Định lí điểm bất động với điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric sắp thứ tự
181
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VỚI ĐIỀU KIỆN CO KIỂU PATA
TRONG KHÔNG GIAN -MÊTRIC SẮP THỨ TỰ
b
SV. Bùi Thị Ngọc Hân
ThS. Nguyễn Trung Hiếu
Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài
báo [10] sang không gian -mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho
b
điều kiện co mới này. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt
được và vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương
trình tích phân phi tuyến.
1. Giới thiệu
Các định lí điểm bất động là công cụ hữu ích trong việc khảo sát sự tồn tại
nghiệm của những bài toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân
và phương trình đạo hàm riêng. Trong những kết quả về điểm bất động, Nguyên lí ánh
xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả cơ bản nhất. Do đó, nhiều tác
giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu mở rộng nguyên lí này cho những không
gian khác nhau cũng như cho các dạng ánh xạ co khác nhau. Trong hướng mở rộng
Nguyên lí ánh xạ co Banach cho những không gian suy rộng, nhiều khái niệm không
gian mêtric suy rộng đã được giới thiệu như không gian mêtric sắp thứ tự, không gian
b
mêtric nón, không gian -mêtric [8]. Trong các không gian mêtric suy rộng đó, không
gian -mêtric nhận được nhiều sự quan tâm của nhiều tác giả trong lĩnh vực lí thuyết
điểm bất động bởi vì tính không liên tục của ánh xạ -mêtric cũng như việc những kết
b
b
b
quả về điểm bất động trong không gian -mêtric không thể suy ra được từ những kết
quả tương ứng về điểm bất động trong không gian mêtric. Do đó, nhiều kết quả về
b
điểm bất động trong không gian -mêtric đã được thiết lập, chẳng hạn như [2, 4] và
các tài liệu tham khảo trong đó.
Bên cạnh việc đề xuất những không gian mêtric suy rộng, một số tác giả đã giới
thiệu những điều kiện co suy rộng [5]. Năm 2011, Pata [9] đã giới thiệu một điều kiện
co suy rộng mới và được gọi là điều kiện co kiểu Pata, đồng thời, một số kết quả về
điểm bất động của điều kiện co này cũng được thiết lập. Kể từ đó, những mở rộng của
điều kiện co kiểu Pata trên không gian mêtric cũng như không gian mêtric suy rộng
cũng được nghiên cứu. Năm 2014, Balasubramanian [6] đã thiết lập định lí điểm bất
động cho ánh xạ kiểu Pata trong không gian mêtric nón đầy đủ; Eshaghi và cộng sự [3]
cũng đã thiết lập một số kết quả điểm bất động kép cho điều kiện co kiểu Pata trong
không gian mêtric đầy đủ sắp thứ tự, đồng thời, việc ước lượng tốc độ hội tụ của dãy
lặp về điểm bất động kép cũng được giới thiệu; Kadelburg và cộng sự [10] đã khảo sát
điểm bất động của điều kiện co kiểu Pata suy rộng trong không gian mêtric sắp thứ tự.
Tiếp tục vấn đề thiết lập những kết quả về điểm bất động trong không gian
b
-mêtric, trong bài viết này, chúng tôi mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài báo
b
[10] sang không gian -mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho điều
kiện co mới. Đồng thời, chúng tôi vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại
nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. Trước hết, chúng tôi trình bày một số
khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong bài viết.
182
d : X ´ X ® [0,¥ )
s ³ 1,
Định nghĩa 1.1 ([7]). Cho
X
là một tập hợp khác rỗng và
x,y,z Î X
là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi
và với
d(x,y) = 0
(1)
(2)
(3)
khi và chỉ khi x = y.
d(x,y) = d(y,x).
d(x,y) £ s(d(x,z) + d(z,y)).
(X ,d,s)
được gọi là
Khi đó, ánh xạ
một không gian -mêtric.
Định nghĩa 1.2 ([7]). Cho
d
được gọi là một
b
-mêtric trên
X
và bộ
b
(X ,d,s)
là một không gian
b
-mêtric. Khi đó
kí hiệu là
lim d(xn ,x) = 0,
(1) Dãy được gọi là hội tụ đến
x
nếu
{xn }
n® ¥
lim xn = x.
n® ¥
lim d(xn ,xm ) = 0.
(2) Dãy
được gọi là dãy Cauchy nếu
(X ,d,s)
{xn }
n,m ® ¥
(3) Không gian
được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ.
Lưu ý rằng, mỗi mêtric là một ánh xạ liên tục. Tuy nhiên, điều này không đúng
đối với -mêtric [8]. Bổ đề sau được dùng để khắc phục tính không liên tục của
mêtric trong những chứng minh kết quả chính của bài báo.
b
b
-
(X ,d,s)
là một không gian -mêtric và hai dãy
Bổ đề 1.3 ([1], Lemma 1). Cho
x,y.
lần lượt hội tụ đến
Khi đó
{xn },{yn }
1
s2
d(x,y) £ lim infd(xn ,yn ) £ lim supd(xn ,yn ) £ s2d(x,y).
n® ¥
n® ¥
x = y
Đặc biệt, nếu
thì
. Hơn nữa, với mọi
, ta có
z Î X
lim d(xn ,yn ) = 0
n® ¥
1
d(x,z) £ lim infd(xn ,z) £ lim supd(xn ,z) £ sd(x,z).
n® ¥
s
n® ¥
Bổ đề sau cũng được sử dụng trong chứng minh kết quả chính của bài báo.
a ³ 1,
a,b
(1 + x)a £ axa + b
Bổ đề 1.4. Với
mọi x ³ 0.
tồn tại hai số dương
thỏa mãn
với
a
a
æ
ö
æ
ç
ö
x + 1
1
£ 2a. Suy ra
f (t) = t a
÷
÷
÷
÷
ø
÷
÷
÷
÷
ø
ç
ç
x ³ 1,
Chứng minh. Xét
ta có
= 1 +
ç
ç
ç
è
ç
ç
è
x
x
(1 + x)a £ 2a xa .
0 £ x < 1,
tồn tại
Xét
áp dụng định lí giá trị trung bình cho hàm số
¢
[x,x + 1],
c Î (x,x + 1)
(1 + x)a < xa + a2a - 1.
trên
để
Hay
a > 2a ,b > a2a - 1
f(x + 1) - f(x) = f (c).
(1 + x)a - xa = aca- 1 < a2a - 1.
,
ta
Suy ra
Chọn
(1 + x)a £ axa + b.
có
183
2. Các kết quả chính
Trước hết, chúng tôi thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong trong không gian -mêtric sắp thứ tự đầy đủ.
(X ,d,s,° )
b
Định lí 2.1. Cho
là một không gian
b
-mêtric sắp thứ tự đầy đủ và
f : X ® X
là một ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Tồn tại x0 sao cho x0 ° ffx0.
(2) Tồn tại a ³ 1, b Î [0,a ], g ³ 0 và hàm y Î Y sao cho
b
1- e
s2
a
é
ù
d(fx, fy) £
d(x,y) + ge y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) ,
(2.1)
ê
ë
ú
û
0
0
e Î [0,1]
x,y Î X
Y
với mọi
và mọi
mà x ° y, trong đó
là tập hợp các hàm số
y : [0,1]® [0, ¥ )
y (0) = 0.
tăng và
f
(X ,d,s,° )
thỏa mãn giả thiết (H): Nếu
(3)
liên tục hoặc
là dãy tăng
{xn }
trong
X
và lim xn = x Î X thì xn ° x với mọi n.
n® ¥
lim f nx0 = z Î X
z
f .
Khi đó,
và là điểm bất động của ánh xạ
n ® ¥
X
Chứng minh. Với x0 Î X thỏa mãn x0 ° fx0, xét dãy {xn } trong
bởi xn+1 = fxn = f nx0 với
Do là ánh xạ tăng nên
x0 ° x1 = fx0 ° fx1 = x2 ° fx2 = x3 ° fx3 = ... ° fxn = xn+1 ° ...
xác định
f
n Î ¥.
Do đó, {xn } là dãy tăng. Giả sử tồn tại n0 Î ¥ sao cho xn = xn + 1 thì xn = fxn
0
0
0
0
f .
hay xn là điểm bất động của
Do đó, ta giả sử xn ¹ xn+1 với mọi
Ta chứng
n Î ¥.
0
k Î ¥ *
bởi xk- 1,y
minh {d(xn ,xn+1)} là dãy giảm. Giả sử tồn tại
sao cho d(xk- 1,xk ) £ d(xk,xk+1).
Khi đó, trong (2.1), thay
x
bởi
xk
và
đặt
b
é
ù
K = g 1+ d(x ,x ) + d(x ,x ) ³ 0, ta có
ê
ë
ú
û
k- 1
0
k
0
1- e
s2
d(xk ,xk+ 1) = d(fxk- 1, fxk ) £
d(xk- 1,xk ) + K ea y (e).
Khi đó
1- e
d(xk ,xk+ 1) £
d(xk- 1,xk ) + K ea y (e)
d(xk ,xk+ 1) + K ea y (e)
s2
1- e
£
s2
£ (1- e)d(xk ,xk+ 1) + K ea y (e).
184
Suy ra ed(xk- 1,xk ) £ K ea y (e) £ K ey (e). Do đó e d(x ,x ) - K y (e) £ 0 với
é
ù
ê
ú
û
k- 1
k
ë
e Î [0,1].
e Î [0,1].
Điều này dẫn đến
mọi
d(xk- 1,xk ) £ K y(e) với mọi
ra d(xk- 1,xk ) = 0. Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, {d(xn ,xn+1)} là dãy giảm. Khi đó,
Vì vậy d(xk- 1,xk ) - K y(e) £ 0 với mọi
e Î [0,1].
Cho e = 0, ta được d(xk- 1,xk ) £ K y(0) = 0. Suy
lim d(xn ,xn+ 1) = d*.
tồn tại d* ³ 0 để
Đặt
Vì {d(xn ,xn+1)} là dãy giảm
cn = d(xn ,x0).
n® ¥
nên d(xn ,xn+1) £ d(xn- 1,xn ) £ ... £ d(x0,x1) = c1.
(2.2)
Do đó
d(xn ,x1) + d(xn+1,x0) £ sd(xn ,x0) + sd(x0,x1) + sd(xn+1,xn ) + sd(xn,x0) £ 2s(c1 + cn ).
(2.3)
Từ (2.1), (2.2) và (2.3), ta có
cn = d(xn ,x0)
£ sd(xn ,xn + 1) + sd(xn + 1,x0)
£ sd(xn ,xn + 1) + s2d(xn + 1,x1) + s2d(x1,x0)
£ sc1 + s2d(xn + 1,x1) + s2c1
= (s + s2)c1 + s2d(fxn , fx0)
b
2
2
a
é
ù
£ (s + s )c + (1- e)d(x ,x ) + s ge y (e) 1 + d(x ,x ) + d(x ,x )
ê
ú
û
1
n
0
n
0
0
0
ë
£ (s + s2)c1 + (1- e)cn + gea y (e)(1 + cn )a .
a
2
a
é
ù
Do đó ec £ (s + s )c + ge y (e) 1+ c
.
Áp dụng Bổ đề 1.4, suy ra tồn tại hai
ê
n ú
û
n
1
ë
số dương c,d sao cho
ecn £ (s + s2)c1 + gea y (e)(1 + cn )a £ cea y (e)cna + d.
Giả sử {cn } không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy con cn ® ¥ thỏa mãn
i
a
æ
ö
æ
ö
÷
÷
a
ç +
1
d
ç +
1
d
1 + d
ecn £ cea y (e)cna + d. Chọn e = ei =
,
ta có 1 + d £ c
÷ y
÷
÷cn + d.
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
i
i
i
ç
ç
÷
÷
ø
÷
÷
ø
cn
cn
cn
ç
ç
è
è
i
i
i
æ
ö
æ
ö
a
a
÷
÷
ç1 + d
ç1 + d
÷
÷
ç
ç
Điều này dẫn đến 1 £ c 1 + d
y
÷. Vì cn ® ¥ nên 1 £ c 1 + b y
÷® 0.
( )
( )
ç
ç
÷
÷
i
ç
ç
÷
÷
ø
÷
÷
ø
cn
cn
ç
ç
è
è
i
i
Điều này là một mâu thuẫn. Vậy {cn } là dãy bị chặn. Mặt khác, từ (2.1), ta có
b
1- e
s2
a
é
ù
d(xn ,xn + 1) = d(fxn- 1, fxn ) £
d(xn- 1,x ) + ge y (e) 1 + d(x ,x ) + d(x ,x ) .
ê
ú
û
n
n- 1
0
n
0
ë
Do {cn } bị chặn nên tồn tại M ³ 0 sao cho cn £ M với mọi
Do đó,
n Î ¥.
b
K = g(1 + 2M )b ³ 0.
b
é
ù
1+ d(x ,x )+ d(x ,x ) £ (1+ 2M) . Đặt
Ta có
ê
ú
û
n- 1
0
n
0
ë
1- e
s2
d(xn ,xn + 1) £
d(xn- 1,xn ) + K ea y (e).
185
n ® ¥ ,
Cho
ta có
1- e
s2
d* £
d* + K ea y (e) £ (1- e)d* + K ea y (e).
Suy ra ed* £ K ea y (e) £ K ey (e). Do đó, e d - K y (e) £ 0 với mọi
*
é
ù
e Î [0,1].
d* £ K y (e)
với mọi
ê
ú
û
ë
d* - K y (e) £ 0
e Î [0,1].
Vì vậy
với mọi
Điều này dẫn đến
d* = 0.
ta có d* £ K y (0) = 0. Vì vậy
e Î [0,1].
Cho
e = 0,
Tiếp theo, ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại {xn } không là
dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại và hai dãy con {xn(k)},{xm(k) sao cho
d > 0
}
m(k) ³ n(k) ³ k và
(2.4)
d(xn(k),xm(k)) ³ d.
Với mỗi k, n(k) ta chọn m(k) là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (2.4). Suy
ra d(xn(k),xm(k)- 1) < d. Khi đó
d £ d(xn(k),xm(k)) £ sd(xn(k),xm(k)- 1) + sd(xm(k)- 1,xm(k)) < sd + sd(xm(k)- 1,xm(k)).
k ® ¥ ,
Cho
ta có
lim supd(xn(k),xm (k)) £ sd.
k® ¥
Tương tự, ta cũng có
d £ d(xn(k),xm(k)) £ sd(xn(k),xn(k)+1) + sd(xn(k)+1,xm(k)
)
k ® ¥ ,
Cho
ta có
d
s
limsupd(xn(k)+ 1,xm(k)) ³
.
k® ¥
y
x
bởi xn(k ) và bởi xm (k)- 1 , ta có
Mặt khác, trong (2.1), thay
d(xn(k)+ 1,xm (k)) = d(fxn(k), fxm (k)- 1
1- e
)
b
a
é
ù
£
d(xn(k),xm (k)- 1) + ge y (e) 1 + d(xn(k),x0) + d(xm (k)- 1,x0) .
ê
ú
û
s2
ë
Do {cn } bị chặn nên tồn tại M ³ 0 sao cho cn £ M với mọi
Do đó,
n Î ¥.
b
K = g(1 + 2M )b > 0.
Khi đó
b
é
ù
1 + d(xn(k),x0) + d(xm (k)- 1,x0) £ (1 + 2M ) .
Đặt
ê
ú
û
ë
1- e
s2
d(xn(k)+ 1,xm (k) ) £
d(xn(k),xm (k)- 1) + K ea y (e).
(2.5)
k ® ¥
Cho
trong (2.5), ta được
d
s
1- e
s2
1- e
£
d + K ea y (e) £
d + K ea y (e).
s
186
Suy ra ed £ sK ea y (e) £ K ea y (e) £ K ey (e). Do đó, e d - K y (e) £ 0 với mọi
é
ù
ê
ë
ú
û
e Î [0,1].
d - K y (e) £ 0
e Î [0,1].
d £ K y (e)
với
Vì vậy
với mọi
Điều này dẫn đến
e Î [0,1].
d £ K y (0) = 0.
d = 0.
mọi
Cho
ta có
Suy ra
Điều này là một mâu
e = 0,
thuẫn. Do đó, {xn } là dãy Cauchy. Do (X ,d,s) là không gian
lim f nx0 = z.
b
-mêtric đầy đủ nên tồn
tại
để lim xn = z. Điều này dẫn đến
n® ¥
n ® ¥
z Î X
f
Giả sử là ánh xạ liên tục. Khi đó, z = lim xn+1 = lim fxn = f(lim xn ) = fz hay
n® ¥
n® ¥
n® ¥
z
là điểm bất động của f .
(H )
Giả sử giả thiết
được thỏa mãn. Do {xn } là dãy tăng và lim xn = z nên
n® ¥
y
xn ° z. Do đó, trong (2.1), thay
x
bởi
và bởi
z
, ta được
xn
b
1- e
s2
a
é
ù
d(xn + 1, fz) = d(fxn , fz) £
d(x ,z) + ge y (e) 1 + d(x ,x ) + d(z,x ) .
(2.6)
ê
ú
û
n
n
0
0
ë
n ® ¥
Cho
trong (2.6) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta có
b
a
é
ù
d(z, fz) £ sge y (e) 1 + sd(z,x ) + d(z,x ) .
ê
ë
ú
û
0
0
d(z, fz) £ 0.
fz = z
z
hay là điểm bất động của f .
Cho
ta có
Vì vậy
e = 0,
Định lí sau thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh
xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong không gian
b
-mêtric sắp thứ tự đầy đủ.
(X ,d,s,° )
b
là một không gian -mêtric sắp thứ tự đầy đủ và
Định lí 2.2. Cho
f : X ® X
là một ánh xạ tăng sao cho
(1) Các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn.
u,v
f ,
tồn tại
(2) Với mọi
là điểm bất động của
sao cho so sánh
w
w Î X
u,v
w ° fw.
được với
Khi đó, có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Theo chứng minh của Định lí 2.1, có điểm bất động. Giả sử
f .
và
f
f
u,v
là hai điểm bất động của
Khi đó, tồn tại
sao cho
w
so sánh được với
w
nên bằng cách xem là x0 trong Định lí 2.1, ta có
w Î X
w ° fw.
w ° fw
u,v và
Do
lim f nw = z.
Ta sẽ chứng minh u = v = z.
n® ¥
f
fw ° fu
Trước hết, ta chứng minhu = z. Giả sử w ° u. Do là hàm tăng nên
và do đó f 2w ° f 2u. Tiếp tục quá trình này, ta được f nw ° f nu với n ³ 1. Do đó, từ
(2.1), ta có
d(u, f nw) = d(ff n- 1u, ff n- 1w)
b
1- e
s2
a
d(f n- 1u, f n- 1w) + ge y (e) 1 + d(f n- 1u,x0) + d(f n- 1w,x0)
é
ù
£
ê
ú
û
ë
b
1- e
s2
a
=
d(u, f n- 1w) + ge y (e) 1 + d(f n- 1u,x0) + d(f n- 1w,x0) .
é
ù
(2.7)
ê
ú
û
ë
187
Cho n ® ¥ trong (2.7) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta được
b
1
1- e
a
é
ù
d(u,z) £
d(u,z) + ge y (e) 1 + d(u,x ) + sd(z,x ) .
ê
ë
ú
û
0
0
s
s
b
Suy ra ed(u,z) £ N ea y (e) với
Điều này
é
ù
N = sg 1+ d(u,x ) + sd(z,x ) > 0.
ê
ú
û
0
0
ë
d(u,z) £ N y (e)
e Î [0,1].
d(u,z) £ K y (0) = 0.
ta có Suy
dẫn đến
với mọi
Cho
e = 0,
d(u,z) = 0
ra
hay u = z.
Bằng cách tương tự, ta cũng chứng minh được v = z. Vậy u = v.
s = 1
nên từ Định lí 2.1 ta
Nhận xét 2.3. Vì mỗi mêtric là một -mêtric với
nhận được [10, Theorem 3.1].
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.1. Hơn nữa, ví dụ này cũng chứng tỏ rằng
Định lí 2.1 là một mở rộng của [10, Theorem 3.1].
X = {1,2, 3, 4, 5}
¡
và ánh xạ
Ví dụ 2.4. Cho
với thứ tự thông thường
trên
£
xác định bởi
d : X ´ X ® [0,¥ )
ì
ï
0 neáu x = y
ï
ï
ï
ï
ï
ï
1 neáu (x,y)Î {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}
d(x,y) = 2 neáu (x,y)Î {(2,3),(3,2)}
í
ï
ï
38 neáu (x,y)Î {(1,4),(4,1),(1,5),(5,1)}
ï
ï
ï
ï
18 tröôøng hôïp coøn laïi.
ï
ï
î
b
s = 2.
Khi đó, (X ,d,s,° ) là không gian -mêtric sắp thứ tự đầy đủ với
Xét ánh
xác định bởi f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = 1, f 5 = 3. Chọn x0 = 1. Ta có
t Î [0,1]. Khi đó, với mọi
f : X ® X
xạ
x0 £ fx0. Chọn a = b = g = 1 và y (t) = t với
(x,y) Î X ´ X
mà x £ y và với mọi e Î [0,1], ta xét các trường hợp sau.
(x,y) Î {(1,2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)}.
Trường hợp 1. x = y hoặc
Khi đó
b
1- e
22
a
é
ù
d(fx, fy) = 0 £
d(x,y) + ge y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) .
ê
ë
ú
û
0
0
(x,y) = (1,5).
d(fx, fy) = 1
và
Trường hợp 2.
1- e
Khi đó
b
19
16
2071
256
a
d(x,y) + ge y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) = (4e -
)2 +
+ 23e2.
é
ù
ê
ú
0
0
22
ë
û
(x,y) Î {(2,5),(3,5)}.
d(fx, fy) = 1
và
Trường hợp 3.
1- e
Khi đó
b
3
63
a
d(x,y) + ge y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) = (3e - )2 +
+ 31e2.
é
ù
ê
ë
ú
û
0
0
22
4
16
(x,y) = (4,5).
d(fx, fy) = 1
và
Trường hợp 4.
Khi đó
188
b
1- e
22
3
63
16
a
d(x,y) + ge y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) = (3e - )2 +
+ 68e2.
é
ù
ê
ú
û
0
0
ë
4
Như vậy, từ các trường hợp trên ta có điều kiện (2) của Định lí 2.1 được thỏa
f
mãn. Hơn nữa, là ánh xạ tăng và liên tục. Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1 được
thỏa mãn. Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng được cho ánh xạ f .
Tuy nhiên, vì 38 = d(4,1) > d(4, 3) + d(3,1) = 19 nên ánh xạ
d
không là một
đã chọn.
mêtric trên X . Do đó, [10, Theorem 3.1] không áp dụng được cho ánh xạ
d
Cuối cùng, chúng tôi vận dụng Định lí 2.1 để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương
trình tích phân phi tuyến.
C[a,b]
[a,b]
, quan hệ thứ
Hệ quả 2.5. Cho
là tập hợp các hàm số liên tục trên
C[a,b]
b
d
tự trên
xác định bởi: x ° y nếu x(t) £ y(t) với mọi t Î [a,b] và -mêtric với
s = 2p- 1
C[a,b]
trên
xác định bởi
d(x,y) sup |x(t) y(t)|p
t[a,b]
x,y C[a,b]
p 1.
Xét phương trình tích phân phi tuyến
với mọi
và với
b
x(t) g(t) K (t,s,x(s))ds
(2.8)
a
t [a,b], g : [a,b] K : [a,b][a,b] x([a,b])
x [a,b]
là các
trong đó
với mỗi
hàm số cho trước. Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn:
(H1) là hàm số liên tục trên [a,b] và mỗi t Î [a,b], x Î C[a,b] sao cho
K (t,s,x(s)) khả tích theo biến
trên [a,b].
g
s
b
(H2) T x Î C[a,b] với x Î C[a,b], trong đó
với
T x(t) g(t) K (t,s,x(s))ds
a
t Î [a,b].
(H3) Với t Î [a,b], x,y Î C[a,b] mà x(u) £ y(u) với mọi u Î [a,b], ta có
K (t,s,x(s)) £ K (t,s,y(s)).
b
(H4) Tồn tại x0 Î C[a,b] sao cho
với mọi
0
x (t) £ g(t) + òK (t,s,x (s))ds
0
a
t Î [a,b].
(H5) Với
tại hằng số
t,s Î [a,b]
và x,y Î C[a,b] sao cho x(u) ° y(u) với mọi u Î [a,b], tồn
và b Î [0, a ] sao cho
a ³ 1
K (t,s,x(t)) - K (t,s,y(t)) p
b
p
p
p
é
ê
ë
ù
£ x(t,s)(1- e) x(t) - y(t) + ea y (e) 1 + x(t) - x (t) + y(t) - x (t)
ê
ú
0
0
ú
û
e Î [0,1],
x : [a,b]´ [a,b]® [0, ¥ )
là hàm số liên tục thỏa mãn
với mọi
trong đó
189
b
1
sup ò x(s,t)ds £
.
22p- 2(b - a)p- 1
tÎ [a,b]
a
Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệmx Î C[a,b].
Chứng minh. Xét ánh xạ T :C[a,b] C[a,b] xác định bởi
b
T x(t) g(t) K (t,s,x(s))ds
a
với mọi t [a,b] và x C[a,b]. Khi đó, sự xác định của ánh xạ
T
được suy ra từ giả
dẫn đến sự tồn tại
thiết (H1) và (H2). Hơn nữa, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ
T
nghiệm của phương trình tích phân (2.8). Do đó, ta sẽ chứng minh rằng các giả thiết
của Định lí 2.1 được thỏa mãn.
(1) Với x,y Î C[a,b] mà x ° y, ta có x(s) £ y(s) với mọi s Î [a,b]. Do đó, từ giả
thiết (H3), với mọi t Î [a,b], ta có
b
b
T x(t) = g(t) +
òK (t,s,x(s))ds £ g(t) + òK (t,s,y(s))ds.
a
a
Điều này dẫn đến T x ° T y hay
T
là ánh xạ tăng.
(2) Từ giả thiết (H4), ta suy ra tồn tại x0 Î C[a,b] sao cho x0 ° Tx0.
1
1
(3) Lấy q 1 sao cho
1. Từ giả thiết (H5), ta có
p
q
p
b
b
|T x(t) - T y(t)|p £
òK (t,s,x(s))ds - òK (t,s,y(s))ds
a
a
p
b
æ
ö
÷
÷
÷
÷
ç
ç
£
£
K (t,s,x(s)) - K (t,s,y(s)) ds
ç
çò
÷
è a
ø
p
1
1
é
ù
b
b
q
p
ê
ú
ú
ú
ú
æ
ö æ
ö
p
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ç
ç
ê
÷
ç
ç
ds
K (t,s,x(s)) - K (t,s,y(s)) ds
÷
ç
ç
ê
çò çò
÷
÷
ç
ç
ê
è a ø è a
ê
ú
û
ë
b
é
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
p
ê
êò x(t,s)(1- e)|x(t) - y(t)| ds
£ (b - a)p- 1
ê
êa
b
b
ê
a
p
p
é
ù
+ ò e y (e) 1+|x(t) - x (t)| +|y(t) - x (t)|
0
0
ds
ê
ê
ú
û
ë
ê
ú
û
a
ë
b
£ (1- e)(b - a)p- 1d(x,y) x(t,s)ds
ò
a
b
p
a
é
ù
+ (b - a) e y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x )
ê
ú
û
0
0
ë
190
b
1- e
22p- 2
p
a
é ù
d(x,y) + (b - a) e y (e) 1 + d(x,x ) + d(y,x ) .
0 0
£
ê
ë
ú
û
Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với g = (b - a)p ³ 0.
(4) C[a,b] là không gian -mêtric đầy đủ với -mêtric
là dãy tăng trong C[a,b] và lim xn = x. Khi đó, với mỗi t Î [a,b], ta có
b
b
d
đã chọn. Hơn nữa, giả
sử
{xn }
n® ¥
t Î [a,b], ta có
x1(t) £ x2(t) £ ... £ xn (t) £ ... và lim xn (t) = x(t). Do đó, với mỗi
n® ¥
xn (t) £ x(t) với mọi n Î ¥. Suy ra xn ° x với mọi n Î ¥. Vậy giả thiết (H) trong
Định lí 2.1 được thỏa mãn.
T
Như vậy, các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Do đó, ánh xạ có điểm
bất động x Î C[a,b].Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm
x Î C[a,b].
Tài liệu tham khảo
[1]. A. Aghajani, M. Abbas, and J. R. Roshan (2014), “Common fixed point of
generalized weak contractive mappings in partially ordered -metric spaces”,
Math. Slovaca, 64(4), 941 – 960.
[2]. J. R. Roshan, V. Parvaneh, S. Sedghi, N. Shobkolaei, and W. Shatanawi (2013),
“Common fixed points of almost generalized (y,j )s -contractive mappings in
ordered b-metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2013:159, 1 – 23.
[3]. M. Eshaghi, S. Mohseni, M. R. Delavar, M. D. L. Sen, G. H. Kim, and A. Arian
(2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory
Appl., 2014:130, 1 – 10.
[4]. N. T. Hieu and N. V. Dung (2015), “Some fixed point results for generalized
rational type contraction mappings in partially ordered b-metric spaces”, Facta
Univ. Ser. Math. Inform. 30(1), 49 – 66.
[5]. P. Collaco and J. C. E. Silva (1997), “A complete comparison of 25 contraction
conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471 – 476.
[6]. S. Balasubramanian (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math. Sci.,
8(3), pp.65 – 69.
b
[7]. S. Czerwik (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in -metric
spaces”, Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46(2), 263 – 276.
[8]. T. V. An, N. V. Dung, Z. Kadelburg, and S. Radenovic (2015), “Various
generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev. R. Acad.
Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 109, 175 – 198.
[9]. V. Pata (2011), “A fixed point theorem in metric spaces”, J. Fixed Point Theory
Appl., 10, 299 – 305.
[10]. Z. Kadelburg and S. Radennovic (2014), “Fixed point and tripled fixed point
theorems under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int. J. Anal. Appl.,
6(1), 113 – 122.
10 trang
25700
Free
Bạn đang xem tài liệu "Định lí điểm bất động với điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric sắp thứ tự", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- dinh_li_diem_bat_dong_voi_dieu_kien_co_kieu_pata_trong_khong.pdf
