Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 3: Động học
CHÖÔNG III: ÑOÄNG HOÏC
I./ Hai phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng cuûa löu chaát
II./ Caùc khaùi nieäm
III./ Phaân loaïi chuyeån ñoäng
IV./ Gia toác toaøn phaàn cuûa phaàn töû löu chaát
V./ Phöông trình lieân tuïc
VI./ Phaân tích chuyeån ñoäng cuûa löu chaát
I./ Hai phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng cuûa löu chaát:
1./ Phöông phaùp Lagrange:
Chuyeån ñoäng cuûa theå tích löu chaát ñöôïc moâ taû bôûi vò trí cuûa
caùc phaàn töû theo thôøi gian cuûa theå tích:
dux
dx
dt
dy
dt
dz
dt
x = x
y = y
(
x0 , y0 ,z0 , t
x0 , y0 ,z0 , t
x0 , y0 ,z0 , t
)
)
ax =
ux =
dt
duy
(
u =
a =
y
y
dt
duz
uz =
az =
z = z
(
)
dt
Öu ñieåm: moâ taû chuyeån ñoäng moät caùch chi tieát.
Khuyeát ñieåm: soá löôïng phöông trình phaûi giaûi quaù lôùn (3n);
khoâng theå moâ taû cuøng moät luùc quyõ ñaïo cuûa nhieàu phaàn töû.
Khaû naêng aùp duïng: phoøng thí nghieäm.
I./ Hai phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng cuûa löu chaát (tt):
2./ Phöông phaùp Euler:
- Chuyeån ñoäng cuûa theå tích löu chaát ñöôïc quan nieäm laø tröôøng vaän
toác vaø ñöôïc moâ taû bôûi moät haøm vaän toác lieân tuïc theo khoâng gian vaø
25
thôøi gian:
Th¸ng 1
Trung quoác
23
VËn tèc trªn bÒ mÆt
21
19
ux = ux
(
x, y, z,t
)
)
Gia toác
17
15
13
11
9
u = u
(
x, y, z,t
y
y
Quyõñaïo
uz = uz x, y, z,t
7
5
3
Scale
0.5m/s
0.1m/s
0.05m/s
0.01m/s
Öu ñieåm: chæ coù 3 phöông trình.
1
-1
-3
Khuyeát ñieåm: khoâng cho thaáy roõ caáu truùc cuûa chueån ñoäng.
99
101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
Khaû naêng aùp duïng: tính toaùn.
II./ Caùc khaùi nieäm:
1./ Ñöôøng doøng:
Ñöôøng doøng: Laø ñöôøng cong vaïch ra trong lchaát chuyeån ñoäng sao
cho vector vaän toác cuûa caùc phaàn töû löu chaát chuyeån ñoäng treân ñoù
tieáp tuyeán vôùi noù.
Coù theå thay ñoåi theo thôøi gian.
u
s
dx dy dz
u
Phöông trình
= =
ux uy uz
2./ OÁng doøng, doøng chaûy.
°
Oáng doøng laø beà maët daïng oáng taïo bôûi voâ soá caùc ñöôøng doøng cuøng
ñi qua moät chu vi kheùp kín.
°
Doøng chaûy laø khoái löôïng löu chaát chuyeån ñoäng beân trong oáng
doøng
Ví duï: maët trong cuûa ñöôøng oáng; beà maët loøng soâng cuøng vôùi maët
thoaùng… laø caùc oáng doøng .
II./ Caùc khaùi nieäm (tt):
3./ Maët caét öôùt, chu vi öôùt, baùn kính thuûy löïc.
- Maët caét öôùt (A) laø maët caét ngang doøng chaûy sao cho tröïc giao vôùi
caùc ñöôøng doøng vaø naèm beân trong oáng doøng.
- Chu vi öôùt (P) laø phaàn chu vi cuûa maët caét nôi doøng chaûy tieáp xuùc
vôùi thaønh raén (0).
- Baùn kính thuûy löïc (R)
R = A P
A
4./ Löu löôïng, vaän toác trung bình maët caét.
P
- Löu löôïng (Q) laø theå tích löu chaát chuyeån ñoäng ngang qua maët caét
öôùt trong moät ñôn vò thôøi gian.
A
u
- Vaän toác trung bình maët caét (V):
dA
V = Q A
III./ Phaân loïai chuyeån ñoäng:
1./Theo aûnh höôûng cuûa ñoä nhôùt:
°
°
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát lyù töôûng ( = 0)
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát thöïc ( 0)
2./Theo aûnh höôûng cuûa khoái löôïng rieâng:
°
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát khoâng neùn ñöôïc ( = const)
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát neùn ñöôïc ( = var)
°
3./Theo aûnh höôûng cuûa thôøi gian:
°
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát laø oån ñònh (
)
t = 0
°
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát laø khoâng oån ñònh (
)
t 0
4./Theo khoâng gian cuûa chuyeån ñoäng:
°
°
°
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát laø 1 chieàu (u 0; v = w = 0)
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát laø 2 chieàu (u 0; v 0; w= 0)
Chuyeån ñoäng cuûa löu chaát laø 3 chieàu (u 0; v 0; w 0)
III./ Phaân loïai chuyeån ñoäng (tt):
5./Theo traïng thaùi chaûy:
°
°
°
Chuyeån ñoäng taàng: laø traïng thaùi chaûy maø ôû ñoù caùc phaàn
töû löu chaát chuyeån ñoäng tröôït treân nhau thaønh töø taàng,
töøng lôùp, khoâng xaùo troän laãn nhau.
Chuyeån ñoäng roái: laø traïng thaùi chaûy maø ôû ñoù caùc phaàn töû
löu chaát chuyeån ñoäng hoãn loaïn, caùc lôùp löu chaát xaùo troän
vaøo nhau.
Thí nghieäm Reynolds
Möïc maøu
Tia möïc
IV. Gia toác toaøn phaàn cuûa phaàn töû löu chaát
s
u
- Xeùt phaàn töû löu chaát chuyeån ñoäng
treân quyõ ñaïo cuûa noù (duøng bieán
u0
Quyõ ñaïo
t = t + t
0
Lagrange), gia toác cuûa ptöû :
x = x + x
0
y = y0 + y
z = z0 + z
u −u0
du
a =
= lim
t0, x0, y0, z0
t→0
dt
t
Trong bieán Euler, vaän toác laø haøm theo khoâng gian vaø thôøi gian -
> vaän toác u ñöôïc tính theo u0 baèng chuoãi Taylor:
u
u
u
u
u = u0 + t + x + y + z
t
x
y
z
Thay vaøo bieåu thöùc giôùi haïn:
u u x u y u z
t x t y t z t
a = lim
+
+
+
t→0
vaø thöïc hieän pheùp tính giôùi haïn:
u
u
u
u
a = +ux
t
+uy
+uz
x
y
z
V. Phöông trình lieân tuïc
1./ Phöông trình lieân tuïc.
- Ñònh luaät baûo toaøn khoái löôïng: toác ñoä gia taêng cuûa khoái löôïng
cuûa moät heä vaät chaát baèng khoái löôïng chuyeån ñoäng vaøo heä trong
1 ñôn vò thôøi gian.
- Aùp duïng cho löu chaát trong theå tích kieåm soaùt:
n
un
u
Klöôïng löu chaát trong theå tích: dV
un.dS
Klöôïng lchaát cñoäng ra khoûi theVå tích:
undS
S
V
- Theo ÑL baûo toaøn:
t
dV + undS = 0
+
(
u = 0
)
S
t
S
- Ñoái vôùiVlöu chaát khoâng neùn ñöôïc, =const:
uy
ux
uz
div
u = 0
+
+
= 0
x y z
V. Phöông trình lieân tuïc
2./Ptrình lieân tuïc cho doøng chaûy oån ñònh cuûa lc khoâng neùn ñöôïc.
- Xeùt theå tích kieåm soaùt laø ñoaïn doøng chaûy giöõa hai mcaét 1-1 vaø 2-
2
Trong tröôøng hôïp löu chaát khoâng neùn ñöôïc, chuyeån ñoäng oån ñònh
ptrình lieân tuïc döôùi daïng tích phaân ñöôïc ruùt goïn coøn:
2
undS = 0
n
Sn
u
S
un=0
A2
2
1
Chia dieän tích bao boïc S = A1 + A2 + Sn
1
u
A1
n
Taùch tích phaân thaønh toång cuûa 3 tích phaân:
undA+ undA+ undS = 0
A
A2
Sn
1
Hai tích phaân ñaàu cho löu löôïng ngang qua caùc mcaét 1-1 vaø 2-2, coøn
tích phaân thöù 3 baèng khoâng:
Q = const
−Q +Q2 = 0 Q = Q2
1
1
VI. Phaân tích chuyeån ñoäng cuûa löu chaát
°
°
°
Xeùt ptöû löu chaát. Ñieåm M0 ñöôïc choïn
laøm cöïc cuûa ptöû.
M
z
Giaû söû vaän toác u0 taïi M0 ñaõ bieát, caâu
hoûi laø vaän toác taïi ñieåm M?
u
z
y
Söû duïng chuoãi Taylor, boû qua soá haïng
voâ cuøng nhoû baäc cao, tphaàn vaän toác ux:
y
x
M0
ux
x
ux
y
ux
y + z
z
x
ux = u0 +
x +
x
u
1
uz
x
y
°
Coäng vaø tröø soá haïng
bieåu thöùc treân,
sau ñoù saép xeáp laïi seõ thu ñöôïc bieåu thöùc:
vaøo veá phaûi cuûa
y +
z
2 x
u
u
ux
x
1 ux
1 u
z
y
x
ux = u0 +
x +
+
y +
+
z
x
2 y x
2 z x
u
u
1 ux
1 u
z
y
x
+
−
y +
−
z
2 y x
2 z x
uj
uj
ui
= ; =
1
ui
1
ui
+
; k =
−
°
°
°
Ñaët:
i
k
xi
2 xi xj
2 xi xj
Thaønh phaàn vaän toác ux seõ ñöôïc tính baèng coâng thöùc:
z
Töông töï:
M
ux = u0 +xx +
zy +yz
+
+
−zy +yz
x
z
uy = u0 +yy +
xz +zx
−xz+zx
y
uz = u0 +zz+
yx +xy
+
−yx +xy
z
x
M0
x
ux-u0x
YÙ nghóa caùc soá haïng:
+ x: Giaû söû maët traùi vaø maët phaûi cuûa ptöû chæ chuyeån ñoäng theo
truïc x vôùi vaän toác u0x vaø ux töông öùng cuûa ñieåm M0 vaø M. Do coù
söï cheânh leäch vaän toác, sau 1 ñôn vò thôøi gian, ptöû daøi ra moät
ñoaïn laø: ux-u0x
u −u x
°
Do ñoù toác ñoä giaõn daøi töông ñoái cuûa ptöû laø:
x
0
x
ux-u0x
y
ux −u0
x
ux
x
ux
x
M
°
Khi x→ 0, ta coù:
→
= x
i - toác ñoä giaõn daøi töông ñoái cuûa ptöû theo
1
y
truïc xi.
u0x
+ z vaø z :
x
M0
°
Giaû söû maët treân vaø maët döôùi cuûa ptöû chæ chuyeån
ñoäng theo truïc x vôùi vaän toác u0x vaø ux töông öùng
cuûa ñieåm M0 vaø M. Do coù söï cheânh leäch vaän toác,
x
sau 1 ñôn vò tgian, ptöû seõ bò ñoå nghieâng vôùi goùc: y
M
ux −u0
y
ux
y
x
1
→
u0y
uy
y
2
°
Töông töï, do coù söï cheânh leäch thaønh phaàn vaän
toác treân phöông y giöõa maët traùi vaø maët phaûi maø
ptöû cuõng seõ bò ñoå nghieâng vôùi goùc:
uy-u0y
x
M0
x
uy −u0
y
uy
x
y
2
→
°
°
Neáu caû 2 chuyeån ñoäng ñoàng thôøi xuaát hieän, ptöû seõ bò thay ñoåi
nhö hình:
Trong 1 ñôn vò thôøi gian ptöû bò bieán daïng moät goùc:
u
M’
1
1
u
y
y
x
(
2 +1
)
=
+
=z
2
2 x y
M
k - toác ñoä bdaïng goùc cuûa ptöû quanh truïc xk.
1
(2- 1)/2
y
°
Trong 1 ñôn vò thôøi gian ptöû quay ñi moät goùc:
u
1
1
u
y
x
2
x
(
2 −1
)
=
−
= z
2
2 x y
x
M0
k - toác ñoä quay cuûa ptöû quanh truïc xk.
°
°
Ñònh lyù Hemholm: Cñoäng cuûa ptöû löu chaát bao goàm cñoäng cuûa
vaät raén (theo cöïc vaø quay quanh cöïc) vaø cñoäng bieán daïng
(bdaïng daøi vaø bdaïng goùc).
Vector vaän toác quay :
1
1
= xi +y j +zk = u = rot
( )
u
2
2
Ví duï 1: Cho vector vaän toác goàm 3 thaønh phaàn:
ux = x2 + y2 + z2
uy = xy + yz + z2
ux = -3xz + z2/2 + 4
Tìm vector vaän toác quay?
Giaûi
uy
uz
1
1
2
=
−
=
=
=
(
0 − y − 2z
)
x
2 y z
u
uz
2 z x
1
1
2
x
= =
−
(
2z + 3z
)
y
u
ux
2 x y
1
1
2
y
z =
−
(
y − 2y
)
= −(y / 2 + z)i + (5z / 2) j − (y / 2)k
Ví duï 2: Chuyeån ñoäng coù vector vaän toác:
ux = ay + by2
uy = uz =0
Vôùi a, b laø haèng soá
a./ Chuyeån ñoäng coù quay khoâng?
b./ Xaùc ñònh a, b ñeå khoâng coù bieán daïng goùc.
Giaûi:
u
ux
1
1
y
z =
−
= −
(
a + 2by
)
0
2 x y
2
chuyeån ñoäng quay a, b ≠ 0
u
ux
1
1
y
zy =
+
=
(
a + 2by
)
0
2 x y 2
khoâng coù caëp a, b naøo ñeå bieán daïng goùc baèng 0
Ví duï 3: Chất lỏng lyù tưởng quay quanh truïc thaúng ñöùng (Oz). Giaû söû
vaän toác quay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng
caùch töø truïc quay treân phöông baùn kính (u =a/r; a>0 laø haèng soá).
a./ Chöùng minh raèng ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá.
b./ Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng
a − y − ay − ay
Giaûi:
ux = u.cos(u,ox) =
=
=
r2
x2 + y2
u
r r
a x ax
ax
r
y
uy = u.cos(u,oy) =
= =
r r r2 x2 + y2
O
a(x2 + y2 ) − 2xax a(y2 − x2
x
Suy ra: u
ax
y
=
=
=
2
2
x x x + y
(x2 + y2 )
(x2 + y2 )2
ux
− ay
− a(x2 + y2 ) − 2yay a(y2 − x2
=
=
=
2
2
y y x + y
(x2 + y2 )
(x2 + y2 )2
uy
ux
Vaäy:
Chuyeån ñoäng laø khoâng quay (theá) treân maët phaúng xOy
−
= 0 rot(u)z = 0
x y
dx dy
− ay
ax
x2 + y2
Phöông trình caùc ñöôøng doøng:
= uxdy = uydx
dy =
dx
ux uy
x2 + y2
(x2 + y2 ) = C
17 trang
27/04/2022
5460
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 3: Động học", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_luu_chat_chuong_3_dong_hoc.ppt
