Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Lê Văn Dực
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Chương 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤT
2.1 Khái niêm :
Tĩnh học lưu chất:
- Lưu chất ở trạng thái cân bằng: (i) cân bằng tuyệt đối: đối với hệ tọa độ gắn liền với mặt đất;
(ii) Cân bằng tương đối: đối với hệ tọa độ gắn liền với vật chuyển động.
- Không có thành phần ứng suất tiếp → áp lực thủy tĩnh tác dụng vuông góc với thành rắn hoặc
mặt phân chia.
- Ta có thể xét khối thể tích lưu chất nằm trong mặt kiểm tra kín → áp dụng định luật Newton II
: “Tổng lực hoặc moment của ngọai lực tác dụng vào khối thể tích lưu chất cân bằng sẽ là
không” → tìm ra phương trình vi phân cân bằng → tích phân ta đạt được phương trình cân
bằng của lưu chất.
2.2 Áp suất thủy tĩnh :
2.2.1 Định nghĩa :
Xét một mặt phẳng phân cách trong môi trường chất lỏng hoặc thành rắn, áp suất thủy tĩnh p
tại một điểm M trong mặt này là giới hạn áp lực pháp tuyến do chất lưu tác dụng lên một đơn
vị diện tích bao quanh điểm đó, khi diện tích này tiến tới không.
9 Áp suất trung bình:
r
r
ΔF
ΔA
ptb
=
(2.1)
(2.2)
9 Áp suất tại một điểm:
r
9 Áp suất thủy tĩnh phụ thuộc vào không gian: p = f [M(x,y,z)].
2.2.2 Tính chất :
9 Áp suất thủy tỉnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực & hướng vào bên trong, nếu là
áp suất tuyệt đối hoặc áp suất dư dương.
9 Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ không phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích
chịu lực. Tham khảo sự chứng minh tính chất này ở mục 1.14 công thức (1.21), với p = σn.
2.2.3 Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không :
9 Áp suất tuyệt đối là áp suất được định giá trị trên cơ sở áp suất chân không tuyệt đối :
p tuyệt = 0 ⇔ áp suất ở điều kiện chân không tuyệt đối.
9 Đặt pa là gốc áp suất, thường là áp suất khí trời, áp suất dư được định nghĩa như sau:
19
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
(2.3)
(2.4)
Nếu như pdư < 0, đặt:
Với pa là áp suất khí trời pck được gọi là áp suất chân không.
Lưu ý: áp suất chân không chỉ được định nghĩa khi áp suất dư âm, hoặc áp suất tuyệt đối nhỏ
hơn áp suất khí trời.
2.2.4 Thứ nguyên và đơn vị :
[F]
Thứ nguyên của áp suất: [p] =
= ML-1T-2
[A]
Trong hệ SI, áp suất có đơn vị là N/m2 ( Pa ), các đơn vị khác là at, kgf/cm2, mH2O, mDầu,
mmHg…
1 at = 1 Kgf / cm2 ≈ 10 m H2O ≈ 735 mm Hg ≈ 9,81x104 Pa
2.3 Phương trình vi phân cơ bản tĩnh học lưu chất :
z
F
E
F
A
B
∂p
{p(x, y, z) + .δx}.(δy.δz)
∂x
p(x, y, z).(δy.δz)
δz
H
G
δy
y
D
C
δx
x
H.2.1
r
Giả sử môi trường lưu chất chịu tác dụng của lực khối lượng có vectơ đơn vị là F =(Fx, Fy, Fz). Vì
khối chất lỏng đang ở trạng thái cân bằng, áp dụng định luật Newton II, ta có:
r
r
∑ F = 0
⇒
∑ Fx = 0
20
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Xét hình chiếu vectơ lực lên trục OX :
- Lực khối :
ρ.δx.δy.δz.Fx
- Lực mặt :
∂p
∂x
∂p
∂x
+p(x,y,z).(δy.δz) – { p(x,y,z) +
- Tổng hình chiếu của lực :
.δx}.(δy.δz) = -
.δx.δy.δz
∂p
ρ.δx.δy.δz.Fx - .δx.δy.δz = 0
∂x
∂p
ρ.Fx - = 0 ⇔
∂x
∂p
∂x
=ρ.Fx
(2.5a)
Chứng minh tương tự cho hình chiếu lực lên các trục OY, OZ →
∂p
= ρ.Fy
∂y
(2.5b)
(2.5c)
∂p
= ρ.Fz
∂z
Từ các phương trình (2.5a, 2.5b & 2.5c) →
r
r
grad (p)= ρ. F
(2.6)
Nhơn (2.5a) cho dx, (2.5b) cho dy và (2.5c) cho dz, rồi cộng lại ta được :
∂p
∂x
∂p
.dx + .dy + .dz = ρ.(Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz)
∂y ∂z
∂p
∂p
∂p
∂p
Mà
hay
dp = .dx + .dy + .dz
∂x ∂y ∂z
(2.7)
(2.8)
Phương trình (2.8) chỉ ra rằng vế phải phải là một vi phân toàn phần của một hàm số lực chỉ phụ
thuộc vào tọa độ U(x,y,z). Đặt : U(x,y,z) = -π (x,y,z). Hàm số π (x,y,z) được gọi là hàm số thế.
Phương trình (2.8) trở thành:
dp
= dU = - dπ
ρ
21
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Với :
(2.9a)
(2.9b)
Hoặc viết dưới dạng vectơ :
r
r
r
F = grad (U) = - grad (π)
Lực thỏa điều kiện (2.9a & 2.9b) được gọi là lực có thế (chẳng hạn trọng lực, lực quán tính).
Vậy lưu chất chỉ có thể đứng cân bằng khi lực khối lượng tác dụng là loại lực có thế
Phương trình (2.6) được viết lại là :
r
r
ρ. grad (π) + grad ( p)= 0
(2.10)
2.4 Tĩnh học tuyệt đối (lưu chất cân bằng trong trường trọng lực) :
r
Xét hệ tọa độ Descartes có OXY là mặt phẳng nằm ngang, OZ thẳng đứng hướng lên. Lực khối F
(Fx, Fy, Fz) của trường trọng lực có giá trị như sau:
Fx = 0 ; Fy = 0 & Fz = -g
Thế vào (2.9a):
(2.11)
∂π
∂z
Fz = -
= -g → vì π chỉ phụ thuộc z nên: dπ = g. dz → π = g. z + C
ở z = zo → đặt π = πo → π = g. (z- zo) + πo
Nếu cho zo = 0 và πo =0, ta suy ra π = g.z, do đó:
r
r
→
F = - grad (g.z)
(2.12)
2.4.1 Phương trình thủy tĩnh (Phương trình cơ bản tĩnh học của lưu chất không nén được) :
r
Thế giá trị của lực khối F (Fx, Fy, Fz) với Fx = 0 ; Fy = 0 & Fz = -g vào p/t (2.8), ta được :
dp
= - g. dz → p = -ρ.g.z + C
ρ
Tại z = zo, → cho p = po → p = po + ρ.g.(zo – z)
Hay
(2.13a)
22
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
(2.13b)
p
p *
Z : độ cao điểm xét so với mặt chuẩn (vị năng); : độ cao đo áp (áp năng);
: cột áp thủy tĩnh
γ
γ
(thế năng).
Hệ quả :
a) Mặt đẳng áp là mặt phẳng nằm ngang: p = const → z = const
b) Nếu ta có nhiều chất lỏng không hòa tan, khối lượng riêng khác nhau, đựng chung trong một
bình thì → Mặt phân chia giữa các chất lỏng là những mặt phẳng nằm ngang; chất lỏng nào
nặng hơn nằm bên dưới.
H.2.1.a
c) Độ chênh áp suất ΔpAB = pB - pA giữa hai điểm bất kỳ A và B (điểm A ở trên, B ở dưới) trong
cùng một lưu chất chỉ phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa hai điểm đó.
p A
p B
p B − p A
+ z A =
+ z B
⇒
= ( z A − z B ) = hAB
γ
γ
γ
ΔpAB = γ.hAB
hay
(2.14a)
(2.14b)
hAB : độ sâu của điểm B so với điểm A.
Hoặc:
23
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
d) Định luật Pascal:
“Trong lưu chất không nén được, liên tục, ở trạng thái cân bằng trong trường trọng lực, độ tăng
áp suất tại một điểm sẽ được truyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm trong lưu chất đó”.
CM : Ta có : pB = pA + γ.h ⇒ khi ở A áp suất tăng lên một lượng Δp, thì áp suất ở B trở thành:
p’B = (pA + Δp) + γ.h = (pA + γ.h) + Δp = pB + Δp.
Nghĩa là ở B cũng tăng lên một giá trị tương tự tại A là Δp.
2.4.2 Phương trình khí tĩnh (phương trình cơ bản của lưu chất nén được ) :
+ Lưu chất nén được → có khối lượng riêng ρ là hàm số theo áp suất và nhiệt độ: ρ = f (p, T).
Phương trình trạng thái của khí lý tưởng (xem mục 1.10), cho ta:
(2.15)
Với
R : hằng số khí lý tưởng, T nhiệt độ tuyệt đối.
+ Xét lực khối lượng là trọng lực :
Xét hệ tọa độ Descartes có OXY là mặt phẳng nằm ngang, OZ thẳng đứng hướng lên. Lực khối
r
F (Fx, Fy, Fz) có giá trị như sau :
Fx = 0 ; Fy = 0 & Fz = -g
Thế vào phương trình (2.8)
dp
= -g.dz → dp = -ρg.dz
ρ
z2
→
p = −
ρ g.dz
∫
z1
Nếu biết ρ = ρ(z), g = g(z), p1 , z1 và z2 , ta có thể tìm được giá trị của p2.
Ta cũng đạt được phương trình (2.12):
r
r
F = - grad (g.z)
Đối với chất khí, mặt đẳng áp cũng là những mặt phẳng nằm ngang.
2.4.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh :
a) Áp kế :
+ Áp kế tuyệt đối:
Dùng để đo áp suất tuyệt đối của lưu chất dựa trên áp suất p=0 ở điều kiệu chân không tuyệt
đối. Ví dụ áp kế đo áp suất tuyệt đối của khí trời bằng cột thủy ngân (H.2.2).
24
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
H.2.4
H.2.2
H.2.3
+ Áp kế tương đối :
Dùng để đo áp suất tương đối của lưu chất so với áp suất khí trời, bao gồm áp suất dư và áp
suất chân không (H.2.3 & H.2.4).
+ Áp kế đo chênh có 1 chất lỏng :
A
B
khi'
M
h
N
H.2.5
Dùng để đo chênh lệch áp suất p* giữa hai mặt cắt của đoạn dòng chảy trong ống kín (có áp),
chỉ sử dụng 1 loại chất lỏng (H.2.5)
p*A p*M
pA
pM
=
⇒ zA +
⇒ zB +
= zM +
= zN +
γ
γ
γ
γ
p*B p*N
pB
pN
=
γ
γ
γ
γ
25
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
p *A − p *B
p
p
pM PN
= (zA + A ) − (zB + B ) = (zM − zN ) + (
−
)
γ
γ
γ
γ
γ
Nếu bỏ qua áp suất cột khí → pM ≅ pN →
(2.19a)
+ Áp kế đo chênh có 2 chất lỏng :
A
B
γ 1
N
h1
M
γ 2
H.2.6
Dùng để đo chênh lệch áp suất p* giữa hai mặt cắt của đoạn dòng chảy trong ống kín (có áp) sử
dụng 2 loại chất lỏng (H.2.6)
p *A p *M
pA
pM
=
⇒ zA +
= zM +
= zN +
γ1
γ1
γ1
γ1
p *B
p *N
pB
pN
=
⇒ zB +
γ1
γ1
γ1
γ1
p *A − p *B
p
p
pM
P
γ
= (zA + A ) − (zB + B ) = (zM − zN ) + (
−
N ) = −h1 + 2 .h1
γ1 γ1
γ1
γ1
γ1
γ1
(2.19b)
(2.20)
p *A − p *B
(γ 2 − γ 1 )
Đặt
= h
⇒
h = h1
γ 1
γ 1
Nếu h quá lớn chọn γ2 >> γ1 → h1 sẽ giảm
Nếu h quá nhỏ chọn γ2 lớn hơn γ1 một chút → h1 sẽ tăng.
26
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
b) Ứng dụng định luật Pascal :
L
l
F
P1
N
M
O
A1
p2
A2
p1
P2
H.2.7
Áp dụng định luật Pascal để làm ra một máy nén thủy lực, nhằm tạo áp lực nén lớn từ một lực tác
động nhỏ.
Đặt ON=L ; OM = l.
Từ phương trình moment cân bằng lực, ta có :
P
L
1
P = .F
⇒ p1 =
1
l
A
1
Áp suất gia tăng p1 sẽ được truyền đi hoàn toàn trong khối chất lỏng → độ gia tăng áp suất p2 ở
nhánh nén sẽ là: p2 = p1
A2
Mà P2 = p2. A2
→
P2 =
.P
(2.21a)
(2.21b)
1
A1
A2
L
→
P2 =
.F
l A1
c) Biểu đồ phân bố áp suất :
pa
pa
pB = γ .hB
hB
hA
hA
B
pA = γ .hA
pA = γ .hA
A
A
H.2.8
p* = const → p* = p*o → p + γ.z = po + γ.zo →
p = po + γ.(zo-z) = po + γ.h
27
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
- Áp suất là một hàm số tuyến tính theo độ sâu tính từ mặt phân cách (có áp suất là po). Sự
biểu diễn bằng đồ thị áp suất p theo độ sâu h được gọi là biểu đồ phân bố áp suất. Theo tính
chất của áp suất thủy tĩnh, áp suất luôn vuông góc với mặt phẳng chịu lực, hướng vào trong
nếu là biểu đồ áp suất tuyệt đối (hoặc áp suất dư >0). Hình 2.8 trình bày biểu đồ phân bố áp
suất đối với mặt phẳng. Hình 2.9 trình bày biểu đồ phân bố áp suất trên một mặt cong.
pa
h1
p1 = γ .h1
r
p1 = γ.(h1
+
r
)
H.2.9
2.4.4 Áp lực thủy tĩnh :
2.4.4.1 Áp lực chất lỏng tác dụng lên bề mặt phẳng :
pa
O
α
hC
xC
P
x'
A
C
D
x
y
yC
x'
H.2.10
Xét một bề mặt phẳng chứa diện tích A nằm trong chất lỏng, nghiêng một góc α so với mặt thoáng
chất lỏng. Chọn hệ thống tọa độ với OX nằm trên giao tuyến của mặt phẳng chứa bề mặt A và mặt
tự do của chất lỏng. OY ⊥ OX nằm trong mặt phẳng chứa bề mặt đang xét. Giả sử cắt mặt OXY
và lật lên mặt giấy để nhìn thấy diện tích A, ta được hình H.2.10
28
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
+ Trị số áp lực :
Xét vi phân diện tích dA ∈ A, có tọa độ là (x,y) ứng với độ sâu là h →
dP =p.dA =(pa+γ.h).dA = (pa+γ.y.sinα).dA
Áp lực tác dụng lên A là:
(pa+γ.y.sinα).dA
P = ∫∫ dP = ∫∫
A
A
= p .A +γ.sinα ∫∫
y.dA
a
A
= pa.A + γ.sinα.A.yc
= pa.A + γ.hc.A = (pa + γ.hc).A →
P = pc.A
(2.22)
(2.23)
Trong thực tế thường tính áp lực dựa trên áp suất dư, do đó :
Vậy : Áp lực tác dụng lên một hình phẳng nằm hoàn toàn trong chất lỏng bằng tích số áp suất
tại trọng tâm hình phẳng nhân với diện tích hình phẳng đó.
+ Tâm áp lực :
Điểm đặt của áp lực thủy tĩnh P được gọi là tâm áp lực D (xD, yD). Xét trường hợp áp lực dư.
Moment của áp lực P đối với trục OX là :
YD.P =
y2.dA
∫∫ p.y.dA = γ.sinα ∫∫
A
A
YD.P = γ.sinα.Ixx
Với Ixx là moment quán tính của diện tích A đối với trục OX.
Ixx = Ix’x’ + yc2.A
Với Ix’x’ là monent quán tính của diện tích A đối với trục CX’ đi qua trọng tâm C và song song với
trục OX.
YD.P = γ.sinα.(Ix’x’ + yc2.A)
Suy ra,
γ.sinα.(Ix'x' + yC2 .A)
yD =
γ.yC .sinα.A
(2.24)
29
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Ix’x’ là số không âm → yD ≥ yC → do đó tâm áp lực D nằm thấp hơn trọng tâm C của hình phẳng. D
sẽ nằm ngang với C, nếu diện tích A nằm ngang.
Tương tự để xác định XD, ta xét moment của lực P đối với trục OY, ta sẽ được:
I x' y'
xD = xC +
(2.25)
yC .A
Với Ix’y’
=
x' y'.dA là moment quán tính ly tâm của diện tích phẳng A đối với hệ trục CX’Y’ đi qua
∫∫
A
trọng tâm C và song song với hệ trục OXY. Ix’y’ có thể dương, âm hay bằng không. Nếu hình phẳng
đối xứng qua trục CY’ → Ix’y’=0 → xD = xC , điểm D sẽ nằm trên trục đối xứng CY’ → Khi đó ta ,
chỉ cần xác định yD là đủ.
+ Trường hợp hình phẳng là hình chữ nhựt có cạnh đáy nằm ngang:
pa
O
α
P
hA
hB
pA
A
A
pB
C
D
b
a
B
C
A'
x
y
B
D
X’
Y’
B'
l
H.2.11
hA + hB
P = pc.A = γ.hc.A =γ.
.A
2
A = a.b
(2.26)
(2.27)
P = Ω.b
Với Ω là diện tích biểu đồ phân bố áp suất.
Điểm đặt lực: “Tổng áp lực phải đi qua trọng tâm của biểu đồ phân bố áp suất”.
Công thức tính trọng tâm của biểu đồ phân bố áp suất hình thang, cho phép ta tính được BD = l,
khỏang cách từ cạnh đáy lớn đến trọng tâm của biểu đồ phân bố áp suất hình thang (D), ta có:
2 pA + pB
pA + pB
a
BD = l =
.
(2.28)
3
30
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
2.4.4.2 Áp lực chất lỏng tác dụng lên bề mặt cong:
Xét một bề mặt cong có diện tích A nằm trong chất lỏng. Hệ tọa độ OXYZ có mặt OXY nằm ngang
và là mặt tự do của chất lỏng (áp suất bằng áp suất khí trời, pa). Gọi dA là một vi phân diện tích
r
cong trên A, có thể xem như diện tích phẳng. Gọi n là vectơ (đơn vị) pháp tuyến diện tích dA. Gọi
dAx là hình chiếu của dA lên mặt YOZ; dAy là hình chiếu của dA lên mặt XOZ, dAz là hình chiếu
của dA lên mặt XOY ⇒
z
x
O
dAz
Az
Ay dAy
y
Ax
dAx
dA
A
H.2.12
r
r
r
r
dAx = dA. Cos(n , i ): n vectơ pháp tuyến của dA & i là vectơ pháp tuyến YOZ ( ⊃ dAx)
r
r
r
r
dAy = dA. Cos(n , j ): n vectơ pháp tuyến của dA & j là vectơ pháp tuyến XOZ ( ⊃ dAy)
r
r
r
r
dAz = dA. Cos(n , k ): n vectơ pháp tuyến của dA & k là vectơ pháp tuyến XOY ( ⊃ dAz)
r
r
r
r
r
Gọi p là áp suất tại một điểm trên dA, vi phân lực dP = dP x + dP y + dP z = p.dA. n tác dụng
vuông góc với mặt dA. →
r
r
dPx = p.dA.Cos( n , i ) = p. dAx
r
r
dPy = p.dA.Cos( n , j ) = p. dAy
r
r
dPz = p.dA.Cos( n , k ) = p. dAz
→ Px = dP = p.dAx =
∫∫γ.h.dA
x
x
∫∫
∫∫
A
A
A
Nếu hình chiếu Ax của A lên mặt phẳng vuông góc với trục OX là hình chiếu đơn →
∫∫γ.h.dA = ∫∫γ.h.dA
Px =
x
x
A
Ax
Công thức này giống với công thức tính áp lực tác dụng lên hình phẳng có diện tích là Ax →
(2.29)
31
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Tương tự, ta có :
(2.30)
Với Ax và Ay lần lượt là hình chiếu của diện tích A lên mặt phẳng vuông góc với các trục OX và OY
tương ứng. hcx và hcy lần lượt là khoảng cách thẳng đứng từ mặt tự do đến trọng tâm của các diện
tích Ax và Ay tương ứng. Và pcx và pcy lần lượt là áp suất tại trọng tâm của các diện tích Ax và Ay
tương ứng.
Ta có:
Pz =
∫∫γ.h.dA = γ ∫∫h.dA
z
z
A
Az
(2.31)
W là thể tích khối chất lỏng tạo bởi mặt cong, các đường sinh thẳng đứng viền theo mép của mặt
cong, kéo dài đến mặt tự do của chất lỏng hoặc phần kéo dài của mặt tự do, và mặt tự do (mặt phẳng
nằm ngang có áp suất bằng áp suất khí trời, pa). W được gọi là thể tích của vật áp lực.
Từ đó, ta tính được lực P như sau:
(2.32 )
Trong trường hợp mặt cong phức tạp ta phải chia nhỏ để trở thành những mặt cong nhỏ có hình
chiếu đơn.
2.4.4.3 Lực đẩy Archimède :
Xét một vật rắn có thể tích Wr ngập hoàn toàn trong chất lỏng.
+ Thành phần nằm ngang của áp lực do chất lỏng tác dụng lên vật rắn bằng 0 ; bởi vì áp lực tác
dụng lên mặt cong abc và abd bằng nhau và ngược chiều nhau (hình chiếu lên mặt phẳng thẳng
đứng bằng nhau).
+ Thành phần thẳng đứng của áp lực do chất lỏng tác dụng lên vật rắn bằng trọng lượng của khối
chất lỏng có thể tích bằng vật rắn và hướng lên trên:
pa
Pz
a
d
c
D
b
H.2.13
32
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Xét lực tác dụng lên mặt cda và lên mặt cdb lần lượt là :
Pz1 = γ.W1 hướng xuống (W1 vật áp lực tác dụng lên mặt cda).
Pz2 = γ.W2 hướng lên (W2 vật áp lực tác dụng lên mặt cdb).
Pz = Pz2 - Pz1 = γ.(W2 - W1)
→
(2.33a)
(2.33b)
Vậy :
- Vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của lực Archimède hướng thẳng đứng
từ dưới lên trên và có trị số bằng trọng lượng của khối chất lỏng mà vật choán chỗ.
- Điểm đặt của lực Pz là tâm đẩy D, là trọng tâm của thể tích lưu chất mà vật choán chỗ (thể tích
phần chìm trong lưu chất).
- Lực Archimède cũng đúng cho trường hợp vật nổi và chất khí.
2.4.5 Tính ổn định của vật nằm trong chất lỏng: (lý thuyết)
2.4.5.1 Vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng :
H.2.14
Vật chịu tác dụng của hai lực :
- Trọng lượng G đặt tại trọng tâm C của vật rắn và hướng xuống
- Lực đẩy Archimède Pz đặt tại tâm đẩy D và hướng lên →
. Nếu G > Pz ⇒ vật chìm
. Nếu G < Pz ⇒ vật nổi
. Nếu G = Pz ⇒ vật lơ lửng
(i) Nếu C nằm dưới D ⇒ vật cân bằng ổn định
(ii) Nếu C nằm trên D ⇒ vật cân bằng không ổn định ⇒ sẽ trở về trạng thái (i).
(iii) Nếu C trùng D ⇒ vật cân bằng phiếm định (cân bằng ở bất cứ vị trí nào).
33
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
2.4.5.2 Vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng :
H.2.15
+ Nếu C nằm dưới D ⇒ vật cân bằng ổn định
+ Nếu C nằm trên D ⇒ ta xét tâm định khuynh M
- Nếu M cao hơn C ⇒ vật cân bằng ổn định
- Nếu M thấp hơn C ⇒ vật cân bằng không ổn định
+ Xác định tâm định khuynh M :
- Xét vật nổi tiết diện ngang A ngang mặt tự do của chất lỏng.
- Trọng lượng G cân bằng với lực đẩy Archimède Pz = γ.W. Lực G đặt tại C, lực Pz đặt tại D, W là
thể tích phần chìm của vật.
- Xét mặt cắt ngang chứa trọng tâm C và tâm đẩy D.
- Mặt thoáng lúc đầu là aoe
- Khi vật quay đi một góc nhỏ θ ⇒ mặt thoáng là a’oe’ →
• Lực đẩy Archimède P’z có trị số bằng Pz nhưng đặt tại D’ ⇒ giao điểm M của P’z với CD
được gọi là tâm định khuynh.
• Để xác định bán kính định khuynh, ρ = MD , ta tính moment của lực P’z đối với trục dd’ qua
D và vuông góc mặt cắt ngang đang xét →
M(P’z)/dd’ = -P’z . MD .sin(θ) ≅ -P’z . MD .θ = -γW. MD .θ
• Mà lực P’z thì tương đương với lực (Pz , Pz1, Pz2) với (Pz1, Pz2) hình thành một ngẫu lực →
M(Pz , Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz )/dd’ + M(Pz1, Pz2)/dd’
Mà Pz đi qua dd’ ⇒ M(Pz )/dd’ = 0
Và M(Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz1, Pz2)/yy’ (moment của ngẫu lực không phụ thuộc vị trí trục chọn tính
moment) → Tóm lại :
M(P’z)/dd’ = M(Pz , Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz1, Pz2)/yy’
34
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
(x.tgθ.γ ).x.dA ≈ − γθ.x2 .dA
M(P )/yy’= − ∫∫
∫∫
z1
oa
oa
γθ.x2 .dA
M(P )/yy’=− ∫∫(x.tgθ.γ ).x.dA ≈ − ∫∫
z2
oe
oe
x2 .dA = -γ.θ.Iyy’
M(P’ )/dd’ = −γ.θ ∫∫
z
ae
→ -γW. MD . θ =-γ.θ.Iyy’
I yy '
→ M D =
W
(2.34 )
Với Iyy’ là moment quán tính của mặt nổi A đối với trục quay yy’
Ta cũng chứng minh tương tự cho trục quay ngang xx’ vuông góc với yy’ qua trọng tâm của mặt
nổi A, ta cũng có:
I xx '
M ' D =
(2.34 a)
W
Để an toàn, ta thực hiện việc tính toán kiểm tra cân bằng như sau:
I = Min{Ixx’ , Iyy’}
→
(2.34b)
Nếu ρ >CD : cân bằng ổn định.
H.2.16
35
17 trang
27/04/2022
4100
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Lê Văn Dực", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_luu_chat_chuong_2_tinh_hoc_luu_chat_le_van_duc.pdf
