Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 6: Dòng chảy thế và lực nâng lực cản - Lê Văn Dực
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Chương 6: DÒNG CHẢY THẾ VÀ LỰC NÂNG LỰC CẢN
PHẦN A: DÒNG CHẢY THẾ
Trong chương này, lưu chất được nghiên cứu là lưu chất lý tưởng (không tồn tại tính nhớt), không
r
r
nén được (khối lượng riêng, ρ=const), chuyển động không quay (ω = 0 ). Chuyển động của lưu
chất thoả mãn những điều kiện đã nêu được gọi là chuyển động thế lưu chất không nén được.
Chuyển động thế có thể là chuyển động trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên, chương này chủ yếu
tập trung vào chuyển động thế hai chiều, hay còn được gọi là chuyển động thế phẳng.
Trong thực tế lưu chất luôn luôn tồn tại tính nhớt. Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động của lưu
chất lý tưởng cũng đóng một vai trò quan trọng vì một số lý do sau đây:
1. Khi lưu chất chuyển động với số Re > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tồn tại trong một
lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên. Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng của tính nhớt đến sự
chuyển động của các phần tử lưu chất là khá bé, khi đó, ta có thể xem dòng lưu chất như là lưu
chất lý tưởng.
2. Lưu chất lý tưởng có thể áp dụng cho lưu chất ít nhớt, hay lưu chất chuyển động với số Re rất
lớn, khi đó tính nhớt ít ảnh hưởng đến dòng chảy. Trong thực tế có một số lưu chất đặc biệt có
độ nhớt hầu như bằng không khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn, chẳng hạn Helium, khi
nhiệt độ nhỏ hơn 2,17oK thì độ nhớt đột ngột giảm xuống 0. Các loại lưu chất mang đặc tính
này, được gọi là siêu lưu chất.
3. Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyển động của lưu chất sẽ
đơn giản hơn, trong một số trường hợp và điều kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải giải
tích khá dễ dàng. Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực nghiệm số
trên các mô hình toán hoặc hiệu chỉnh mô hình vật lý.
4. Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực
như khí động, chuyển động sóng…
6.1 Chuyển động thế (chuyển động không quay)
Trước khi đi vào nội dung chính, ta cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyển
động thế.
• Trường lực có thế:
B
r
n
Trường lực F được gọi là có thế, khi công do nó thực hiện đi dọc
theo một đường cong nối hai điểm, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và
điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm này.
Ta có thể viết:
m
A
r
r
r
r
W = F.ds = F.ds
∫
∫
Hình 6.1
AmB
AnB
Ví dụ trọng lực là trường lực có thế.
112
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
• Trường vectơ có thế:
r
Một trường vectơ ( A ) được gọi là có thế, nếu tích phân đường dọc theo một đường cong nối hai
điểm, chỉ phụ thuộc điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc đường cong nối hai điểm đó.
r
r
r
B
r
A
r
r
A.ds = A.ds = A.ds
∫
∫
∫
AmB
AnB
• Trường dòng chảy có thế:
v
Về mặt toán học, một trường vận tốc u được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế
vận tốc φ sao cho thỏa điều kiện sau:
B
u.ds = Bdϕ = φB – φA
(6.1)
r r
∫
∫
A
A
Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy có thế.
Phương trình (6.1) có thể viết lại như sau:
B
B
∂ϕ
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
(ux .dx + uy .dy + uz .dz) = ( .dx +
.dy +
.dz)
(6.2)
∫
∫
∂x
A
A
Từ đây ta suy ra:
(6.3a)
hay, dưới dạng vectơ, ta có thể viết:
r
r
r
u = ∇ ϕ = grad ϕ
(6.3b)
(6.3c)
Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.3a) trở thành:
Công thức (6.3a) được viết trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) như sau;
(6.4a)
(6.4b)
Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.4a) trở thành:
Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của φ như sau:
+ Trong hệ tọa độ Descartes:
113
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
dφ =
.dx +
.dy
(6.3d)
(6.4c)
+ Trong hệ tọa độ cực:
∂ϕ
∂r
∂ϕ
∂θ
dφ =
.dr +
.dθ
6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyển động thế
Như được chứng minh trong Chương 3, phương trình Euler (3.38b) chính là phương trình
Bernoulli có thể áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển động ổn định, chịu tác dụng của trọng
lực (lực khối có thế), lưu chất lý tưởng (không ma sát), không nén được và chuyển động có thế
(không quay), như sau:
(6.5)
6.1.2 Hàm thế vận tốc
6.1.2.1 Định nghĩa dòng chảy có thế và hàm thế vận tốc
Dòng chảy có thế là trường dòng chảy sao cho tồn tại một hàm số thế vận tốc φ(x,y,z,t) [hay
φ(x,y,z) đối với chuyển động ổn định] thỏa phương trình (6.3a) trong hệ toạ độ Descartes (oxyz)
hay thỏa phương trình (6.4a) trong toạ độ trụ (r, θ, z), hoặc thoả phương trình (6.3b) dưới dạng
vectơ.
6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế
r
Lấy ro t hai vế của phương trình vectơ (6.3b), ta được:
r
r
r
r
ro t(u ) = rot
(
grad(ϕ)
)
Công thức toán học cho ta:
r
r
r
rot
(
grad(ϕ)
)
= 0
r
r
r
Suy ra: ro t(u ) = 0
Mà
r
r
1 r r
ω = rot.u = 0
(6.6)
2
Vậy: dòng chảy có thế là dòng chảy không quay.
Ghi chú:
114
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Xét hệ toạ độ cực (r, θ)
r
• Toán tử Grad(φ) trong toạ độ cực:
r
r
r
∂φ
∂r
1 ∂φ
.
Grad(φ) =
.ir +
iθ
với φ (r, θ)
(6.7)
(6.8)
r ∂θ
r r
• Toán tử rot(u) trong toạ độ cực:
r
k
∂(r.u )
∂u
r
r r
1
⎡
⎤
θ
rot(u) =
−
.
⎢
⎥
r
∂r
∂θ
⎣
⎦
r
r
k
với u(ur ,uθ ), là vectơ đơn vị của trục oz trực giao với mặt phẳng của trường chuyển động.
r
• Toán tử Div(u) trong toạ độ cực:
∂(r.u ) ∂uθ
r
1
r
⎡
⎤
r
Div(u ) =
+
với u(ur ,uθ )
(6.9)
⎢
⎥
r
∂r
∂θ
⎣
⎦
6.1.2.3 Tính chất của dòng chảy có thế
Dòng lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, phương trình liên tục cho ta:
r
Div(u ) = 0,
Trong tọa độ Descartes, ta có:
∂uy
∂y
∂ux
∂x
∂uz
∂z
+
+
= 0
(6.10)
Thế (6.3a) vào phương trình (6.10), ta được:
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+
= 0
(6.11a)
(6.11b)
∂x2 ∂2 y ∂2 z
Hay, ∇2ϕ = 0
Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.11a) trở thành:
(6.11c)
Phương trình (6.11a), (6.11b) hay (6.11c) được gọi là phương trình Laplace, phương trình vi phân
tuyến tính đạo hàm riêng phần bậc hai. Có vô số lời giải thoả phương trình Laplace, do đó lời giải
cụ thể cần tìm kiếm sẽ phải thỏa mãn một điều kiện biên nhất định nào đó.
6.1.2.4 Đường đẳng thế
115
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Đường đẳng thế là đường cong trong không gian sao cho giá trị hàm số thế φ bằng hằng số. Vì vậy
ta có:
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
d φ = 0 Î
.dx +
.dy +
.dz = 0 hay,
(6.12)
Phương trình (6.12) là phương trình vi phân của đường đẳng thế. Tích phân phương trình vi phân
này, ta sẽ được phương trình đường đẳng thế.
6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý của đường đẳng thế
B
B
B r r
dϕ = (ux .dx + uy .dy + uz .dz) = u.ds =ΓAB
∫
∫
∫
A
A
A
= ϕB - ϕA
(6.13)
Vậy hiệu của hai đường đẳng thế đi qua hai điểm A và B bằng lưu số vận tốc dọc theo một đường
cong bất kỳ nối hai điểm đó.
6.1.3 Hàm dòng trong chuyển động thế phẳng
Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiều, hàm dòng và hàm thế là một cặp
rất hữu ích được sử dụng để nghiên cứu chuyển động thế phẳng. Hàm dòng Ψ được định nghĩa sao
cho thỏa điều kiện sau:
(6.14)
Với định nghĩa này, phương trình liên tục đối với chuyển động hai chiều lưu chất không nén được
tự động thỏa mãn, vì:
∂2Ψ ∂2Ψ
-
∂uy
∂y
∂ux
∂x
+
=
= 0
(6.15)
∂x∂y ∂y∂x
Đối với hệ tọa độ cực, các công thức (6.14) trở thành:
(6.16)
Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta có thể kết luận như sau:
• Luôn luôn tồn tại hàm dòng, không phụ thuộc vào điều kiện dòng chảy quay hay không
quay.
• Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tồn tại của hàm dòng.
• Trường vận tốc được truy ra từ hàm dòng Ψ tự động thỏa phương trình liên tục.
Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của Ψ như sau:
116
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
+ Trong hệ tọa độ Descartes
∂Ψ
∂x
∂Ψ
∂y
dΨ =
.dx +
.dy
+ Trong hệ tọa độ cực
(6.14a)
(6.16a)
∂Ψ
∂r
∂Ψ
∂θ
dΨ =
.dr +
.dθ
6.1.3.1 Phương trình Laplace của hàm dòng
Trong trường hợp dòng thế phẳng, ta có:
r
r
∂uy
∂ux
r
r
rot (u ) = (
-
). k = 0
Î
∂x ∂y
(6.17)
(6.18)
Thế (6.14) vào (6.17), ta được:
⇒
Δψ=0
Như vậy trong dòng thế phẳng, hàm dòng thỏa phương trình Laplace.
6.1.3.2 Quan hệ giữa đường Ψ = const và đường dòng
Phương trình có Ψ = const , suy ra dΨ = 0, suy ra:
∂Ψ
∂x
∂Ψ
∂y
dψ =
dx +
dy = 0
C2
C1
y
dψ = -uy.dx + ux.dy = 0
(6.19)
(6.20)
A
u
uy
ux
dy
dx
M
⇒
(
)
=
ψ
B
Phương trình (6.20) là phương trình của đường dòng.
Vậy các đường cong có Ψ = const chính là các đường
dòng.
O
x
6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý của đường dòng
Hình 6.2
Xét dòng chảy giữa hai đường dòng C1 và C2, gọi A
117
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
và B là hai điểm lần lượt trên C2 và C1. Gọi M là một điểm trên đường cong bất kỳ nối hai điểm A
r
và B. Vận tốc tại M là u Lưu lượng đi giữa hai đường dòng C1 và C2 có thể được tính như sau:
r r
q = u.n.ds
∫
AMB
r
Với ds là đoạn vi phân nằm trên tiếp tuyến với đường cong qua A và B, tại M. Và n là vectơ đơn
vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, tại M. Ta có thể viết:
r
ds = (dx, dy)
r
Và
n .ds = (+dy, -dx)
r
r
Vì
ds ⊥ n .ds
Suy ra:
(6.21)
Vậy, hiệu giá trị hàm dòng đi qua hai điểm bằng lưu lượng qua ống dòng giới hạn bởi hai
đường dòng đi qua hai điểm đó.
6.1.3.4 Sự trực giao giữa họ đường dòng và đường đẳng thế
Tại giao điểm của đường dòng và đường đẳng thế, ta có:
Ψ=const
φ =const
∂ϕ ∂Ψ
=
∂Ψ ∂ϕ
uy = - =
ux =
;
∂x ∂y
∂x ∂y
⎛
⎞
∂Ψ ∂Ψ
∂x ∂y
⎛
⎞
∂ϕ ∂ϕ
∂x ∂y
⎜
⎜
⎟
⎟
,
⇒
⎜
⎜
⎟
⎟
,
⎝
⎠
⎝
⎠
∂ϕ ∂Ψ
.
∂ϕ ∂Ψ
∂y ∂y
= -ux. uy
;
.
= uy. ux
∂x ∂x
Hình 6.3
⇒
∂ϕ ∂Ψ ∂ϕ ∂Ψ
.
+
.
= 0
⇒
ϕ ⊥ ψ
∂x ∂x
∂y ∂y
Vậy, hai họ đường dòng và đường đẳng thế trực giao nhau.
6.1.3.5 Hàm thế phức
Vì cả hai hàm thế ϕ(x,y), hàm dòng ψ(x,y) đều thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết của
hàm biến phức, ta có thế xây dựng một hàm biến phức như sau:
(6.22)
Với z = x + i.y; với i là số ảo ( i = −1 ), z là biến ảo.
Hoặc z = r.eiθ = r(cosθ + isinθ)
118
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
W(z) được gọi là thế phức của dòng chảy.
Do đó người ta có thể nghiên cứu trực tiếp dòng thế qua việc nghiên cứu hàm thế phức này. Khi cho
trước hàm thế phức w(z), ta có thể dùng các phép biến đổi toán học để đưa về dạng (6.22). Từ đó ta
rút ra được: hàm thế là phần thực và hàm dòng là phần ảo.
6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng thế phẳng thông qua hàm dòng, hàm thế và thế phức
Khi giải các bài toán có liên quan đến dòng thế phẳng, chúng ta gặp hai loại bài toán chính như sau:
Cho trước hàm thế ϕ(x,y), hoặc hàm dòng ψ(x,y) hoặc hàm thế phức w(z), xác định trường
vận tốc của dòng chảy. Đây là loại bài toán tìm đạo hàm:
• Nhờ vào phương trình (6.22), ta có thể tìm thấy hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y).
• Nhờ vào các công thức (6.3c), (6.4b), (6.14) và (6.16) ta có thể tìm được các thành phần
vận tốc trong hệ toạ độ Descartes hay trong tọa độ cực tại một điểm bất kỳ trong trường
chuyển động.
• Để tìm áp suất tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động, ta dùng phương trình
Bernoulli (6.5) áp dụng đối với điểm cần tìm và một điểm cho trước (po, uo), thường là điểm
ở xa vô cùng.
• Dùng phương pháp vi tích phân, ta có thể tìm được lực do dòng chảy tác dụng lên một đoạn
mặt cong nào đó dựa trên áp suất đã tìm được ở bước trên. Cần chú ý tính chất của áp suất
thủy động là tác dụng vuông góc với mặt chịu lực đối với dòng lưu chất lý tưởng (không có
ma sát nhớt).
• Tìm lưu lượng đi qua một đọan cong (thực tế là diện tích cong tạo bởi một đoạn thẳng
(đường sinh) vuông góc với mặt phẳng xoy, có chiều dày là 1 m, trợt dọc theo đoạn cong)
nối hai điểm A và B, ta áp dụng công thức (6.21).
v
Cho trước trường vận tốc u , yêu cầu tìm hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y). Đây là loại
bài toán tìm tích phân, là giải phương trình vi phân Laplace (6.11c) hoặc (6.18). Trong quá
trình lấy tích phân xuất hiện hai hằng số tích phân. Hai hằng số tích phân này sẽ được xác
định cụ thể dựa vào hai điều kiện ở xa vô cùng và điều kiện biên.
• Điều kiện ở xa vô cùng:
Điều kiện ở xa vô cùng là các giá trị của vận tốc và áp suất ở nơi mà dòng chảy không chịu
ảnh hưởng của các điểm đặc biệt, hay của vật rắn.
• Điều kiện biên:
Khi trường dòng chảy bị giới hạn bởi thành rắn dọc theo đường cong Σ. Điệu kiện biên có
thể có dạng sau:
i) ψ = const, hay
119
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
∂ϕ
∂n
r
ii)
= 0 (với n là phương pháp tuyến của biên ∑).
Phương pháp chồng chập nhiều chuyển động thế:
Vì hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y) đều được mô tả bằng các phương trình vi phân
đạo hàm riêng loại tuyến tính, phương trình Laplace, nên ta có thể chồng chập nhiều chuyển
động thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp (tổng hợp nhiều dòng thế phẳng);
hoặc phân tích chuyển động thế phức tạp thành nhiều chuyển động thế đơn giản hơn.
Gọi ϕ1 và ϕ2 là hai chuyển động thế. Cả hai thỏa phương trình Laplace:
∂2ϕ1 ∂2ϕ1
+
= 0,
= 0
và
(6.23a)
(6.23b)
∂x2
∂2 y
∂2ϕ2 ∂2ϕ2
+
∂x2
∂2 y
Rồi thì ta đạt được chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thế này là: ϕ = ϕ1 + ϕ2 .
Chuyển động tổng hợp này cũng thỏa phương trình Laplace:
∂2 (ϕ1 +ϕ2 ) ∂2 (ϕ1 +ϕ2 )
+
= 0,
(6.24)
∂x2
∂2 y
Bởi vì phương trình (6.24) thì tương đương với hai phương trình (6.23a) và (6.23b) cộng với nhau.
6.2 Các chuyển động thế phẳng cơ bản
6.2.1 Chuyển động thẳng đều:
Dòng chảy đều có vận tốc là U hợp với trục
ox một góc là α, ta có
y
ϕ2 ϕ1
U
ψ1
ψ2
ux = U.cos(α), và uy = U.sin(α)
• Xác định hàm dòng:
x
Công thức (6.14a) cho:
dΨ = - uy.dx + ux.dy, suy ra:
dΨ = - U.sin(α).dx + U.cos(α).dy
Hình 6.4 Hàm dòng và thế chuyển động đều
do đó, Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] + C = uxy - uy.x + C.
Chọn Ψ=0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0. Khi đó ta được hàm dòng:
(6.25)
(6.25a)
120
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
• Xác định hàm thế:
Công thức (6.3d), cho:
dφ = ux.dx + uy.dy = U.cos(α).dx + U.sin(α).dy
φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] + C.
Chọn φ =0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0. Khi đó ta được hàm thế:
(6.26)
• Xác định hàm thế phức:
(6.26a)
Ta có thể tìm thấy hàm thế phức cho chuyển động thẳng đều như sau:
W(z) = a.z
(6.27)
Trong đó, a = U.cos(α) - i.U.sin(α)
6.2.2 Nguồn và giếng:
(6.27a)
• Điểm nguồn là một điểm trong trường dòng chảy mà tại đó có một nguồn lưu chất với lưu
lượng hằng số đổ ra đều về mọi phía.
• Điểm giếng (điểm hút), ngược lại với điểm nguồn, là một điểm trong trường dòng chảy mà tại
đó, lưu chất được lấy ra với một lưu lượng hằng số.
• Cường độ điểm nguồn (hay giếng) là lưu lượng thể tích của nguồn hay giếng trên một đơn vị
chiều dày. Cường độ điểm nguồn có giá trị dương, trong khi đó cường độ điểm hút có giá trị
âm.
• Vận tốc dòng chảy xuyên qua tâm điểm nguồn hoặc giếng. Thành phần vận tốc pháp tuyến với
đường thẳng nối tâm bằng không.
Đường đẳng thế, φ = C
• Xác định hàm dòng:
Xét một nguồn đặt tại gốc tọa độ O(0, 0).
Dùng hệ trục tọa độ cực, ta có:
Đường dòng, Ψ = C
q
ur =
;
uθ = 0
(6.28)
2π.r
Áp dụng công thức (6.16a), ta có:
dΨ = - uθ.dr + r. ur.dθ
Giải ra, ta được:
Hình 6.5 Điểm nguồn
121
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
q
ψ =
θ + C
2π
Chọn ψ = 0 khi θ = 0, suy ra:
(6.29)
Trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
(6.30)
• Xác định hàm thế:
Áp dụng công thức (6.4c), ta có:
dφ = ur.dr + r.uθ.dθ
Giải ra, ta được:
(6.31)
(6.32)
Trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
• Điểm nguồn (giếng) đặt tại điểm M(xo, yo):
Ta có thể tìm thấy các công thức sau:
(6.33)
(6.34)
−
• Xác định hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức cho điểm nguồn (giếng) đặt tại M(xo, yo) như sau:
q
W(z) = ±
.ln(z-zo)
(6.35)
2π
Nhận xét:
• Trong các công thức (6.33) đến (6.35), dấu + áp dụng cho điểm nguồn và dấu – áp dụng cho điểm
giếng.
• Đường dòng là các đường thẳng đi xuyên qua điểm nguồn (giếng)
122
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
• Đường đẳng thế là các vòng tròn đồng tâm, có tâm tại điểm nguồn (giếng), trực giao với các
đường dòng.
6.2.3 Xoáy tự do:
• Khái niệm:
Dòng xoáy tự do có tâm xoáy là O là một dòng chảy sao cho lưu số dọc theo một đường cong
kín bất kỳ bao xung quanh tâm O một lần không đổi.
r
r
Γ∀C = u.dl = const
(6.36)
∫
C
Γ > 0: ngược chiều kim đồng hồ ; Γ < 0: thuận chiều kim đồng hồ
Vận tốc dòng chảy theo phương xuyên tâm xoáy sẽ bằng không, và chỉ tồn tại thành phần vận
tốc theo phương pháp tuyến với đường thẳng xuyên tâm.
Xét vòng tròn tâm O(0, 0), bán kính r. Trong hệ toạ độ cực, ta có công thức tính vận tốc như
sau:
Γ
2π.r
uθ =
;
ur = 0
(6.37)
• Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm O:
Áp dụng công thức (6.16a) và (6.4c), ta có thể tìm được:
Đường dòng,
Đường thế, φ=C
(6.38)
(6.39)
• Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm M(xo, yo):
Áp dụng công thức chuyển trục toạ độ về M(xo, yo) đối với
công thức (6.38) và (6.39), ta được:
Hình 6.6: Xoáy tự do
(6.40)
(6.41)
• Xác định hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy hàm thế phức cho dòng xóay tự do có tâm đặt tại M(xo, yo) như sau:
123
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Γ
2π.i
W(z) =
.ln(z -zo)
(6.42)
Với : zo = xo + i.yo ; với Г thuận theo qui ước dấu như nêu trên, nghĩa là Γ > 0 nếu ngược chiều kim
đồng hồ; Γ < 0 nếu thuận chiều kim đồng hồ.
Nhận xét:
Đường dòng là các vòng tròn đồng tâm, có tâm là tâm xoáy.
Đường đẳng thế là các đường thẳng xuyên qua tâm xoáy, và trực giao với các đường dòng.
6.2.4 Lưỡng cực:
• Khái niệm:
Xét một dòng chuyển động tổng hợp, tạo bởi một điểm nguồn và một điểm giếng đặt trên trục ox,
đối xứng qua trục oy, cách nhau một đoạn là e, có cường độ là q. Áp dụng nguyên tắc chồng chập,
ta có:
q
q
q
ψ = ψn + ψh =
ϕ = ϕn + ϕh =
θn -
θh =
(θn - θh)
(6.43)
(6.44)
2π
2π
2π
q
q
q
ln(rn) -
ln(rh) =
(ln(rn) – ln(rh))
2π
2π
2π
Trong đó :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
⎡
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
y
⎢
⎢
⎢
y
θn = arctg
;
θh = arctg
(6.45)
(6.46)
e
e
x +
x −
⎢
⎣
⎢
⎣
⎥
⎦
2 ⎦
2
2
2
e
e
⎛
⎞
⎟
⎛
⎞
⎟
rn =
x +
+ y2
;
rh =
x −
+ y2
⎜
⎝
⎜
⎝
2
2
⎠
⎠
• Lưỡng cực:
Chuyển động của lưỡng cực là chuyển động được tạo bởi một cặp điểm nguồn và giếng đặt cách
nhau một đoạn e, có cường độ q, sao cho e.q → mo khi e → 0. mo được gọi là cường độ hay
moment của lưỡng cực.
• Hàm dòng, hàm thế của lưỡng cực:
Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.44), và biến đổi, ta có:
124
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
e
(x + )2 + y2
q
q
2
ϕ =
(ln(rn)-ln(rh)) =
ln
e
2π
4π
(x − )2 + y2
2
q
2ex
=
ln (1+
)
e
4π
(x − )2 + y2
2
q
2ex
ϕ = lim (e → 0 ; e.q → m0)
ln (1+
)
e
4π
(x − )2 + y2
2
Áp dụng công thức Taylor , khi Δx vô cùng bé ⇒
Δx2
ln(1+Δx) = +Δx -
+ ….
2
Bỏ qua số hạng bậc cao ⇒
q
ex
ϕ = lim (e → 0 ; e.q → mo)
=
e
2π
(x − )2 + y2
2
qe
x
= lim (e → 0 ; e.q → mo)
e
2π
(x − )2 + y2
2
(6.47)
Trong toạ độ cực, ta có:
(6.47a)
Hàm dòng:
Chứng minh tương tự, ta có thể đạt được:
(6.48)
Trong toạ độ cực, ta có:
(6.48a)
Hàm thế phức:
125
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
y
Ta có thể tìm thấy:
Đường dòng, Ψ = C
mo
1
W(z) =
.
(6.49)
2π z
x
Nhận xét:
Đường đẳng thế, φ = C
• Đường dòng là các vòng tròn đi qua gốc tọa độ O,
có tâm nằm trên trục Oy.
Hình 6.7: Lưỡng cực
• Đường đẳng thế là các vòng tròn đi qua gốc O, có
tâm nằm trên trục Ox, và trực giao với các đường
dòng.
6.3 Chồng nhập nhiều chuyển động thế phẳng cơ bản:
Áp dụng nguyên tác chồng chập được nêu ở mục 6.1.3.6, ta có thể chồng chập nhiều chuyển động
thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp.
6.3.1 Dòng chảy đều quanh 1 nguồn: chuyển động quanh ½ cố thể:
• Chuyển động bao gồm: một chuyển động đều có phương song song trục ox, chiều từ trái qua phải,
với vận tốc là U; một nguồn đặt tại O, có cường độ là q.
• Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.26), (6.32), ta có:
(6.50)
Trong hệ tọa độ cực, ta có:
(6.50a)
• Hàm dòng:
Áp dụng công thức (6.25), (6.30), ta có:
(6.51)
Trong hệ tọa độ cực, ta có:
(6.51a)
• Hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy hàm thế phức của chuỵển động tổng hợp có dạng sau:
126
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
q
W(z) = U.z +
.ln(z)
(6.52)
2π
Nhận xét:
Điểm dừng:
Áp dụng công thức (6.16), ta có:
1 ∂Ψ
r ∂θ
∂Ψ
∂r
ur =
;
uθ = -
,
suy ra:
q
ur = U.cos(θ) +
(6.53)
(6.54)
2πr
uθ = -U.sin(θ)
Điểm dừng xuất hiện ở nơi có vận tốc bằng 0. Do đó:
uθ = 0 và ur = 0 Î
sin(θ) = 0 ⇔ θ =0 hoặc θ = π
q
và
U.cos(θ) +
= 0
2πr
Nếu θ = 0 Î r < 0 Î không phù hợp vì r ≥ 0, do đó θ = π
q
Nếu θ = π Î r =
;
2πU
q
2πU
q
vậy toạ độ điểm dừng là (
tọa độ O, cách O một đoạn
, π) , nghĩa là điểm dừng nằm trên trục ox, bên trái điểm gốc
, khoảng cách này tỉ lệ thuận với cường độ điểm nguồn (q) và
2πU
tỷ lệ nghịch với vận tốc dòng đều (U).
Đường dòng đi qua điểm dừng:
Đường dòng đi qua điểm dừng có thể được tìm thấy bằng cách thế tọa độ điểm dừng vào
phương trình (6.51a), ta được:
q/2πU
y
q
U
ψ =
Ψ = q/2
2
Nguồn
x
vậy phương trình của đường dòng qua điểm
dừng là:
Ψ = q/2
qθ
2π
q
Điểm dừng
Hình 6.8 Dòng chảy quanh nửa cố thể.
U.r.sin(θ) +
=
(6.55)
2
127
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
Hình 6.8 chỉ ra đường dòng đi qua điểm dừng, nó chạy từ bên trái đi qua điểm dừng, rẻ nhánh
và tiến vô hạn về bên phải, chia trường dòng chảy ra làm hai khu vực không trao đổi lưu chất
lẫn nhau, và thành lập nên đường biên của một nửa cố thể.
6.3.2 Chuyển động quanh cố thể dạng Rankine
• Chuyển động tổng hợp bao gồm:
y
nguoàn
gieáng
U
9 Chuyển động đều song song trục ox, chiều từ trái
sang phải với vận tốc là U
D
A
B
x
9 Điểm nguồn đặt tại (-a,0), với cường độ là +q.
9 Điểm giếng đặt tại (a, 0), với cường độ là -q.
• Hàm thế:
C
a
a
Hình 6.9 Chuyển động quanh cố thể Rankine
Áp dụng công thức (6.26), (6.33), ta được:
q
q
ϕ = U.x +
.ln((x+a)2 + y2) -
.ln((x-a)2 + y2)
(6.56)
4π
4π
Hay:
• Hàm dòng:
(6.56a)
Áp dụng công thức (6.25), (6.34), ta được:
(6.57)
Hay
(6.57a)
• Hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau:
q
q
W(z) = U.z +
.ln(z+a) -
.ln(z-a)
(6.58)
2π
2π
q
z + a
z − a
⎡
⎤
Hay W(z) = U.z +
.ln
(6.58a)
⎢
⎣
⎥
⎦
2π
• Nhận xét:
Đường dòng khi Ψ = 0:
Cho Ψ = 0 vào phương trình (6.57a), ta được:
9 Đường y = 0.
128
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
9 Đường cong (C) có phương trình như sau:
(6.59)
Hay
(6.59a)
Đây là một đường cong khép kín, cắt trục ox tại A và B; cắt trục oy tại C và D.
Điểm dừng và vận tốc tại các điểm đặc biệt:
Áp dụng công thức (6.3c) và công thức (6.56), ta có thể tính được vận tốc như sau:
∂ϕ
∂x
qa
x2 − y2 − a2
ux =
uy =
= U -
.
(6.60)
2
[
(
x + a
)
+ y2
]
[
1
(x − a)2 + y2
]
π
∂ϕ
∂y
2qaxy
= -
.
(6.60a)
2
π
[
(
x + a
)
+ y2
][
(x − a)2 + y2
]
Điểm dừng là điểm ở đó hai thành phần vận tốc ux và uy bằng 0.
Từ phương trình (6.60a) với uy = 0, ta suy ra được y = 0. Như vậy điểm dừng có thể xảy ra trên
trục ox. Cho y = 0 và ux = 0 vào phương trình (6.60) và giải ra ta được:
qa
x2 − a2
U =
π
(
)
giải ra, ta tìm được hoành độ của điểm dừng:
(6.61)
Vậy, ta có hai điểm dừng là A và B nằm trên trục ox, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O và có
hoành độ cho bởi phương trình (6.61).
Phương trình (6.60a) cho chúng ta vận tốc theo phương y (uy ) bằng 0 dọc trên trục oy. Do đó:
Cố thể Rankine:
Đường cong kín (C) phân chia trường dòng chảy ra làm hai phần riêng biệt: phần bên trong và
phần bên ngoài. Hai phần này không có sự trao đổi lưu chất qua lại đường cong (C). Dòng chảy
giống như là chuyển động quanh một cố thể rắn được bao bởi đường (C). Cố thể này được gọi là
cố thể Rankine.
6.3.3 Chuyển động đều quanh hình trụ:
6.3.3.1 Hình trụ đứng yên:
129
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
• Khái niệm:
Dòng chảy đều quanh hình trụ tròn là dòng chảy quanh cố thể Rankine khi ta cho a tiến tới 0. Khi
đó cố thể Rankine thành hình trụ tròn. Dòng chảy này cũng có thể xem như là một chuyển động
tổng hợp của một dòng đều và một lưỡng cực.
• Hàm thế:
Áp dụng phương trình (6.26a) và phương trình (6.47a), ta được:
mo
1
ϕ = U.r.cos(θ) +
. .cos(θ)
2π r
(6.62)
(6.62a)
(6.63)
(6.62b)
Đặt thừa số chung, ta được,
mo
ϕ = U.r.cos(θ)(1+
2πU
1
.
)
r2
Đặt:
mo
R2 =
2πU
Ta được:
• Hàm dòng:
Áp dụng phương trình (6.25a) và phương trình (6.48a), ta được:
mo
1
ψ = U.r.sin(θ) -
. .sin(θ)
2π r
(6.64)
Đặt thừa số chung, ta được,
mo
ψ = U.r.sin(θ)(1-
2πU
1
r2
.
)
(6.64a)
Đưa giá trị R vào, ta được:
y
Gieáng
B
Nguoàn
A
(6.64b)
C
• Hàm thế phức:
x
Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau:
D
R2
W(z) = U.(z +
)
(6.65)
U
z
Hình 6.10 Dòng chảy quanh trụ tròn không quay
130
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
• Nhận xét:
Đường dòng khi Ψ=0:
Sử dụng phương trình (6.64b), cho Ψ=0
9 Sin(θ) = 0, suy ra θ=0 hoặc θ=π, đó là các điểm nằm trên trục Ox.
9 r = R, đường dòng là (C), là vòng tròn tâm O bán kính bằng R. Đường cong kín (C) này
chia trường chuyển động ra làm 2 vùng: bên trong và bên ngoài (C). Hai vùng này không có
trao đổi lưu chất xuyên qua đường cong (C). Dòng chảy đều như bao quanh một cố thể hình
trụ tròn có bán kính R.
Sự phân bố vận tốc trên (C):
Dùng công thức (6.4b):
∂ϕ
1
r ∂θ
∂ϕ
∂r
ur =
; uθ =
áp dụng đối với phương trình (6.62b), ta được:
R2
r2
ur = U.cos(θ)(1-
);
(6.66a)
r = R, suy ra ur = 0.
R2
r2
và
uθ = -U.sin(θ)(1+
)
(6.66b)
(6.66c)
r = R, do đó:
uθ = -2U.sin(θ)
uθ = 0, suy ra θ=0 và θ=π,
vì vậy:
+ Hai điểm A và B là hai điểm dừng
+ Hai điểm C và D có vận tốc cực đại là uC = uD = 2U.
Sự phân bố áp suất trên (C):
Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ ( trên (C) ) và một điểm ở xa vô
cùng, ta có:
U 2
u2
p*∞ + ρ.
= p* + ρ. = p* + 2ρ.U 2 sin2(θ)
(6.67)
2
2
131
Tải về để xem bản đầy đủ
45 trang
21820
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 6: Dòng chảy thế và lực nâng lực cản - Lê Văn Dực", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_luu_chat_chuong_6_dong_chay_the_va_luc_nang_luc.pdf
