Giáo trình Cơ lưu chất - Chương 3: Động học lưu chất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

CHƯƠNG III

ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT

3.1 Khái quát chung

Động học và động lực học lưu chất nghiên cứu quy luật chuyển động của lưu

chất, lực tác dụng trong môi trường lưu chất và những quy luật về tương tác lực

giữa môi trường lưu chất chuyển động với các vật rắn.

Lưu chất là một môi trường liên tục do vô số các phần tử lưu chất tạo nên, vì

vậy các đại lượng đặc trưng cho mỗi phần tử đó là các yếu tố chuyển động như vận

tốc u, áp suất thủy động p, khối lượng riêng ρ…đều là hàm liên tục của tọa độ

không gian và thời gian:

u = u(x,y,z,t).

p = p(x,y,z,t).

ρ = ρ(x,y,z,t).

Trong lưu chất lý tưởng áp suất thủy động hướng vào mặt tác dụng theo phương

pháp tuyến; còn trong lưu chất thực áp suất thủy động vẫn hướng vào mặt tác dụng

nhưng không hướng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất

pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do lực nhớt gây ra.

Vận tốc của phần tử lưu chất đo tại một vị trí nhất định trong dòng lưu chất ở

một thời điểm nhất định gọi là vận tốc điểm tức thời, ký hiệu là u. Trong dòng chảy

rối vận tốc điểm tức thời luôn thay đổi về hướng và giá trị, người ta thường thay nó

bằng giá trị trung bình trong một thời gian nhất định, gọi là vận tốc điểm trung

u

bình thời gian ký hiệu là

(hoặc vẫn ký hiệu là u).

Trong kỹ thuật người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung bình của toàn dòng

chảy qua một mặt cắt ngang gọi là vận tốc trung bình ký hiệu là v.

Có hai phương pháp nghiên cứu chuyển động của lưu chất là phương pháp Euler

và phương pháp Lagrange. Phương pháp Lagarange khảo sát chuyển động của từng

phần tử lưu chất riêng biệt trong khi đó phương pháp Euler nghiên cứu vận tốc của

các phần tử lưu chất tại nhiều điểm trong dòng chảy ở những thời điểm khác nhau.

Trong thực tế phương pháp Euler tiện hơn phương pháp Lagrange nên được dùng

nhiều hơn.

3.2 Một số khái niệm và đặc trưng thủy lực cơ bản của dòng lưu chất

3.2.1 Phân loại dòng chảy

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

Dòng chảy mà các đặc trưng của nó (vận tốc, áp suất…) phụ thuộc vào thời



t

gian là dòng chảy không dừng (không ổn định) tức là

≠ 0. Dòng chảy mà các

đặc trưng của nó không phụ thuộc vào thời gian là dòng chảy dừng (ổn định) tức là



t

= 0.

Thường gặp trong công nghiệp các dòng chảy thay đổi theo thời gian nhưng giá

trị trung bình trong thời gian đủ dài của các thông số đặc trưng cho dòng chảy lại có

thể coi như không đổi, khi đó dòng được gọi là dòng dừng trung bình thời gian.

Hình 3-1

Ở dòng chảy dừng, nếu sự phân bố vận tốc trên mặt cắt ngang không đổi dọc

theo dòng chảy ta có dòng chảy đều (hình 3-1a). Ngược lại ta có dòng chảy không

đều.

Dòng chảy không đều có thể đổi dần (hình 3-1b) hoặc đổi đột ngột (hình 3-1c).

Dòng chảy không có mặt thoáng là dòng chảy có áp (hình 3-2a). Dòng chảy có

mặt thoáng là dòng chảy không áp (hình 3-2b, 3-2c).

Hình 3-2



Nếu một chuyển động của lưu chất mà vectơ vận tốc u có thể biểu diễn dưới



dạng u = grad, tức là :



x



y



z

u_x=

u_y=

u_z=

(3-1)

thì chuyển động đó gọi là chuyển động có thế, φ được gọi là hàm thế vận tốc.

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

Nếu phần tử lưu chất vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh trục tức thời đi

qua bản thân nó thì đó là chuyển động xoáy, khi đó :

 

Rot u = ≠ 0

(3-2)

Trong đó ω là véc tơ quay. Còn nếu trong chuyển động của lưu chất mà



Rot = 0, thì chuyển động đó là chuyển động không xoáy.

 



Người ta chứng minh được rằng nếu Rot u = 0, thì suy ra u = gradφ, hoặc

ngược lại, tức là chuyển động không xoáy là chuyển động có thế.

Trong toán học giải tích người ta đưa vào toán tử Rot, nếu u là véc tơ vận tốc

với các hình chiếu u_x, u_y, u_zthì :



 ^



j

i

k

 

_{Rot u =}





dy

u_y



dz

u_z



 ^d_u^x

x











_











u_y

z

u_y

u_x

 z

u_z

x

u_x

y



=

–

 i +

–

 j +

–

 k (3-3)













 y

 x

Từ (3-2) và (3-3), ta có các thành phần của véc tơ quay:





u_y

z

1 u_z

2







ω_x=

–

 y







u_x

 z

1

2

u_z

x





ω_y=

–

(3-4)











u_y

1

2

u_x

y

ω_z=

–

 x

và có :

ω = _x²_y²_z

2

(3-5)

Theo đặc tính hình học của tổ chức dòng chúng ta có dòng một chiều, dòng hai

chiều (dòng phẳng), dòng ba chiều (dòng không gian). Trong đó bài toán dòng ba

chiều là phức tạp nhất : ta phải khảo sát điều kiện vật lý và động học đối với từng

chất điểm trong tiết diện chảy của dòng. Còn ở dòng một chiều thì đơn giản hơn,

các điều kiện trên qua một tiết diện của dòng được coi như nhau. Về mặt toán học

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

thuần túy thì giải dòng một chiều dễ dàng và cho ta kết quả chính xác nhất. Do đó,

trong thực tế người ta luôn cố gắng đưa bài toán về mô hình một chiều.

Dòng chảy mà trong đó các phần tử lưu chất chuyển động thành từng tầng, từng

lớp song song là chảy tầng, còn các phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn là dòng

chảy rối. Chỉ tiêu để phân biệt dòng chảy là tầng hay rối sẽ được nghiên cứu kỹ ở

chương sau.

3.2.2 Một số khái niệm

a. Đường dòng là đường mà tiếp tuyến tại mọi điểm trùng với véc tơ vận

 

tốc của phần tử lưu chất tại điểm đó. Từ phương trình u ds = u.ds.sin0 = 0, tức là :

i

j

k



 

u_xu_yu_z

dx dy dz

u ds =

= 0

thì phương trình vi phân của đường dòng có dạng như sau :

dx dy dz

u_xu_yu_z

=

(3-6)

b. Quỹ đạo là đường biểu diễn các vị trí liên tiếp của một phần tử lưu chất khi

nó chuyển động.

Trong chuyển động dừng đường dòng và quỹ đạo trùng nhau.

c. Ống dòng: toàn bộ các đường dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ tạo

nên một ống dòng.

d. Dòng nguyên tố là dòng chất lỏng chảy đầy trong ống dòng.

Dòng chất lỏng là tập hợp của vô số dòng nguyên tố.

3.2.3 Một số đặc trưng thủy lực của dòng chảy

a. Mặt cắt ướt (dS, S) là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng

(hình 3-3).

Hình 3-3

b. Chu vi ướt (χ) là đường tiếp xúc giữa mặt cắt ướt và thành rắn giới hạn

dòng chảy.

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

c. Bán kính thủy lực (R_h) là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt với chu vi ướt:

R_h= S/χ

d. Lưu lượng là lượng chất lỏng chảy qua mặt cắt ướt trong đơn vị thời gian.

Lưu lượng thể tích (m³/s) : dQ, Q .

Lưu lượng trọng lượng (N/s) : dG, G (G = γQ).

Lưu lượng khối lượng (kg/s) : dM, M (M = ρQ).

Lưu lượng thể tích được tính theo công thức sau :

dQ = udS

^{Q =}^{dQ }^udS

S

e. Vận tốc trung bình trên một mặt cắt ướt v là vận tốc giả định không đổi mà

các phần tử lưu chất trên một mặt cắt ướt phải chuyển động sao cho lưu lượng tính

theo vận tốc trung bình cũng bằng lưu lượng tính theo phân bố vận tốc thực của

dòng chảy (hình 3-4).



^{Q = dQ }^{udS  vdS  vS}



S

Do đó :

Q

S

v =

(3-7)

Hình 3-4

3.2.4 Các dạng chuyển động của phần tử chất lỏng

Sự chuyển động của một phần tử chất rắn như đã biết có thể phân tích thành

chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Đối với phần tử lưu chất, sự chuyển

động phức tạp hơn ở chỗ phần tử lưu chất có thể biến dạng. Vì vậy, chuyển động

của một phần tử lưu chất có thể phân tích thành ba dạng : chuyển động tịnh tiến,

chuyển động quay và chuyển động biến dạng (gồm biến dạng dài và biến dạng góc),

đó cũng chính là nội dung định luật Helmholtz.

Đối với lưu chất không nén được thì trong quá trình chuyển động biến dạng các

phân tố giữ nguyên thể tích của nó. Ngược lại đối với lưu chất nén được thì trong

quá trình chuyển động biến dạng các phân tố không giữ nguyên thể tích của nó.

3.3 Phương trình liên tục của môi trường lưu chất chuyển động

Giả sử trong môi trường lưu chất chuyển động không có điểm nguồn hoặc điểm

hút, lưu chất không bị chuyển hóa sang dạng khác như bốc hơi, cháy, hoặc do các

phản ứng hóa học… thì từ định luật tổng quát về bảo toàn khối lượng vật chất ta suy

ra các dạng của phương trình liên tục.

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

3.3.1 Phương trình vi phân liên tục dạng tổng quát

Trước tiên ta viết phương trình vi phân liên tục ở dạng tổng quát cho lưu chất

nén được với chuyển động không dừng trong không gian ba chiều.

Trong môi trường lưu chất chuyển động ta xét một phân tố hình hộp vô cùng

nhỏ (hình 3-5) và viết điều kiện bảo toàn khối lượng theo thời gian đối với dòng lưu

chất chảy qua hình hộp đó.

dm d(ρΔV)

=

= 0

(3-8)

dt

Trong đó :

ΔV = dxdydz : thể tích

ρ : khối lượng riêng của chất lỏng ρ = ρ(x,y,z,t)

u_z

z

u_z+

dz

z

u_y

u_x

x

u_x+

dx

u_x

dz

dy

dx

x

0

u_y

y

u_z

u_y+

dy

y

Hình 3-5

Lấy vi phân biểu thức (3-8) với chú ý rằng ρ và ΔV là các biến số ta có :

1 dρ 1 dΔV

+

= 0

(3-9)

ρ dt ΔV dt

Theo hướng x:

Sau một thời gian dt thể tích lưu chất đi vào hình hộp là u_zdydzdt, còn thể





u_x

x





tích lưu chất đi ra là u_x+

dx dydzdt.





Vậy sau thời gian dt thể tích lưu chất thay đổi theo hướng x một lượng tuyệt đối

bằng :

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

u_x





u_x

x





dΔV_x= u_x+

dx dydzdt – u_xdydzdt =

dxdydzdt

x





Tương tự theo hướng y và z sẽ là :

u_y

dΔV_y=

dΔV_z=

dxdydzdt

y

u_z

z

Sự thay đổi toàn phần của thể tích lưu chất sau thời gian dt là :









u_y

y

u_x

 x

u_z

z 

dΔV =

+

dxdydzdt

Do đó :

1 dΔV

u_y

u_x

x

u_z

z

=

+

ΔV dt

y

Thay vào phương trình (3-9) ta có :

u_y

u_x

x

u_z

= 0

z

1 dρ

ρ dt

+

(3-10)

y

Đạo hàm toàn phần của khối lượng riêng :

p

x

p

z

p

t

dρ

dt

dx p dy

dz

dt

=

+

dt

y

Mặt khác ta có :

dx

dt

dy

dt

dz

dt

= u_x

;

= u _y;

= u_z

Thay vào (3-10) ta có phương trình liên tục ở dạng vi phân :

(u_y)

y



t

(u_x)

x

(u_z)

z

+

= 0

Viết gọn lại theo các ký hiệu toán học :





t

+ div (ρ u ) = 0

(3-11)

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH







t







Đối với chuyển động dừng

=0 và chất lỏng không nén được (ρ = const),



phương trình sẽ có dạng đơn giản hơn :



u_y

y

u_x

x

u_z

z

div u =

+

= 0

(3-12)

3.3.2 Phương trình liên tục của dòng nguyên tố chuyển động dừng

ρ₂, dS₂

u₂

ρ₁, dS₂

u₁

Hình 3-6

Đối với chất khí :

₂u₂dS₂dt  ₁u₁dS₁dt

dm

dt

Từ

= 0 =

,ta có :

dt

=

 dM = const

(3-13)

(3-14)

₁u₁dS₁₂u₂dS₂

γ₁u₁dS₁= γ₂u₂dS₂ dG = const

Đối với chất lỏng vì ρ = const nên ta có :

u₁dS₁= u₂dS₂dQ = const

(3-15)

3.3.3 Phương trình liên tục của toàn dòng chuyển động dừng

Đối với chất khí :

^{ u dS   u dS}



1

2

S₁

S₂

M₁= M₂= const

ρ₁v₁S₁= ρ₂v₂S₂= const

(3-16)

G₁= G₂= const

γ₁v₁S₁= γ₂v₂S₂= const

(3-17)

Đối với chất lỏng :

Q₁= Q₂= const

^{u dS }^{u dS}

1

2



S₁

S₂

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG

KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

v₁S₁= v₂S₂= const

(3-18)

Từ (3-18) ta thấy rằng trong dòng chất lỏng dừng, lưu lượng qua mọi mặt cắt ướt

đều bằng nhau và vận tốc trung bình trên mặt cắt ướt tỉ lệ nghịch với diện tích mặt

cắt ướt.

BÀI TẬP

1. Hai dòng lưu chất không nén được, chuyển động dừng có vận tốc u_xvà u_y

biểu thị bởi phương trình :

- Dòng thứ nhất

u_x= 4xy + y²+ 2x

u_y= 6xy + 3x

u_x= 2x²+ y²

u_y= - 4xy

- Dòng thứ hai :

Dòng nào có thể thực hiện được, dòng nào không ?

2. Cho một dòng lưu chất chuyển động dừng, không nén được, có vận tốc u_xvà

u_ybiểu thị bởi phương trình :

u_x= ax + bt

u_y= - ay + bt

Chứng minh rằng tồn tại chuyển động đó. Tìm phương trình họ đường dòng.

3. Mỗi phần tử lưu chất trong một chuyển động dừng có vận tốc được xác định

bởi các thành phần :

u_x= 2xy

u_y= 2yz

u_z= 2zx

Chuyển động này có xoáy hay không xoáy ?

Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất

GVC.MSc. Đặng Quý

Giáo trình Cơ lưu chất - Chương 3: Động học lưu chất - Đặng Quý