Giáo trình Kĩ thuật thông tin số - Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu
- Chæång II-
9/15/2
Chæång
2
Tên hiãu va phán têch tên hiãu
Nhæ âa giåi thiãu trong chæång træåc, chæång nay chung ta se tçm hiãu nhæng net chênh vã tên
hiãu va phæång phap phán têch tên hiãu.
Tên hiãu (signal) la biãu diãn vát ly cua tin tæc. Trong hã thäng truyãn tin, tên hiãu nhán âæåc
thæång bao gäm phán chæa tin tæc mong muän va phán khäng mong muän thãm vao. Phán
mong muän goi la tên hiãu co êch, phán khäng mong muän goi la nhiãu (noise). Trong
chæång nay gia sæ tên hiãu va nhiãu âæåc cäng vao nhau å bãn thu va goi chung la tên hiãu.
Trong thæc tã co thã nhiãu tac âäng vao tên hiãu bàng cach nhán vê du nhæ fading.
Chæång nay âæa ra cac cäng cu toan hoc âã biãu diãn tên hiãu, trãn cå så biãu diãn nay tiãn
hanh phán têch tên hiãu âã rut ra cac âàc træng thêch håp cho tên hiãu tuy theo cac khêa canh
æng dung ky thuát khac nhau cua no.
Chæång nay táp trung giåi thiãu phæång phap phán têch thåi gian, phán têch phä (spectral
analysis) va phán têch tæång quan (correlation analysis).
Phán têch thåi gian âæåc hiãu theo nghéa biãu diãn tên hiãu trong miãn thåi gian va trãn cå så
âo, tçm ra cac âai læång âàc træng cua tên hiãu nhæ nàng læång, cäng suát, trë trung bçnh...
Phán têch phä liãn quan âãn viãc mä ta tên hiãu trong miãn tán sä va mäi liãn quan giæa mä
ta trong miãn tán sä va miãn thåi gian. Phán têch tæång quan å cuäi chæång danh âã phán
têch tên hiãu ngáu nhiãn. Tên hiãu trong thäng tin chênh la loai tên hiãu ngáu nhiãn nay.
2.1 Giåi thiãu
2.1.1 Âënh nghéa tên hiãu
Tên hiãu âæåc âënh nghéa nhæ la biãu diãn vát ly cua tin tæc. Âo la mät âai læång vát ly biãn
thiãn theo thåi gian, khäng gian hay cac biãn âäc láp khac. Vã màt toan hoc, co thã xem tên
hiãu la ham theomät hoàc nhiãu biãn âäc láp. Vê du nhæ, ham
x(t) = 5t
mä ta tên hiãu thay âäi tuyãn tênh theo biãn thåi gian t. Hay ham
s(x,y) = 3x + 2xy +10y2
mä ta tên hiãu theo hai biãn âäc láp x va y biãu diãn cho hai biãn khäng gian trong mät màt
phàng.
Mät vê du khac, tên hiãu tiãng noi la sæ thay âäi ap suát khäng khê theo thåi gian. Nhæng ta
khäng thã biãu diãn tên hiãu tiãng noi la mät ham theo thåi gian ma täng quat, ta chè co thã
biãu diãn mät âoan (segment) tiãng noi nhæ la täng cua nhiãu ham sin khac biãn âä, tán sä va
pha nhæ sau:
- 17 -
- Chæång II-
9/15/2
N
A (t)sin[2πF (t)t + θ (t)]
∑
i
i
i
i=1
Hçnh 2.1 la mät vê du vã dang song tên hiãu tiãng noi - tæ tiãng Anh "away"
Hçnh 2.1 Dang song cua tæ "away"
2.1.2 Phán loai tên hiãu
Co nhiãu cach khac nhau âã phán loai tên hiãu.
Trong mät vai æng dung, tên hiãu co thã âæåc tao ra tæ nhiãu nguän hoàc tæ nhiãu bä cam
biãn. Nhæng tên hiãu nhæ váy âæåc goi la tên hiãu âa kãnh (multichannel signals). Vê du nhæ,
tên hiãu âiãn tám âä (ECG) 3 kãnh hoàc 12 kãnh.
Xet sä biãn âäc láp, ta tháy co nhæng tên hiãu la ham theo mät biãn âån, goi la tên hiãu mät
hæång (one-dimensional signals), co nhæng tên hiãu la ham theo M biãn (M > 1), goi la tên
hiãu M-hæång (M-dimensional signals). Vê du nhæ, tên hiãu anh ténh la tên hiãu 2 hæång vç
anh la ham âä sang theo hai biãn khäng gian.
Xet gia trë cua ham, co thã gia trë âo la mät gia trë thæc hay phæc. Do âo ta co thã phán loai
tên hiãu thanh tên hiãu thæc hay phæc.
Trong män hoc nay, ta chè xet tên hiãu thæc, mät kãnh, mät hæång, biãn la biãn thåi gian. Ta
ky hiãu tên hiãu nay la s(t) hay x(t).
Âã co thã phán têch tên hiãu, yãu cáu ta phai mä ta âæåc tên hiãu bàng mät mä hçnh toan hoc
nao âo. Co nhæng tên hiãu co thã xac âënh duy nhát bàng mät mä hçnh toan hoc quen thuäc
nhæ la bang biãu, âä thë... Loai tên hiãu nay âæåc goi la tên hiãu xac âënh hay tát âënh
(deterministic signals). Loai tên hiãu nay âæåc dung âã nhán manh ràng ta co thã biãt ro tát
ca cac gia trë cua tên hiãu trong qua khæ, hiãn tai va tæång lai.
Tuy nhiãn, thæc tã co nhiãu tên hiãu ma ta khäng thã mä ta chênh xac âæåc. Do âo khäng thã
dung mä hçnh toan hoc quen thuäc âã biãu diãn tên hiãu. Ta khäng thã dæ âoan âæåc hanh vi
cua loai tên hiãu nay. Ta goi âáy la tên hiãu ngáu nhiãn (random signals). Âã biãu diãn loai
tên hiãu nay, ta phai dæa vao cac quan sat thäng kã. Vê du tên hiãu tiãng noi, tên hiãu nhiãu la
nhæng tên hiãu ngáu nhiãn.
- 18 -
- Chæång II-
9/15/2
2.2Biãu diãn tên hiãu xac âënh theo thåi gian
2.2.1 Tên hiãu vát ly va tên hiãu toan hoc
Tên hiãu vát ly (physical signals) la tên hiãu co thã thæc hiãn âæåc vã màt vát ly (physically
realizable). Tên hiãu vát ly phai thoa man cac yãu cáu sau:
- Co gia trë hæu han, xac âënh trong mät khoang thåi gian hæu han
- Co phä hæu han, xac âënh trong mät dai tán sä hæu han
- La ham liãn tuc theo thåi gian
- La ham thæc
- Co tênh nhán qua, nghéa la biãn âä s bàng 0 våi thåi gian t < 0.
Ngæåc våi tên hiãu vát ly la tên hiãu toan hoc (mathematical signals). Âo la tên hiãu chè co y
nghéa ly thuyãt va hoan toan khäng thã thæc hiãn âæåc vã màt vát ly. Hçnh 2.2 âæa ra mät vê
du vã hai loai tên hiãu xung vuäng vát ly va toan hoc.
(a)
t
t
(b)
Hçnh 2.2 Tên hiãu xung vuäng vát ly va toan hoc
(a) Xung vuäng toan hoc - (b) Xung vuäng vát ly
2.2.2 Phán loai tên hiãu dæa theo dang
Goi ky hiãu biãu diãn tên hiãu la s(t), å âáy s la biãn âä va t la thåi gian. Dæa theo biãn âä va
thåi gian, ta co thã phán tên hiãu thanh 4 loai:
Tên hiãu liãn tuc (continuous-time signals) hay tên hiãu tæång tæ (analog signals) la tên hiãu
co gia trë xac âënh tai moi thåi âiãm tæ khi tên hiãu sinh ra âãn khi kãt thuc, nghéa la ca biãn
âä va thåi gian âãu liãn tuc.
Tên hiãu råi rac (discrete-time signals) la tên hiãu chè xac âënh tai cac gia trë nao âo cua thåi
gian. Tên hiãu nay co biãn âä liãn tuc va thåi gian råi rac. Khoang cach giæa cac thåi âiãm råi
rac khäng nhát thiãt phai bàng nhau, nhæng trong thæc tã thæång khoang cach nay âæåc láy
bàng nhau. Co thã tao ra tên hiãu råi rac bàng hai cach. Mät la láy máu tên hiãu liãn tuc, âáy
la cach thäng thæång âã chuyãn tên hiãu tæ liãn tuc thanh råi rac. Hai la âo (âãm) mät âai
- 19 -
- Chæång II-
9/15/2
læång nao âo theo mät chu ky nhát âënh, vê du nhæ cán em be theo tæng thang, âo ap suát
khäng khê theo giå...
Tên hiãu læång tæ hoa (quantization signals) la tên hiãu chè co táp hæu han sä mæc biãn âä,
nghéa la biãn âä råi rac va thåi gian liãn tuc. Vê du nhæ tên hiãu ra cua bä giæ máu bác khäng
ZOH.
Tên hiãu sä (digital signals) la tên hiãu råi rac co biãn âä âæåc råi rac hoa, nghéa la ca biãn âä
va thåi gian âãu råi rac.
Hçnh 2.3 la âä thë cua 4 loai tên hiãu trãn.
•
•
(a)
(b)
(c)
(d)
Hçnh 2.3 Âä thë bän loai tên hiãu
(a) Liãn tuc - (b) Råi rac - (c) Læång tæ hoa - (d) Sä
2.2.3 Cac tên hiãu toan hoc cå ban
- Tên hiãu (delta) Dirac la tên hiãu âæåc âënh nghéa båi:
∞
s(t)δ(t)dt = s(0)
∫
−∞
våi s(t) la ham liãn tuc tai t = 0. Ngoai ra con co âënh nghéa khac cho tên hiãu Dirac la:
∞
δ(t)dt =1
∫
−∞
- 20 -
- Chæång II-
9/15/2
va
∞, t = 0
⎧
⎨
0, t ≠ 0
⎩
δ(t) =
Âä thë cua tên hiãu Dirac nhæ hçnh 2.4.
1
0
Hçnh 2.4 Tên hiãu Dirac
Tên hiãu Dirac âæåc chæng minh la co mät sä tênh chát cua nhæ:
∞
s(t)δ(t − t )dt = s(t )
∫
0
0
−∞
∞
s(t + t )δ(t)dt = s(t )
∫
0
0
−∞
Aδ(−t) = Aδ(t)
Aδ(t) = 0 , khi t ≠ 0
Aδ(t − t ) + Bδ(t − t ) = (A + B)δ(t − t )
0
0
0
Våi y(t) liãn tuc tai t0 ta co: y(t)[Aδ(t − t )] = Ay(t )δ(t − t )
0
0
0
∞
,
δ(t) = e± j2π tt dt,
∫
−∞
-Tên hiãu bæåc nhay âån vë (unit step) la tên hiãu:
1, t > 0
⎧
u(t) =
⎨
⎩
0, t < 0
Tæ âënh nghéa co thã suy ra mäi quan hã giæa tên hiãu Dirac va tên hiãu bæåc nhay âån vë nhæ
sau:
t
δ(λ)dλ = u(t)
∫
−∞
va
du(t)
= δ(t)
dt
- 21 -
- Chæång II-
9/15/2
Âä thë cua tên hiãu bæåc nhay âån vë nhæ hçnh 2.5.
1
0
Hçnh 2.5 Tên hiãu bæåc nhay âån vë
- Tên hiãu chæ nhát (rectangular) la tên hiãu:
1, t ≤ T / 2
⎧
t
⎪
Π( ) =
⎨
T
0, t > T / 2
⎪
⎩
Âä thë cua tên hiãu chæ nhát nhæ hçnh 2.6.
1
0
T/2
-T/2
Hçnh 2.6 Tên hiãu chæ nhát
Mäi quan hã giæa tên hiãu chæ nhát va tên hiãu bæåc nhay âån vë nhæ sau:
t
⎛ ⎞
∏
= u(t + T/ 2) − u(t − T/2)
⎜ ⎟
T
⎝ ⎠
- Tên hiãu tam giac (triangular) la tên hiãu:
⎧
t
1− , t ≤ T
t
⎪
Λ( ) =
T
⎨
T
⎪
0, t > T
⎩
Âä thë cua tên hiãu tam giac nhæ hçnh 2.7.
1
0
T
-T
Hçnh 2.7 Tên hiãu tam giac
- 22 -
- Chæång II-
9/15/2
- Tên hiãu däc âån vë (unit ramp) la tên hiãu:
t , t > 0
0 , t < 0
⎧
r(t) =
⎨
⎩
Âä thë cua tên hiãu däc âån vë nhæ hçnh 2.8.
0
Hçnh 2.8 Tên hiãu däc âån vë
- Tên hiãu ham mu la tên hiãu:
−at
⎧
⎪
Ae , t > t
1
x(t) =
(a co thã la sä thæc hay phæc)
⎨
0 , t < t
⎪
⎩
1
Âä thë cua tên hiãu ham mu våi a thæc va 0 < a < 1 nhæ hçnh 2.9.
0
Hçnh 2.9 Tên hiãu ham mu thæc giam
- Tên hiãu sin (tên hiãu âiãu hoa) la tên hiãu:
2π
2π
π
2
x(t) = Acos( t + θ) = Acos(2πf t + θ) = Asin( t + θ + )
0
T
T
0
0
Å âáy A la biãn âä, f0 = 1 / T0 la tán sä chè sä lán làp lai tên hiãu trong 1 âån vë thåi gian,
θ la pha chè sai khac vã goc giæa tên hiãu x(t) va tên hiãu tham chiãu co pha la 0.
Âä thë cua tên hiãu sin nhæ hçnh 2.10.
A
0
- A
Hçnh 2.10 Tên hiãu sin
- 23 -
- Chæång II-
9/15/2
Táp cac tên hiãu sin co chung tán sä âæåc mä ta båi tán sä âo va biãn âä va pha cua mäi tên
hiãu. Ta co thã biãu diãn biãn âä va pha cua mäi tên hiãu dæåi dang phæc goi la phasor.
Sæ dung cäng thæc Euler, ta co ejβ = cosβ + jsinβ. Váy ta co thã viãt lai biãu thæc cua tên
hiãu sin nhæ sau:
j2πf0t
x(t) = Re[Aej(2πf t+θ) ] ≡ Re[x (t)]⇒ x (t) =[Aejθ ]e
≡ Xej2πf t
0
0
p
p
å âáy X la sä phæc, biãn âä va pha cua X la biãn âä va pha cua tên hiãu sin. Do âo ta noi X
âàc træng cho tên hiãu sin ngoai træ tán sä. Ta noi X la biãu diãn phasor cua tên hiãu sin:
X = Aejθ
2.2.4 Cac âai læång âàc træng cua tên hiãu
-Âä dai la thåi gian tän tai cua tên hiãu tæ luc bàt âáu xuát hiãn tên hiãu cho âãn khi kãt
thuc. Thäng sä nay qui âënh khoang thåi gian bán cua hã thäng truyãn tin trong viãc truyãn âi
tin tæc chæa trong tên hiãu.
-Trë trung bçnh (time average) cua mät tên hiãu âæåc tênh theo cäng thæc:
T / 2
1
s(t) = lim
s(t)dt
∫
T→∞
T
−T / 2
Âënh nghéa tên hiãu tuán hoan våi chu ky TO la tên hiãu thoa man s(t) = s(t + T ) ∀t . Nhæ
0
váy tên hiãu vát ly khäng thát sæ la tên hiãu tuán hoan.
Nãu tên hiãu tuán hoan thç trë trung bçnh âæåc tênh nhæ sau:
T / 2+a
1
s(t) =
s(t)dt
∫
T
−T0 / 2+a
0
våi a la hàng sä tuy y co thã bàng 0.
Nãu tên hiãu vát ly thç trë trung bçnh âæåc tênh nhæ sau:
t2
1
s(t) =
s(t)dt
∫
t − t
t1
1
2
våi t2 - t1 = T la âä dai cua tên hiãu.
-Thanh phán mät chiãu cua tên hiãu DC la thanh phán khäng âäi theo thåi gian. Täng
quat mät tên hiãu co thã âæåc phán têch thanh täng cua hai thanh phán la thanh phán mät
chiãu va thanh phán khäng âäi theo thåi gian co trë trung bçnh bàng 0 goi la thanh phán xoay
chiãu. Tæ âáy co thã dã dang suy ra thanh phán mät chiãu chênh la trë trung bçnh cua tên hiãu.
- Nàng læång chuán hoa (normalized energy) cua tên hiãu âæåc tênh theo:
- 24 -
- Chæång II-
9/15/2
T / 2
E = lim s2 (t)dt
∫
T→∞
−T / 2
Âënh nghéa tên hiãu nàng læång la tên hiãu co nàng læång hæu han khac 0.
- Cäng suát chuán hoa trung bçnh (average normalized power) cua tên hiãu âæåc tênh
theo:
T / 2
2
s2 (t)dt
1
P = s (t) = lim
∫
T→∞
T
−T / 2
Âënh nghéa tên hiãu cäng suát la tên hiãu co cäng suát hæu han khac 0 va co nàng læång vä
han. Tæ âáy ta tháy khäng co tên hiãu nao væa la tên hiãu nàng læång lai væa la tên hiãu cäng
suát
- Trë hiãu dung rms (root mean square) cua tên hiãu âæåc âënh nghéa la càn bác hai cua
cäng suát chuán hoa trung bçnh.
2.3Chuäi Fourier - Phä cua tên hiãu tuán hoan
Tên hiãu s(t) nàng læång hæu han tuán hoan våi chu ky TO co thã âæåc biãu diãn dæåi dang
täng vä han cua cac tên hiãu sin. Täng nay goi la chuäi Fourier (Fourier series), co thã âæåc
viãt dæåi nhiãu dang khac nhau. Mät trong cac dang âo la:
∞
∞
2πnt
2πnt
s(t) = A + a cos
+
b sin
n
∑
∑
0
n
T
T
n=1
n=1
0
0
Hàng sä AO la trë trung bçnh cua s(t), âæåc tênh båi:
T / 2
1
A =
s(t)dt
∫
0
T
−T0 / 2
0
Cac hã sä an va bn âæåc tênh båi:
T / 2
2
2πnt
a =
s(t)cos
s(t)sin
dt
dt
∫
n
T
T
−T0 / 2
0
0
T / 2
2
2πnt
b =
∫
n
T
T
−T0 / 2
0
0
Mät dang khac cua chuäi Fourier la:
∞
⎛
⎜
⎞
2πnt
⎟
s(t) = C + C cos
+ Φ
n
∑
0
n
⎜
⎝
⎟
⎠
T
n=1
0
Å âáy CO , Cn va φn liãn quan våi an , bn va AO theo cäng thæc
- 25 -
- Chæång II-
9/15/2
C = A
0
0
C = a2 + b2
n
n
n
b
n
n
Φ = −arctg
n
a
Váy chuäi Fourier cua mät ham tuán hoan la täng cac hai cua tán sä cå ban fO = 1/TO .Hã sä
Cn goi la biãn âä cua thanh phán phä (spectral component) Cn cos (2π n fOt + φn) tai tán sä
nfO . Hçnh 2.11a chè ra phä biãn âä âiãn hçnh (amplitude spectrum) Cn cua tên hiãu tuán
hoan. Phä nay co dang råi rac nãn con âæåc goi la phä vach (line spectrum).
Chuäi Fourier con co thã âæåc biãu diãn dæåi dang ham mu (exponential form) nhæ sau:
∞
A ej2π nt / T
0
s(t) =
∑
n
n=−∞
å âáy
T0 / 2
s(t)e−j2π nt / T0 dt
1
A =
∫
n
T
−T0 / 2
0
Hã sä An la hã sä phæc, liãn hã våi Cn theo cäng thæc :
A = C
0
0
C
ejΦ
n
n
A =
n
2
Cac hã sä An la biãn âä cua thanh phán phä . Hçnh 2.11b chè ra phä biãn âä An . Âã y tháy
ràng cac vach phä tai hçnh 2.11a tai tán sä fo âæåc thay bàng 2 vach phä hçnh 2.11b våi biãn
âä mäi vach giam âi mät næa, mät vach å tán sä fO va vach kia å tán sä -fO . Phä biãn âä
hçnh 2.11a goi la phä mät phêa (single - sided spectrum) con phä biãn âä hçnh 2.11b goi la
phä hai phêa (two - sided spectrum). Sæ dung phä hai phêa thuán tiãn hån trong tênh toan, do
âo sau nay chung ta se sæ dung phä hai phêa.
Vã màt ly thuyãt sä vach phä cua s(t) la vä han, nghéa la phä âæåc phán bä trãn suät thang
tán sä. Tuy nhiãn nãu tênh toan cu thã se tháy våi háu hãt tên hiãu thç khi n tàng âãn mät gia
trë âu lån nao âo, biãn âä Cn se giam kha nhanh va co thã bo qua. Do âo thæc tã co thã xem
nhæ phä chè phán bä trãn mät khoang tán sä hæu han.
Âënh nghéa khoang ma phä chiãm trãn thang tán sä goi la bã räng phä (spectral bandwidth)
cua tên hiãu.
Cach xac âënh bã räng phä nhæ sau: goi B la bã räng phä, B âæoc tênh la sai khac giæa hai
tán sä dæång lån nhát va nho nhát ma trong khoang âo
- 26 -
- Chæång II-
9/15/2
S(f ) ≥ a S(f ) max
Hã sä a âæåc chon la hàng sä dæång tuy æng dung. Thæång chon a =1/ 2 = 0.707 . Ta
nhán tháy tên hiãu sin biãn âä A co cäng suát trung bçnh la A2 / 2 va tên hiãu sin biãn âä
A/ 2 co cäng suát trung bçnh bàng mät næa la A2 / 4. Ta biãt ty sä cäng suát la 1/2 = -3 dB
Do âo bàng thäng våi a =1/ 2 = 0.707 con âæåc goi la bàng thäng - 3 dB.
Hçnh 2.12 la mät vê du vã xac âënh bàng thäng cua tên hiãu.
Cn
(a)
n/T0
0/T0 1/T0 2/T0 3/T0 . . .
A
n
(b)
. . . -3/T0 -2/T0 -1/T0 0 1/T0 2/T0 3/T0 . . .
n/T0
Hçnh 2.11 (a) Phä biãn âä mät phêa cua tên hiãu tuán hoan.
(b) Phä biãn âä hai phêa tæång æng
a A
n
max
0
n/T0
B
Hçnh 2.12 Vê du xac âënh bàng thäng tên hiãu
2.4 Phep biãn âäi Fourier - Phä cua tên hiãu khäng tuán hoan
2.4.1 Càp biãn âäi Fourier thuán va ngæåc
- 27 -
- Chæång II-
9/15/2
Xet tên hiãu s(t) khäng tuán hoan. Âã ap dung cac cäng thæc trong phán træåc ta xem tên hiãu
khäng tuán hoan la tên hiãu tuán hoan co chu ky lån vä cung TO → ∞ . Nhæ ta âa tháy, tên hiãu
tuán hoan la täng cua cac vach phä. Cac vach phä nay co biãn âä hæu han va phán cach nhau
båi khoang tán sä hæu han fO = 1/TO . Khi TO → ∞ thç khoang cach giæa cac vach phä trå nãn
vä cung be 1/TO → df. Biãn tán sä tæ khäng liãn tuc trå nãn liãn tuc n /TO → f. Hã sä Fourier
An trå thanh:
T0 / 2
∞
s(t)e− j2π nt / T0 dt = s(t)e− j2π f t dt df
⎡
⎤
1
A(f ) = lim A = lim
⎢
⎥
∫
∫
n
T →∞ T
T0 →∞
0
⎢
⎣
⎥
⎦
−T0 / 2
−∞
0
Nãu têch phán trong dáu moc vuäng häi tu thç A(f) la mät vä cung be. Âàt:
∞
S(f ) = s(t)e−j2πf t dt
∫
−∞
S(f) âæåc goi la mát âä phä (spectral density) hay phä hay la biãn âäi Fourier (Fourier
Transform) cua tên hiãu s(t).
Cung láy giåi han nhæ trãn, ta co thã tênh ngæåc s(t) tæ S(f) nhæ sau:
∞
∞
A ej2π nt / T = S(f )ej2πf t df
0
s(t) = lim
∑
∫
n
T0 →∞
n=−∞
−∞
Cac cäng thæc S(f) va s(t) håp thanh càp biãn âäi Fourier cua tên hiãu khäng tuán hoan s(t).
S(f) la biãn âäi thuán, s(t) la biãn âäi ngæåc.
Càp biãn âäi Fourier chè ro, vã màt vát ly, co thã xem tên hiãu s(t) la täng cua vä sä dao âäng
âiãu hoa co tán sä biãn thiãn liãn tuc trãn suät truc tán sä våi biãn âä vä cung be phán bä trãn
truc tán sä theo mát âä S(f).
2.4.2 Mát âä phä cua tên hiãu tuán hoan
Vç tên hiãu tuán hoan chàng qua chè la mät træång håp âàc biãt cua tên hiãu khäng tuán hoan
nãn täng quat, ta co thã gan ca khai niãm mát âä phä cho tên hiãu tuán hoan. Do âàc âiãm
cua phä vach nãn mát âä phä cua tên hiãu tuán hoan phai co tênh chát: lån vä cung å cac
vach phä va triãt tiãu å ngoai cac vach âo. Váy co thã dung tên hiãu Dirac âã biãu diãn mát
âä phä cua tên hiãu tuán hoan. Láy biãn âäi Fourier cho ca hai vã cua cäng thæc chuäi
Fourier dang ham mu, ap dung tênh chát cua tên hiãu Dirac ta âæåc mát âä phä cua tên hiãu
tuán hoan ST (f) nhæ sau:
∞
∞
j2πn f t
−j2π f tdt
⎛
⎞
0
⎜
⎜
⎟
S (f ) =
A e
e
∑
∫
⎟
⎠
T
n
n=−∞
−∞
⎝
∞
∞
e−j2 π(f −n f )t dt
0
=
A
∑
∫
n
n=−∞
−∞
- 28 -
- Chæång II-
9/15/2
∞
=
A δ(f − nf )
n 0
∑
n=−∞
2.4.3 Phä biãn âä va phä pha
Täng quat phä S(f) la mät ham phæc theo biãn f. Do âo ta co thã biãu diãn S(f) dæåi dang
sau:
jϕ(f )
]
]
S(f ) = Re S(f ) + jIm S(f ) = S(f ) e
Trong âo:
S(f ) = Re2[S(f )]+ Im2[S(f )] goi la phä biãn âä (amplitude spetrum), âån vë cua phä
biãn âäla A/Hz hay V/Hz
Im[S(f )]
va ϕ(f ) = arctg
goi la phä pha (phase spectrum), âån vë cua phä pha la radian
Re[S(f )]
hay âä.
Hçnh 2.13 la phä biãn âä va phä pha cua tên hiãu chæ nhát.
Hçnh 2.13 Phä biãn âä va phä pha cua tên hiãu chæ nhát
2.4.4 Âënh ly Parseval va mát âä phä nàng læång
Âënh ly Parseval phat biãu nhæ sau:
∞
∞
s (t)s∗ (t)dt = S (f )S∗ (f )df
∫
∫
1
2
1
2
−∞
−∞
Nãu s (t) = s (t) = s(t) thç:
1
2
∞
∞
E = s(t) 2 dt = S(f ) 2df
∫
∫
−∞
−∞
Âáy cung chênh la näi dung cua âënh ly nàng læång Rayleigh.
Chæng minh:
Biãn âäi vã trai, ap dung cäng thæc biãn âäi Fourier ngæåc, ta âæåc:
- 29 -
- Chæång II-
9/15/2
∞
∞
⎡
⎢
⎤
Vã trai =
S (f )ej2 πf t df s• (t)dt
⎥
∫⎢ ∫
1
2
⎥
⎦
−∞ −∞
⎣
Gia sæ cac têch phán nay âãu häi tu tuyãt âäi, theo âënh ly Fubini ta co thã thay âäi thæ tæ láy
têch phán va âæåc nhæ sau:
∗
∞
∞
⎡
⎤
Vã trai = S (f ) s (t)e− j2πf t dt df
⎢
⎥
∫
∫
1
2
⎢
⎣
⎥
⎦
−∞
−∞
∞
= S (f )S∗ (f )df
∫
1
2
−∞
Âënh nghéa mát âä phä nàng læång ESD (Energy Spectral Density) cua tên hiãu nàng læång
la:
E(f ) = S(f ) 2
Âån vë cua E (f) la joule trãn hertz (J/Hz). Sæ dung âënh ly Parseval co thã biãu diãn nàng
læång chuán hoa theo ESD nhæ sau:
∞
E =
E (f)df
∫
−∞
2.4.5 Mát âä phä cäng suát
Mát âä phä cäng suát PSD (Power Spectral Density) la ham nãu lãn mäi liãn quan giæa
cäng suát chuán hoa cua tên hiãu va mä ta tên hiãu trong miãn tán sä. PSD âæåc âënh nghéa
theo cach tæång tæ nhæ ESD. PSD hiãu qua hån ESD vç loai tên hiãu cäng suát âæåc sæ dung
räng rai trong viãc nghiãn cæu cac hã thäng truyãn tin.
Træåc hãt âënh nghéa ham càt got (truncated version) cua mät tên hiãu la:
s(t), − T / 2 < t < T / 2
⎧
⎨
⎩
t
⎛ ⎞
s (t) =
= s(t)Π
⎜ ⎟
T
0,
t ≠
T
⎝ ⎠
Cäng suát chuán hoa trung bçnh tênh theo ham càt got la:
T / 2
∞
2
s2 (t)dt
1
1
P = lim
s (t)dt = lim
T→∞
∫
∫
T
−∞
T
T→∞
T
−T / 2
Sæ dung âënh ly Parseval thç cäng suát trãn trå thanh:
- 30 -
- Chæång II-
9/15/2
S (f ) 2
⎛
⎞
∞
∞
2
⎜
⎟
1
T
P = lim
S (f ) df = lim
df
⎜
⎟
⎟
⎠
∫
∫
T
T→∞
T→∞
T
T
⎜
−∞
−∞
⎝
Å âáy ST (f) la biãn âäi Fourier cua sT(t). Têch phán bãn vã phai goi la PSD. Váy âënh nghéa
mát âä phä cäng suát PSD cua tên hiãu cäng suát la:
2
⎛
⎞
⎟
S (f )
⎜
T
P (f) = lim
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎠
T→∞
T
Âån vë cua PSD la W/Hz hay V2 /Hz hay A2 /Hz. Læu y ràng PSD la mät ham thæc khäng ám
theo tán sä. Tæ âáy co thã biãu diãn cäng suát chuán hoa trung bçnh theo PSD nhæ sau:
∞
P = P (f) df
∫
−∞
2.4.6 Cac tênh chát cua phä
Bang 2.1 nãu cac tênh chát cua phä. Phán chæng minh cho cac tênh chát nay coi nhæ la bai
táp vã nha.
2.5Tên hiãu ngáu nhiãn ( qua trçnh ngáu nhiãn )
Âäi våi thäng tin, quan niãm xac âënh vã tên hiãu chè co thã cháp nhán âæåc vã màt ly thuyãt
chæ khäng phu håp våi thæc tã. Vç nãu chung ta xem tên hiãu la biãt træåc thç vã màt y nghéa
tin tæc ma noi, viãc truyãn tên hiãu la khäng cán thiãt. Hån næa nhiãu tac âäng vao hã thäng
truyãn tin cung khäng thã biãt træåc. Tuy nhiãn nãu chung ta hoan toan khäng biãt gç vã tên
hiãu hay nhiãu thç cung khäng co cå så gç âã phán biãt tên hiãu co êch våi nhiãu, va do âo se
khäng thã thu âæåc tên hiãu. Âã thu âæåc tên hiãu thäng tin ta phai biãt âæåc cac âàc tênh
thäng kã cua no va diãn ta trãn cå så ly thuyãt xac suát. Ta goi cac tên hiãu xet theo quan
âiãm thäng kã nay la tên hiãu ngáu nhiãn hay con goi la qua trçnh ngáu nhiãn (random
processes).
2.5.1 Âënh nghéa va phán loai qua trçnh ngáu nhiãn
Âã co mät khai niãm vã qua trçnh ngáu nhiãn, træåc hãt ta xet mät vê du cu thã. Theo doi cac
dang song âiãn ap phat ra tæ cung mät nguän nhiãu hçnh 2.14, ta tháy cac dang song âo
khäng giäng nhau, âo co thã laξ (t),ξ (t),...,ξ (t). Táp tát ca cac âæång cong
ξ (t)
goi
1
2
i
i
la táp håp (ensemble) va táp håp âo âæåc goi la qua trçnh ngáu nhiãn ξ(t)mä ta nhiãu. Khi
quan sat cac dang song âiãn ap phat ra tæ cung mät nguän nhiãu, viãc ta nhán âæåc mät
âæång cong nao trong táp håp âo la mät sæ kiãn (event) ngáu nhiãn khäng thã dæ âoan âæåc.
Mät âæång congξ (t) goi la mät thã hiãn (sample function), cac thã hiãn nay tuy khac nhau
i
nhæng xet theo quan âiãm xac suát thäng kã thç chung lai liãn hã nhau båi cac quy luát thäng
- 31 -
- Chæång II-
9/15/2
Bang 2.1 Tênh chát cua phä
Tênh chát
Tên hiãu
Phä
a s (t) + a s (t)
a S (f ) + a S (f )
1 1 2 2
Tuyãn tênh
1 1
2
2
e− j2 πf T0 S(f )
s(t − T )
0
Trã thåi gian
s(at)
1
a
f
⎛ ⎞
S
⎜ ⎟
Thang ty lã
a
⎝ ⎠
s∗ (t)
S∗ (−f )
Liãn håp phæc
Âao thåi gian
s(−t)
S(−f )
jθ
−jθ
s(t)cos(2πf t + θ)
1
2
0
e S(f − f ) + e S(f + f )
]
Âiãu chã
0
0
s(t)ej2 πf t
0
Trã tán sä
S(f − f )
0
(j2πf )n S(f )
dns(t)
Vi phán
dtn
t
−1
1
(j2πf ) S(f ) − S(0)δ(f )
s(τ)dτ
Têch phán
∫
2
−∞
s (t)∗s (t)
1
2
S (f )S (f )
∞
1
2
Cháp
= s (τ)s (t − τ)dτ
∫
1
2
−∞
S (f )∗S (f )
1
2
s (t)s (t)
∞
1
2
Nhán
= S (υ)S (f − υ)dυ
∫
1
2
−∞
tns(t)
dnS(f )
df n
( − j2π)−n
Nhán våi tn
- Nãu s(t) thæc thç phä biãn âä la ham chàn va phä pha la ham le
- Nãu s(t) thæc chàn thç S(f) la ham thæc
- Nãu s(t) thæc le thç S(f) la ham thuán tuy ao.
- 32 -
- Chæång II-
9/15/2
kã. Ta co thã âat âæåc cac thã hiãn âo bàng cach quan sat âäng thåi âáu ra cua nhiãu nguän
nhiãu giäng hãt nhau. Âã täng quat, sä nguän nhiãu phai la vä han.
ξ (t)
Nguän
ξ (t)
2
ξi (t)
Hçnh 2.14 Nguän nhiãu ngáu nhiãn va mät vai thã hiãn cua qua trçnh nhiãu ngáu nhiãn
Tæ vê du trãn ta co thã âënh nghéa qua trçnh ngáu nhiãn la mät táp håp cac ham theo thåi gian
ξ (t),ξ (t),...,ξ (t) (i → ∞) liãn hã våi nhau båi nhæng quy luát thäng kã.
1
2
i
Co thã phán loai qua trçnh ngáu nhiãn thanh qua trçnh ngáu nhiãn liãn tuc (continuous
random process) hay råi rac (discrete randomm process) tuy theo ξ(t)phán bä liãn tuc hay
råi rac. Vê du nhæ nhiãu xet å trãn la qua trçnh ngáu nhiãn liãn tuc, tên hiãu nhë phán å âáu ra
bä tao nhë phán la qua trçnh ngáu nhiãn råi rac (hçnh 2.15).
ξ (t)
1
Tao
nhë
phán
ξ (t)
2
ξ (t)
i
Hçnh 2.15 Mät sä thã hiãn cua qua trçnh ngáu nhiãn råi rac
- 33 -
- Chæång II-
9/15/2
2.5.2 Cac ham phán bä xac suát cua qua trçnh ngáu nhiãn
Xet å mät thåi âiãm t1 , qua trçnh ngáu nhiãn la mät âai læång ngáu nhiãnξ(t ) co thã láy
1
cac gia trëξ (t ),ξ (t ),...,ξ (t ). Âai læång ngáu nhiãn nay co ham phán bä xac suát
1
1
2
1
i
1
têch luy CDF (Culmative Distribution Function) âæåc âënh nghéa la:
F (x,t ) = p
ξ(t ) ≤ x
1
1
1
va co ham mát âä xac suát PDF (Probability Density Function) âæåc âënh nghéa la:
∂F (x,t )
1
1
f (x,t ) =
1
1
∂x
CDF va PDF å trãn âæåc goi chung la cac ham phán bä xac suát cáp mät (do chè xet å mät
thåi âiãm). Å âáy chè co mät biãn thåi gian la t1 nãn âã cho gon co thã thay t1 bàng t.
Dã dang nhán tháy âæång cong CDF co âàc âiãm la âäng biãn theo x va nàm trong dai (0,1);
con âæång cong PDF co âàc âiãm la khäng ám va phán diãn têch giåi han båi PDF va truc
hoanh Ox la 1.Hçnh 2.16 la mät vê du âä thë cua CDF va PDF
Âënh ly (khäng chæng minh):
x2
F (x ,t ) −F (x ,t ) = p
{
ξ(t ) ≤ x
}
− p
{
ξ(t ) ≤ x
}
= p
{
x ≤ ξ(t ) ≤ x
}
= f (x,t )dx
∫
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
x1
Âã xac âënh hoan toan qua trçnh ngáu nhiãn ta xet qua trçnh ngáu nhiãn å N thåi âiãm khac
nhau våi N lån vä vung. Tuy nhiãn trong nhiãu træång håp ta chè cán xet âãn N = 2 la âu.
Khi N = 2 ta co CDF va PDF cáp hai nhæ sau:
F (x ,x ,t ,t ) = p
ξ(t ) ≤ x ,ξ(t ) ≤ x
2
1
2
1
2
1
1
2
2
∂F (x ,x ,t ,t )
2
1
2
1
2
f (x ,x ,t ,t ) =
2
1
2
1
2
∂x ∂x
1
2
CDF
PDF
Hçnh 2.16 CDF va PDF cua mät qua trçnh ngáu nhiãn liãn tuc
- 34 -
- Chæång II-
9/15/2
2.5.3 Cac trë trung bçnh theo táp håp
Sau âáy la mät sä trë trung bçnh theo táp håp (ensemble average) co y nghéa hån ca:
Trë trung bçnh hay con goi la ky vong toan (expected value):
∞
m (t) = xf (x,t)dx
∫
1
1
−∞
Trë trung bçnh bçnh phæång hay con goi la moment cáp hai (second moment):
∞
m (t) = x2f (x,t)dx
∫
2
1
−∞
Phæång sai (variance):
∞
σ2 (t) =
[
x − m (t) 2
]
f (x,t)dx = m (t) − m2 (t)
∫
1
1
2
1
−∞
Càn bác hai cua phæång sai goi la âä lãch chuán (standard deviation).
Moment hän håp cáp hai la moment láy å hai thåi âiãm khac nhau cua ham phán bä xac
suát hai chiãu:
∞ ∞
m2 (t1 ,t2 ) =
∫ ∫x x f (x ,t ,x ,t )dx dx
1
2
2
1
1
2
2
1
2
−∞−∞
2.5.4 Cac trë trung bçnh theo thåi gian va ham tæång quan
Xet mät thã hiãn la ξ (t)cua qua trçnh ngáu nhiãn trong khoang thåi gian quan sat la T.
i
Cung giäng våi tên hiãu xac âënh âa xet å træåc, âäi våi tên hiãu ngáu nhiãn, ta co cac trë
trung bçnh theo thåi gian (time average) sau âáy:
Gia trë trung bçnh (mean value):
T / 2
1
ξ (t) = lim
ξ (t)dt
k
∫
i
T→∞
T
−T / 2
Gia trë trung bçnh bçnh phæång hay con goi la gia trë quán phæång (mean-square value):
T / 2
2
ξ2 (t)dt
1
ξ (t) = lim
∫
i
i
T→∞
T
−T / 2
Càn bác hai cua gia trë quán phæång goi la gia trë quán phæång gäc (root-mean-square
value) hay la trë hiãu dung rms.
Ta nhán tháy cac trë trung bçnh trãn âáy phu thuäc vao thã hiãn i âæåc chon va âäc láp våi trë
trung bçnh theo táp håp.
- 35 -
- Chæång II-
9/15/2
Nãu xet qua trçnh ngáu nhiãn å hai thåi âiãm cach nhau mät khoan la τ ta co ham tæ tæång
quan (autocorrelation function) âæåc âënh nghéa nhæ sau:
T / 2
1
R (τ) = ξ (t)ξ (t + τ) = lim
ξ (t)ξ (t + τ)dt
i i
∫
i
i
i
T→∞
T
−T / 2
2.6Qua trçnh ngáu nhiãn dæng va ergodic
2.6.1 Qua trçnh ngáu nhiãn dæng
Qua trçnh ngáu nhiãn goi la dæng (stationary) nãu cac ham phán bä xac suát khäng thay âäi
âäi våi sæ di chuyãn bát ky cua thåi gian. Qua trçnh ngáu nhiãn goi la dæng bác N (stationary
to the order N) nãu våi t ,t ,...,t ta co:
1
2
N
f (x ,x ,...,x ,t ,t ,...,t ) = f (x ,x ,...,x ,t + t∗ ,t + t∗ ,...,t + t∗ )
N
1
2
N
1
2
N
N
1
2
N
1
2
N
å âáy t* la mät hàng sä thæc bát ky. Qua trçnh ngáu nhiãn âæåc goi la dæng chàt che (strict
stationary) nãu bác N lån âãn vä cung. Khi chon t* = -t1 thç PDF phu thuäc vao N-1 hiãu thåi
gian t − t ,t − t ,...,t − t . Váy co thã noi PDF cáp 1 khäng phu thuäc vao thåi gian,
2
1
3
1
N
1
PDF cáp 2 chè phu thuäc vao hiãu thåi gian t − t = τ.
2
1
Ro rang la âäi våi qua trçnh ngáu nhiãn dæng, cac moment nhæ ky vong toan, moment cáp 2,
phæång sai, lãch chuán âãu la hàng sä, moment hän håp cáp 2 la ham mät biãn.
2
m1 (t) = m1 , m2 (t) = m2 , σ (t) = σ, σ(t) = σ, m2 (t1 ,t2 ) = m2 (τ)
2.6.2 Qua trçnh ngáu nhiãn dæng ergodic
Qua trçnh ngáu nhiãn dæng goi la dæng ergodic nãu tát ca cac trë trung bçnh theo thåi gian cua
mät thã hiãn bát ky bàng våi trë trung bçnh theo táp håp tæång æng.
Váy våi qua trçnh ngáu nhiãn dæng ergodic thç chè cán chon mät thã hiãn cung âu thay thã
cho toan bä qua trçnh va co thã âäng nhát trë trung bçnh theo thåi gian våi trë trung bçnh theo
táp håp:
Thanh phán mät chiãu (gia trë trung bçnh, ky vong toan):
ξ (t) = ξ(t) = m
i
1
Cäng suát (gia trë quán phæång, moment cáp 2):
ξ2 (t) = ξ2 (t) = m
i
2
Trë hiãu dung:
ξ2 (t) = m = σ2 + m2
2
1
Ham tæ tæång quan:
- 36 -
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
14940
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Kĩ thuật thông tin số - Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_ki_thuat_thong_tin_so_chuong_2_tin_hieu_va_phan_t.pdf
