JJJG
G
JJJG JJJJG
2
r0(1) ≡ 0, rA(1) ≡ rA(2)
1
JJJG JJJG
x
3
yB(3) ≡ 0, rB(1) ≡ rB(3)
O
Cơ hệ không tự do
B
Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu các liên kết được biểu diễn bằng
biểu thức
JG JG
JG JG JJG
JJG
n
f j r , r ,..., r ;V ,V ,...,V ;t ≥ 0
(
1
2
n
1
2
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ
Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập di chuyển vô cùng bé của
các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn
thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.
Để phân biệt dị chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu
như sau
JG
d r
}
Di chuyển thực vô cùng bé :
Di chuyển khả dĩ:
k
JG
δ r
k JG
δ r
k
Tại mỗi vị trí cơ hệ có vô số DCKD
lập tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình. Ta có thể chọn
trong tập
. Các DCKD này không độc
JG
δ r
một hệ vector cơ sở các DCKD độc lập tuyến tính.
{
k
Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập
bằng với số bậc tự do của cơ hệ
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
2
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Tọa độ suy rộng
Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:
s = dof = 3N − R
Tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính vừa đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi
là hệ đầy đủ, kí hiệu là {q1, q2, q3,…, qn}
Ví dụ
⎨
⎩
1
q1 ≡ ϕ
q2 ≡ψ
ϕ
ϕ
A
A
B
ψ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ
θ
sD
D
γ
ϕC
ψ
C
Con lăn lăn không trượt
ϕ
≡
≡
⎨
⎩
⎪
1
D
1
B
dof = 5
q2 ≡ ϕC
q2 ≡ψ
⎪
⎪
A
q ≡ θ
⎨
⎪
⎪
3
q4 ≡ s
q ≡ γ
⎪
⎩
5
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
3
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Lực suy rộng
JJG
(F a )
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động
Cho cơ hệ thực hiện một DCKD
công trên độ dời đó:
.
k
JJ
JG
{δ rk }
(Fka )
, các lực
sẽ thực hiện
N
N
JJG
JG
δ A =
F a .δ r
∑
∑
k
k
k
k =1
k =1
Được gọi là công khả dĩ. Chọn hệ tọa độ suy rộng {qi}, i=1,n
JG
n
JG
JG
∂rk
qi
⇒ δ r = δ r (q , q ,..., q ) =
δ qi
∑
k
k
1
2
n
JG
i=1
JG
n
N
JJG
N
N
JJG
n
⎛
⎜
⎞
⎟
⎠
∂rk
∂rk
∂qi
=
F a
δ q
⇒
⇒
δ A =
F a
δ qi
∑ ∑
k
i
∑
k =1
N
∑ ∑
k
k
∂qi
i=1
k =1
k =1
i=1
⎝
JG
N
JJG
n
∂rk
∂qi
Q =
F a
Với
δ A =
Q δ q
∑
i
k
∑
∑
k
i
i
k =1
k =1
i=1
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
JG
Cách tính lực suy rộng
N
JJG
k
∂rk
∂qi
a
i
k =1
Các DCKD phải độc lập tuyến tính
2 – Áp dụng tính công khả dĩ
còn
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho: δ qj ≠ 0(δ qj > 0)
δ qi = 0
N
n
⇒
δ A =
Q δ q = Q δ q
∑
∑
k
i
i
j
j
k =1
i=1
Hệ số tính công chính là hệ lực suy rộng tương ứng
3 – Áp dụng tính công khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế
∂Π
∂qi
Qi = −
Là công của lực có thế
Π
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta
có thể tính
∂Π
∂qi
Qi = −
+ Qi (luc khong the)
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
4
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b
⎨
⎩
1
x
O
q2 ≡ψ
I
Sử dụng định nghĩa
JG
ϕ
N
JJG
A
∂rk
Q =
F a
∑
H
i
k
∂qi
k =1
P
B
JJG JG
JJG JG
JJG JG
F ≡ P(0, P) F2 ≡ Q(0,Q) F3 ≡ F (F,0)
1
JG JG
G
G
Q
r ≡ r = a sinϕi + a cosϕ j
1
I
JG JJG
r2 ≡ rH = (2a sinϕ + bsinψ )i + (2a cosϕ + b cosψ ) j
JG JG
r ≡ rB = (2a sinϕ + 2bsinψ )i + (2a cosϕ + 2b cosψ ) j
G
G
G
G
3
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Tính các đạo hàm riêng
JG
JG
JG
JG
G
G
1
1
1
1
=
= a cosϕi − a sinϕ j
=
= 0
∂q1 ∂ϕ
∂q2 ∂ψ
JG
JG
JG
JG
G
G
G
G
∂r2 ∂r2
=
∂r2 ∂r2
=
= 2a cosϕi − 2a sinϕ j
= b cosψ i − b sinψ j
∂q1 ∂ϕ
∂q2 ∂ψ
JG
JG
JG
JG
G
G
G
G
∂r
∂r
∂r
∂r
3
3
3
3
=
= 2a cosϕi − 2a sinϕ j
=
= 2b cosψ i − 2b sinψ j
∂q1 ∂ϕ
∂q2 ∂ψ
JJG JG
JJG JG
JJG JG
F ≡ P(0, P) F2 ≡ Q(0,Q) F3 ≡ F (F,0)
1
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
JG
3
JJG
∂rk
Q ≡ Q =
F a
∑
1
ϕ
k
∂ϕ
k =1
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
5
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
JG
3
JJG
rk
Q ≡ Q =
F a
= [0× a cosϕ + P × (−a sinϕ)]
+[0× 2a cosϕ + Q × (−2a sinϕ)]
+[F × 2a cosϕ + 0× (−2a sinϕ)]
∑
1
ϕ
k
∂ϕ
k =1
⇒ Q1 = −aP sinϕ − 2aQ sinϕ + 2aF cosϕ
JG
3
JJG
∂rk
F a
Q ≡ Q =
∑
2
ψ
k
∂ψ
k =1
+[0× b cosψ + Q × (−b sinψ )]
+[F × 2b cosψ + 0× (−2a sinψ )]
⇒ Q2 = −bQ sinψ + 2bF cosψ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
sD
Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lập
E
q ≡ s
⎧
⎨
⎩
1
D
D
q2 ≡ ϕC
ϕC
Tính Q1
PD
C
Cho hệ DCKD với
(Ròng rọc C không quay)
δ q1 > 0,δ q2 = 0
JJG
JJG
JJG
δ A(1) = δ A(PA ) + δ A(P ) + δ A(PD )
B
∑
k
B
PB
A
+δ A(M )
δ sD
rE
= PAδ sD + P δ sD − PD sinαδ sD + M
PA
B
M
= (PA + P − PD sinα + )δ sD
B
rE
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
6
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
M
⇒
δ A(1) = (PA + P − PD sinα + )δ q1
∑
k
B
rE
M
rE
⇒ Q1 = PA + P − PD sinα +
B
Tính Q2
Cho hệ DCKD với
(Con lăn D đứng yên)
δ q1 = 0,δ q2 > 0
JJG
JJG
JJG
δ A(2) = δ A(PA ) + δ A(P ) + δ A(PD ) + δ A(M )
∑
k
B
= PArCδϕC − P rCδϕC + 0 + 0 = (PA − P )rCδϕC
B
B
⇒
δ A(2) = (PA − P )rCδ q2
∑
k
B
⇒ Q2 = (PA − P )rC
B
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Liên kết lý tưởng
Cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công của tất cả các
phản lực liên kết đặt vào cơ hệ trên mọi DCKD đều bằng 0
N
JJG JG
δ A =
R δ r = 0
∑
∑
r
k
k
k =1
Trong thực tế các hệ gồm vật rắn, dây mêm không dãn, bỏ qua ma
sát đề là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
7
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12
22/5/2009
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ
Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý
tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực
hoạt động trên mọi DCKD kể từ vị trí đó đều bằng không
N
r
JJG JG
F δ r =
Q δ q = 0
∑
∑
k
k
i
i
k =1
i=1
Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được
Qi = 0
Các loại bài toán áp dụng nguyên lý DCKD
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
8
8 trang
25000
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Động lực học - Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ - Nguyễn Duy Khương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_hoc_ly_thuyet_phan_3_dong_luc_hoc_chuong_13_ngu.pdf
